Изучение статистических совокупностей

Введение

Изучение статистических совокупностей, состоящих из множеств единиц, связано с большими трудовыми  и материальными затратами.

С давних пор представлялось заманчивым не изучать все единицы  совокупности, а отобрать лишь некоторую часть, по которой можно было бы судить о свойствах всей совокупности в целом. Попытки такого рода делались еще в ХVII в.

Выборочный метод обследования, или как его часто называют выборка, применяется прежде всего в тех случаях, когда сплошное наблюдение вообще невозможно. Обследование может быть связано с уничтожением или порчей обследуемых единиц. Так, например, при контроле качества хлебобулочных изделий, консервов и т.д. изделие после контрольных операций становится непригодным для реализации, что делает сплошной контроль невозможным.

Невозможно сплошное обследование и в тех случаях, когда обследуемая совокупность очень велика, практически безгранична. Например, совокупность участков морского дна или совокупность колосьев пшеницы на поле.

Во всех случаях выборочный метод позволяет сберегать значительные количества труда и средств как на этапе сбора сведений, так и на этапе их обработки и анализа. Экономия же труда и средств, получаемая при замене сплошного наблюдения выборочным имеет немаловажное значение.

Все эти положительные качества привили к широкому применению метода выборочного наблюдения. В нынешних условиях организации производственной и торговой деятельности данный метод как способ проверки качества продукции применяется большинством предприятий и организаций, также ни одно предприятие системы Потребкооперации не обходится без выборочного метода наблюдения.

1. Понятие выборочного наблюдения

При сплошном наблюдении – множество всех единиц данной совокупности носит название генеральной совокупности. Средняя арифметическая какого-либо признака, вычисленная для всех единиц этой совокупности, носит название генеральной средней и обозначается символом х.

В результате обследования можно получить не только средние  величины, но и относительные. Допустим, удельный вес называется генеральной долей.

Приведенным понятиям генеральной совокупности, генеральной средней, генеральной доли при выборочном обследовании соответствуют понятия выборочной совокупности, выборочной средней, выборочной доли.

Выборочная  совокупность – это совокупность единиц, попавших в выборку. Средняя арифметическая, вычисленная на основе значений какого-либо признака у всех единиц выборочной совокупности, носит название выборочной средней и обозначается символом  х.

Относительная величина доли, полученная в результате выборочного наблюдения, носит название выборочной доли (w). Если, например, в результате обследования взятых на выборку 200 шт. какого-либо изделия,. 4 оказались негодными, то это означает, что выборочная доля брака равна 4/200, т.е. = 0,02.

В зависимости от конкретных условий для выборки единиц применяются различные приемы отбора:

1. собственно случайный отбор - состоит в отборе случайно попавших единиц совокупности;
2. механический отбор – когда все единицы наблюдаемой совокупности располагают в определенной последовательности (по номерам, по алфавиту и т.д.), единицы выбирают через определенный промежуток;
3. гнездовой отбор – производится в том случае, если для изучения берут не отдельные единицы совокупности, а отдельные группы единиц или гнезда;
4. типический отбор – состоит в том, что все единицы совокупности предварительно распределяют на группы по какому-либо типичному признаку, после чего из каждой типической группы отбирают единицы для обследования;
5. комбинированный отбор – применяют сразу два вида отбора.

В экономико-статистических исследованиях используют следующие способы отбора единиц из генеральной совокупности:

1. индивидуальный отбор – в выборку отбираются отдельные единицы;
2. групповой отбор – в выборку попадаются качественно однородные группы или серии изучаемых явлений;
3. комбинированный отбор – как комбинация индивидуального и группового отбора.

В статистике различают  также одноступенчатый и многоступенчатый способы отбора единиц в выборочную совокупность.

При одноступенчатой выборке каждая отобранная единица сразу же подвергается изучению по заданному признаку. Так обстоит дело при собственно-случайной и серийной выборке.

При многоступенчатой выборке производят отбор из генеральной совокупности отдельный групп, а из групп выбираются отдельные единицы. Так производится типичная выборка с механическим способом отбора единиц в выборочную совокупность.

Комбинированная выборка может быть двухступенчатой. При этом генеральная совокупность сначала разбивается на группы. Затем производят отбор групп, а внутри последних осуществляется отбор отдельных единиц.

В зависимости от способа отбора единиц различают:

1. повторная выборка. При повторном отборе вероятность попадания каждой отдельной единицы в выборку остается постоянной, так как после отбора какой-то единицы, она снова возвращается в совокупность и снова может быть выбранной;
2. бесповторная выборка. В этом случае каждая отобранная единица не возвращается обратно, и вероятность попадания отдельных единиц в выборку все время изменяется (для оставшихся единиц она возрастает).

2. Ошибки выборочного наблюдения

При любом наблюдении могут происходить ошибки при  регистрации единиц. В зависимости от объекта, субъекта и способа наблюдения эти ошибки могут возникнуть из-за сообщения ошибочных сведений объектом, неточной фиксации сообщаемых сведений субъектом наблюдения, неточного подсчета или измерения фиксируемых признаков при непосредственном наблюдении.

При несплошном наблюдении, в частности  при выборочном, кроме ошибок регистрации  возможны так называемые ошибки репрезентативности (представительности), которые возникают в связи с тем, что отобранная для обследования часть совокупности имеет по изучаемому признаку иную структуру, чем совокупность в целом. При выборочном обследовании их источником является нарушение принципа случайности отбора, его тенденциозность. Случайные же ошибки возможны и при совершенно правильно организованном отборе за счет того, что случайно могут отказаться отобранными единицы с характеристиками, в среднем отличными от всей совокупности. Таким образом, ошибка наблюдения (e_н^в) является при выборочном наблюдении суммой ошибки регистрации (e_р^в) и ошибки репрезентативности (e_п^в), а при сплошном наблюдении ошибка наблюдения (e_н^с) равна ошибке регистрации (e_р^с). (Приложение №1)

Пусть нас интересует некоторый признак х. Его распределение в генеральной совокупности характеризуется частотами F, из которых вытекают генеральная средняя х, генеральная дисперсия D, генеральное среднее квадратическое отклонение s, генеральные доли (относительные частоты и частости) р. Цель выборочного наблюдения заключается в том, чтобы, отобрав из генеральной совокупности некоторое число n единиц, обследовать их и на этой основе оценить неизвестные нам генеральные характеристики. Совокупность отобранных единиц носит название выборочной совокупности, или просто выборки, и все ее характеристики тоже называются выборочными. Вариация признака х в выборочной совокупности характеризуется частотами f, из которых вытекают выборочная средняя х, выборочная дисперсия D_в, выборочное среднее квадратическое отклонение s_в = ÖD_в, выборочные доли w = f/åf. На основе теорем закона больших чисел можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки выборочные характеристики мало отличаются от генеральных, т.е. если n достаточно велико, то х » х; w » р; D_в » D.

Ошибка выборки – это абсолютная величина в разности между соответствующими выборочной и генеральной характеристиками:

|х - х| - ошибка для средней или |w - р| - ошибка для доли.

Как и сама выборочная характеристика, ошибка выборки является случайной величиной. Пользуясь теоремой Ляпунова, можно указать вероятность (Р) того, что ошибка выборки не превысит некоторую заданную величину D, т.е. что |х - х| £ D или |w - р| £ D. Вероятность р при этом называют доверительной вероятностью, а пределы, в которых с этой вероятностью может находится генеральная характеристика, называют доверительными пределами (или границами) этой характеристики. Доверительные пределы генеральной средней или доли определяются на основе неравенств |х – х| £ D или |w - р| £ D, из которых следует, что х - D £ х £ х + D или w - D £ р £ w + D.

Так, если при определении  среднего числа дней, отработанных колхозниками за год, ошибка выборки с доверительной вероятностью р = 0,99 оказалось равной двум дням, то пределы, в которых может находиться генеральная средняя, определяется следующим образом 260 – 2 £ х £ 260 + 2 или 258 £ х £ 262, т.е. с вероятностью, равной 0,99 утверждать, что среднее число отработанных за год колхозниками района дней находится в пределах от 258 до 262.

Возможные расхождения между характеристиками выборочной и генеральной совокупности измеряются средней ошибкой выборки m. В математической статистике доказывается, что значения средней ошибки выборки определяются по формуле:

           s₀²

m =   ------

     Ö      n

На  практике для определения  средней ошибки выборки обычно используются дисперсии выборочной совокупности s².

                  n

 s₀²  = s² (------)

                n - 1

Если n достаточно велико, то отношение n/n-1 близко к единице.

При замене генеральной дисперсии s₀² дисперсией выборочной s² формула расчета средней ошибки записывается так:

          s²

m =   ----

     Ö   n

Следует иметь в виду, что эта  формула применяется для определения средней ошибки выборки лишь при так называемом повторном отборе.

Поскольку при бесповторном отборе численность генеральной совокупности в ходе выборки сокращается, то в формулу для расчета средней выборки включают дополнительный множитель 1 – n/N. Формула средней ошибки выборки принимает следующий вид:

           s²          n

m =   ----- (1 - -----).

     Ö   n            N

Для  практики выборочных обследований важно, что средняя  ошибка выборки применяется для  установления предела отклонений характеристик выборки из соответствующих показателей генеральной совокупности небезотносительно. Лишь с определенной степенью вероятности можно утверждать, что эти отклонения не превысят величины t × m, которая в статистике называется предельной ошибкой выборки.

Предельная ошибка выборки D связана со средней ошибкой выборки m отношением: D = t × m

При этом t как коэффициент кратности средней ошибки выборки зависит от вероятности, с которой гарантируется величина предельной ошибки выборки.

Если в формулу подставить конкретное содержание m, то расчет предельной ошибки выборки при бесповторном отборе можно записать следующими алгоритмами:

а) доля альтернативного  признака:

              w (1 - w)          n

D_w = t   ------------ (1 - -----)

         Ö         n                N

б) средняя величина количественного  признака:

              s_х²          n

D_х = t   ------ (1 - ----)

         Ö   n             N

При этом следует иметь  в виду, что при сравнительно небольшом  проценте единиц, взятых в выборку (до 5 %), множитель (1 – n/N) близок к единице. Поэтому на практике при расчете величины предельной ошибки выборки (при бесповторном отборе) множитель (1 – n/N) можно опустить, и расчет производится по формулам повторного отбора, т.е.:

              w (1 - w)

D_w = t   ------------

               Ö    n       

              s²       

D_х = t   --------

             Ö   n              

3. Определение необходимого объема  выборки

При организации выборочного  обследования следует иметь в  виду, что размер ошибки выборки  прежде всего зависит от численности  выборочной совокупности n. Средняя ошибка выборки обратно пропорциональна Ö n, т.е. при увеличении, например, численности выборки в четыре раза ее ошибки уменьшатся вдвое.

Пример, отбираем из генеральной  совокупности не 5 %, а, например, 20 % готовой продукции. Численность выборки n будет равна 400 шт. Тогда при условии, что s_w = 15,4 г, размер ошибки для выборочной средней при повторном отборе составит:  

           15,4²

m_х =   -------- = ± 0,17 г.

          400

Увеличивая численность  выборки, можно довести ее ошибку до сколь угодно малых размеров. Можно представить, что при доведении n до размеров N ошибка выборки m становится равной нулю. Но так как при проведении выборочных обследований в торговле определение характеристик выборки в ряде случаев сопровождается разрушением обследуемых образцов, то нормы отбора проб в выборку должны быть минимальными. Это сообразуется с основным преимуществом несплошного наблюдения: получением необходимой информации с минимальными затратами времени и труда. Поэтому вопрос об оптимальной численности выборки имеет важное практическое значение. Повышение процента выборки, как правило, ведет к увеличению объема исследовательской работы, вызывает дополнительные затраты труда и материальных средств. Но, с другой стороны, если в выборку взять недостаточное количество проб (образцов), то результаты исследования могут содержать большие погрешности. Все это необходимо учитывать при организации выборочного обследования.

Определение необходимой  численности выборки основывается на формуле предельной ошибки выборки. Так, применительно к формуле:

              s_х² 

D_х = t   ------

           Ö   n            

объем необходимой выборки  можно получить путем преобразований, решая это неравенство относительно n.

              s_х²         

D_х²= t² ------

              n            

Отсюда необходимая численность  выборки при расчете средней  величины количественного признака (назовем ее n_х) выразится так:

          t² s_х²         

n_х = ---------

            D_х²

Также выводят формулу  для расчета численности выборки при выборочном обследовании доли альтернативного признака (n_w):

              w (1 - w)                                    t²  w (1 - w)         

D_w² = t² ------------       отсюда     n_w = -----------------

                   n                                                D_w²                

Вывод формул для определения  численности выборки при бесповторном отборе аналогичен. Здесь также преобразования сводятся к определению значения n из формул.

Конечный результат  для бесповторного отбора будет таким:

а) для доли альтернативного  признака:

             N t² w (1 - w)

n_w = -------------------------

         N D_w² + t² w (1 - w)

б) для средней величины количественного признака:

              N t² s_х²         

n_х = -------------------          (Приложение №2).

         N D_х² + t² s_х²

4. Применение метода выборочного наблюдения на

предприятиях Чувашпотребсоюза

В данной работе применение метода выборочного наблюдения рассмотрено на примере контроля качества продукции на хлебозаводе ООО «Исмели»  в Октябрьском РайПО, Мариинско-Посадского района. Был применен комбинированный отбора единиц для дальнейшего их изучения.

На хлебозаводе была проведена проверка качества продукции  – для контрольного анализа отобраны образцы по акту №  4 от 15.07.2004 (Приложение №3). Была отобрана следующая готовая продукция и определены следующие цифровые данные:

Проверка проводилась  на основании ГОСТа 5667-65 «Хлеб и  хлебобулочные изделия» (Приложение № 4), который устанавливает следующие основные правила проверки:

1. Правила приемки

1.1. Продукцию принимают  партиями.

1.2. Показатели: форму,  поверхность, цвет и массу контролируют на 2—3 лотках от каждой вагонетки, контейнера или стеллажа; 10% изделий от каждой полки. Результаты контроля распространяют на вагонетку, контейнер, стеллаж, полку, от которых отбиралась продукция. При получении неудовлетворительных результатов производят сплошной контроль (разбраковывание).

1.3. Для контроля органолептических   показателей (кроме формы, поверхности и цвета) и физико-химических показателей составляют представительную выборку способом «россыпью» в соответствии с ГОСТ 18321—73.

1.4. Объем представительной  выборки определяют следующим  образом. В процессе выработки партии изделий на предприятии или партии, поступившей в торговую сеть, из вагонеток, контейнеров, стеллажей, полок, корзин, лотков или ящиков отбирают отдельные изделия в количестве 0,2% всей партии, но не менее-5 шт. — при массе отдельного изделия от 1 до 3 кг; 0,3% всей партии, но не менее 10 шт. — при массе отдельного изделия менее 1 кг.

Результаты анализа  представительной выборки распространяют на всю партию.

2.  Методы отбора образцов  и подготовка их к анализу.

3.  Методы определения  органолептических показателей.

4.  Методы определения массы.

По итогам проверки составлен «  АКТ по результатам мероприятий по контролю ООО «Исмели» от 24.11.2004 г.» (Приложение № 3) и сделан следующий вывод:

Продукция хлебозавода  ООО «Исмели» соответствует требованиям, предъявляемым ГОСТом и соответственно допущена к последующей реализации.

Заключение

Переход к рыночной экономике  в значительной мере способствует расширению сферы использования выборочного наблюдения. Проблемы применения конкретных видов выборочного наблюдения для решения тех или иных теоретических или прикладных задач решаются с учетом их специфики.

Выборочное  наблюдение широко используется для: 1) статистического оценивания и проверки гипотез; 2) решения производственных и управленческих задач; 3) отраслевых социально-экономических исследований; 4) разрешения задач в сфере предпринимательской деятельности.

Совершенствование теории и практики выборочного наблюдения, все более широкое применение различных сочетаний комбинированного, многоступенчатого отбора, современных компьютерных технологий информационной обработки в значительной мере расширяют области использования, скорость получения и качество результатов выборочного наблюдения.

Приложение №1

Условные обозначения:

N – объем генеральной совокупности (число входящих в нее единиц);

n – объем выборки (число обследованных единиц);

х – генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной совокупности);

х – выборочная средняя;

р – генеральная доля (доля единиц, обладающих данным значением признака, в общем числе единиц генеральной совокупности), например, доля числа бракованных единиц в общем количестве единиц в данной партии изделий;

w - выборочная доля;

s² – генеральная дисперсия (дисперсия признака в генеральной совокупности);

S² – выборочная дисперсия такого же признака;

s - среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности;

S – среднее квадратическое отклонение в выборке.

Приложение №2

Исходя из требований ГОСТа необходимо установить оптимальный  объем выборки из партии нарезных батонов (2000 шт.), чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка не превысила 3 % веса 500 г батона.

Заданную ГОСТом относительную  ошибку выборки выразим абсолютной величиной:

500 (+ 3)

D_х = -------------- = + 15 г.

100

Подставляя это значение в формулу 

N t² s_х²

                   n_х = -------------------          получаем:

N D_х² + t² s_х²

2000 × 3² × 15,4²

n_х = ---------------------------- » 10 шт.

2000 × 15² + 3² ×15,4²