Карл Фридрих Гаусс. 2

Российский  государственный профессионально  – педагогический университет

Инженерно –  педагогический институт 
 
 
 
 
 
 

РЕФЕРАТ

Карл Фридрих  Гаусс 
 

Выполнил  студент

Гр. МП – 203

Егорова Н. В. 

Проверил  преподаватель

Серова Т. А.  
 
 
 

Екатеринбург 2007 

     ПЛАН

Введение……………………………………………………..……………………………………………………………………………………..….3

Дебют Гаусса……………………………………………………………………………………………………………………..…………………..4

Золотая теорема……………………………………………………………………………………………………..…………………………..16

Открытия  Гаусса в других областях науки………………………………………………………….……………………………….21

Заключение………………………………………………………………………………………………………………………………………….29

Список используемой литературы......................………………………………………………………………………………..30

     Введение

     Карл  Фридрих Гаусс, которого современники называли королем математиков, родился  в Брауншвейге (Германия) в семье  водопроводчика, фонтанных дел мастера  и садовника. Еще ребенком Гаусс  обнаружил удивительные способности  к различным вычислениям в  уме. Как только мальчик научился говорить, он мучил всех окружающих вопросами.

— А это  что? А это?

     Взяв  в руки книгу, он увидел в ней какие-то значки и тут же обратился с  вопросом:

— Мама, а  это что?

— Это буквы.

— А зачем  они?

— Чтобы  читать.

— А ну, прочти, мама.

     Карл  был удивлен: из букв складывались стена, а из слов целые предложения. А  эти предложения могут рассказать о многом замечательном.

— Мама, научи  меня читать.

— Нет детка, тебе это еще рано. Вот немного  подрастешь, отдам тебя в школу, и  там ты выучишься этой премудрости.

     Но  маленькому Гауссу не хотелось ждать. Путем расспросов он выучил все буквы  и без особой помощи со стороны  взрослых научился читать.

     Отец  Гаусса, чтобы поправить свои экономические  дела, в летнее время снимал иногда подряды на производство каменных работ. Денежные расчеты с рабочими он имел обыкновение производить по субботам. В одну из таких суббот он подсчитал  стоимость произведенной работы и сумму выплаты. Он уже хотел  приступить к выдаче денег рабочим, как из детской постельки послышался голос:

— Папа счет твой неверен, у тебя получилось столько-то, а должно быть столько-то.

Отец и  все присутствующие были удивлены репликой трехлетнего ребенка.

— Нет правильно! Я считал довольно внимательно!- сказал отец. - Однако мне ничего не стоит  пересчитать вновь.

Проверив  все расчеты, отец не без смущения должен был объявить, что прав не он, а его крохотный сын.

О своем  искусстве считать в уме сам  Гаусс впоследствии в шутку говорил:

— Я научился считать раньше, чем говорить. 

     Дебют Гаусса

     Карл  Фридрих родился 30 апреля 1777 г. в  доме № 1550, что стоял на канале Венденгребне в Брауншвейге. По мнению биографов, он унаследовал от родных отца крепкое  здоровье, а от родных матери яркий  интеллект. Ближе других был к  будущему ученому дядя Фридерихс  – искусный ткач, в  котором, по словам племянника, «погиб прирожденный гений». Гаусс говорил о себе, что он «умел считать раньше, чем говорить». Самая ранняя математическая легенда  о нем утверждает, что в три  года он следил за расчетами отца с  каменщиками-поденщиками и неожиданно поправил отца, причем оказался прав.

     В 7 лет Карл Фридрих поступил в  Екатерининскую народную школу. Поскольку  считать там начинали с третьего класса, первые два года на маленького Гаусса внимания не обращали. В третий класс ученики обычно попадали в 10-летнем возрасте и учились там  до конфирмации (15 лет). Учителю Бюттнеру приходилось заниматься одновременно с детьми разного возраста и разной подготовки. Поэтому он давал обычно части учеников длинные задания  на вычисление, с тем, чтобы иметь  возможность беседовать с другими  учениками. Однажды группе учеников, среди которых был Гаусс, было предложено просуммировать натуральные  числа от 1 до 100. (Разные источники  называют разные числа!) По мере выполнения задания ученики должны были класть на стол учителя свои грифельные доски. Порядок досок учитывался при  выставлении оценок. 10-летний Гаусс  положил свою доску, едва Бюттнер  кончил диктовать задание, Гаусс  успел переоткрыть  формулу для  суммы арифметической прогрессии! Слава  о чуде-ребенке распространилась по маленькому Брауншвейгу.

     В школе, где учился Гаусс, помощником учителя, основной обязанностью которого было чинить перья младшим ученикам, работал некто Бартельс, интересовавшийся математикой и имевший несколько  математических книг. Гаусс и Бартельс начинают заниматься вместе; они знакомятся с биномом Ньютона, бесконечными рядами…

     Как тесен мир! Через некоторое время  Бартельс получит кафедру чистой математики в Казанском университете и будет учить математике Лобачевского.

     В 1788 г. Гаусс переходит в гимназию. Впрочем, в ней не учат математике. Здесь изучают классические языки. Гаусс с удовольствием занимается языками и делает такие успехи, что даже не знает, кем он хочет  стать – математиком или филологом.

     О Гауссе узнают при дворе. В 1791 г. его  представляют Карлу Вильгельму Фердинанду – герцогу Брауншвейгскому. Мальчик  бывает во дворце и развлекает придворных искусством счета. Благодаря покровительству  герцога Гаусс смог в октябре 1795 г. поступить в Геттингенский  университет. Первое время он слушает  лекции по филологии и почти не посещает лекций по математике. Но это  не означает, что он не занимается математикой.

     Приведем  слова Феликса Клейна, замечательного математика, глубокого исследователя  научного творчества Гаусса: «Естественный  интерес, какое-то, я сказал бы, детское  любопытство приводит впервые мальчика независимо от каких-либо внешних влияний  к математическим вопросам. Первое, что его привлекает, это чистое искусство счета. Он беспрестанно считает  с прямо-таки непреоборимым упорством  и неутомимым прилежанием. Благодаря  этим постоянным упражнениям в действиях  над числами , например, над десятичными  дробями с невероятным числом знаков, он не только достигает изумительной виртуозности в технике счета, которой  он отличался всю свою жизнь, но его  память овладевает таким колоссальным числовым материалом, он приобретает  такой богатый опыт и такую  широту кругозора в области чисел, каким навряд ли обладал кто-либо до или после него. Путем наблюдений над своими числами, стало быть, индуктивным, «экспериментальным» путем он уже  рано постигает общие соотношения  и законы. Этот метод, стоящий в  резком противоречии с современными навыками математического исследования был, однако, довольно распространен  в XVIII столетии и встречается, например, также у Эйлера… Все эти  ранние, придуманные только для собственного удовольствия забавы ума являются подходами  к значительной, лишь позже осознанной цели. В том-то именно и заключается  подсознательная мудрость гения, что  он уже при первых пробах сил, полуиграя, еще не сознавая всего значения своих  действий, попадает, так сказать, своей  киркой как раз в ту породу, которая  в глубине своей таит золотоносную жилу. Но вот наступает 1795 год, о котором  мы имеем более точные показания… С еще большей силой, чем до сих пор (все еще до геттингенского периода), его охватывает страстный  интерес к целым числам. Незнакомый с какой бы то ни было литературой, он должен был все создавать себе сам. И здесь он вновь проявляет  себя как незаурядный вычислитель, пролагающий путь в неизвестное. Гаусс составляет большие таблицы  простых чисел, квадратичных вычетов  и невычетов, выражает дроби 1/р от р=1 до р=1000 десятичными дробями, доводя эти вычисления до полного периода, что в иных случаях требовало  нескольких сотен десятичных знаков. При составлении последней таблицы  Гаусс задался целью изучить  зависимость периода от знаменателя  р. Кто из современных исследователей пошел бы этим странным путем, чтобы  получить новую теорему! Гаусса же привел к цели именно этот путь, по которому он шел с неимоверной  энергией. (Он сам утверждал, что отличается от других людей только своим прилежанием.) Осенью 1795 г. Гаусс переезжает в Геттинген  и прямо-таки проглатывает первые попавшуюся в его руки литературу: Эйлера и  Лагранжа».

     1 июня 1796 года в газете «Jenenser Intelligenzbllatt» появилась заметка следующего содержания:

     «Всякому  начинающему геометру известно, что  можно геометрически (т.е. циркулем и линейкой) строить разные правильные многоугольники, а именно: треугольник, пятиугольник, пятнадцатиугольник и  те, которые получаются из каждого  из них путем последовательного  удвоения числа его сторон. Это  было известно во времена Евклида, и, как кажется, с тех пор было распространено убеждение, что дальше область элементарной геометрии не распространяется: по крайней мере, я не знаю удачной попытки распространить ее в эту сторону.

     Тем более кажется мне заслуживающим  внимания открытие, что, кроме этих правильных многоугольников, может  быть геометрически построено множество  других, например семнадцатиугольник».

     Под заметкой стоит подпись: К. Ф. Гаусс  из Брауншвейга, студент-математик  в Геттингене.

     Это первое сообщение об открытии Гаусса. Прежде чем подробно рассказывать о нем, стоит вспомнить то, что «известно каждому начинающему геометру».

     О построениях циркулем и линейкой. Предполагается заданным отрезок единичной длины. Тогда при помощи циркуля и линейки можно стоить новые отрезки, длины которых получаются из длин имеющихся отрезков при помощи следующих операций: сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.

     Последовательно проводя  эти операции, при помощи циркуля и линейки можно построить  любой отрезок, длина которого выражается через единицу конечным числом операций сложения, вычитания, умножения, деления  и извлечения квадратного корня. Такие числа называются квадратичными  иррациональностями. Можно доказать, что никакие другие отрезки построить  при помощи циркуля и линейки  нельзя.

     Задача  о построении правильного n-угольника, как легко понять, эквивалента  задаче о делении окружности радиуса 1 на n равных частей. Хорды дуг, на которые  делится окружность, являются сторонами  правильного n-угольника, и длина  каждой из них равна 2 sin(π/n). Следовательно, при тех n, для которых sin(π/n) является квадратичной иррациональностью, можно  построить правильные n-угольники  циркулем и линейкой. Этому условию  удовлетворяют, например, значения n=3,4,5,6,10. Для n=3,4,6 это хорошо известно.

     Покажем, что sin(π/n) – квадратичная иррациональность. Рассмотрим равнобедренный треугольник  АВС, угол при вершине В которого равен π/5=36°, длина АВ равна 1; пусть AD – биссектриса угла А. Тогда  х = АС = AD = BD = 2 sin(π/10). Имеем 

     ;     

     Это число является квадратичной иррациональностью; тем самым мы можем построить  сторону правильного 10-угольника.

     Далее, из возможности деления окружности на р₁р₂ равных частей следует, конечно, возможность ее деления на р₁ равных частей (в частности, можно построить правильный пятиугольник). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Укажем два частных случая, когда оно все же справедливо.

1. Из возможности деления окружности на р равных частей следует возможность деления на 2^kр равных частей для любого k. Это следует из возможности деления любого угла пополам при помощи циркуля и линейки.
2. Если мы умеем делить окружность на р₁ равных частей и р₂ равных частей, где р₁ и р₂ взаимно просты (например, р₁ и р₂ – различные простые числа),  то окружность можно разделить на р₁р₂ равных частей. Это следует из того, что наибольшая общая мера углов 2 π/ р₁ и 2 π/ р₂ равна  2 π/ р₁р₂, а наибольшую общую меру двух соизмеримых углов можно найти циркулем и линейкой. В частности, , откуда следует возможность построения правильного 15-угольника.

     Несколько слов о комплексных  числах. Комплексному числу z=a+ib ставится в соответствие точка с координатами (a,b) и вектор с концом в этой точке и началом в (0,0). Длина вектора называется модулем данного числа IzI. Комплексоне число z можно записать в тригонометрической форме: z=a+ib= r(cos+sin); угол называется аргументом числа z.

     Сложению  комплексных чисел соответствует  сложение векторов; при умножении  модули чисел перемножаются, а аргументы  складываются. Отсюда следует, что существует ровно n корней уравнения zⁿ=1; обычно их обозначают через

        , k = 0,1,…,n-1.                    (1)

     Легко показать, что концы векторов являются вершинами правильного n-угольника. Если мы докажем, что - квадратичные иррациональности (т.е. что этим свойством обладают их вещественные и мнимые части), то тем самым мы покажем, что правильные n-угольник можно построить при помощи циркуля и линейки.

     Правильные n-угольники и корни  из единицы. Преобразуем уравнение zⁿ=1:

     zⁿ – 1 = (z – 1)(z^n-1 + z^n-2 + … + z + 1) = 0

     Получим два уравнения: z = 1 и z^n-1 + z^n-2 + … + z + 1 = 0                        (2)

     Уравнение (2) имеет своими корнями  при 1≤ k ≤ n – 1. В дальнейшем будем иметь дело с уравнением (2).

     При n=3 получаем уравнение z²+z+1=0. Его корни:

     . При n=5 дело обстоит  сложнее, так как  мы получаем уравнение  четвертой степени

     z⁴+z³+z²+z+1=0,                                      (3)

     имеющее четыре корня . Хотя и существует формула Феррари для решения общего уравнения 4-й степени, пользоваться ею практически невозможно. В нашем случае помогает специальный вид уравнения (3). Чтобы решить его, разделим сначала уравнение (3) на z². Получим

     z² + 1/z² + z + 1/z + 1 = 0 или (z + 1/z)² + (z + 1/z) – 1 = 0.

       Сделаем подстановку ω =  

                                                                ω² + ω – 1 = 0                                                 (4)                                        

     Отсюда

     ω_1,2 =

     Далее можно найти 

                 = ω₁ ,            = ω₂ ,                               (5)     

     Но  это нам не нужно; для построения достаточно знать, что удвоенная  вещественная часть  равна

     2cos (2π/5) = = + = ω₁ =

     Из  того, что ω₁ – квадратичная иррациональность, следует, что и представляют собой квадратичные иррациональности. Для рассуждаем в точности также.

     Итак, для n=5 решение нашей задачи удалось  свести к последовательному решению  двух квадратичных уравнений: сначала  решается уравнение (2), корнями которого являются суммы  + и +  симметричных корней уравнения (3), а затем из уравнений (5) находятся и сами уравнения (3).

     Именно  таким путем Гауссу удалось осуществить  построение правильного 17-угольника: здесь  тоже выделяются группы корней, суммы  которых находятся последовательно  из квадратных уравнений. Но как искать эти «хорошие» группы? Гаусс находит  удивительный путь ответить на этот вопрос…

     Построение  правильного 17-угольника. «30 марта 1796 года наступает для него (Гаусса) день творческого крещения… Гаусс уже занимался с некоторого времени группировкой корней из единицы на основании своей теории «первообразных» корней. И вот однажды утром, проснувшись, он внезапно ясно и отчетливо осознал, что из его теории вытекает построение семнадцатиугольника… Это событие явилось поворотным пунктом жизни Гаусса. Он принимает решение посвятить себя не филологии, а исключительно математике». (Ф. Клейн).

     Остановимся подробнее на пути, по которому двигался Гаусс. Одна из математических игр юного  Гаусса состояла в следующем. Он делил 1 на различные простые числа р, выписывая последовательно десятичные знаки, с нетерпением ожидая, когда  они начнут повторяться. Иногда приходилось  ждать долго. Для р = 97 повторение начиналось с 97-го знака, при р = 337 период равен 336. Но Гаусса не  смущали длинные  прямолинейные вычисления, он входил при их помощи в таинственный мир  чисел. Гаусс не поленился рассмотреть  все р<1000.

     Известно, что Гаусс не сразу попытался  доказать периодичность получающейся дробив общем случае (р≠2, 5). Но вероятно, доказательство не затруднило его. В  самом деле, достаточно лишь заметить, что следить надо не за знаками  частного, а за остатками! Знаки начинают повторяться после того, как на предыдущем шагу остаток равнялся 1. Значит надо найти такое k, что 10^k – 1 делится на р. Так как имеется лишь конечное число возможных остатков (они заключены между 1 и р-1),  для каких-то k₁ > k₂ числа 10^k1 , 10^k2 при делении на р дадут одинаковые остатки. Но тогда 10 ^{k1 – k2} – 1 делится на р.

     Несколько труднее показать, что в качестве k всегда можно взять р – 1, т.е. 10^р-1 – 1 при р ≠2,5 всегда  делится на р. Это частный случай теоремы, носящей название малой теоремы Ферма. Когда Ферма (1601 – 1655) открыл ее, он писал, что его «озарило ярким светом». Теперь ее переоткрыл Гаусс. ОН всегда будет ценить это утверждение: «Эта теорема… заслуживает величайшего внимания как вследствие ее изящества, так и ввиду ее выдающейся пользы».

     Гаусса  интересует наименьшее k, для которого 10^k – 1 делится на р. Такое k всегда является делителем р – 1. Иногда оно совпадает с р – 1 (например, для р=7, 17, 19, 23, 29). До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно число таких р.

     Гаусс заменяет 10 на любое число a и интересуется, когда а^k – 1 не делится на р при k<р – 1 (предполагается, что а не делится на р). Такие р принято называть первообразными корнями для а. Условие того, что р – первообразный корень, равносильно тому, что среди остатков от деления 1, а, а², … , а^р-2 на р встречаются все ненулевые остатки 1, 2, … , р – 1.

     Гаусс не знал тогда, что первообразными корнями  интересовался уже Эйлер (1707 – 1783) , который предполагал (но не смог доказать), что для каждого простого числа  существует хотя бы один первообразный  корень. Первое доказательство гипотезы Эйлера дал Лагранж (1752 – 1833); очень  изящное доказательство дал Гаусс. Но это было позднее, а пока Гаусс  манипулировал с конкретными  примерами. Он знал, например, что для  а = 17 число 3 является первообразным  корнем. В приводимой ниже таблице  в первой строке стоят значения k, а под ними остатки от деления 3^k на 17. Стоит обратить внимание на то, что во второй строке встречаются все остатки от 1 до 16, что и означает первообразность 3 для 17.

     Эти вычисления и легли в основу группировки  корней уравнения

     Z¹⁶ + z¹⁵ + z¹⁴ + … + z + 1 = 0                                    (6)

     (с  тем чтобы свести решение его  к цепочке квадратных уравнений). Идея Гаусса состоит в том,  что надо перейти к другой  нумерации корней. Присвоим корню  ε_k новый номер l (обозначается ε_[l]), если 3^l при делении на 17 дает остаток k. При переходе от одной нумерации к другой можно пользоваться таблицей, находя k во второй строке, а соответствующее l над ним в первой строке, но удобнее пользоваться рисунком, где по внешней стороне окружности написаны старые номера, а по внутренней – новые. Именно эта нумерация позволила Гауссу, разбивая корни (6) на группы, свести решение (6) к цепочке квадратных уравнений.

     Именно, на первом шагу  берутся σ_2,0 , σ_2,1 – соответственно сумы корней ε_[l] с четными и нечетными l (в каждой сумме по 8 корней). Эти суммы оказываются корнями квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами. Далее, берутся суммы σ_4,0 , σ_4,1 , σ_4,2 , σ_4,3 четверок корней ε_[l] , у которых l при делении на 4 дает фиксированный остаток. Показывается, что эти величины являются корнями квадратных уравнений, у которых коэффициенты арифметически выражаются через σ_2,0 , σ_2,1 . Наконец, образуются суммы σ_s,I пар корней ε_[l] , у которых l при делении на 8 дает остаток i. Для них выписываются квадратные уравнения с коэффициентами, просто выражающимися через σ_4,j . Имеем: σ_s,0 = 2 cos (2π/17) и из квадратичной иррациональности σ_s,0 следует возможность построения правильного семнадцатиугольника циркулем и линейкой. Поучительно записать разбиение корней на группы в старой нумерации. Но в таком виде угадать разбиение не возможно. Теперь реализуем только что описанный путь.

     Подробные вычисления. Теперь мы докажем квадратичную иррациональность корней 17-й степени из единицы. Отметим, что ε_kε_l = ε_k+l  (если k+l ≥17, то k+l заменяется остатком от его деления на 17), ε_k = (ε₁)^k. Прежде всего отметим, что ε₁ + ε₂ + … + ε₁₆ = ε_[0] + ε_[1] + … + ε_[15] = – 1 .

     (В  этом можно убедиться, например, рассматривая это выражение как  сумму геометрической прогрессии.)

     Обозначим через σ_m,r  сумму ε_[k] с теми k, которые дают остаток r при делении на m. Получаем

     Ясно, что 

     Можно показать, что 

     Теперь, воспользовавшись теоремой Виета, мы можем  составить квадратное уравнение, корнями  которого будут σ_2,0 , σ_2,1 :

     Чтобы различить корни, опять воспользуемся  рисунком. В каждую из сумм корни  входят вместе со своими сопряженными. Ясно, что σ_2,0 > σ_2,1 (в первом случае нужно сложить и удвоить вещественные части корней ε₁ , ε₂, ε₄ , ε_8, во втором – ε₃, ε₅ , ε₆ , ε₇). Итак,

     Рассмотрим  суммы четверок корней:

     Имеем: σ_4,0 + σ_4,2 = σ_2,0 ; σ_4,1 + σ_4,3 = σ_2,1 . Можно показать далее, что σ_4,0 × σ_4,2 = σ_2,0 × σ_2,1 = – 1 , а значит, σ_4,0 , σ_4,2 – корни уравнения x² – σ_2,0 x – 1 = 0. Решая это уравнение и учитывая, что σ_4,0 > σ_4,2, получаем после несложных преобразований

     Аналогично  показывается, что 

     Переходим к заключительному этапу. Положим

     Можно было бы рассмотреть еще шесть  такого рода выражений, но нам они  не потребуются, так как достаточно доказать квадратичную иррациональность σ_s,0 = 2 cos (2π/17), что уже позволяет построить правильный семнадцатиугольник. Имеем σ_8,0 + σ_8,4 = σ_4,0 ; σ_8,0 × σ_8,4 = σ_4,1 ; из рисунка видно, что σ_8,0 > σ_8,4 , а потому σ_8,0 – больший корень уравнения x² – σ_4,0 x + σ_4,1 = 0, т.е.

     Мы  несколько преобразовали непосредственно  получаемое выражение для ;

     Пользуясь полученной формулой для cos (2π/17), построение правильного 17-угольниука можно выполнить  при помощи элементарных правил построения выражений, являющихся квадратичными  иррациональностями. Разумеется, получится  весьма громоздкая процедура. В настоящее  время известны довольно компактные способы построения. В одном отношении  формула для cos (2π/17) не оставляет  сомнения. Прийти к ней в рамках традиционных геометрических идей времени  Евклида невозможно. Решение Гаусса принадлежало другой эпохе в математике. Отметим, что наиболее содержательное утверждение – принципиальная возможность  построение правильного 17-угольника. Сама процедура построения не столь существенна. Для доказательства возможности  построения было достаточно убедиться, что на каждом шаге возникали квадратные уравнения с коэффициентами – квадратичными иррациональностями, не выписывая точных выражений (это становится особенно существенным при переходе к большим показателям).

     В рассказанном решении уравнения (6) остался совершенно невыясненным вопрос о том, почему оказалось удачным  разбиение корней, использующее нумерацию  ε_[l], как можно догадаться положить ее в основу решения? Сейчас мы, по существу, еще раз повторим решение, обнажив ключевую идею – исследование симметрий в множестве корней.