Кибернетический подход к описанию систем

Кибернетический подход к описанию систем

1. Кибернетика  как наука

• Для выработки единых обобщающих терминов, единого языка представителей разных наук Н.Винер в 1934г. собрал в Принстоне на семинар ученых многих специальностей (нейрофизиологов, инженеров-связистов, конструкторов вычислительной техники и др.).
• Для названия новой науки об общих принципах управления в живых организмах и машинах был принят термин «кибернетика».
• Кибернетика – это искусство кормчего, или искусство управления кораблем.
• Кибернетика призвана изучать механизмы управления в системах различного класса
• В более узком смысле кибернетика представляет собой одно из направлений теории систем, занимающееся процессами управления техническими объектами
• Почему же столь практически важная наука считалась лженаукой?

Управление  связано с понятием информации. Любой  объект существует вследствие того, что  получает информацию.

«Информация есть не материя и не энергия, а  информация» 

[Винер Н.  Кибернетика или управление и  связь в животном и машине. Советское радио. М., 1968. С.201].

Согласно  классикам материализма, основными  формами движения материи являются Пространство и Время, а основными  законами- законы сохранения вещества, энергии, движения. Исходя из этих постулатов, определим: материальным (вещественным) является то, что:

• движется в Пространстве и во Времени;
• подчиняется законам сохранения вещества, энергии, движения.

Попробуем рассмотреть  информацию вне Пространства и Времени. Может ли быть такое?

Вывод: информация не подчиняется законам, которым  подчиняются вещественные объекты.

Кибернетика базируется на изучении как материальных, так и нематериальных объектов.

2. Структура  взаимодействия элементов системы  управления

• Кибернетический подход к описанию систем состоит в том, что все системы рассматриваются как системы управления.
• Под управлением понимается процесс организации воздействия на объект управления, в результате которого удовлетворяются потребности субъекта, взаимодействующего с этим объектом.

Иллюстрация кибернетического подхода к описанию систем

Субъект ощущает  на себе воздействие среды Х и  объекта У. Если состояние среды  Х он изменить не может, то состоянием объекта Y он может управлять с помощью специально организованного воздействия U.

Это и есть управление.

Построение  системы управления

На первом этапе определяется цель управления Z*, причем задача решается на интуитивном уровне:

Z*=φ₁(X, At),

где φ₁- алгоритм синтеза цели Z* по потребностям A и состоянию среды X.

На втором этапе определяется управление U_x*, реализация которого обеспечивает достижение цели Z*, сформированной на первой стадии, что и приводит к удовлетворению потребностей субъекта.

По цели Z* синтезируется управление

U_x*= φ₂(Z*,X),

где φ₂ — алгоритм управления.

Этот алгоритм и есть предмет изучения кибернетики  как науки.

3. Основные  понятия управления в технических  и организационных системах

В общем случае процесс управления состоит из следующих  четырех элементов:

• получение информации о задачах управления (Z*),
• получение информации о результатах управления (т. е. о поведении объекта управления У’);
• анализ полученной информации и выработка решения (J={X', У'}),
• исполнение решения (т. е. осуществление управляющих воздействий).
• Процесс управления – это информационный процесс, заключающийся в сборе информации о ходе процесса, передаче ее в пункты обработки, принятии решения, выработке соответствующего управляющего воздействия и передача его в устройство управления.
• На все компоненты системы оказывает влияние внешняя среда, а также различного рода помехи.

В СУ решаются четыре основные задачи управления:

• стабилизация,
• выполнение программы,
• слежение,
• оптимизация.
• Задачами стабилизации системы являются задачи поддержания ее выходных величин вблизи некоторых неизменных заданных значений, несмотря на действие помех. Например, стабилизация напряжения U и частоты f тока в сети вне зависимости от изменения потребления энергии.
• Задача выполнения программы возникает в случаях, когда заданные значения управляемых величин изменяются во времени заранее известным образом.
• В системах оптимального управления требуется наилучшим образом выполнить поставленную перед системой задачу при заданных реальных условиях и ограничениях.

Динамическое описание систем

1. Характер функционирования систем

Общие предположения  о характере функционирования системы:

1) система  функционирует во времени; в  каждый момент времени система  может находиться в одном из  возможных состояний;

2) на вход  системы могут поступать входные  сигналы;

3) система  способна выдавать выходные сигналы;

4) состояние  системы в данный момент времени  определяется предыдущими состояниями  и входными сигналами, поступившими  в данный момент времени и  ранее;

5) выходной  сигнал в данный момент времени  определяется состояниями системы  и входными сигналами, относящимися  к данному и предшествующим  моментам времени.

• Последействие :

Тенденции, определяющие поведение системы в будущем, зависят не только от того, в каком  состоянии находится система  в настоящий момент времени, но в  той или иной степени от ее поведения  в предыдущие моменты времени 

• Принцип физической реализуемости заключается в следующем: система не реагирует в данный момент времени на «будущие» факторы и воздействия внешней среды.

2. Динамическое  описание систем. Основные положения

Динамическая система — математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих с течением времени.

Функционирование  сложной системы можно представить  как совокупность двух функций времени:

• x(t) - внутреннее состояние системы;
• y(t) - выходной процесс системы.

Обе функции  зависят от u(t) - входного воздействия и от f(t) - возмущения.

• Процесс функционирования -изменение состояния системы под действием внутренних и внешних причин.
• Состояние системы в фиксированный момент времени -вектор наблюдаемых значений переменных (проявлений свойств).

Определим динамическую систему в виде отношения на множествах X, Y, T, Z.

Для каждого  t Î T

существует  множество z_i ÎZ_i, описывающего состояние системы в

n-мерном множестве Z=Z₁ ´ Z₂ ...  ´ Z_n .

Состояние системы  z(t) - точка или вектор пространства Z с обобщенными координатами z₁, z₂, z₃, z₄, ....., z_n.

Поведение системы - траектория в пространстве Z.

• Множество моментов времени T может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время).

Свойство детерминированности: зная состояние системы в начальный момент времени, мы можем однозначно предсказать все ее дальнейшее поведение.

• Фазовым пространством динамической системы называется множество всех ее возможных состояний в фиксированный момент времени.
• U=T ´ Z - фазовое пространство системы.

Пусть в начальный  момент наблюдения t0 система находилась в некотором состоянии, который  будем называть начальное состояние  Zt₀.

• Множество всех возможных начальных состояний есть декартовое произведение t₀ * Z.
• Множество всех возможных входных сигналов  в моменты времени t₁, t₂,… Т * Х.
• Множество всех возможных переходов системы в интервале наблюдения под воздействием входных сигналов :

(t₀ * Z) *  (T * X) * Z

• Математическая модель процесса переходов системы в фазовом пространстве, наблюдаемого во времени:

 

 Z_t = H {(t₀,…,t), Z , X},

где   H – операторов перехода системы в фазовом пространстве состояний.

• Выходная реакция системы в любой момент времени определяется состоянием системы в этот момент времени:

Y_t = G{Z_t}

Таким образом, динамическая система представляет собой множество

S = (H, G, X, Y, Z, T)

3. Детерминированная  система без последствий

• Детерминированная система без последствий – система, состояние которой z(t) зависит только от z(t0) и не зависит от z(0) ... z(t0), т.е. z(t) зависит от z(t0) и не зависит от того каким способом система попала в состояние z(t0).

Графическая интерпретация процессов в детерминированной  системе без последствий

Примером  детерминированной системы без  последствий является маятник 

4. Расширение  понятия динамической системы

Расширение  понятие системы идет по трем путям:

• учет специфики воздействий;
• учет последствий;
• учет случайных факторов.

Учет специфики воздействий

• Вводится понятие управляющих сигналов u Î U; u=M(t), или если сигнал u Î U описывается набором характеристик. U = U₁ ´ U₂ ´ U_L.
• Вводится расширенное множество X^*= X ´ U, таким образом состояние системы описывается вектором x = (x, u) = (x₁, x₂, .... , x_n, u₁, u₂, .... , u_L).

Детерминированные системы  с последствием

• Большой класс систем характеризуется тем, что для представления их состояния необходимо знать  состояние системы на некотором множестве моментов времени.

Стохастические системы

Системы функционирующие под воздействием случайных факторов, называются стохастическими.

Для их описания вводится случайный оператор:

• w Î W - пространство элементарных событий с вероятностной мерой P(A).
• Случайный оператор H₁, переводящий множество X в множество Z:

z = H₁(x, w), реализующий отображение множества W в множество {X®Z }

Описания  динамических систем для задания  закона эволюции разнообразны: с помощью 

• дифференциальных уравнений,
• дискретных отображений,
• теории графов,
• теории марковских цепей
• и т.д.

Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей  динамической системы.

5. Марковские  случайные процессы

• Случайный процесс – процесс в некоторой системе, заключающийся в смене состояний системы под воздействием случайных факторов.
• Случайный процесс называется Марковским (или процессом без последствий), если в любой момент времени t₀ вероятность любого состояния системы в будущем (t>t₀) зависит только от ее состояния в настоящем (t=t₀), и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние.
• Марковский процесс с дискретным состоянием
• Марковский процесс с непрерывным состоянием
• Марковский процесс с дискретным временем
• Марковский процесс с непрерывным временем

Граф состояний Марковского процесса представляет собой граф,

• вершинами которого являются состояния Марковского процесса,
• дуги соответствуют переходам системы из состояния S_i в состояние S_j. Каждая дуга имеет вес, который показывает вероятность λ_ij соответствующего перехода.
• Марковская цепь это случайная последовательность состояний вида

где S_i^(k) – i-е состояние на k-ом шаге.

Для анализа  вероятностей состояний системы  в различные моменты времени  для Марковского процесса с непрерывным  временем применяются уравнения  Колмогорова

• где p_i – вероятность того, что системы находится в состоянии S_i,
• λ_ji – интенсивность потока переходов из состояния S_j в состояние S_i,
• i = 1...n – индексы всех состояний системы.

Постановка задачи:

По некоторой  цели ведется стрельба в моменты  времени t₁, t₂, t₃, t₄. Цель может находиться в одном из следующих состояний:

• S₁ – цель невредима,
• S₂ – цель незначительно повреждена,
• S₃ – цель имеет существенные повреждения,
• S₄ – цель полностью поражена.

 

 

 

Используя формулу полной вероятности

 

рассчитаем  вероятности всех состояний последовательно  для 0, 1, 2, 3 и 4 моментов времени. При  этом примем

• p₁(0) = 1  (S₁ – начальное состояние системы)
• p₂(0) = 0
• p₃(0) = 0
• p₄(0) = 0

Марковские цепи с непрерывным  временем

Постановка задачи:

• Техническая система S состоит из двух узлов I и II, каждый из которых независимо от другого может отказывать. Поток отказов первого узла пуассоновский с интенсивностью λ₁, второго узла – также пуассоновский с интенсивностью λ₂. Каждый узел сразу же после отказа начинает ремонтироваться (восстанавливаться). Поток восстановления (окончания ремонта узла) для обоих узлов – пуассоновский с интенсивностью λ.

Необходимо  составить граф состояний системы, написать уравнения Колмогорова, и  определить начальные условия.

Решение:

Определим следующие  состояния системы:

• S₁ – оба узла нормально функционируют,
• S₂ – произошел отказ первого узла, второй узел нормально функционирует,
• S₃ – произошел отказ второго узла, первый узел нормально функционирует,
• S₄ – оба узла отказали.

 

 

 

 

 

По графу  состояний системы составим уравнения  Колмогорова

Из постановки задачи определим начальные условия:

при t = 0,   p₁=1,    p₂=0,  p₃=0,  p₄=0.

 

 

 

 

Предельные вероятности состояний

Из уравнений  Колмогорова можно вычислить  вероятности состояний системы  в любой момент времени p_i(t).

Так же можно определить предельные вероятности состояний

 

которые показывают, как долго в среднем система  находиться в каждом из состояний.

Если число  состояний системы конечно, и  из каждого состояния можно перейти  в любое другое (за один или несколько  шагов), то предельные вероятности всегда существуют и не зависят от начального состояния системы.

• Для вычисления предельных вероятностей p_i необходимо в системе уравнений Колмогорова положить левые части равными нулю и решить данную систему совместно с условием нормировки вероятностей

Постановка задачи:

Операционная  система может находиться в одном  из четырех состояний:

• S1 – система простаивает,
• S2 – система слабо загружена,
• S3 – система сильно загружена,
• S4 – система перегружена и не отвечает на запросы.

При этом потоки всех переходов являются пуассоновскими.

Необходимо  найти предельные вероятности всех состояний системы.

 

 

 

 

6. Системы  массового обслуживания

• Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система для выполнения заявок, поступающих в неё в случайные моменты времени.
• Заявка -спрос на удовлетворение какой-либо потребности.
• Обслуживание заявки - выполнение заявки.
• Событие - поступление заявки в СМО.
• Входящий поток заявок - последовательность событий, заключающихся в поступлении заявок в СМО.
• Выходящий поток заявок - последовательность событий, заключающихся в выполнении заявок в СМО.

Графическое представление  простейшей СМО

Предмет теории массового обслуживания — построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО с характеристиками — показателями эффективности СМО, описывающими, с той или другой точки зрения, ее способность справляться с потоком заявок.

Формализация системы - определение  параметров системы, необходимых и  достаточных для анализа характеристик  ее функционирования.

Для формализации любой СМО  необходимо описать:

• процесс поступления заявок в систему;
• процесс обслуживания заявок в системе;
• дисциплину обслуживания.

Процесс поступления заявок

• t₁, t₂, t₃, ... , t_k, ... — моменты поступления в систему 1-й, 2-й, 3-й, ..., k-й, ... заявки
• t_k = t_k – t_k-1 промежуток времени между моментами прихода (k–1)-й и k-й заявки – это интервал прихода k-й заявки 

 

При этом поток называется  детерминированным или регулярным

Если интервалы прихода t_k являются случайными величинами, то соответствующий поток заявок называется стохастическим или случайным.

Например, заявки в среднем  приходят в количестве 5 штук в час.

Времена между приходом двух соседних заявок случайны: 0.1; 0.3; 0.1; 0.4; 0.2

• Поток заявок, для которого функции распределения  интервалов прихода всех заявок одинаковы, называется рекуррентным.
• Другими словами, для рекуррентного потока интервалы прихода (t ) всех заявок распределены по одному и тому же закону.

 

• Интенсивность потока l(t) определяет среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени.
• Если интенсивность поступления l(t) не зависит от времени, т.е. l(t) º l, то такой поток называется стационарным.
• Величина а, обратная интенсивности l (а=1/l), определяет среднее значение интервалов прихода или средний интервал поступления заявок.
• Если в каждый момент времени t₁, t₂, t₃, ... поступает только одна заявка, то такой поток называется ординарным, в противном случае — групповым
• Поток заявок называется потоком без последействия, если заявки поступают независимо друг от друга

Математический анализ работы СМО упрощается, если процесс этой работы — марковский.

Для этого достаточно, чтобы  все потоки событий, переводящие  систему из состояния в состояние (потоки заявок, потоки «обслуживаний»), были простейшими.

Поток заявок называется простейшим, если он удовлетворяет следующим  условиям:

1)отсутствие последействия;

2)стационарность;

3)ординарность.

Для простейшего потока вероятность pi(t) поступления в СМО ровно i заявок за время t вычисляется по формуле

т.е. вероятности распределены по закону Пуассона с параметром λt.

По этой причине простейший поток называется также пуассоновским потоком.

Простейший поток является потоком рекуррентным стационарным ординарным и без последействия

и, наоборот:

любой рекуррентный стационарный, ординарный поток без последействия  является простейшим.

Процесс обслуживания

Каналом обслуживания называется устройство в СМО, обслуживающее заявку.

• СМО, содержащее один канал обслуживания, называется одноканальной, а содержащее более одного канала обслуживания – многоканальной.
• Если заявка, поступающая в СМО, может получить отказ в обслуживании и в случае отказа вынуждена покинуть СМО, то такая СМО называется СМО с отказами.
• Если в случае отказа в обслуживании заявки могут вставать в очередь, то такие СМО называются СМО с очередью (или с ожиданием). При этом различают СМО с ограниченной и неограниченной очередью.
• Различают СМО открытого и замкнутого типа.

В СМО открытого типа поток заявок не зависит от СМО (билетные кассы, очередь в булочной).

В СМО замкнутого типа обслуживается ограниченный круг клиентов, а число заявок может существенно зависеть от состояния СМО (например, бригада слесарей – наладчиков, обслуживающих станки на заводе).

Длительность обслуживания t_в - промежуток времени, в течение которого заявка находится в обслуживающем канале.

Для описания процессов обслуживания необходимо задать

функцию распределения  B_k(t) длительности обслуживания для каждой k-й заявки (k = 1, 2, 3, ...).

Будем считать, что все заявки создают  статистически однородную нагрузку, т.е. длительности обслуживания всех заявок распределены по одному и тому же закону:

 

• Интенсивность обслуживания m, характеризует среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени.
• Величина b, обратная интенсивности m (b=1/m), определяет среднее время обслуживания одной заявки.

Дисциплина обслуживания (ДО) - правило, по которому выбираются на обслуживание заявки из очереди.

Различают следующие ДО:

• обслуживание в порядке поступления или дисциплина FIFO;
• обслуживание в обратном порядке или дисциплина LIFO;
• обслуживание в случайном порядке, когда заявка на обслуживание выбирается случайно среди ожидающих заявок.

 

Таким образом, для описания СМО необходимо задать:

1) функцию распределения A(t) интервалов поступления (общий случай) или интенсивность поступления l (или средний интервал а=1/l) и КВ n_а интервалов поступления;

2) функцию распределения В(t) длительности обслуживания (общий случай) или интенсивность обслуживания m (или среднее время обслуживания b=1/m) и КВ n_вºn времени обслуживания;

3) дисциплина обслуживания (ДО FIFO).

Параметры, которые характеризуют  эффективность работы СМО

n – число каналов в СМО;

λ – интенсивность поступления в СМО заявок;

μ– интенсивность обслуживания заявок;

ρ = λ/μ – коэффициент загрузки СМО;

m – число мест в очереди;

р_отк- вероятность отказа в обслуживании поступившей в СМО заявки;

Q ≡ p_обс - вероятность обслуживания поступившей в СМО заявки (относительная пропускная способность СМО); при этом

Q = p_обс = 1 - р_отк;    

А – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО в единицу времени (абсолютная пропускная способность СМО)

А = λ*Q;

L_смо - среднее число заявок, находящихся в СМО;

¯n₃ - среднее число каналов в СМО, занятых обслуживанием заявок. В то же время это

L_обс - среднее число заявок, обслуживаемых СМО за единицу времени. Величина ¯n₃ определяется как математическое ожидание случайного числа занятых обслуживанием n каналов

где р_k- вероятность системы находиться в Sk состоянии;

K ¯n₃ / n = - коэффициент занятости каналов;

t_ож - среднее время ожидания (обслуживания) заявки в очереди,

v = 1/t_ож - интенсивность потока ухода заявок из очереди.

L_оч- среднее число заявок в очереди (если очередь есть); определяется как математическое ожидание случайной величины m – числа заявок, состоящих в очереди

где p_n+i - вероятность нахождения в очереди i заявок;

T_смо ≡ ¯t_смо - среднее время пребывания заявки в СМО;

T _оч. ≡ ¯t_оч. - среднее время пребывания заявки в очереди (если есть очередь);

Для открытых СМО справедливы соотношения

называемые формулами  Литтла и применимые только для стационарных потоков заявок и обслуживания.

Основные подходы к  построению математических моделей  систем

Математические схемы 

Исходной информацией  при построении математических моделей  процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования системы S и позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели М. Причем уровень абстрагирования зависит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы.

Математические  схемы. Введение понятия «математическая схема» позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели (аналитической или имитационной).

При пользовании математической схемой исследователя системы S в первую очередь должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования.

Например, представление  процесса функционирования информационно-вычислительной системы коллективного пользования  в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать  процессы, происходящие в системе, но при сложных законах распределения  входящих потоков и потоков обслуживания не дает возможности получения результатов  в явном виде.

Математическую  схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е. имеет место цепочка «описательная модель — математическая схема — математическая [аналитическая или (и) имитационная] модель».