Комплексные числа. 2

Научно-практическая конференция

«Первые шаги»

Секция: математика

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Комплексные числа

Выполнила:

Андреева Елизавета

ученица 9 класса А

МБОУ «Гимназия» г. Гай

Оренбургская область

Руководитель: Вахнина                                           

Галина Викторовна

учитель математики

высшей категории

МБОУ «Гимназия» г. Гай

Оренбургская область

г. Гай

2011 - 2012 учебный год

Содержание

Введение..........................................................................................................3                                                                  

Глава I.  Теоретические аспекты понятия «Комплексные числа»                                                                     

1.1. История комплексных чисел..................................................................5-6

1.2. Понятия и определения...........................................................................7

Глава II.  Применение комплексного числа на практике                                                 

2.1 . Равенство комплексных чисел..............................................................9

2.2. Сложение и умножение комплексных чисел.......................................10

2.3. Комплексно сопряженные числа...........................................................11

2.4. Модуль комплексного числа..................................................................12

2.5. Вычитание комплексных чисел.............................................................13

2.6. Деление комплексных чисел..................................................................14-15

2.7. Комплексная плоскость..........................................................................16-17

2.8. Геометрический смысл модуля комплексного числа..........................18

2.9. Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел...........19

Глава III.  Практическая часть

3.1. Анкетирование.........................................................................................21

Заключение......................................................................................................22 Список использованной литературы.............................................................23 Приложения.....................................................................................................24-30

Введение

                                                                                Мнимые числа – это прекрасное и чудесное

убежище божественного духа,

почти сочетание бытия с небытием.

(Г. Лейбниц)

Решение многих задач математики, физики и практики приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами.

Выясним предварительно, какой вид должны иметь комплексные числа. Будет считать, что на множестве комплексных чисел квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом имеют корни. Обозначим эти корни буквой i. Таким образом, i – такое комплексное число, что                     i2 = -1.

Цель: определение теоретического и практического обоснования понятия комплексного числа и способов решения задач.

Задачи:

1.      Изучить литературу по данной теме.

2.      Провести анализ собранного материала.

3.      Сделать выводы.

Методы исследования:

1.       Изучение и анализ учебной, публицистической, периодической литературы.

2.       Технические средства и Интернет по теме «комплексные числа»

3.       Систематизация и обобщение материала.

Глава I

Теоретические аспекты понятия «комплексные числа»

1.1. Историческая справка

В VIII в. ученые знали, что у положительного числа существуют два квадратных корня: один – положительное число, другой – отрицательное, но считали, что из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратный корень.

В XVI в. в связи с изучением кубических уравнений возникла необходимость извлечения квадратных корней из отрицательного числа. В 1545 г. итальянский математик Дж. Кардано (1501-1576) опубликовал работу «Великое искусство», в которой привел формулу корней кубического уравнения x3  + px + q = 0. Для этой формулы понадобились числа новой природы, которые он записал в общем виде: a + -b  (b > 0). В этой же работе Кардано предложил установить действия над такими числами по правилам обычной алгебры, в частности для b > 0 предложили считать -b   * -b    = -b. Числа вида  -b    (b > 0) автор назвал «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными» и считал их бесполезными. Однако уже в 1572 г. в книге другого итальянского математика Р. Бомбелли (1530-1572) были изложены правила арифметических действий над комплексными числами практически в том виде, в каком они известны и нам. В те времена комплексные числа называли мнимыми. Такое название ввел в обиход Р. Декарт, а обозначать мнимую единицу   буквой i (первой буквой франц. сл. imaginaire – мнимый) предложил в 1777 г. Л. Эйлер. В математической литературе символ i широко стал использоваться после публикации в 1831 г. работы немецкого математика К. Гаусса (1777-1855) «Теория биквадратных остатков». В этой работе Гаусс заменил название «мнимые числа» на комплексные (впервые этот термин был введен в 1803 г. французом Л. Карно) и  окончательно закрепил для науки геометрическую интерпретацию комплексного числа  a + bi как точки координатной плоскости с координатами (a; b). Позднее комплексные числа также стали изображать с помощью векторов на координатной плоскости с началом в начале координат и концом в точке М (а; b).

Понятия «модуль» и «аргумент» комплексного числа ввел французский математик Д’Аламбер (1717-1783), а сами термины были введены в обиход после широкого их использования в своих работах швейцарским математиком Ж. Арганом (1768-1822) и французским математиком О. Коши.

В начале XVIII в. была построена теория корней n-й степени из отрицательных и комплексных чисел, основанная на выведенной в 1707 г. английским математиком А. Муавром (1667-1754) формуле

(cos  + i sin )n = cos n + I sin n.

С помощью этой формулы Л. Эйлер в 1748 г. вывел формулу e ix = cos x + i sin x, которая связывает показательную функцию с тригонометрическими. С помощью этой формулы, получившей название формулы Эйлера, стало возможным возводить число e в любую комплексную степень, находить синусы, косинусы, логарифмы комплексных чисел. Таким образом была выстроена теория функций комплексной переменной. С помощью этой решены этой теории  были решены многие задачи аэро- и гидродинамики, радиотехники, теории упругости и др.

Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н.Е. Жуковский (1847–1921) при разработке теории крыла, автором которой он является.

1.2. Понятия и определения

Комплексные числа – выражения вида a + bi, где a и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что i2 = -1.

Название «комплексные» происходят от слова «составное» - по виду выражения  a + bi.

Число a называется действительной частью комплексного числа         a + bi, а число b – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.

Например, действительная часть комплексного числа 2 + 3i равна 2, мнимая часть равна -3. Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа.

Глава II

Применение комплексного числа на практике

2.1. Равенство комплексных чисел

Два комплексных числа a + bi и c + di называются равными тогда и только тогда, когда a = b и c =  d, т. е. когда равны их действительные и мнимые части.

Например,

2.2. Сложение и умножение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (а + с) +  (b + d)i, т. е.

(a + bi) + (c + di) =  (а + с) +  (b + d)i

(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i.

Произведением двух комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (ас - bd) +  (аd + bс)i, т. е.

(a + bi)(c + di) =  (ас - bd) +  (аd + bс)i

(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i.

Из этих формул следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами.

Поэтому нет необходимости запоминать формулы сложения и умножения комплексных чисел, их можно получить по обычным правилам алгебры, считая, что i2 = -1.

Принято считать, что а + 0 * i = а, т. е. комплексное число а + 0i – это действительное число а.

Число вида 0 + bi обозначают bi, т. е. 0 + bi = bi, его называют чисто мнимым числом.

Комплексное число 0 + 0i = 0 является единственным числом, которое одновременно и действительное, и чисто мнимое.

Комплексное число принято обозначать одной буквой, чаще всего z. Запись  z = a + bi означает, что комплексное число a + bi обозначено буквой z.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают такими же свойствами, как и операции для действительных чисел.

2.3. Комплексно сопряженные числа

Сопряженным с числом z = a + bi  называется комплексное число a – bi, которое обозначается z , т. е.

z = a + bi = a – bi                                                            

Например, 3 + 4i = 3 - 4i, i = -i.

Отметим, что a - bi = a + bi, поэтому для любого комплексного числа  z имеет место равенство

(z) = z

Равенство z = z справедливо тогда и только тогда, когда z – действительное число.

Пусть z = a + bi  . Тогда  z   =  a – bi, и равенство a + bi = a – bi по определению равенства комплексных чисел справедливо тогда и только тогда, когда  b = -b, т. е. b = 0, а это и означает, что z = a + bi = а + 0i =             = а – действительное число.

Из определения следует, что

z1 + z2 = z1 + z2

2.4. Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = a + bi называется число a2  + b2  ,т. е.

z = a + bi = a2  + b2 

Например. 3 + 4i = 32  + 42  = 5, i =  02  + 12   = 1

Из формулы следует, что z  0 для любого комплексного числа z, причем  z = 0 тогда и только тогда, когда z = 0, т. е. когда a = 0 и b = 0.

Для любого комплексного числа z справедливы формулы

z = z,  z z = z2 

2.5. Вычитание  комплексных чисел

Комплексное число (-1)z называется противоположным комплексному числу z и обозначается – z.

Если z = a + bi, то -z = -a – bi. Например, -(3 – 5i) = -3 + 5i.

Для любого комплексного числа z выполняется равенство

z + (-z) = 0.

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел z1 и z2 существует, и притом только одно, число z, такое, что

z + z2 = z1,

т.е. уравнение имеет только один корень.

              Прибавим к обеим частям равенства число (-z2), противоположное числу z2.

z + z2 + (-z2) = z1 + (-z2), откуда z = z1 + (-z2).

              Число z = z1 + (-z2) обычно обозначают z = z1 - z2 и называют разностью чисел  z1 и z2.

Если z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, то разностью z1 - z2 имеет следующий вид:

(a1 + b1i) – (a2 + b2i) = (a1 - a2) + (b1 - b2)i.

Эта формула показывает, что разность комплексных чисел можно находить по правилам действий с многочленами.

Например, (1 + 3i) – (-4 + 5i) = 1 + 3i + 4 - 5i = 5 - 2i.

2.6. Деление  комплексных чисел

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел z1 и z2  0 существует, и притом только одно, число z, такое, что zz2 = z1, т. е. это уравнение относительно z имеет только один корень, который называется частным чисел z1 = z2 и

обозначается z1 : z2, или z = , т. е. z = z1 : z2 =

              Комплексное число нельзя делить на нуль.

Уравнение  z2z = z1 для любых комплексных чисел z1 и z2  0 имеет только один корень.

Частное комплексных чисел z1 и z2  0 можно найти по формуле

Каждое комплексное число z, не равное нулю, имеет обратное ему число w, такое, что z * w = 1. Если z = a * bi и w = х * уi, то это равенство принимает вид

(a + bi) (х + уi) = 1 или (ах – bу) + (bх + ау)i = 1.

Из последнего равенства получаем систему

ах – bу = 1

bх + ау = 0,

решая которую находим х = а/а2 , у = -b/ а2 + b 2.

              Заметим, что а2 + b 2 0, то число, ему обратное, принимает вид

w = 1/ z = а/ а2 + b 2  – b/ а2 + b 2  * i.

Если z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, то формула получается умножением числителя и знаменателя дроби a1 + b1i/ a2 + b2i на число сопряженное со знаменателем.

Например,

              По определению умножения комплексных чисел

i3 = i2 * i = (– 1)i = – i;

i4 = i3 * i = – i * i = – i2 = – (– 1) = 1;

i5 = i4 * i = 1 * i = i;

Вообще i4n + k = (i4) n * i k = 1n * ik = ik, т. е.  i4n + k = ik.

Например, i23 = i4*5 + 3 = i3 = – i.

2.7. Комплексная плоскость

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число а + bi можно рассматривать как пару действительных чисел (а;b). Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число z = а + bi изображается точкой плоскости с координатами (а;b), и эта точка обозначается той же буквой z (см. приложение 1).

Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу а + bi соответствует одна точка плоскости с координатами (а;b) и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами (а;b) соответствует одно комплексное число а + bi. Поэтому слова  «комплексное число» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы. Так, вместо слов «точка, изображающая число 1 + i». Можно, например, сказать «треугольник с вершинами в точках i, 1 + i, -i».

При такой интерпретации действительные  числа а, т. е. комплексные числа а + 0i, изображаются точками с координатами (а;0), т. е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Чисто мнимые числа bi = 0 + bi изображаются точками с координатами (0; b), т. е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют мнимой осью. При этом точка с координатами (0; b) обозначается bi. Например, точка (0;1) обозначается i, точка (0;-1) – это –i, точка (0;2) – это точка 2i (см. приложение 2). Начало координат – это точка 0. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Отметим, что точки z и – z симметричны относительно точки 0 (начала координат), а точки z и z   симметричны относительно действительной оси.

Пусть z = а + bi. Тогда -z = -а – bi, z = а – bi. Точки z и – z имеют координаты соответственно (а;b) и (-а;-b), следовательно, они симметричны относительно начало координат.  Точка z имеет координаты (а;-b), следовательно, она симметрична точке z относительно действительной оси (см. приложение 3).

Комплексное число z = а + bi можно изображать вектором с начало в точке 0 и концом в точке z. Этот вектор будем обозначать той же буквой z, длина этого вектора равна z.

Число z1 + z2 изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов z1 и z2 , а вектор z1 - z2 можно построить как сумму векторов z1 и -z2 (см. приложение 4).

2.8. Геометрический смысл модуля комплексного числа

Выясним геометрический смысл z.

Пусть z = а + bi. Тогда по определению модуля z = a2  + b2  . Это означает, что z - расстояние от точки 0 до точки z.

Например, равенство z = 4 означает, что расстояние от точки 0 до точки z равно 4 (см. приложение 5). Поэтому множество всех точек z, удовлетворяющих равенству z = 4, является окружностью с центром в точке 0 радиуса 4. Уравнение z = R является уравнением окружности с центром в точке 0 радиуса R, где R – заданное положительное число.

2.9. Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел

Выясним геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, т. е. z1 - z2. Пусть z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i. Тогда z1 - z2=                                = (a1 – a2)2 + (b1 – b2) 2.

Из курса геометрии известно, что это число равно расстоянию между точками с координатами (а1;b1) и (а2;b2).

Итак, z1 - z2 - расстояние между точками z1 и z2.

Например, расстояние между точками 1 и -3 + 3i равно

1 – (-3 + 3i) = 4 - 3i =  42 + (-3) 2 = 5.

Покажем, что z – z0 = R – уравнение окружности с центром в точке z0 радиуса R, где z0 – заданное комплексное число, R – заданное положительное число.

Так как z – z0- расстояние между точками z и z0, то множество всех точек z , удовлетворяющих уравнению z – z0 = R, - это множество всех точек, расстояние от которых до точки z0 равно R.

Например, z + i = 2 – уравнение окружности с центром в точке –i радиуса 2, так как данное уравнение можно записать в виде z – (i) = 2.

Глава III

Практическая часть

3.1 Анкетирование

Было проведено анкетирование среди учащихся 9 класса А МБОУ «Гимназия» г. Гая Оренбургской области, в котором участвовало 24 человека.

Вопросы анкеты:

1. Есть ли корень у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом?

2. Интересно ли вам узнать о числах недействительных (мнимых)?

По первому вопросу ответили «нет» - 24 человека, что составляет 100% (см. приложение 6).

На второй вопрос «да» ответили 18 человек, то есть 75 %, «нет» ответили 6 человек – 25% (см. приложение 7).

Вывод: учащиеся не знают о комплексных числах, но многие о них хотят узнать.

Заключение

В ходе написания данной работы передо мной были поставлены цели, и задачи в соответствии с которыми я работала. Занимаясь изучением литературы по данной теме, я провела систематизацию и обобщение этого материала, отразив его в своей работе. Расширенный спектр полученных знаний позволил более глубоко изучить и усвоить данный материал.

Мне представилась возможность больше поработать с интересной, для меня, темой комплексных чисел и выйти за рамки школьной программы. Прочитав и изучив другую литературу, я узнала много нового  и, как считаю, важного для меня. И в заключении я хотела бы сказать, что в будущем собираюсь продолжить изучать и исследовать данную тему.

Список использованной литературы

1. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.// Алгебра и начала анализа 11 класс; 2002

2. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.// Алгебра и начала математического анализа 11 класс; 2009

3. http://das-it-super.ucoz.ru

4. http://www.bestreferat.ru

Приложения

Приложения  1

Приложения  2

Приложения  3

Приложения  4