Краткая биография Петера Густава Лежена Дирихле
Содержание
Аннотация ……………………………………………………………………….3
Введение …………………………………………………………………………4
- Краткая биография Петера Густава Лежена Дирихле ………………....5
- Формулировка и доказательство принципа Дирихле ……………..…...6
- Решения задач с помощью принципа Дирихле ……………………….11
Заключение ……………………………………………………………………..18
Список использованной литературы …………………………………………19
Аннотация
В работе мною был рассмотрен и изучен принцип Дирихле.
Проведен в работе анализ решения задач по принципу Дирихле.
Собраны и исследованы фактические материалы о самом Петере Густава Лежене Дирихле, о его принципе решения задач.
Приведена демонстрация решения задач с помощью принципа Дирихле.
Введение
Однажды изучая книги по математики, я увидел решение одной задачи с элементами доказательства. При этом решении ссылались на принцип Дирихле. Я заинтересовался этим доказательством, и ученым, который ввел его в математику, стал находить и решать задачи с применением этого способа доказательства.
Моя работа касается одного из интересных эвристических методов решения математических задач - принципа Дирихле. Принцип назван в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле (1805-1859г.г.), который успешно применял его к доказательству арифметических утверждений.
В этой исследовательской работе мне хотелось бы показать, как самым интересным и сложным было находить в казалось бы простых задачах "зайцев" и "клетки", т.к. это иногда было совсем не очевидно. Из-за неправильного выбора задачи не решались, а как только определялись "зайцы" и "клетки", принцип Дирихле сразу помогал их решать.
После того, как я изучил этот принцип доказательства, я сам стал придумывать несложные задачи, решаемые с помощью принципа Дирихле. Так создавалась работа, которую я представляю.
Актуальность работы несомненна, хотя бы потому, что знакомство с новыми методами решения задач расширяет их круг.
Целями работы являются следующие:
1. Изучить краткую биографию немецкого математика;
2. Формулировка и доказательство принципа Дирихле;
3. Выявление круга задач, решение которых основывается на принципе Дирихле;
4. Демонстрация решения задач с помощью принципа Дирихле.
В школьном туре олимпиады встретилась задача на применение принципа Дирихле, я не смогла справиться с этим заданием и решила изучить подробнее этот вопрос.
Это побудило меня заняться исследовательской работой. Предметом исследования данной работы являются логические задачи. Разнообразие логических задач велико, велико и количество способов их решения. В своей работе я рассмотрела задачи, решаемые с помощью принципа Дирихле.
Логическая
задача – это особый вид
задачи, который развивает логику,
образное и творческое
Цель: научиться применять принцип Дирихле к решению олимпиадных задач.
Задачи:
1. Ознакомиться с биографией Дирихле.
2. Рассмотреть различные формулировки принципа Дирихле.
3. Классифицировать задачи в соответствии с их содержанием и научиться применять изученный принцип к решению задач.
Гипотеза. Принцип Дирихле позволяет решать логические задачи олимпиадного характера, которые сложно решать другими способами.
Актуальность. Принцип Дирихле не рассматривается в учебниках математики. Решая олимпиадные задания, я заметила, что для решения многих из них часто используется принцип Дирихле, поэтому я решила изучить его подробнее, каждый ученик, желающий поступить в вуз, должен уметь решать такие задания. Именно поэтому я заинтересовалась теорией этого ученого, стала находить и решать задачи с применением этого способа доказательства. Так начиналась работа, которую я представляю.
Объект исследования - математические задачи.
Предмет исследования – олимпиадные задачи.
- Краткая биография Петера Густава Лежена Дирихле
Дирихле Петер Густав Лежен (13.2.1805 – 5.5. 1859) - немецкий математик. Родился в Дюрене. В 1822-1827гг. был домашним учителем в Париже. Входил в кружок молодых ученых, которые группировались вокруг Ж. Фурье. В 1827 занял место доцента в Бреславе; с 1829 работал в Берлине. В 1831-1855гг. – профессор Берлинского университета, после смерти К. Гаусса (1855г.) – Гёттингенского университета. Сделал ряд крупных открытий в теории чисел; установил формулы для числа классов бинарных квадратичных форм с заданным определителем и доказал теорему о бесконечности количества простых чисел в арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой взаимно просты. К решению этих задач применил аналитические функции, названные функциями (рядами) Дирихле. Создал общую теорию алгебр, единиц в алгебраическом числовом поле. В области математического анализа впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, дал строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье кусочно-непрерывной и монотонной функций, что послужило обоснованием для многих дальнейших исследований. Значительны труды Дирихле в механике и математической физике, в частности в теории потенциала. С именем Дирихле связаны задача, интеграл (ввел интеграл с ядром Дирихле), принцип, характер, ряды. Лекции Дирихле имели огромное влияние на выдающихся математиков более позднего времени, в том числе на Г. Римана, Ф. Эйзенштейна, Л. Кронекера, Ю. Дедекинда 1.
- Формулировка и доказательство принципа Дирихле
Принцип Дирихле - это утверждение, согласно которому в любой совокупности из n множеств, содержащих в общей сложности более n элементов, есть хотя бы одно множество, содержащее не менее 2-х элементов.
Основная идея решения задач, выводимая из принципа Дирихле, заключается в следующем:
- если при разбиении множества элементов на не пересекающие части удаётся установить факт взаимосвязи между количеством элементов данного множества (N) и числом его частей (n) в виде N>n, то тогда можно утверждать, что среди этих частей такая, которая содержит более одного элемента.
По традиции в популярной литературе принцип объясняется на примере «зайцев и клеток»: „Если десять зайцев сидят в девяти клетках, то в некоторой клетке сидят не менее двух зайцев".
Докажем принцип Дирихле.
Если n зайцев сидят в k клетках, причём n>k, то найдётся клетка, в которой сидят не меньше, чем n/k зайцев, и найдётся клетка, в которой сидят не больше, чем n/k зайцев».
Допустим, что в каждой клетке сидят меньше, чем n/k зайцев. Тогда во всех клетках вместе зайцев меньше, чем n•k/k=n. Противоречие с условием.
Аналогично, если допустить, что в каждой клетке сидят больше, чем n/k зайцев, то во всех клетках вместе зайцев будет больше, чем n•k/k=n. Это тоже противоречит условию утверждения. Следовательно, требуемое доказано.
Формулировка принципа Дирихле кажется очевидной, однако трудность состоит в том, что в задачах не указаны ни зайцы, ни клетки.
Зная принцип Дирихле, можно догадаться, в каких случаях его применять. Например, если каждому элементу множества А соответствует ровно один элемент множества В, то элементы множества А можно назвать зайцами, а элементы множества В – клетками 2.
Рассмотрим две простейшие задачи.
Задача № 1.
У мальчика 9 медных монет (Достоинством 1коп., 2коп., 3коп., 5коп.). Докажите, что у него есть хотя бы три монеты одинакового достоинства.
Решение.
Установим соответствие между двумя множествами (А и В), где А - множество монет, а В - множество достоинств монет.
При этом монеты будут зайцами, а достоинства монет - клетками.
1 коп 2 коп 3 кон 5 коп
2мон. 2мон. 2мои. 2мон.
Тогда при наихудшем раскладе окажется по две монеты разного достоинства и ясно, что девятая монета (заяц) попадает в одну из клеток. То есть она окажется третьей монетой одного и того же достоинства.
Задача № 2.
В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.
Решение.
В данной задаче ящики - это «зайцы», а сорта - «клетки».
25 ящиков - «зайцев» рассадили по 3 - «клеткам» - сортам. Так как 25=3-8+1, то получим, что в какой-то - «клетке» - сорте не менее 9 «зайцев» - ящиков.
Теперь рассмотрим решение более сложных задач.
Задача № 3.
Докажем, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющих одинаковое число знакомых в этой компании.
Решение.
У каждого члена компании может быть от 0 до 4 знакомых. Если у каждого компаньона 0 знакомых, то утверждение доказано. Заметим, что если у кого-то из компаньонов 4 знакомых, то ни у кого не может быть 0 знакомых. То есть 0 и 4 знакомых исключают друг друга.
Рассмотрим вариант, когда у каждого члена компании от 1 до 4 знакомых. Тогда количество знакомых - клетки, а компаньоны » зайцы.
1зн. 2зн. 3зн. 4зн.
1 1 1 1
Получаем, что «зайцев» - компаньонов на 1 больше чем «клеток» -количество знакомых. Поэтому как минимум у двоих компаньонов есть одинаковое число знакомых,
Задача № 4.
10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причём известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть, по крайней мере один школьник, решивший не менее пяти задач,
Решение.
Пусть школьники «клетки», а задачи «зайцы». Установим соответствие между этими двумя множествами.
№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10
1 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4
Согласно условию найдутся 7 школьников, решивших 29 задач.
35-(1+2+3)=29 (задач).
Но 29=7-4+1! Значит, «оставшийся» 1 «заяц», который попадёт в одну из семи клеток с номерами 4-10. Следовательно, по крайней мере один из школьников решил 5 задач.
Задача № 5.
В классе 41 ученик написал по три контрольных работы. В результате учитель не поставил ни одной неудовлетворительной отметки, и каждый ученик получил все остальные отметки. Узнав об этом, один ученик заметил, что, по крайней мере, 7 человек получили одинаковые отметки по всем трём контрольным работам, а другой, подумав, сказал, что таких учеников, наверное, будет 8. Кто из них прав?
Решение.
Разобьём класс на группы в соответствии со всевозможными наборами отметок. Пусть отметки - это «клетки», а ученики - «зайцы».
Тогда 3,4,5 3,5,4 4,3,5 4,5,3 5,3,4 5,4,3
6 6 6 6 6 6
Если в каждой группе не больше 6 человек, то всего в классе не больше 36 учащихся, что противоречит условию задачи.
Следовательно, по крайней мере, в одной из этих групп не меньше 7 человек.
Возможен, однако, и случай, когда в каждой группе не больше 7 человек. Например, в одной группе 6, а в остальных - по 7 человек, ведь 41=7-5+6.
Следовательно, утверждение второго ученика абсолютно верным назвать нельзя. Итак, прав только первый ученик.
Задача № 6.
Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.
Решение.
Пусть число матчей, сыгранных командами (0,1,2,3,..., n-2, n-1) «клетки», а команды - «зайцы» (их n).
Заметим, что случай 0 и n-1 матчей исключают друг друга, так как, если одна команда сыграла n-1 матчей, (то есть все!), то остальные команды сыграли минимум по одному матчу. Итак, имеем n-1 «клеток» (матчей) и n «зайцев» (команд). Очевидно, что две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей в любой момент турнира найдутся.
- Решения задач с помощью принципа Дирихле
Некоторые геометрические задачи решаются методами, в какой-то мере аналогичными принципу Дирихле. Сформулируем соответствующие утверждения:
1) Если на отрезке длиной
1 расположено несколько
2) Если на окружности радиуса 1 расположено несколько дуг, сумма длин которых больше 2р, то по крайней мере две из них имеют общую точку.
3) Если внутри фигуры площадью 1 расположено несколько фигур, сумма площадей которых больше 1,то по крайней мере две из них имеют общую точку.
Рассмотрим решение задач с геометрическим содержанием 3.
Задача № 7.
Докажите что, если прямая пересекает две стороны треугольника (и не проходит через его вершины), то она не пересекается с третьей стороной треугольника.
Решение.
Прямая разбивает плоскость треугольника на две открытые полуплоскости (не содержащие точек этой прямой). Две из трех вершин треугольника (пусть А, В лежат в одной из полуплоскостей). Очевидно, что отрезок АВ не содержит точек прямой.
Задача № 8.
В квадрат со стороной 1м бросили 51 точку. Докажите, что какие - то 3 из них можно накрыть квадратом со стороной 10см.
Решение.
Разобьем данный квадрат на 25 квадратиков со стороной 20см
(1м- 1м =20•см•20см•25).
Имеем 25 «клеток» (квадратов) и 51 «зайца» (точку). 51=25•2+1. Ясно, что на основании принципа Дирихле, в какой-то один из квадратиков попадут, по крайней мере, три точки.
Задача № 9.
В квадрате АВСО находятся 5 точек. Докажите, что расстояние между какими-то двумя из них не превосходит 1 /2 АС.
Решение.
Проведя через центр квадрата прямые (а и Ь), параллельные его сторонам, разрежем его на 4 одинаковых квадрата.
Ясно, что какие-то 2 из 5 точек лежат в одном из этих квадратов и расстояние между ними не превосходит длины диагонали этого квадрата, то есть 1 /2 АС.
Рассмотрим крайние случаи расположения пяти находящихся в квадрате точек.
I случай.
Четыре точки совпадают с вершинами квадрата АВСВ, а пятая (X) находится в центре квадрата. Здесь решение очевидно: расстояние между точками А и X, С и X, В и X, D и X равно 1/2АС (то есть не превосходит 1/2АС).
II случай.
Пятая точка (Y) находится на одной из сторон маленького квадрата.
∆АYХ - тупоугольный ( Y- тупой, т.к. являясь внешним углом треугольника АТY, он больше прямого угла Т треугольника АТY), следовательно, АY<АХ. То еcть АY≤ 1/2АС.
III случай.
Пятая точка (Z) находится внутри одного из маленьких квадратов.
Проведём через точку Z два луча ZМ и ZN:
ZМ || КХ, ZN || CK. Тогда NZМ=90°, но угол NZM - часть угла ХZС, значит он тупой. Поэтому в ∆ ХZС ХС- наибольшая сторона. Значит, СZ<ХС, то есть СZ≤1/2 АС.
IV случай.
Пятая точка (Т) совпадает с точкой пересечения прямой а и стороны АВ. ∆ АТХ - прямоугольный, АХ - гипотенуза, поэтому, АТ<АХ, то есть АТ ≤ 1/2АС.
Рассмотрим теорему.
Пусть n € N. Из любых n+1 натуральных чисел можно выбирать два, разность, которых делится на n.
Доказательство
При делении на n получается один из остатков: 0. 1, 2, ... , n-1, (то есть n остаток). Нам же дано n+1 чисел, и по принципу Дирихле остатки от деления на n у каких-то двух из тех совпадают. Разность этих двух чисел делится на n.
(Пусть а : n=х(α), b : n=у (α), тогда а=n•х+ α , b=n•у+α.
Далее а - b=n•х+α-n•у - α , а-b=n•(х-у).
Так как n :n, то n•(х-у) : n по свойству делимости произведения.)
Задача № 10.
Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность, которых делится на 11.
Решение
Пусть остатки от деления данных чисел на 11 - "клетки", а данные числа - "зайцы" (а,b,с,d,e,f,g,h,k,l,m,n)
"Клетки" - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
"Зайцы" - a b c d e f g h k l m
Тогда 12-е число n при делении на 11 будет давать один из остатков от 0 до 10, а значит его разность с числом, дающим такой же остаток от деления на 11, будет кратна 11.
Задача №11.
Какое наименьшее количество любых натуральных чисел следует взять, чтобы среди них всегда нашлась такая пара чисел, разность которых делилась бы на 5?
Решение
Разобьем множество натуральных чисел на 5 классов.
I класс - числа, которые при делении на 5 дают остаток, равный 0.
II класс - числа, которые при делении на 5 дают остаток, равный 1.
III класс - числа, которые при делении на 5 дают остаток, равный 2.
IV класс - числа, которые при делении на 5 дают остаток, равный 3.
V класс - числа, которые при делении на 5 дают остаток, равный 4.
Очевидно, что разность двух чисел, принадлежащих одному и тому же классу, делится на 5, в противном случае - нет.
Если же взять шесть чисел, то среди них обязательно найдутся два числа, принадлежащие одному и тому же классу, и, следовательно, разность этих чисел будет делиться на 5 4.
Задача № 12.
Дано 8 различных натуральных чисел, каждое из которых не больше 15. Докажите, что среди их положительных попарных разностей есть три одинаковых.
Решение
Пусть а, b, с, d, e, f, g, h - данные различные натуральные числа. Условимся, что а<b<с<d<е<f<g<h, причем h ≤ 15.
Различных разностей может
быть 14(15-14,15-13,....,15-2,15-1)
Пусть разности будут 14 "клетками". Выясним, сколько пар чисел образуют эти 14 разностей.
b-a c-b …. g-f h-g
c-a d-b …. h-f 1
d-a e-b …. 2
e-a f-b ….
f-a g-b
g-a h-b
h-a 6
7
Итак, разности образованы 28 парами данных чисел. Тогда 28 пар этих чисел будут «зайцами». Причем в «клетке» с номером 14 может сидеть не более одного «зайца». Следовательно, оставшиеся 27 «зайцев» сидят в 13 оставшихся «клетках» 27=13-2+1.
Значит, найдется «клетка», в которой будет сидеть 3 «зайца», то есть среди положительных попарных разностей есть три одинаковых.
Задача № 13.
В строку вписано 5 натуральных чисел: а1,a2, a3 , a4, a5. Докажите, что либо одно из них делится на 5, либо сумма нескольких рядом стоящих чисел делится на 5.
Решение.
Рассмотрим пять чисел х, у, z, t, р таких, что
x= a1
y= a1+a2
z= a1+a2+a3
t= a1+a2+a3+a4
p= a1+a2+a3+a4+a5
Если одно из них делится на 5, то все в порядке, утверждение справедливо. В противном случае при делении на 5 они дают в остатке какие-то из четырех чисел: 1,2,3,4.
На основании доказанной теоремы разность каких-то двух из них делится на 5. Но эти разности есть либо одно из данных чисел, либо сумма нескольких из них, стоящих рядом.
у - х = (a1 + а2) – а1 = а2;
z - х = (a1 + а2 + a3) - a1 = а2 + а3;
z - у = (a1 + a2 + а3) - (a2 + a1) = а3;
t - х = (a1 + а2 + a3+ a4) - a1 = a2 + а3 + a4;
t - у = (а1 + a2 +a3 + а4) - (a2 + а1) = a3 + а4;
t - z = (а1 + a2 + a3 + a4) - (a2 +a1 + а3) = а4;
р - х = (а1 + а2 + a3 + а4 + а5) - a1 = а2 + а3 + a4 + а5;
р - у = a1 + а2 + a3 + а4 + a5 - (а1 + а2) = а3 + а4 + а5;
р – z = a1 + a2 +a3 + a4 + a5 - (а1 + а2 + а3) = a4 + a5 ;
p – t = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 – (a1 + a2 + a3 + a4) = a5.
Итак, требуемое доказано.
Заключение
Итак, результатом исследовательской работы стала формулировка и доказательство принципа Дирихле, определение условий, позволяющих применять этот принцип и решение разнообразных задач, соответствующих этим условиям.
Таким образом, принцип Дирихле является мощным логическим методом, с помощью которого решаются не только арифметические задачи, но и задачи с геометрическим содержанием.
В дальнейшем я планирую исследовать более сложные задачи, построенные на геометрическом материале. Например, такие:
1. Внутри квадрата со стороной 7 дм находится 51 точка. Докажите, что
3 из них можно накрыть кругом единичного радиуса.
2. Шахматная доска разрезана на 13 прямоугольников с целым числом клеток. Могут ли они все быть различными?
3. Несколько дуг окружности
(с общей длиной менее
4. Сторона клетки шахматной доски равна 1. На доске лежат 70 точек, и никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Докажите, что найдется треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого не превышает 1.
5. В сфере, радиус которой равен 1, летают 9 мух. Найдутся ли 2 из них, расстояние между которыми не превосходит квадратный корень из 3?
В ходе работы над исследованием задач я познакомилась с литературой по этой теме, рассмотрела исторический материал, изучила принцип Дирихле,
подготовила презентацию, учусь применять его при решении задач, планирую выступить перед учащимися 5 классов.
Я поняла, применяя данный метод, надо:
1.Определить, что удобно в задаче принять за «клетки», а что за «зайцев».
2. Получить «клетки»; чаще всего «клеток» меньше (больше), чем «зайцев» на одну (или более).
3.Выбрать для
решения требуемую
Принцип
Дирихле важен, интересен, полезен.
Его можно применять в
Многие олимпиадные задачи решаются, используя это специальный метод. Он дает возможность обобщать.
Список использованной литературы
1. Гусев, В. А., Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: Пособие для учителя: Пер. со 2-го рус. изд. / В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь; Под ред. С. И. Шварцбурда. - Душанбе: Маориф, 1989. – 309 с.
2. Канель - Белов, А. Я., Как решают нестандартные задачи [Текст] / А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи; под ред. В. О. Бугаенко. - Изд. 6-е, стер. - М.: Изд-во МЦНМО, 2010. - 94 с.
3. Миракова, Т.Н., Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах: Пособие для учителя / Т. Н. Миракова; Всесоюз. ассоц. учителей математики, [Науч. - метод. журн. "Квантор"]. - Львов: Журн. "Квантор", 1991. - 94 с.
4. Рассказы о математике и математиках / [Сост. С. М. Львовский]. - М.: МЦНМО, 2000. - 123 с.
5. Энциклопедический словарь юного математика: для среднего и старшего школьного возраста / [сост. А. П. Савин]. - Изд. 2-е, испр. и доп. - М.: Педагогика, 1989. - 352 с.
1 Рассказы о математике и математиках / [Сост. С. М. Львовский]. - М.: МЦНМО, 2000. С. 50.
2 Миракова, Т.Н., Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах: Пособие для учителя / Т. Н. Миракова; Всесоюз. ассоц. учителей математики. - Львов: Журн. "Квантор", 1991. – С. 89.
3 Миракова, Т.Н., Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах: Пособие для учителя / Т. Н. Миракова; Всесоюз. ассоц. учителей математики. - Львов: Журн. "Квантор", 1991. – С. 91.
4 Миракова, Т.Н., Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах: Пособие для учителя / Т. Н. Миракова; Всесоюз. ассоц. учителей математики. - Львов: Журн. "Квантор", 1991. – С. 93.
- Краткая биография Пифагора
- Краткая биография Платона
- Краткая биография С.Г. Зыбелина
- Краткая биография Сократа
- Краткая биография Сократа
- Краткая биография. Сперанский
- Краткая биография У. Кинга и Ш. Жида
- Краткая биография Некрасова
- Краткая биография Н.И. Ильминского
- Краткая биография Н.И. Костомарова
- Краткая биография Н.С. Хрущева
- Краткая биография Н.С. Хрущева
- Краткая биография о П.А. Столыпине и восход его на политическую арену
- Краткая биография П. А. Столыпина
