Критерии принятия решений

    Министерство  общего и профессионального образования  Российской Федерации 
 
 
 
 

    РЕФЕРАТ ПО ПРЕДМЕТУ 

    ТЕОРИЯ  ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 

    Критерии  принятия решений 
 

    Выполнила: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Санкт-Петербург 

    2011

Содержание

Введение..................................................................................................3

1. Критерии принятия решений..............................................................6

1.1. Минимаксный критерий...................................................................6

1.2. Критерий Сэвиджа ..........................................................................7

1.3. Критерий Байеса-Лапласа...............................................................8

1.4. Расширенный минимаксный критерий..........................................8

1.5. Критерий произведений...................................................................9

1.6. Критерий Гермейера.......................................................................9

1.7. Критерий Гурвица...........................................................................10

1.8. Составной критерий Байеса-Лапласа минимаксный...................10

Список используемой литературы.......................................................13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Введение

     Основные  понятия системного анализа

     Системный  анализ - наука, занимающаяся проблемой  принятия решения в условиях  анализа большого количества  информации различной природы.

     Из  определения следует, что целью  применения системного анализа  к конкретной проблеме является  повышение степени обоснованности принимаемого решения, расширение множества вариантов, среди которых производится выбор, с одновременным указанием способов отбрасывания заведомо уступающим другим.

     В  системном анализе выделяют

• методологию;
• аппаратную реализацию;
• практические приложения.

     Методология включает определения используемых понятий и принципы системного подхода.

     Дадим  основные определения системного  анализа.

     Связь - важный для целей рассмотрения обмен между элементами веществом, энергией, информацией.

     Элемент - некоторый объект (материальный, энергетический, информационный), который обладает рядом важных для нас свойств, но внутреннее строение (содержание) которого безотносительно к цели рассмотрения.

          Система - совокупность элементов, которая обладает следующими признаками:

• связями, которые позволяют посредством переходов по ним от элемента к элементу соединить два любых элемента совокупности;
• свойством, отличным от свойств отдельных элементов совокупности.

     Практически  любой объект с определенной  точки зрения может быть рассмотрен как система. Вопрос состоит в том, насколько целесообразна такая точка зрения.

     Большая  система - система, которая включает значительное число однотипных элементов и однотипных связей. В качестве примера можно привести трубопровод. Элементами последнего будут участки между швами или опорами. Для расчетов на прочность по методу конечных элементов элементами системы считаются небольшие участки трубы, а связь имеет силовой (энергетический) характер - каждый элемент действует на соседние.

     Сложная  система - система, которая состоит из элементов разных типов и обладает разнородными связями между ними.

     Автоматизированная  система - сложная система с определяющей ролью элементов двух типов:

• в виде технических средств;
• в виде действия человека.

     Для  сложной системы автоматизированный  режим считается более предпочтительным, чем автоматический. Например, посадка  самолета выполняется при участии  человека, а автопилот или бортовой  компьютер используется лишь  на относительно простых операциях. Типична также ситуация, когда решение, выработанное техническими средствами, утверждается к исполнению человеком.

     Структура  системы - расчленение системы на группы элементов с указанием связей между ними, неизменное на все время рассмотрения и дающее представление о системе в целом. Указанное расчленение может иметь материальную, функциональную, алгоритмическую или другую основу. Пример материальной структуры - структурная схема сборного моста, которая состоит из отдельных, собираемых на месте секций и указывает только эти секции и порядок их соединения. Пример функциональной структуры - деление двигателя внутреннего сгорания на системы питания, смазки, охлаждения, передачи крутящего момента. Пример алгоритмической структуры - алгоритм программного средства, указывающего последовательность действий или инструкция, которая определяет действия при отыскании неисправности технического устройства.

     Структура  системы может быть охарактеризована  по имеющимся в ней типам  связей. Простейшими из них являются  последовательное, параллельное соединение и обратная связь (рис.1.1).

     Декомпозиция - деление системы на части, удобное для каких-либо операций с этой системой. Примерами будут: разделение объекта на отдельно проектируемые части, зоны обслуживания; рассмотрение физического явления или математическое описание отдельно для данной части системы.

     Иерархия - структура с наличием подчиненности, т.е. неравноправных связей между элементами, когда воздействие в одном из направлений оказывают гораздо большее влияние на элемент, чем в другом. Виды иерархических структур разнообразны, но важных для практики иерархических структур всего две - древовидная и ромбовидная (рис.1.2).

     Древовидная  структура наиболее проста для  анализа и реализации. Кроме того, в ней всегда удобно выделять иерархические уровни - группы элементов, находящиеся на одинаковом удалении от верхнего элемента. Пример древовидной структуры - задача проектирования технического объекта от его основных характеристик (верхний уровень) через проектирование основных частей, функциональных систем, групп агрегатов, механизмов до уровня отдельных деталей.

     Принципы  системного подхода - это положения общего характера, являющиеся обобщением опыта работы человека со сложными системами. Их часто считают ядром методологии. Известно около двух десятков таких принципов, ряд из которых целесообразно рассмотреть:

• принцип конечной цели: абсолютный приоритет конечной цели;
• принцип единства: совместное рассмотрение системы как целого и как совокупности элементов;
• принцип связности: рассмотрение любой части совместно с ее связями с окружением;
• принцип модульного построения: полезно выделение модулей в системе и рассмотрение ее как совокупности модулей;
• принцип иерархии: полезно введение иерархии элементов и(или) их ранжирование;
• принцип функциональности: совместное рассмотрение структуры и функции с приоритетом функции над структурой;
• принцип развития: учет изменяемости системы, ее способности к развитию, расширению, замене частей, накапливанию информации;
• принцип децентрализации: сочетание в принимаемых решениях и управлении централизации и децентрализации;
• принцип неопределенности: учет неопределенностей и случайностей в системе.
• Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:
• вероятность появления состояния V_j известна и не зависит от времени;
• принятое решение теоретически допускает бесконечно большое
• количество реализаций;
• допускается некоторый риск при малых числах реализаций.

     В  соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации:

     Здесь  величину W можно трактовать как  максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии V_j вместо варианта U_i выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант.

     Соответствующее  критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждый элемент матрицы решений [W_ij] вычитается из наибольшего результата max W_ij соответствующего столбца. Разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей W_ir. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение.

     Согласно  критерию Гурвица выбирается такая стратегия, которая занимает некоторое промежуточное положение между крайним пессимизмом и оптимизмом:

     где

     r - коэффициент пессимизма, выбираемый  в интервале [0,1].

     Правило  выбора согласно этому критерию  следующее: матрица решений [W_ij] дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки (2.6). Выбирается тот вариант, в строках которого стоят наибольшие элементы W_ir этого столбца.

     При r =1 критерий Гурвица превращается  в критерий Вальда (пессимиста), а  при r =0 - в критерий азартного  игрока. Отсюда ясно, какое значение имеет весовой множитель r . В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель r =0.5 принимается в качестве средней точки зрения.

     Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

• о вероятности появления состояния V_j ничего не известно;
• с появлением состояния V_j необходимо считаться;
• реализуется лишь малое количество решений;

     1.Критерии  принятия решений

Критерий  принятия решений - это функция, выражающая предпочтения лица, принимающего решения (ЛПР), и определяющая правило, по которому выбирается приемлемый или оптимальный  вариант решения.

     Всякое  решений в условиях неполной информации принимается в с учетом количественных характеристик ситуаций, в которой принимаются решения. Наиболее часто принимаются следующие критерии принятия Севиджа,  критерий Гурвица, критерий Ходжа-Лимона, критерий Гермейера, соответствии с решений: минимаксный критерий, критерий Байеса-Лапласа, критерий какой-либо оценочной информацией, выбор которой должен осуществляться критерий произведений, составной критерий Байеса-Лапласа минимаксный.

     Эти критерии можно использовать поочередно, причем после вычисления их значений среди нескольких вариантов приходится произвольным образом выделять некоторое окончательное решение. Что позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабить влияние субъективного фактора.

     Классические  критерии принятия решений.

     1.1. Минимаксный критерий (ММ) использует оценочную функцию Z_ММ, соответствующую позицию крайней осторожности. 

     Z_ММ=max eir и eir=min eij.

где z_mm — оценочная функция ММ-критерия.

  Поскольку в области технических задач построение множества Е вариантов уже само по себе требует весьма значительных усилий, причем иногда возникает необходимость в их рассмотрении с различных точек зрения. Оно должно напоминать о том, что совокупность вариантов необходимо исследовать возможно более полным образом, чтобы была обеспечена оптимальность выбираемого варианта.

            Правило выбора решения в соответствии  с этим критерием можно интерпретировать  следующим образом:

            Матрица решений дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов e_ir каждой строки. Выбрать надлежит те варианты E_io, в строках которых стоят наибольшие значения eir этого столбца.

          Выбранные таким образом варианты  полностью исключают риск. Это  означает, что принимающий решение  не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия Fj ни встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже Z_мм. Это свойство заставляет считать минимаксный критерий одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего, как сознательно, так и неосознанно. Однако положение об отсутствии риска стоит различных потерь.  

     1.2. Критерий Сэвиджа.

С помощью обозначения 

     аij=max eij – eij – это                       eir=maxaij = max(max eij-eij),

     формируется оценочная функция  

     Zs=min eir = min [max (maxe_ij – e_ij)]

     Соответствующее правило выбора теперь интерпретируется так:

     Каждый  элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата соответствующего столбца. Эти разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей e_ir. Выбираются те решения Е_io, в строках которых стоит наименьшее значение  для этого столбца

и строится множество оптимальных вариантов  решения 

Для понимания  этого критерия определяемую соотношением  величину aij = max e_ij - e_ij можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии F_j вместо варианта E_i выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Мы можем, однако, интерпретировать a_ij и как потери (штрафы), возникающие в состоянии F_i при замене оптимального для него варианта на вариант E_i. Тогда определяемая соотношением величина e_ir представляет собой — при интерпретации а_ij в качестве потерь—максимальные возможные (по всем внешним состояниям F_j, j==1, ..., n) потери в случае выбора варианта E_i. Эти максимально возможные потери минимизируются за счет выбора подходящего варианта E_i.

       Соответствующее S-критерию правило  выбора теперь интерпретируется так:

 каждый  элемент матрицы решений ||e_ij|| вычитается из наибольшего результата max e_ij соответствующего столбца.                       

Разности  a_ij образуют матрицу остатков ||a_ij|| Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей e_ir. Выбираются те варианты E_io, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

       По выражению оценивается значение  результатов тех состояний, которые,  вследствие выбора соответствующего  распределения вероятностей, оказывают  одинаковое влияние на решение, с точки зрения результатов матрицы ||e_ij|| S-критерий связан с риском, однако, с позиций матрицы ||a_ij|| он от риска свободен.

          1.3. Критерий Байеса-Лапласа.

     Этот  критерий учитывает каждое из возможных  следствий. Пусть qj – вероятность появления внешнего состояния F_j, тогда для этого критерия оценочная функция запишется так: 

     Z_BL=max eir,        eir=  åeijqj. 

     Тогда правило выбора будет записано так:

     Матрица решений дополняется еще одним  столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты E_io, в строках которых стоит наибольшее значение e_ir этого столбца. 
 

   1.4. Расширенный минимаксный критерий.

         В нем используются простейшие  понятия теории вероятностей, а  также, в известном смысле, теории игр. В технических приложениях этот критерий до сегоднешнего времени применяется мало.

Основным здесь  является предположение о том, что  каждому из n возможных внешних состояний Fj приписана вероятность его появления : 0< q<1. 

      Тогда расширенный ММ-критерий формулируется следующим образом: 

где р—вероятностный  вектор для E_i , a  q—вероятностный вектор для F_j.

     Таким образом, расширенный ММ-критерий задается целью найти наивыгоднейшее распределение  E_i вероятностей на множестве вариантов, когда в многократно воспроизводящейся ситуации ничего не известно о вероятностях состояний F_j. Поэтому предполагается, что F_j распределены наименее выгодным образом.  
 
 

     1.5.Критерий произведений.

     С самого начала этот критерий ориентирован на величины выигрышей, то есть на положительные значения величины е

     Определим оценочную функцию:

     Zp=max eir. 

       Привило выбора в этом случае  формулируется так:

     Матрица решений дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов  каждой строки. Выбираются те варианты Еiо, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца.

      Применение  этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:

     Вероятности появления состояний Fj неизвестны; с появлением каждого из состояний Fj по отдельности необходимо считаться; критерий применим при малом числе реализаций решения; некоторый риск допускается.

     Как уже упоминалось, этот критерий приспособлен в первую очередь для случаев, когда все eij положительны. Если указанное условие нарушается, а этот критерий приходится применять и в этом случае, то следует выполнить некоторый сдвиг eij+a с некоторой константой а > | min eij |. Разумеется, результат применения критерия существенно зависит от этого значения а. На практике в качестве значения, а охотно используют величину | min eij | + 1. Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то к таким проблемам этот критерий не применим.

     Выбор оптимального решения согласно критерию произведений оказывается значительно  минее пессимистическим, чем, например, выбор в соответствии с минимаксным критерием. В результате применения критерия произведений происходит некоторое выравнивание между большими и малыми значениями eij, и, устанавливая оптимальный вариант решения с помощью этого критерия, мы можем при фиксированных состояниях Fj получить большую выгоду, чем при использовании минимаксного критерия, но при этом должна учитываться возможность появления и худших результатов. Следует отметить, что при использовании этого критерия ни число реализаций, ни информация о распределении вероятностей не принимаются во внимание.  

     1.6.Критерий Гермейера.

     Отправляясь от подхода Гермейера к отысканию  эффективных и пригодных к  компромиссу решений в области  полиоптимизации – т.е. всех решений, которые не считаются заведомо худшими, чем другие, - можно предположить еще один критерий, обладающий в некотором отношении определенной эластичностью. Он с самого начала ориентирован на величины потерь, т.е. на отрицательные значения eij.

     В качестве оценочной функции выступает

     Z_G=max eij

     Поскольку в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами, условие eij<0 обычно выполняется. В случае же, когда среди величин eij встречаются и положительные значения, можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования eij - а при подходящим образом подобранном а>0.

     Правило выбора согласно критерию Гермейера  формулируется следующим образом:

     Матрица решений дополняется еще одним  столбцом, содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в  ней результата на вероятность соответствующего состояния Fj. Выбираются те решения Еiо, в строках которых находится наибольшее значение eir этого столбца. 

     1.7.Критерий Гурвица.

     Стараясь  занять наиболее уравновешенную позицию, Гурвиц предложил критерий, оценочная  функция которого находится где-то между точками зрения предельного оптимизма и крайнего пессимизма: 

             ZHW=max eir.

     Правило выбора согласно HW-критерию формулируется  так:

     Матрица решений дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наибольшего  и наименьшего результатов для каждой строки. Выбираются те варианты Eio, в строках которых стоят наибольшие элементы eij этого столбца. В технических приложениях правильно выбрать множитель с бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Вряд ли возможно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Поэтому чаще всего весовой множитель с=0,5 без возражений принимается в качестве некоторой «средней» точки зрения. При обосновании выбора применяют обратный порядок действий. Для приглянувшегося решения вычисляется весовой множитель с, и он интерпретируется как показатель соотношения оптимизма и пессимизма. Таким образом, позиция исходя из которых принимаются решения, можно рассортировать, по крайней мере, задним числом.

      Этот критерий предъявляет к  ситуации, в которой принимается  решение, следующие требования:

     О вероятностях появления состояния Fj ничего не известно; с появлением состояния Fj необходимо считаться; реализуется  лишь малое количество решений; допускается некоторый риск 

     1.8. Составной критерий  Байеса-Лапласа минимаксный.  

     Стремление  получить критерии, которые бы лучше  приспосабливались к имеющейся  ситуации, чем все до сих пор  рассмотренные, привело к построению так называемых составных критериев.

      Исходным  для построенного был BL-критерий Вследствие того, что распределение q=(q₁, ..., q_n) устанавливается эмпирически и потому известно неточно, происходит, с одной стороны, ослабление критерия, а с другой, напротив, с помощью заданных границ для риска и посредством MM-Kритерня обеспечивается соответствующая свобода действий. Точные формулировки состоят в следующем.

      Зафиксируем прежде всего задаваемое ММ-критерием  опорное значение:

      где i₀ и j₀—оптимизирующие индексы для рассматриваемых вариантов решений и, соответственно, состояний.

      Посредством некоторого заданного или выбираемого  уровня допустимого риска E_доп>0 определим некоторое множество согласия, являющееся подмножеством множества индексов {1, ... ..., т}:

      Величина  E_i:=e_i0j0 - min_je_ij для всех i I₁ характеризует наибольшие возможные потери в сравнении со значением e_i0j0, задаваемым ММ-критерием. С другой стороны, в результате такого снижения открываются и возможности для увеличения выигрыша по сравнению с тем, который обеспечивается ММ-критерием. Поэтому мы рассматриваем также (опять-таки как подмножество множества {1, ..., m}) некоторое выигрышное множество 

       Тогда в множество-пересечение  I₁ I₂ мы соберем только такие варианты решений, для которых, с одной стороны, в определенных состояниях могут иметь место потери по сравнению с состоянием, задаваемым ММ-критерием, но зато в других состояниях имеется по меньшей мере такой же прирост выигрыша. Теперь оптимальными в смысле BL (ММ)-критерия будут решения