Кривые второго порядка. 4

      Министерство образования Республики Башкортостан  
ГАОУ СПО Уфимский топливно-энергетический колледж 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                                                Специальность 230103 
 
 
 
 

Кривые второго порядка 
 

Исследовательская

Дисциплина: математика 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил:

Студент гр. 2АС

Мухамедьянов А.Р.

Проверила:

Преподаватель по математике

Сухарева. Г.В 
 
 

                                                                                г. Уфа

                                                                                 2011г 

Содержание: 
 

1. Кривая  второго порядка
2. Эллипс
3. Гипербола
4. Парабола
5. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка
6. Кривые 2-го порядка со смещенными центрами (вершинами)
7. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
8. Список использованных источников

 
 
 
 
 
 
 
 

 

1.Кривая второго порядка

Кривой 2-го порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой  декартовой системе координат определяется уравнением

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0

где a, b, c, d, e, f — вещественные коэффициенты, причем a2 + b2 + c2 ≠ 0 .

Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:

инварианты  относительно поворота и сдвига системы  координат:

инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

Многие  важные свойства кривых второго порядка  могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой:

 

Так, например, невырожденная кривая  оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

Или

λ2 − Iλ + D = 0.

Корни этого уравнения являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы и, как следствие этого, всегда вещественны:

Кривые второго порядка классифицируются на невырожденные кривые и вырожденные.

Доказано, что кривая 2–го порядка, определяемая этим уравнением принадлежит к одному из следующих типов: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих), точка, пустое множество.

Иными словами, для каждой кривой 2-го порядка (для каждого уравнения) существует такая система координат, в которой  уравнение кривой имеет вид: 

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.Эллипс

Эллипс – геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек   и  , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c:  .

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Свойства  эллипса:

• Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса).

• Эллипс имеет центр симметрии (центр эллипса).

• Эллипс можно получить из окружности сжатием, т. е. преобразованием координат

У ^ ylk.

• Лучи света, исходящие из одного фокуса эллипса, после

Эллипс, заданный каноническим уравнением:     

симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки  ,  ,  ,   называются его вершинами.  

Если а>b, то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии   от центра эллипса О.  

Число   ( )  

называется  эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при   эллипс является окружностью, а при   он вырождается в отрезок длиною  ).  

Если  а<b, то фокусы находятся на оси ОY   и  ,  .  

Пример: Постройте кривую   . Найдите фокусы и эксцентриситет.  

Разделим  обе части уравнения на 36. Получаем уравнение

Это -- каноническое уравнение эллипса,   ,   . Делаем чертеж (рис. 12.7)

 
Рис.12.7.Эллипс, заданный уравнением 

Из соотношения (12.5) находим   ,   .

Фокусы --   ,   , эксцентриситет --               
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.Гипербола

Гипербола –  геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек    и   , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c:   .

 

Гипербола, заданная каноническим уравнением:

 

симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках   и   - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY.  

Свойства  гиперболы:

• Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси гиперболы).

• Гипербола имеет центр симметрии (центр гиперболы), Ъ

• Гипербола имеет асимптоты y = ± — Xa

• Лучи света, исходящие из одного фокуса гиперболы, после зеркального отражения от нее, кажутся исходящими из второго ее фокуса. 

Параметр а называется вещественной полуосью, b – мнимой полуосью.

Число  , ( ) называется эксцентриситетом гиперболы.  

Прямые   называются асимптотами гиперболы.  

Гипербола, заданная каноническим уравнением :

 ( или  ), называется сопряжённой ( имеет те же асимптоты ). Её фокусы расположены на оси OY. Она пересекает ось ОY в точках   и   - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОX.  

В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a – мнимой полуосью. Эксцентриситет вычисляется по формуле:  , ( ). 

Пример: Постройте гиперболу   , найдите ее фокусы и эксцентриситет. 

Разделим  обе части уравнения на 4. Получим  каноническое уравнение

 ,   . Проводим асимптоты   и строим гиперболу (рис. 12.13). 
 

Рис.12.13.Гипербола 

Из формулы (12.9) получим   .

Тогда фокусы --   ,   ,   .     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.Парабола

Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой:  . 

Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ.  

Уравнение   задает параболу, симметричную относительно оси ОY.  
 
 

Свойства  параболы:

• Парабола имеет ось симметрии (ось параболы).

• Гипербола имеет центр симметрии (центр гиперболы).

• Любые две параболы подобны друг другу.

• Лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от нее, образуют пучок параллельный оси параболы.

Парабола   имеет фокус   и директрису  . 

Парабола    имеет фокус   и директрису  .  

Если р>0, то в обоих случаях ветви параболы обращены в положительную сторону соответствующей оси, а если р<0 – в отрицательную сторону.  

Пример: Постройте параболу   . Найдите ее фокус и директрису.

Уравнение является каноническим уравнением параболы,   ,   . Осью параболы служит ось   , вершина находится в начале координат, ветви параболы направлены вдоль оси   . Для построения найдем несколько точек параболы. Для этого придаем значения переменному   и находим значения   . Возьмем точки   ,   ,   .

Учитывая  симметрию относительно оси   , рисуем кривую (рис. 12.17)

 

Рис.12.17.Парабола, заданная уравнением 

Фокус   лежит на оси   на расстоянии   от вершины, то есть имеет координаты   . Директриса   имеет уравнение   , то есть   .         

Парабола  так же, как и эллипс, обладает свойством, связанным с отражением света (рис. 12.18). Свойство сформулируем опять без доказательства.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка  

Рассмотрим  в декартовой прямоугольной системе  координат Oxy уравнение второго порядка общего вида: Аx² + 2Вxy + Сy² + 2Dx + 2Еy + F = 0, где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.  

Наша  цель: поменять систему координат  так, чтобы максимально упростить данное уравнение. Для этого сначала (если B 0) повернём искодный базис (координатные оси Ox и Oy) на угол α против часовой стрелки таким образом, чтобы новые оси Ox’ и Oy’ стали параллельны осям кривой, при этом исчезнет слагаемое 2Вxy:

,

где   - матрица линейного преобразования: поворот на угол α против часовой стрелки.

Или, наоборот,   . 

A(x’cosα - y’sinα)² + 2B(x’cosα - y’sinα)(x’sinα + y’cosα)+

+ C(x’sinα + y’cosα)² +

+ 2D(x’cosα - y’sinα) + 2E(x’sinα + y’cosα) + F = 0  

Выберем угол α так, чтобы коэффициент при произведении x’y’ обратился в ноль, т.е. чтобы выполнялось равенство - 2Acosαsinα + 2B(cos²α - sin²α) + 2Csinαcosα = 0

или  или     

В новой  системе координат Ox’y’ (после поворота на угол α), учитывая, что

;  , уравнение будет иметь вид  

А’x’² + С’y’² + 2D’x’ + 2Е’y’ + F’ = 0, где коэффициенты А’ и С’ не равны одновременно нулю.     

Следующий этап упрощения заключается в  параллельном переносе осей Ox’ и Oy’ до совпадения их с осями кривой, при этом начало координат совпадёт с центром (или вершиной, в случае параболы) кривой. Техника преобразований на данном этапе заключается в выделении полного квадрата.  

Таким образом, мы получим канонические уравнения кривых второго порядка.

Всего возможны 9 качественно различных  случаев (включая случаи вырождения и распадения):

1.  (эллипс), 

2.   (гипербола),  

3.  px (парабола),

4.   (мнимый эллипс),   

5.   (пара мнимых параллельных прямых),  

6.   (пара параллельных прямых),  

7.   (пара совпавших прямых),  

8.   (точка (пара мнимых пересекающихся прямых)),   

9.   (пара пересекающихся прямых).   
 

Пример: Записать классическое уравнение гиперболы    в канонической форме. Сделать чертёж.      

Решение.

 yx-1=0, сделаем замену переменных:

, тогда   

(x’cosα - y’sinα)(x’sinα + y’cosα)-1 = 0,  

x’²cos²α - y’²cosαsinα + x’y’(cos²α - sin²α) – 1 = 0,  

(cos²α - sin²α) = 0      

.     

Совершенно  аналогично, каноническое уравнение  для гиперболы

 будет иметь вид:   или  .  

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6.Кривые 2-го порядка со смещенными центрами (вершинами)  

Если  в общем уравнении кривой 2-го порядка

,в частности  В = 0, то есть отсутствует член с произведением переменных, то это означает, что оси кривой параллельны координатным. Рассмотрим уравнение:

( A и C   одновременно). Можно показать, что при этом:   

1) Если  АС > 0 (коэффициенты при квадратах  переменных одного знака), то уравнение  определяет эллипс;   

2) Если  АС < 0 (коэффициенты при квадратах  переменных имеют разные знаки), то  уравнение определяет гиперболу;   

3) Если  АС = 0 (один из членов с квадратом  переменных отсутствует), то этим  уравнением определяется парабола.

В каждом из случаев 1), 2), 3) могут встретиться вырожденные кривые, которыми мы заниматься не будем.   

Для того, чтобы понять, как именно расположена кривая относительно системы координат и каковы ее параметры, уравнение можно преобразовать способом выделения полных квадратов. После этого уравнение примет вид одного из невырожденных уравнений кривой 2-го порядка со смещенным центром:

1) 

это уравнение  эллипса с центром   и осями, параллельными осям   и  ;

2)   и  ,

эти уравнения  определяют гиперболы с центром   и осями, параллельными координатным;

3) 

это параболы с вершиной    и осью, параллельной одной из координатных.    

       

Пример: Определить вид кривой, найти ее центр (вершину) и вычислить основные параметры:      

Так как А=9,  С= - 4,  т.е. АС<0,   то это уравнение определяет гиперболу. Преобразуем уравнение. Объединяем члены с одной переменной, коэффициент при квадрате выносим за скобку:

Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:

Лишние  свободные члены из скобок убираем  и переносим вправо, тождественно преобразуя левую часть:

 или  

Делим на (-36):       получили гиперболу с центром  , полуосями a=2, b=3, осями параллельными координатным.

Действительная  ось гиперболы параллельна оси  : x= -1:

мнимая  – параллельна оси  : y=2;   . 

     
 

7.Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения 

   

Сечением  любого круглого конуса плоскостью (не проходящей через его вершину) определяется кривая, которая может быть лишь эллипсом, гиперболой или параболой. При этом, если плоскость пересекает только одну полость конуса и по замкнутой кривой, то эта кривая есть эллипс; если секущая плоскость пересекает только одну полость конуса и по незамкнутой кривой, то эта кривая – парабола; если плоскость пересекает обе полости конуса, то в сечении образуется гипербола.     

Справедливость  этой теоремы можно установить, исходя из того общего положения, что пересечение поверхности второго порядка плоскостью есть линия второго порядка.     

Из рисунка  видно, что, поворачивая секущую  плоскость вокруг прямой PQ, мы меняем кривую сечения. Будучи, например, первоначально эллипсом, она на одно мгновение становится параболой, а затем превращается в гиперболу. Параболой эта кривая будет тогда, когда секущая плоскость параллельна касательной плоскости конуса.     

Таким образом, эллипсы, гиперболы и параболы называются коническими сечениями.

 

8.Список использованных источников: 

• Корн  Г., Корн Т. Кривые второго  порядка (конические сечения) // Справочник по математике. — 4-е  издание. — М: Наука, 1978. — С. 64-69.
• Корн Г., Корн Т. 2.4-5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64.
• В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия, гл. 6. М.: "Наука", 1988.
• Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.- Мн.: Тетрасистемс, 1998.
• Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.- Мн.: ЧИУиП, 2006.- 67 с.