I. Кривые II порядка в полярной системе координат. 

1. Полярная система  координат. 

      Положение произвольной точки плоскости мы до сих пор определяли её декартовыми координатами x и y. Однако этот способ не является единственным: часто бывает удобнее определять положение точки М на плоскости другими величинами. Остановимся на том способе, когда положение точки М на плоскости (рис. 1) определяют расстоянием ρ=ОМ точки М от полюса О и углом φ между лучом ОМ и полярной осью ОР. Величины ρ и φ называются полярными координатами точки М. Отрезок ρ называют полярным радиусом, а угол φ – полярным углом. Заметим, что всегда ρ≥0.

      Очевидно, что заданием ρ и φ положение  точки М определяются однозначно: угол φ определяет направление луча  ОМ, а отрезок ρ – положение точки на этом луче. Однако по точке М однозначно определяется лишь расстояние ρ, а угол φ определяется не однозначно: каждой точке М соответствует бесчисленное множество полярных углов, отличающихся друг от друга на 2πk, где k – целое число. Для устранения неоднозначности в качестве полярного угла обычно выбирают наименьший (по абсолютной величине) угол

φ, составляемый ОМ с полярной осью, т.е. выбирают φ  в диапазоне от –π до +π (-π<φ≤π).

      Исключение  – случай, когда точка М совпадает  с полюсом О и ρ=0, а полярный угол φ может быть взят каким угодно.

      Установим связь между полярными (ρ и  φ) и декартовыми (x и y) координатами точки М. Для этого совместим полюс с началом координат, а полярную ось – с осью абсцисс (рис. 2).

      Из  ∆OMN имеем

      x=ρ cosφ;                                           ρ=      

     y=ρ sinφ.                                            tg φ= .   

     Формулы (1) и (2) позволяют осуществить переход  от полярной системы координат к декартовой и наоборот.

     До  сих пор мы строили графики  функций в декартовой системе  координат. Соответствующие построения можно производить и в полярной системе: если переменные ρ и φ связаны функциональной зависимостью, то, изображая значение φ полярными углами и откладывая на определяемых ими лучах отрезки, равные соответствующим значениям ρ, получим геометрическое место точек с координатами ρ и φ, образующих линию, называемую полярной диаграммой или графиком заданной функции в полярной системе координат. Особенно удобно прибегнуть к полярной диаграмме, если переменная φ фактически является ( а не только изображается) углом. 

2.Спирали. 

    Спираль (франц. spirale, от лат. spira", греч. "σπετρα"- виток) – плоская кривая, которая обычно обходит вокруг одной (или нескольких) точки, приближаясь или удаляясь от нее.

    Среди спиралей выделяют алгебраические спирали  и псевдоспирали. Алгебраические спирали – спирали, уравнение которых в полярных координатах являются алгебраическими относительно переменных ρ и φ. К алгебраическим спиралям относятся: гиперболическая спираль, архимедова спираль, Галилея спираль, Ферма спираль, параболическая спираль, жезл.

    Псевдоспирали – спирали, натуральные уравнения  которых могут быть записаны в виде r = as^m, где r – радиус кривизны, s – длина дуги. При m = 1 псевдоспираль является логарифмической спиралью, при m = -1 – Корню спиралью, при m = ½ - эвольвентной окружностью.

    Рассмотрим  некоторые из них. 

1. Жезл.

    Жезл  – плоская трансцендентная кривая. Уравнение в полярных координатах: ρ = .

    Кривая  состоит из двух ветвей (соответствующих  положительным и отрицательным  значениям ρ), каждая из которых имеет асимптоту – ось ОР, асимптотическую точку – полюс О, точки перегиба (± ; ± ).  

      2) Гиперболическая спираль.

          Гиперболическая спираль определяется  полярным уравнением 

                                     ρ= .

      При φ→∞ ρ→0, т.е. полюс является асимптотической  точкой  гиперболической спирали. Из ∆OMN следует, что MN=ρ sin φ, но ρ= , и потому MN= . Можно доказать, что при φ→0 MN→а, т.е. прямая, параллельная полярной оси и отстающая от неё на расстоянии, равном а, является асимптотой гиперболической спирали, изображенной на рисунке.

 
 
 
 
 

       

         3) Логарифмическая спираль. 

      Так называется кривая, задаваемая в полярной системе координат уравнением                           

                                                   ρ=а^φ. 

      Если  аргумент φ изменять по закону арифметической прогрессии: φ₀, φ₀+d, φ₀+2d;…, то значения φ будут:

      а^φ0;     а^φ0+d = a^φ0a^d;    a^φ0+2d = a^φ0(a^d)²;…,

т.е. функция  ρ будет возрастать в геометрической прогрессии со знаменателем q=а^d, откуда и вытекает способ построения логарифмической спирали.

      Отложим на полярной оси ОА=а⁰, а на прямой перпендикулярной к ней, ОB=а². Если теперь построить прямую ломаную ABCDE…, то из подобия треугольников видно, что отрезки OA, OB, OC, … образуют геометрическую прогрессию со знаменателем а ^, т.е. полученные точки A, B, C, D, E, … лежат на логарифмической спирали. Когда φ возрастает от 0 до ∞, точка кривой делает бесчисленное множество оборотов вокруг полюса, неограниченно удаляясь от него (расстояния между витками уже  не одинаковы!). Угол φ может принимать и отрицательные значения. Когда φ→ −∞, ρ→0 и кривая совершает бесчисленное множество оборотов вокруг полюса, безгранично к нему приближаясь, но никогда его не достигая, т.е. полюс для логарифмической спирали является асимптотической точкой.

      Логарифмические спирали широко используются в технике: по логарифмической спирали выполняются профили вращающихся ножей и фриз, зубчатых передач и прочее. По логарифмической спирали очерчены некоторые раковины, по дугам, близким к данной спирали, расположены семечки в подсолнухе, чешуйки в шишках и т.д.

             

     4) Спираль Архимеда.

     Рассмотрим  полярную диаграмму, определяемую уравнением r=аj, где а - некоторая положительная постоянная (коэффициент пропорциональности). Для построения графика этой функции найдем несколько её точек, записывая расчеты в таблице.

Отрезок а обозначим ОА; тогда

     а =2OA, a =3OA, ap=6OA, а =9OA, 2ap=12OA.

     Откладывая  эти отрезки на соответствующих  лучах, получим точки A,B,C,D,E,F, принадлежащие графику функции r=аj. Соединяя полученные точки плавной кривой, получим спираль Архимеда.

          Свойства этой спирали впервые  были изучены Архимедом. Одним  из этих свойств является постоянство  расстояний между витками. Аргумент j может расти безгранично, а поэтому кривая имеет бесконечное множество витков. Определим расстояние между двумя соседними витками MN по произвольному лучу.

     OM=aj;

     ON=a(j+2p);

     MN=ON-OM=a(j+2p)-aj=2ap.

Полученное  выражение от j не зависит, так как MN=2ap при любом j.

     Таким образом, в полярной системе координат  Архимедова спираль имеет весьма простое уравнение: r=аj, и построение её графика никаких затруднений не вызывает.

      Воспользуемся формулами перехода r= , φ= arctg( ) и получим вместо ρ=aφ гораздо более сложное уравнение

        = arctg( )

Из уравнения  видно, что построение графика этой функции в декартовой системе координат было бы крайне затруднительно. 

3. Лемниската Бернулли.

     Лемнискатой называется геометрическое место точек  М, произведение расстояний каждой из которых до двух фиксированных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная.

     Расположим  фиксированные точки (фокусы лемнискаты) F₁ и F₂ на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Обозначим расстояние между ними F₁ F₂=2а. Тогда эти точки будут иметь координаты F₁ (-а,0), F₂ (а,0). Для произвольной точки лемнискаты М(x,y), по её определению должно выполняться: MF₁ ∙ MF₂=a²  . Используя формулу расстояния между двумя точками d= , получим:

                      = a²  .

     После возведения правой и левой частей полученного уравнения в квадрат и упрощений получим: 

                            (x²+y²)²-2a²(x²-y²)=0.

     

       
 
 

       

     Исследовать кривую по этому уравнению в декартовой системе координат довольно сложно. Если же перейти к полярным координатам, то уравнение примет более простой вид:

     (ρ²)²  = 2а² (ρ² cos²φ - ρ² sin²φ)  или ρ² = 2а² cos2φ.

     Итак, полярное уравнение кривой имеет  вид

                                ρ² = b² cos 2φ,

где 2а²=b² . Так как максимальное значение cos 2φ равно единице, то максимальная величина ρ есть b.

Если  cos 2φ отрицателен, то ρ – мнимая величина. Таким образом, между прямыми, образующими углы 45˚ и 135˚ с полярной осью, нет точек кривой.

     Если  вместо φ подставить (-φ), то уравнение  не измениться. Отсюда следует, что кривая симметрична относительно полярной оси.

     Если  ρ=0, то cos 2φ=0 и φ=45˚ или 135˚, следовательно, кривая проходит через полюс при этих значениях угла.

     Можно также найти область существования этой функции, т.е. множество тех значений аргумента φ , при которых функция имеет вещественное значение: ρ²≥0, а потому должно быть и cos 2φ≥0, откуда     

     - , где к – целое число, или - .

     Проведя биссектрисы координатных углов, выделим  те секторы, в которых кривая существует. Дальнейшее построение кривой выполняется по точкам. Название этой кривой – лемниската происходит от греческого слова повязка, бант.

     Лемниската  Бернулли используется в качестве переходной линии на закруглениях малого радиуса ( например, на трамвайных путях). 

    4.  Розы.

    Розы  – плоские кривые, уравнения которых  в полярных координатах имеют вид

    ρ=αsinκφ,

где α  и κ – постоянные. Если κ=m/n –  число рациональное, то роза - алгебраическая кривая четного порядка. Порядок этой кривой равен m + n, если m и n – нечетные числа, и равен 2(m + n), если одно из чисел m и n – нечетное. Вся кривая расположена внутри круга радиуса α, состоит из конгруэнтных лепестков. Если κ – целое, то роза состоит из κ лепестков при κ нечетном и из 2κ лепестков при κ четном. Если κ = m/n и m, n – взаимно простые, то роза состоит из m лепестков, когда m и n нечетные, и из 2m лепестков, если одно из чисел m и n является четным.

    При иррациональном κ лепестков бесконечно много, розы являются гипоциклоидами, если κ>1, и эпициклоидами, если κ<1. 
 
 
 

5. Улитка Паскаля.

Улиткой Паскаля  называется кривая, определяемая уравнением

                                          ρ=2r cosφ+c

      (в прямоугольных координатах: (x² +y²-ax)²=l²(x²+y²)).   

      Для построения графика этой кривой обратим внимание на то, что при c=0 ρ=2r cosφ, а из рисунка очевидно, что ОМ=2r cosφ, а потому графиком этой кривой является окружность радиуса r ( полюс О находится в левом конце диаметра этой окружности, а полярная ось направлена по диаметру).

Теперь  для построения точек, принадлежащих  улитке Паскаля, надо в каждом положении полярного радиус-вектора ρ=2r cosφ достроить к нему отрезок c. На рис. 2  выполнены эти построения для трех случаев: c<2r, c=2r, c>2r.

     В случае c=2r улитка Паскаля называется кардиоидой и имеет уравнение вида

     ρ=2r cosφ + 2r = 2r (1+ cosφ).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     III.   Кривые II порядка в декартовых координатах. 

       Продолжая перечень примеров, рассмотрим ещё несколько кривых механического происхождения, полученные путем качения одних кривых по другим. 

Эпи- и гипоциклоида.

      Если  один круг без скольжения катится  извне по другому кругу, то  кривая , описываемая произвольной точкой окружности подвижного круга, называется эпициклоидой. В случае же качения изнутри, мы имеем дело с гипоциклоидой. Остановимся на выводе уравнений первой из этих кривых.

      Возьмем начало координат в центре О неподвижного круга, а ось x проведем через то положение А интересующей нас точки, в котором она является точкой касания обоих кругов. Когда подвижный круг перейдет в новое положение, указанное на чертеже, точка А перейдет в М. Геометрическое место точек М нам и надлежит определить.

      Обозначим через а радиус неподвижного круга, а через mа – радиус катящегося круга. Выберем за параметр здесь угол t=<MCB между радиусом СМ, соединяющим центр катящегося круга с интересующей нас точкой на его окружности, и радиусом СВ, проведенным в точку касания. В начале движения пусть этот угол равен 0.

      Прежде  всего, посмотрим, в чем здесь  проявляется отсутствие скольжения. Дуга ABпройденная точкой касания по неподвижной окружности, должна равняться дуге МВ, пройденной точкой касания по катящейся окружности:

      a <AOB = ma MCB = mat, откуда <AOB=mt.

      Выразим теперь координаты x и y точки М через t. Имеем

               x=OG=OE+FM=(a+ma) cos mt+ma sin<FCM;

но

                <FCM=<BCM-<OCE   и   <OCE= - mt,

так что

             <FCM=(1+m)t -     и sin <FCM=-cos(1+m)t.

Окончательно

                   x = a[(1+m) cos mt – m cos (1+m)t]

Подобным же образом найдем

                   y =   a[(1+m) sin mt – m sin (1+m)t].          

      Эти уравнения дают параметрическое  представление эпициклоиды.

      Когда катящейся круг снова придет в  соприкосновение с неподвижным кругом в той же своей точке, что и в начале  движения (т.е. при t=2π), точка М закончит одну ветвь кривой. При дальнейшем качении она будет описывать следующую ветвь, подобную первой, и т.д.

      В случае же гипоциклоиды подобным же образом  получаются такие параметрические уравнения:

      x = a[(1-m) cos mt + m cos (1- m)t]

      y = a[- (1- m) sin mt + m sin (1- m)t]

      

      Здесь m также означает отношение радиуса катящегося круга к радиусу неподвижного. Легко заметить, что эти уравнения получаются их уравнений эпициклоиды заменой m на –m.

      На  рисунке изображены эпициклоиды, соответствующие  m=1, 2,  ,  и гипоциклоиды, соответствующие m= и . В последней можно узнать астроиду. 
 

Астройда

Астроида —  плоская кривая, описываемая точкой M окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R = 4r. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем

m = 4. 

Уравнения

Уравнение в  декартовых прямоугольных координатах:

параметрическое уравнение:

   

Свойства

Длина дуги от точки  с 0 до

Длина всей кривой 6R.

Радиус кривизны:

Площадь, ограниченная кривой:

Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены  на двух взаимно перпендикулярных прямых.

Астроида является алгебраической кривой 6-го порядка. 

IV. Использование компьютера для наглядного представления кривых II порядка. 
 

    Программа для построения графиков является наукой, но простой в использовании. Она  позволяет создавать анимированные 3D графики уравнений в табличных данных. В одной системе координат может быть неограниченное количество графиков, каждый из которых может отображаться при помощи точек, линий и поверхностей. Аналитические функции задаются в параметрическом виде и могут содержать до трех независимых переменных, включая переменную времени для анимации.

    Систему координат с графиком можно вращать, перемещать и масштабировать в реальном времени. Программа позволяет отслеживать и вводить координаты курсора на плоскости или в трехмерной системе координат. Использование графической библиотеки OpenGL позволяет создавать высококачественные изображения графиков и дает возможность задействовать современные аппаратные ускорители, необходимые для достижения гладкой анимации в реальном времени. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Рассмотренные выше кривые второго порядка в  компьютерной программе 3D Grapher имеют следующее изображение: 

1. Жезл.

 
 

ρ = . Кривая состоит из двух ветвей (соответствующих положительным и отрицательным значениям ρ),  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Гиперболическая  спираль.

 
 
 
 

ρ= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Логарифмическая спираль.

 

ρ=а^φ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Спираль Архимеда.

r=аj, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.   Улитки Паскаля.

                                    

ρ=2r cosφ+c 

На рис. 2  выполнены эти построения для трех случаев: c<2r, c=2r, c>2r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6. Четырёхлепестковая роза.     
7. Трёхлепестковая роза.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

             ρ=αsinκφ  

7. Эпициклоида.                                                8.Гипоциклоида.

 
 
 
 
 
 
 
 
 

x = a[(1+m) cos mt – m cos (1+m)t]          x = a[(1-m) cos mt + m cos (1- m)t] 

y =   a[(1+m) sin mt – m sin (1+m)t           y = a[- (1- m) sin mt + m sin (1- m)t] 

9. Лемниската Бернулли.

     ρ² = b² cos 2φ,

           где 2а²=b² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Астройда 

 

Параметрические уравнения: