Содержание

1. Кривые второго порядка

1.1.Окружность

1.2.Эллипс

1.3.Гипербола

1.4.Парабола

2.Исследование уравнения прямой

2.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

2.2. Общее уравнение прямой

2.3. Уравнение прямой в отрезках на осях

2.4. Нормальное уравнение прямой

      2.5.Построение прямой по ее уравнению

 

1.Кривые второго порядка 

    Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

Определение: Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

      

 

    где -- вещественные числа, и хотя бы одно из чисел

отлично от нуля.

    Исследование  уравнения в общем виде проводится так же, как и для аналогичного уравнения в пространстве (поверхности второго порядка) и эти исследования удобно производить с помощью математического аппарата, который будет рассмотрен позже. Здесь же мы ограничимся констатацией того, что уравнение в зависимости от коэффициентов может задавать только четыре типа кривых, а именно, окружность, эллипс, гиперболу и параболу. 
 

    1.1.Окружность

      Начнем  с определения окружности, известного из школьного курса математики.

      Определение 12.2 Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

    Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема 12.1 Окружность радиуса с центром в точке имеет уравнение

      

       

      Доказательство. Пусть -- текущая точка окружности. По определению окружности расстояние равно (рис. 12.1)

     

    

Рис.12.1.Окружность 

    По  формуле (10.4) для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

      Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в  квадрат получим эквивалентное  уравнение (12.2).

    Если  в уравнении (12.2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду (12.2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным и . 
 
 

    1.2.Эллипс

      Определение 12.3 Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

    Для эллипса можно дать еще несколько  эквивалентных определений. Желающие могут познакомиться с ними в  более серьезных учебниках по аналитической геометрии. Здесь  же отметим только то, что эллипс -- это кривая, получающаяся как проекция на плоскость окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью .

    В отличие от окружности, записать в "удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому  для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат  так, чтобы его уравнение было достаточно простым.

    Пусть и -- фокусы эллипса. Начало системы координат расположим на середине отрезка . Ось направим вдоль этого отрезка, ось -- перпендикулярно к этому отрезку (рис. 12.3).

Теорема 12.2 Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна , а расстояние между фокусами -- . Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение

      

       

      где

      

       

      Доказательство. Пусть -- текущая точка эллипса. По определению эллипса . Из треугольника (рис. 12.3) видно, что , то есть , , и поэтому число существует.

     

    

Рис.12.3. 

    Фокусами  в выбранной системе координат  являются точки  , . По формуле (10.4) для плоского случая находим

      Тогда по определению эллипса 

      

      Пренесем один из корней вправо и обе части возведем в квадрат:

      

      После того, как раскроем скобки и приведем подобные члены, приходим к выражению 

      

      Разделим  обе части этого уравнения  на 4 и возведем в квадрат 

      

      Раскроем  скобку и приведем подобные члены 

      

      Учитывая, что  , имеем равенство

      

      Наконец, разделив обе части на , получим уравнение (12.4).

    Уравнение (12.4) называется каноническим уравнением эллипса.

    Прежде, чем нарисовать эллипс, выясним некоторые  его свойства.

Предложение 12.1 Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси и , начало координат -- центр симметрии.

      Доказательство. Можно было бы провести доказательство на основе определения эллипса (предлагаем читателю попробовать сделать это), но для усиления аналитического аспекта мы проведем доказательство на основе уравнения (12.4).

    Пусть эллипс задан уравнением (12.4) и -- какая-то точка эллипса. Тогда

      

 

      Точка является точкой, симметричной точке относительно оси (рис. 12.4).

     

    

Рис.12.4.Симметрия точек 

    Вычисляем значение левой части уравнения (12.4) в точке

      В силу равенства (12.6) получаем

      

      следовательно, точка  лежит на эллипсе. Точка является точкой симметричной точке относительно оси (рис. 12.4). Для нее аналогичным путем убеждаемся, что

      

      то  есть является точкой эллипса. Наконец точка является симметричной точке относительно начала координат (рис. 12.4). Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что и эта точка тоже лежит на эллипсе. Итак, утверждение предложения доказано, если эллипс имеет уравнение (12.4). А так как по теореме 12.2 любой эллипс в некоторой системе координат имеет такое уравнение, то предложение полностью доказано.

    Проведем  построение эллипса, заданного уравнением (12.4). Заметим, что из-за симметрии достаточно нарисовать часть эллипса, лежащую в верхней полуплоскости. Уравнение этой линии мы получим, выразив из уравнения (12.4) и взяв перед корнем знак " ",

      Построим  график этой функции. Область определения -- отрезок  , , при увеличении переменного от 0 до функция монотонно убывает. В силу симметрии графика относительно оси функция монотонно растет при изменении от до 0. Производная определена во всех точках интервала и, следовательно, график является гладким (не содержит изломов, касательная есть в любой точке). Вторая производная отрицательна во всех точках интервала , следовательно, график -- выпуклый вверх.

    Осталось  не исследованным поведение кривой вблизи концов отрезка  . Выразим из уравнения (12.4) переменное через : . Очевидно, что в точке эта функция имеет производную, то есть касательная к этому графику в точке существует. Легко проверить, что она параллельна оси . Из симметрии эллипса делаем вывод, что это гладкая кривая и строим ее с учетом полученных данных (рис. 12.5).

     

    

Рис.12.5.Эллипс 

      Определение 12.4 Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии -- центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины -- большой полуосью эллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называется малой осью эллипса, половина его длины -- малой полуосью. Величина называется эксцентриситетом эллипса.

    Если  эллипс задан каноническими уравнениями, то его вершины имеют координаты , , , , большая полуось равна , малая полуось равна . Величина , являющаяся половиной расстояния между фокусами, определяется из формулы (12.5) для величины , а именно, .

Замечание 12.1 Уравнение (12.4) было получено в предположении, что и -- различные точки, то есть . Тогда . Но кривую, определяемую уравнением (12.4), мы можем рассмотреть и в случае , . Уравнение (12.4) в этом случае после умножения на примет вид . Это -- уравнение окружности радиуса с центром в начале координат. Таким образом, можно рассматривать окружность как предельный вариант эллипса, когда , , или, как иногда говорят математики, окружность является "вырожденным" эллипсом, у которого фокусы совпали.

    Эксцентриситет  эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе экцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Отметим, что по определению для эллипса .

    Если  задано каноническое уравнение эллипса  и требуется его построить, то для отображения качественных характеристик  достаточно правильно отметить вершины  эллипса и провести через них  линию, похожую на кривую рис. 12.4, выдерживая симметрию и избегая образования углов на рисунке. Если же из рисунка предполагается получать числовую информацию о координатах его точек, то тогда построение следует проводить более точно. Нужно построить по точкам верхнюю половину эллипса как график функции , взяв для построения достаточно много точек, а нижнюю половину эллипса получить, используя его симметрию. С другим способом построения эллипса можно познакомиться в курсе черчения.

    Эллипс  обладает многими замечательными свойствами. Приведем без доказательства одно из них (рис. 12.6).

Предложение 12.2 Пусть и -- фокусы эллипса, -- произвольная точка на эллипсе. Тогда нормаль (перпендукуляр к касательной) к эллипсу в точке делит угол пополам.

     

    

Рис.12.6.Отражение лучей света от эллипса 

    Данное  свойство имеет достаточно простой  физический смысл. Если из одного фокуса выходит в плоскости эллипса  луч света, то отразившись от самого эллипса, он обязательно пройдет  через другой фокус. Возьмем поверхность, образованную вращением эллипса  вокруг большой оси, и будем считать, что внутри она зеркальная. В один из фокусов поместим источник света. Тогда все лучи, выходящие из источника, отражаясь от поверхности, пройдут  через другой фокус, то есть освещенность в обоих фокусах будет одинаковой.  
 

1.3.Гипербола

      Из  школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением , где -- число, называется гиперболой. Однако это -- частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола).

      Определение 12.5 Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

    Так же, как и в случае эллипса, для  получения уравнения гиперболы  выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось  направим вдоль этого отрезка, а ось ординат -- перпендикулярно к нему.

Теорема 12.3 Пусть расстояние между фокусами и гиперболы равно , а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение

      

       

      где

      

       

      Доказательство. Пусть -- текущая точка гиперболы (рис. 12.9).

     

    

Рис.12.9. 

    Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то , то есть , . В силу последнего неравенства вещественное число , определяемое формулой (12.9), существует.

    По  условию, фокусы -- , . По формуле (10.4) для случая плоскости получаем

      По  определению гиперболы 

      

      Это уравнение запишем в виде

      

      Обе части возведем в квадрат:

      

      После приведения подобных членов и деления  на 4, приходим к равенству 

      

      Опять обе части возведем в квадрат:

      

      Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим 

      

      С учетом формулы (12.9) уравнение принимает вид

      

      Разделим  обе части уравнения на и получим уравнение (12.8)

    Уравнение (12.8) называется каноническим уравнением гиперболы.

Предложение 12.3 Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат координатные оси и , а начало координат -- центр симметрии гиперболы.

      Доказательство. Проводится аналогично доказательству предложения 12.1.

    Проведем  построение гиперболы, заданной уравнением (12.8). Заметим, что из-за симметрии достаточно построить кривую только в первом координатном угле. Выразим из канонического уравнения как функцию , при условии, что ,

      и построим график этой функции.

    Область определения -- интервал , , функция монотонно растет. Производная

      существует  во всей области определения, кроме  точки  . Следовательно, график -- гладкая кривая (без углов). Вторая производная

      

      во  всех точках интервала  отрицательна, следовательно, график -- выпуклый вверх.

    Проверим  график на наличие асимптоты при . Пусть асимптота имеет уравнение . Тогда по правилам математического анализа

      

      Выражение под знаком предела домножим и разделим на . Получим

      

      Итак, график функции имеет асимптоту  . Из симметрии гиперболы следует, что -- тоже асимптота. Остается неясным характер кривой в окрестности точки , а именно, образует ли график и симметричная ему относительно оси часть гиперболы в этой точке угол или гипербола в этой точке -- гладкая кривая (есть касательная). Для решения этого вопроса выразим из уравнения (12.8) через :

      

      Очевидно, что данная функция имеет производную  в точке  , , и в точке у гиперболы есть вертикальная касательная. По полученным данным рисуем график функции (рис. 12.10).

     

    

Рис.12.10.График функции

 

    Окончательно, используя симметрию гиперболы, получаем кривую рисунка 12.11.

     

    

Рис.12.11.Гипербола 

      Определение 12.6 Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением (12.8), с осью называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками и называется мнимой осью. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром. Величина называется эксцентриситетом гиперболы.

      Замечание 12.3 Из равенства (12.9) следует, что , то есть у гиперболы . Эксцентриситет характеризует угол между асимптотами, чем ближе к 1, тем меньше этот угол.

      Замечание 12.4 В отличие от эллипса в каноническом уравнении гиперболы соотношение между величинами и может быть произвольным. В частности, при мы получим равностороннюю гиперболу, известную из школьного курса математики. Ее уравнение имеет знакомый вид , если взять , а оси и направить по биссектрисам четвертого и первого координатных углов (рис. 12.12).

     

    

Рис.12.12.Равносторонняя гипербола

 

    Для отражения на рисунке качественных характеристик гиперболы достаточно определить ее вершины, нарисовать асимптоты  и нарисовать гладкую кривую, проходящую через вершины, приближающуюся к  асимптотам и похожую на кривую рисунка 12.10.  

      1.4.Парабола 

      Определение 12.7 Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.

      Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей  этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого  из фокуса опустим перпендикуляр на директрису . Начало координат расположим на середине отрезка , ось направим вдоль отрезка так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора . Ось проведем перпендикулярно оси (рис. 12.15).

     

    

Рис.12.15. 

      Теорема 12.4 Пусть расстояние между фокусом и директрисой параболы равно . Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение

      

       

      Доказательство. В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка , а директриса имеет уравнение (рис. 12.15).

    Пусть -- текущая точка параболы. Тогда по формуле (10.4) для плоского случая находим

      Расстоянием от точки  до директрисы служит длина перпендикуляра , опущенного на директрису из точки . Из рисунка 12.15 очевидно, что . Тогда по определению параболы , то есть

      

      Возведем  обе части последнего уравнения  в квадрат:

      

      откуда 

      

      После приведения подобных членов получим  уравнение (12.10).

    Уравнение (12.10) называется каноническим уравнением параболы.

Предложение 12.4 Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью .

      Доказательство. Проводится так же, как и доказательство (предложения 12.1).

    Точка пересечения оси симметрии с  параболой называется вершиной параболы.

    Если  переобозначить переменные , , то уравнение (12.10) можно записать в виде

      который совпадает с обычным уравнением параболы в школьном курсе математики. Поэтому параболу нарисуем без дополнительных исследований (рис. 12.16).

     

    

Рис.12.16.Парабола 

Предложение 12.5 Пусть -- фокус параболы, -- произвольная точка параболы, -- луч с началом в точке параллельный оси параболы. Тогда нормаль к параболе в точке делит угол, образованный отрезком и лучом , пополам.

     

    

Рис.12.18.Отражение светового луча от параболы 

    Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса , отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.