Квадратичная функция

Муниципальное общеобразовательное  учреждение

Средняя общеобразовательная  школа № 64

 

 

 

 

 

 

 

Квадратичная  функция

Реферат по математическому моделированию

 

 

 

 

 

 

Исполнители:	Галиб Анна, Ушков Антон - ученики 11 «А» класса
Руководители:	Потапенок Наталья Владимировна - учитель по математике; Денисов Владимир Иванович - учитель по информатике.

 

 

 

 

 

 

Лесной

2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

^{ВВЕДЕНИЕ}

 

Квадратичная функция является одной из первых, с которой мы познакомились в процессе  изучения курса алгебры. С одной стороны эта функция простая, но с другой стороны, при её изучении, мы затронем очень интересную тему - баллистика. Эта тема позволит углубить наши знания о квадратичной функции и повысить интерес учащихся к данной теме.

 

Актуальность

 

Задачи  с параметрами на квадратичную функцию и задачи, сводящиеся к  квадратичным функциям, очень популярны  на экзаменах,  ЕГЭ, школьных олимпиадах разного уровня. Квадратичная функция является одной из главных функций школьной математики для которой построена полная теория и доказаны все свойства, а от учащегося требуется четкое понимание и знание всех этих свойств.

 При этом задач на квадратичную функцию очень  много – от простых, непосредственно вытекающих из формул и теории, до сложных, требующих всестороннего анализа и глубокого понимания свойств функции.

Условия на существование корней, число корней, их значений, поведение и свойства графиков функции можно сформулировать в терминах соотношений между коэффициентами и условий на коэффициенты. По знакам коэффициентов можно однозначно восстановить эскиз графика функции, знак выражения определяет существование и число корней, выражения присутствуют в теореме Виета. Важно понимать, как влияют коэффициенты квадратичной функции, их знаки,  соотношения между ними на свойства функции и ее графика. 

Большое практическое значение при  решении задач на квадратичную функцию имеет наличие однозначного соответствия между алгебраическим описанием и геометрической интерпретацией задачи – графическим изображением и положением эскиза графика функции на координатной плоскости. С одной стороны, от учащихся требуется свободное владение свойствами квадратичной функции и умение построить соответствующую графическую интерпретацию, с другой - геометрическая интерпретация помогает проверить логическую  правильность и непротиворечивость теоретических  рассуждений.  Задачи на расположение корней квадратичной функции и сводящиеся – она из самых популярных тем в задачах с параметрами.

Цель – исследовать квадратичную функцию и осуществить ее полный анализ

 

 Задачи

Формирование обобщенных умений:

• применять практические навыки, полученные на уроках смежных дисциплин;
• решать задачи, требующие комплексного применения знаний, полученных в ходе изучения различных учебных предметов;
• развитие интереса к математике и физике, к изучению связей между знаниями из смежных предметов
• становление профессиональных интересов учащихся;
• формирование у учащихся целостного, единого представления об окружающем мире, о взаимообусловленности явлений и процессов, а также общности законов, действующих в природе.

 

^{1. Исследование квадратичной функции}

 1.1. Определение

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида    y = ax² + bx + c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а 0.

1.2 График-парабола

Графиком квадратичной функции  является парабола.

 

^{2. Виды квадратичной функции}

2.1  Функция

Область определения этой функции - множество R действительных чисел. 

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x² , изображаем график функции.

График функции y = ax² называется параболой.

Свойства функции у =aх².

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0;0) - начало координат.

2.  Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством  значений  функции у = aх² является промежуток [0; + ∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = aх² - четная).

5.  На промежутке [0; + ∞) функция у = aх² возрастает.

6.  На промежутке (-∞; 0] функция у = aх² убывает.

7.  Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует. 

2.2 Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax² + bx + c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0.

Свойства функции  и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .

 

Свойства квадратичной функции:

-  Область определения: R;

- Область значений:

при а > 0          [-D/(4a); ∞)

при а < 0          (-∞; -D/(4a)];

- Четность, нечетность:

при b= 0     функция четная

при b≠0    функция не является ни четной, ни нечетной

- Нули:

^{при D > 0      два нуля:} ,

^{при D = 0      один нуль:}

при D < 0     нулей нет

- Промежутки знакопостоянства:

^{если, а > 0, D > 0, то}     

^{если, а > 0, D = 0, то}     

^{eсли  а > 0, D < 0, то}     

^{если  а < 0, D > 0, то}    

^{если  а < 0, D = 0, то}     

^{если  а < 0, D < 0, то}     

-         Промежутки монотонности

^{при а > 0} 

^{при а < 0}             

 Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная ^{относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы} называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1)  найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;

2)  построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

3)  соединить отмеченные точки плавной линией.           

 Координаты вершины параболы определяются по формулам:

^;  .

 

^{3. Преобразование графиков функции}

 3.1. Растяжение

Растяжение графика у = x² вдоль оси у в |а| раз (при |а|  < 1 — это сжатие в 1/|а|  раз).

Если, а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение  графика относительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции у = ах².

 

3.2  Параллельный перенос по оси Ох

Параллельный перенос графика функции у = ах² вдоль оси х на |m|  (вправо при

m > 0 и влево при т < 0).

Результат: график функции у = а(х - т)².

3.3 Параллельный перенос по оси Оу

Параллельный перенос графика функции  вдоль оси у на |n| (вверх при     п > 0 и вниз при п < 0).

Результат: график функции у = а(х - т)² + п.

^{4.  Квадратное уравнение}

 

  Уравнение ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, называется квадратным уравнением.

^{Выделив полный квадрат, получим  уравнение}

^{Если то отсюда следует, что}

^или

Мы получили формулу корней квадратного уравнения (формулу Виета).

При D > 0 существуют два корня x₁ и x₂. При D = 0 корни квадратного уравнения ^{совпадают: x₁ = x₂. Наконец, при D < 0 равенство невозможно, и корней у} квадратного уравнения не существует.

Если D ≥ 0, то квадратичную функцию можно разложить на множители:

Таким образом y = a (x – x₁) (x – x₂),

^где

  ^{Если D = 0, то  Если D < 0, то квадратный трехчлен нельзя разложить на} множители.

^{5. Теорема  Виета}

 

Для того чтобы числа x₁ и x₂ были корнями уравнения ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства:

Доказательство

1. Необходимость. Пусть числа и являются корнями уравнения  (a ≠ 0). Тогда     Имеем    2. Достаточность. Пусть имеется система Из  первого равенства Подставляя это значение во второе равенство, получим откуда Значит, число x1 является корнем квадратного уравнения  Аналогично доказывается, что – также корень этого уравнения.

 

^{6. Сечение  конуса}

Парабола является одним  из конических сечений

 

Точка   является точкой экстремума и называется вершиной параболы. Если a > 0, то в этой точке достигается минимум функции, и  

Если a < 0, то в этой точке достигается максимум функции, и

^{7. Построение  параболы по трем  точкам}

Функция f (x) = ax² + bx + c при b = 0 является четной, а в общем случае уже не является ни четной, ни нечетной.

 

^{ЗАКЛЮЧЕНИЕ}

Добиваясь поставленной цели, мы решили следующие задачи: применять практические навыки при решении задач, требующих комплексного применения знаний, полученных в ходе изучения различных учебных предметов;

Проработанный и изученный нами материал формирует становление  профессиональных интересов у учащихся, формирование целостного, единого представления об окружающем мире, о взаимообусловленности явлений и процессов, а также общности законов, действующих в природе.

 Эта тема позволила нам  расширить наше представления  о функции и ее свойствах.  Нас заинтересовала эта тема и мы углубили свои знания о ней. С помощью изучения квадратичной функции мы узнали ,что существуют разнообразные способы построения графиков.

Мы встречаемся с ней не только при решении задач и построении графиков, но и в окружающем мире. Ярким примером этого служит баллистика.

 

 

^{СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ}

1. ^{http://e-science.ru/math/theory/?t=144}

2. ^{http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm}

3. ^{http://www.ido.rudn.ru/nfpk/matemat/10/main_1.htm}

4. ^{В.А.Касьянов «Физика» 10 класс, Издательство ДРОФА, Москва 2004 год, с.61-68.}

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Применение

 

Траектория баллистического  движения

 

Баллистика – наука о движении снарядов, мин, пуль, неуправляемых  ракет при стрельбе (пуске). Основные разделы баллистики: внутренняя баллистика и внешняя баллистика. Исследованием реальных процессов, происходящих при горении пороха, движении снарядов, ракет (или их моделей) и т. д., занимается эксперимент баллистики. Внешняя баллистика изучает движение снарядов, мин, пуль, неуправляемых ракет и др. после прекращения их силового взаимодействия со стволом оружия (пусковой установкой), а также факторы, влияющие на это движение.

 

Графиком квадратичной функции, как  известно, является парабола. В рассматриваемом случае парабола проходит через начало координат, так из формулы:

следует, что ,y=0 при x=0. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при меньше нуля (рис. 1).

Определим основные параметры баллистического движения: время  подъема на максимальную высоту, максимальную высоту, время и дальность полета. Вследствие независимости движений по координатным осям подъем снаряда по вертикали определяется только проекцией начальной скорости на ось Y. В соответствии с формулой , полученной для тела, брошенного вверх с начальной скоростью , время подъема снаряда на максимальную высоту равно

.

Максимальная высота подъема может  быть рассчитана по формуле:

,

если  подставить вместо :

.

На рисунке 1 сопоставляется вертикальное и криволинейное движение с одинаковой начальной скоростью по оси Y. В любой момент времени тело, брошенное вертикально вверх, и тело, брошенное под углом к горизонту с той же вертикальной проекцией скорости, движутся по оси Y синхронно.

так как парабола симметрична относительно вершины, то время полета снаряда в 2 раза больше времени его подъема на максимальную высоту:

.

Подставляя время полета в закон  движения по оси X, получаем максимальную дальность полета:

.

Так как , то

. (1)

Следовательно, дальность полета тела при одной и той же начальной  скорости зависит от угла, под которым  тело брошено к горизонту (рис.2).

Дальность полета максимальна, когда  максимален  .

Максимальное значение синуса равно  единице при угле , то есть .

В отсутствие сопротивления  воздуха  максимальная дальность полета тела в поле тяжести достигается при  вылете под углом  к горизонту.

При  (навесная траектория) и (настильная траектория) (рис.2) дальность полета одинакова (см. формулу (1)).

 

Баллистическое движение в атмосфере.

Полученные результаты справедливы  для идеализированного случая, когда можно пренебречь сопротивлением воздуха. Реальное движение тел в земной атмосфере происходит по баллистической траектории, существенно отличающейся от параболистической (рис.3) из-за сопротивления воздуха. При увеличении скорости движения тела сила сопротивления воздуха возрастает. Чем больше скорость тела, тем больше отличие баллистической траектории от параболы. При движении снарядов и пуль в воздухе максимальная дальность полета достигается при угле вылета  . Расхождение простейшей теории баллистики с экспериментом не означает, что она верна в принципе. В вакууме или на Луне, где практически нет атмосферы, эта теория дает правильные результаты.

Для лунных условий во всех формулах следует заменить ускорение свободного падения и .

При описании движения тел в атмосфере  учет сопротивления воздуха требует  математического расчета, который  мы не будем приводить из – за громоздкости.

отметим лишь, что расчет баллистической траектории запуска и выведения на требуемую орбиту спутников Земли и их посадки в заданном районе осуществляют с большой точностью мощные компьютерные станции.

Программа на DELPHI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

unit Unit1;

 

interface

 

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, StdCtrls;

 

type

  TForm1 = class(TForm)

    Button1: TButton;

    Edit1: TEdit;

    Edit2: TEdit;

    Edit3: TEdit;

    Edit4: TEdit;

    Edit5: TEdit;

    Label1: TLabel;

    Label2: TLabel;

    Label3: TLabel;

    Label4: TLabel;

    Label5: TLabel;

    procedure Button1Click(Sender: TObject);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  procedure FormResize(Sender: tobject);

  procedure FormPaint(Sender:TObject);

  end;

 

var

  Form1: TForm1;

  x1,x2,y1,y2,x,y,dx,mx,my,a,e,c,d,x3,x4:real;

  l,b,w,h,x0,y0:integer;

 

implementation

 

{$R *.dfm}

 

Function f(x:real):real;

begin

f:=a*x*x+e*x+c;

end;

 

procedure GrofFunc;

begin

l:=10;

b:=Form1.ClientHeight-20;

h:=Form1.ClientHeight-40;

w:=Form1.Width-40;

x1:=-35;

x2:=25;

dx:=0.01;

y1:=f(x1);

y2:=f(x1);

x:=x1;

repeat

y:=f(x);

if (y<y1) then y1:=y;

if (y>y1) then y2:=y;

x:=x+dx;

until (x>=x2);

my:=h/abs(y2-y1);

mx:=w/abs(x2-x1);

x0:=1;

y0:=b-Abs(Round(y1*my));

with form1.Canvas do begin

 

moveto(x0,y0);Lineto(x0+w,y0);

textout(1+5,b-h,FloattoStrF(y2,ffGeneral,6,3));

textout(1+5,b,FloattoStrF(y1,ffGeneral,6,3));

x:=x1;

repeat

y:=f(x);

Pixels[x0+Round((x-x1)*mx),y0-Round(y*my)]:=clRed;

if (Abs(x)<=0.001) then begin

moveto(x0+round((x-x1)*mx),b);

Lineto(x0+Round((x-x1)*mx),b-h);

end;

x:=x+dx;

until(x>=x2);

 

end;

end;

 

procedure TForm1.FormPaint(Sender:TObject);

begin

GrofFunc;

end;

 

procedure TForm1.FormResize(Sender: tobject);

begin

Form1.Canvas.FillRect(Rect(0,0,ClientWidth,ClientHeight));

GrofFunc;

end;

 

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

a:=StrToFloat(Form1.Edit1.Text);

e:=StrToFloat(Form1.Edit2.Text);

c:=StrToFloat(Form1.Edit3.Text);

d:=e*e-4*a*c;

x3:=-e+sqrt(d)/2*a;

x4:=-e-sqrt(d)/2*a;

Form1.Edit4.Text:=FloatToStr(x3);

Form1.Edit5.Text:=FloatToStr(x4);

GrofFunc;

end;

 

end.