Квадратичные формы в олимпиадных задачах

 

Содержание

 

Введение…………………………………………………………………….2

1.Определение и свойства квадратичной функции………………………3

а) Определение, теоремы и свойства квадратичной функции……….....3

б) Утверждения о расположении корней квадратного трехчлена……11

2. Олимпиадные задачи с использованием квадратичной функции……15

Заключение…………………………………………………………………19

Список литературы………………………………………………………...20 

Введение

      В настоящее время большое значение уделяется олимпиадам различного уровня.

      В России существуют шесть видов олимпиад:

• Нижний. Это – инициативные олимпиады. Они проходят в большинстве  школ. Инициаторы, как правило, –  администрация школы или учителя. Такие олимпиады не дают никаких  льгот, преимуществ и пр.

• Второй. Это – вузовские  олимпиады. Они проводятся регулярно, но не входят в перечень олимпиад, утвержденный Российским советом олимпиад школьников.

• Ко второму уровню относятся  и олимпиады, одобренные Минобрнауки. Они получают финансовую поддержку государства.

• Третий. Олимпиады, которые  вошли в перечень, их ежегодно утверждает Российский совет олимпиад школьников. Победители получают льготы при поступлении  в лучшие вузы страны.

• Четвертый. Это – всероссийские  олимпиады. Победители (всего 600 человек) также получают льготы при поступлении.

• Олимпиады для студентов.

     Но несмотря на то, что олимпиады так различаются между собой, в олимпиады по математике ежегодно включаются задачи с использованием квадратичных функций.

       В данной курсовой работе мы рассматривали разные варианты олимпиадных задач на использование квадратичных функций. Так же в этой работе раскрывается понятие квадратичной функции и её свойства.

Объектом исследования являются квадратичные функции.

Предмет исследования – квадратичные функции в олимпиадных задачах .

Актуальность  темы обусловлена тем, что в олимпиадных задачах различного уровня большое место отводится задачам на тему: «квадратичные функции».

Цель работы: рассмотреть различные олимпиадные задачи с применением квадратичных функций.

Задачи работы: рассмотреть различные способы решения олимпиадных задач с применением квадратичных функций и уровни сложности таких задач.

 Методы исследования: поиск, анализ и синтез различных источников информации: статей, книг, Интернет-ресурсов; самостоятельное решение задач.

 

  

 

1.Определение и свойства квадратичной функции

 

Для того, что бы дать определение  квадратичной функции нам необходимо ввести понятие самой функции. Итак,

      Функция f (отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y. При этом говорят, что функция f задана на множестве X, или что f отображает X в Y. Если элементу  сопоставлен элемент , то говорят, что элемент y находится в функциональной зависимости f от элемента x. При этом переменная x называется аргументом функции f или независимой переменной, множество X называется областью задания или областью определения функции, а элемент y, соответствующий конкретному элементу x — частным значением функции f в точке x. Множество Y всех возможных частных значений функции f называется её областью значений или областью изменения.

  а) Определение, теоремы и свойства  квадратичной функции   

 Квадратичной функцией называется функция , которую можно задать формулой вида , где а с- свободный член.

     Примером квадратичной  функции является зависимость  пути от времени при равноускоренном  движении. Если тело движется  с ускорением а м/с2 и к  началу отсчета времени t прошло путь S0 v, имея в этот момент скорость V0 м/с, то зависимость пройденного пути S (в метрах) от времени t (в секундах) выражается формулой:

S=(at^2/2)+t+

Если, например, а=6 м/с2, =5 м/с, =20 м,

то формула примет вид:

S=3t^2+5t+20

Рассмотрим некоторые  свойства квадратичной функции

 Свойства квадратичной  функции: 

1. D( f ) = R (D-дискриминант).
2. Имеет два различных корня (значения x)  при ,  один корень    при ,  не имеет корней при   (формула для вычисления корней квадратного трехчлена    верна при ).
3. Графиком квадратичной функции является парабола – выпуклая кривая, имеющая ось симметрии (прямая  ).  Точка , где Xo   называется вершиной параболы. Ветви параболы направлены вверх при ,  ветви параболы направлены вниз при
4. E(f)=       при .

Для решения квадратных уравнений  часто «приходит на помощь» теорема  Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Или

Если  и — корни квадратного уравнения a + bx + c = 0 , то

 и .

Свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле

При ветви параболы направлены вниз, при - вверх.

Точка с координатами (x0; y0) называется вершиной параболы.

D>0

 

 

 

D=0

 

D<0

 

 

При решении некоторых  задач есть необходимость исследования графика функции.

Приведем примеры таких исследований:

1)Дана квадратичная функция: y = - 4x + 3

 

Ее ветви направлены вверх, т.к. a = 1 > 0

 Координаты вершины (2;-1), т.к.

 

 

 Ось симметрии параболы:

 

 

Координаты точек пересечения  с осью х:

 

                                                 (x1; 0) = (1; 0) и (x2; 0) = (3; 0)

 

Координаты точки пересечения  с осью у:

(0; c) = (0; 3)

 симметричная ей точка  относительно оси параболы:

 

 

 

2) Рассмотрим другой пример

                                     y= - - 6x - 9

 

 

Ветви направлены вниз, т.к. a = -1 < 0

Координаты вершины (-3;0), т.к.

 

 

 

)-9=0

 Ось симметрии параболы:

 

 

 Координаты точки касания  с осью х: (x1; 0) = (-3; 0).

 Координаты точки пересечения  с осью у: (0; c) = (0;-9)

 симметричная ей точка  относительно оси параболы:

 

 

Рассмотрим несколько  теорем преобразования квадратного  трехчлена.

Теорема 1.  Любой квадратный трехчлен   может быть представлен

в виде  ,  где точка   – вершина параболы .

 Доказательство.

 

Здесь  – абсцисса, а – - ордината вершины параболы.

Теорема 2.  Любой квадратный трехчлен    с неотрицательным

дискриминантом    может быть представлен в виде ,  где и – корни этого квадратного трехчлена.

Доказательство.

  )

 

Здесь    и   – корни данного квадратного трехчлена.

 

С помощью выделения полного  квадрата любую квадратичную функцию  можно представить в виде:

 Это свойство позволяет  построить график квадратичной  функции с помощью элементарных  преобразований графика функции y = .

 Построение графика  y = можно произвести в три этапа:

 

1.Растяжение графика y = вдоль оси у в а раз (при a < 1 - это сжатие в 1/a раз).

 Если a< 0, произвести ещё и зеркальное отражение графика относительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).

 Результат преобразования: график функции y = a

 

2. Произвести параллельный  перенос графика функции y = a вдоль оси x на m (вправо при m > 0 и влево при m < 0).

 Результат преобразования: график функции y = a

 

3. Параллельный перенос  графика функции y = aвдоль оси y на n (вверх при n > 0 и вниз при n < 0)

 

Результат преобразования: график функции y = a+n

 

 Примеры: 

 1)  

 

1.Растяжение графика функции y = вдоль оси y в 2 раза

2. Параллельный перенос графика функции y = 2 вдоль оси x на 3 вправо 

3.Параллельный перенос графика функции

y = 2вдоль оси y на 1 вверх.

2)

  

 

1. Сжатие графика функции  y = вдоль оси y в 2 раза и преобразование симметрии относительно оси x  

2. Параллельный перенос  графика функции y = - вдоль оси x на 2 влево 

3.Параллельный перенос графика функции

y = - 

 

Для решения многих задач  необходимы следующие утверждения:

б) Утверждения о расположении корней квадратного трехчлена

Пусть f(x)=ax2+bx+c имеет действительные корни x1 и x2, а M – какое-нибудь действительное число, D= – 4ac.

Утверждение 1. Для того чтобы  оба корня квадратного трехчлена  были меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

  или 

 

Утверждение 2. Для того чтобы  один из корней квадратного трехчлена  был меньше, чем число M, а другой больше, чем число M (т.е. точка M лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:    или 

 

Утверждение 3. Для того чтобы  оба корня квадратного трехчлена  были больше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси правее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение условий:

   или 

 

 

 

 

 

Утверждение 4. Для того чтобы  оба корня квадратного трехчлена  были больше, чем число M, но меньше, чем число N (M<N), т.е. лежали в интервале  между M и N, необходимо и достаточно:

или  

 

 

Утверждение 5. Для того чтобы  только больший корень квадратного  трехчлена лежал в интервале [M,N] (M < N), необходимо и достаточно:

  или 

(при этом меньший корень  лежит вне отрезка [M, N]).

 

Утверждение 6. Для того чтобы  только меньший корень квадратного  трехчлена лежал в интервале [M, N], необходимо и достаточно:

  или 

 

(при этом больший корень  лежит вне отрезка [M, N]).

 

Утверждение 7. Для того чтобы  один из корней квадратного трехчлена  был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M < N), т.е. отрезок [M, N] целиком  лежал внутри интервала между  корнями, необходимо и достаточно:

   или 

 

 

 

 

2.Олимпиадные задачи с использованием квадратичных функций.

  Известно, что олимпиадные  задачи отличаются по уровню  сложности от обычных, которые  входят, например, в школьный курс. Поэтому способы решения таких  задач необходимо рассмотреть  более подробно. Доступность формулировок и простота задач о квадратных трехчленах позволяют располагать их на первых, наиболее легких для решения, позициях варианта. Нередко такие задачи допускают несколько принципиально различных способов решения. С другой стороны, они могут быть достаточно сложными, основывающимися на красивом «олимпиадном» решении.

  Как правило, необходимым шагом решения таких задач является исследование дискриминанта квадратного трехчлена, применение теоремы Виета, использование свойств графика квадратичной функции. В то же время решение может дополнительно требовать привлечений идей из других разделов математики, например, теории чисел или геометрии.

Задачи, которые наиболее часто встречаются, это задачи решение  которых сводится к нахождению дискриминанта. Рассмотрим одну из таких задач.

Задача 1. Докажите, что при любых а и b уравнение ( имеет решение.

Доказательство. Если , то данное уравнение - квадратное с дискриминантом

 

Если , то уравнение имеет корень x=0.

Задачи, при решении которых  необходимо знание теоремы Виета  также очень часто встречаются  в олимпиадах различного уровня.

Задача 2 Квадратный трехчлен х² + ах + b имеет целые корни, по модулю большие 2. Докажите, что число а + Ь + 1 - составное.

Доказательство. Пусть х, и х₂ - корни данного трехчлена. В силу теоремы Виета

 

Из условия следует, что  каждая скобка не равна 1, -1 или 0, то есть число a + b + 1  - составное.

Задача 3. Квадратный трехчлен Р(х) = ах² + bх + с (а, b, с - целые числа, с - нечетное число) имеет целые корни. Может ли P(1997)  быть нечетным числом?

Решение.

Пусть    х, и    х₂   - корни Р(х).   По теореме Виета    х_{2,    т.е.}

  х_г а = с.   По условию  с  - число нечетное. Числа , х₂,  a - целые. Отсюда следует, что числа   х₂,   а   - нечетные. По теореме Виета   х, + х₂ = =   , т.е.

b= -а (х, + х₂),   значит,    b   - четное число. Тогда

Р(1997) = а 1997² + b 1997 + с есть сумма двух нечетных и одного четного числа, т.е. четное число.

Ответ: не может.

Задача 4 Найдите все такие простые р и q, что уравнение рх² + pqx + q = 0 имеет целые корни.

Решение. Пусть х, и х₂ - корни уравнения   p+ pqx + q = 0.   Тогда по

теореме Виета  

Отношение    простых чисел – целое число, значит, р = q и х, х₂ = 1, откуда х, = х₂ = -1  и р = q = 2.

Ответ: р = q = 2.

 

Многие задачи решаются с  помощью графиков, то есть необходимо построить график функции или  выяснить проходит даны график через  определенные точки или нет.

Задача 5

Рассматриваются квадратичные функции вида   у = х² + рх + q,    у которых

р + q = 2001.    Докажите, что их графики проходят через одну точку.

Доказательство.  Рассмотрим значение трехчлена в точке х„ = 2.  Тогда

 

то есть графики всех трехчленов проходят через точку (2; 4006).

Задача 6. Изображены графики трех квадратных трехчленов. Могут ли это быть трехчлены ах² + bх + с, сх² + ах + b, + сх + а?

Рис. 1.

Решение. Предположим, что  могут. Заметим, что значения данных трехчленов в точке х = 1 совпадают (они равны а + b + с). Но из рисунка видно, что каждые две параболы пересекаются в двух точках, причем все шесть точек пересечения различны. Пришли к противоречию.

Ответ: не могут.

 

Задача 7

Дан график функции у = х + ах + а (рис. 2). Найдите а.

Рис. 2.

Решение.

График касается оси   Ох, поэтому    , ,

т.е.  а = 2и   а =.   Отсюда а = 0 или а = 4.   Но из графика видно, что а 0.

Ответ:  а = 4.

Задача 8

Верно ли, что если квадратные уравнения + ах + b = 0 и + сх + d = 0 не    имеют    корней,    то    и    уравнение не имеет корней?

Решение.

 Способ 1.

 По условию а² < 4b,    .    Покажем, что тогда

 

Имеем:

 

 

Способ 2.

Пусть (х) = х² + ах + Ь.    f₂ (х) = х² + сх + d.

По условию  > 0 и f₂ > 0 при всех х, так как D, < 0 и D₂ < 0. Но тогда и

значит, уравнение f(х) = 0 не имеет корней.

Ответ: верно.

      Задача 9 Произведение производных двух квадратных трехчленов при всех значениях переменной больше суммы этих трехчленов. Докажите, что хотя бы один из трехчленов будет принимать и отрицательные значения.

Доказательство.

 Если х₀ - абсцисса вершины параболы у = f(x), то f'(x) -линейная функция, обращающаяся в нуль при х = х₀. Значит, в точке х = х₀, где x₀ - абсцисса вершины параболы у = , сумма данных трехчленов отрицательна (по условию). Отсюда следует, что в точке х = х₀ значение по крайней мере одного из трехчленов отрицательно

Задача 10

Параболы вида у + bх + с проходят через одну точку. Докажите, что вершины всех таких парабол лежат на одной параболе.

Доказательство.

Способ 1. Пусть параболы проходят через точку О(; ). Тогда   + b + с,   откуда

Вершина каждой из данных парабол  имеет координаты    :

 

 

Значит, y_b = , следовательно, вершины парабол лежат на параболе   у = х^г - 2х_ах + (у_а+ )

Замечание. Вычисления упростятся, если перенести начало координат в точку (х₀; у₀). Вид данных парабол при таком параллельном переносе не изменится.

Способ 2. Построим параболу П₀ вида у = х² + Ах + В с вершиной в точке О. Пусть V - вершина одной из данных парабол П. Тогда при симметрии относительно точки М - середины отрезка OV - парабола  П  переходит в параболу П₀ (рис. 3) (парабола однозначно определяется вершиной и коэффициентом при х²                                                                        . Поэтому точка О, являющаяся одновременно точкой, принадлежащей параболе П, и вершиной параболы , перейдет в точку, принадлежащую параболе П₀, и в вершину параболы П. Значит, вершина  V лежит на параболе П₀.

 

Заключение

         

                  Рассматривая и анализируя различные источники информации, мы пришли к выводу, что задачи с применением квадратичных функций, очень часто встречаются, как на ЕГЭ, так и на вступительных экзаменах в ВУЗы, на олимпиадах по математике.

В силу вышеизложенного материала, можно сделать вывод, что квадратичные функции занимают далеко не последнее  место не только в курсе математики, но и в олимпиадах по этому предмету. Поэтому данная тема в настоящее  время очень актуальна, и учащиеся должны в полной мере освоить материал по данной теме.

      В данной курсовой работе мы рассмотрели задачи на:

• Исследование дискриминанта квадратного трехчлена
• Применение теоремы Виета
• Использование свойств графика квадратичной функции.

 

      Поставленные в начале работы цели и задачи выполнены. Были рассмотрены:

• различные олимпиадные задачи с применением квадратичных функций
• свойства квадратичных функций
• теоремы и утверждения, помогающие при решении таких задач.

 

 

 

   Список литературы

1. «Квадратичная функция в задачах муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике». Журнал «Математика в школе» № 9. 2010 год
2. Г.Д. Глейзер, С.М. Саакян Алгебра и начала анализа 1995 год
3. «К  проблеме  школьного  математического образования» журнал «Математика в школе» №3. 1988 год
4. Г.А. Гальперин, А.К. Толпыго Московские математические олимпиады 1986 год
5. А. Н. Колмогоров «Что такое график функции?» Физико-математический журнал «Квант» №2 1970 год
6. В.В. Зайцев, В.В. Рыжков, М.И. Сканави Элементарная математика 1974 год

Так же использовались электронные  ресурсы:

7. http://festival.1september.ru/articles/579417/
8. http://parametry.narod.ru/square.html