Леонід Віталійович Канторович – внесок вченого у розвиток науки

ЗМІСТ

ВСТУП 2

1. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ НАУКИ ПРО УПРАВЛІННЯ 3

2. КОРОТКИЙ ЖИТТЄПИС Л.В. КАНТОРОВИЧА 5

3. ВНЕСОК ВЧЕНОГО У РОЗВИТОК МАТЕМАТИКИ 8

4. ЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ ТА Л.В. КАНТОРОВИЧ 12

5. ДІЯЛЬНІСТЬ КАНТОРОВИЧА ЯК ЕКОНОМІСТА 16

ВИСНОВОК 20

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 22

ВСТУП

19 січня 2012 виповнилось 100 років від дня народження члена Академії наук СРСР Леоніда Віталійовича Канторовича. Багатьом відомо, що Л.В. Канторович – єдиний радянський вчений, нагороджений Нобелівською премією з економіки. Для більшості цими відомостями знання про Л.В. Канторович і вичерпуються. Але його внесок у науку і його боротьбу за впровадження наукових методів управління економікою нашої країни неможливо переоцінити.

Леонід Віталійович Канторович увійшов до плеяди найбільших учених двадцятого століття завдяки своєму капітальному вкладу в математику та економіку. Дослідження Л. В. Канторовича в області функціонального аналізу, обчислювальної математики, теорії екстремальних задач, дескриптивної теорії функцій і теорії множин вплинули на становлення та розвиток зазначених математичних дисциплін, послужили основою для формування нових наукових напрямів.

Л.В. Канторович належить до тих класиків вітчизняної науки, які своїм особистим внеском створювали наукову методологію вироблення і прийняття управлінських рішень і робили все можливе для впровадження своїх ідей в реальну практику управління економікою країни.

1. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ  НАУКИ ПРО УПРАВЛІННЯ

 Сучасна економіка характеризується великою кількістю різноманітних технологічних процесів, що постійно ускладнюються і здійснюються людино-машинними системами. Тому прийняття управлінських рішень у сфері економіки стає все більш актуальним і важким завданням. Постійно зростає рівень складності техніко-технологічних завдань, з якими щодня має справу виробництво, а разом з тим відбувається і ускладнення організаційних форм. Різко зростає число альтернативних способів дії, що підлягають аналізу для прийняття оптимальних рішень. Сам аналіз рішень також утруднений, оскільки все складніше передбачити наслідки прийнятих рішень через зростання невизначеності. І ціна помилкових рішень приймає загрозливих розмірів внаслідок масштабів автоматизації та ефекту ланцюгової реакції.

 Таким чином, сучасна технічно складна економіка вимагає вдосконалення систем управління на всіх рівнях агрегування. Тому сучасному керівникові вже недостатньо особистого досвіду, інтуїції і організаторських здібностей в їх традиційному розумінні. Йому необхідні наукові знання про процеси переробки інформації та принципи прийняття рішень. Такі знання виробляє молода прикладна наука, що отримала широке поширення в ІІ пол. XX ст., яку в нашій країні в різний час називали по-різному: дослідження операцій, економічна кібернетика, наука про управління, прийняття (управлінських) рішень і т. п. Проте мету, завдання і предмет дослідження цієї дисципліни можна охарактеризувати цілком виразно: застосування природничо-наукового методу до аналізу завдань організаційного управління для забезпечення тих, хто управляє, оптимальними рішеннями.

 У західних країнах ця дисципліна включається в якості одного з найважливіших базових елементів в навчальні плани підготовки економістів і практичних менеджерів всіх рівнів.

 Л.В. Канторович належить до тих класиків вітчизняної науки, які своїм особистим внеском створювали наукову методологію вироблення і прийняття управлінських рішень і робили все можливе для впровадження своїх ідей в реальну практику управління економікою країни. 

2. КОРОТКИЙ  ЖИТТЄПИС Л.В. КАНТОРОВИЧА

 Л.В. Канторович народився 19 січня 1912 р. в Петербурзі в сім'ї лікаря. У 1926 році у віці 14 років він вступив в Ленінградський університет. Вже через рік почав активну діяльність у наукових семінарах і протягом двох наступних років йому вдалося вирішити ряд важких і принципових проблем, які в ту пору були в центрі уваги математиків.

 Закінчивши ЛДУ в 1930 році, він почав педагогічну роботу в ленінградських вузах, поєднуючи її з інтенсивними науковими дослідженнями. Вже в 1932 році він став професором Ленінградського інституту інженерів громадянського будівництва та доцентом ЛДУ. У 1934 році Леонід Віталійович стає професором своєї alma mater. У 1935 р. йому була присуджено вчений ступінь доктора фізико-математичних наук без захисту дисертації. З ЛДУ і Ленінградським відділенням знаменитого МІАН (Математичний інститут ім. В. А. Стеклова Академії наук СРСР) Леонід Віталійович пов'язав своє життя аж до переходу в Сибірське Відділення АН СРСР наприкінці п'ятдесятих років.

 Основні наукові праці в галузі математики Леонід Віталійович створив саме у свій «ленінградський» період. У тридцяті роки він публікує більше статей по чистій математиці. Саме в цей період ним були закладені основи нової математичної теорії – теорії впорядкованих просторів, що займає особливе місце в його діяльності. Леонід Віталійович дав різноманітні програми своєї теорії до багатьох напрямків сучасної математики.

 У роки Великої Вітчизняної війни Л.В. Канторович був покликаний в Збройні Сили і викладав у Вищому військовому інженерно-технічному училищі. У цей час він написав оригінальний курс «Теорія ймовірностей» (1946), призначений для військових навчальних закладів, що відображає специфічні військові програми цієї науки. В 1999 р. з ініціативи ВІТУ (Військового інженерно-технічного університету) на його будівлі в Петербурзі з'явилася меморіальна дошка в честь великого науковця.

 Сорокові роки для Л.В. Канторовича – також час робіт з обчислювальної математики, де він стає визнаним лідером в СРСР. На початку 50-х років з ініціативи Л.В. Канторовича на математико-механічному факультеті Ленінградського університету була організована перша в Росії спеціалізація з обчислювальної математики, а в подальшому і кафедра, яку спочатку очолив його співавтор В.І. Крилов. З роботами з обчислювальної математики пов'язано безпосередню участь Л.В. Канторовича у розвитку обчислювальної техніки. Він керував конструюванням нових обчислювальних пристроїв, йому належить ряд винаходів у цій галузі. Спільно з учнями він розробляв оригінальні принципи машинного програмування для чисельних розрахунків і, що було в ті роки зовсім незвичайно, для проведення складних аналітичних викладок. У 1949 році за роботи в області чисельних методів Л.В. Канторович був нагороджений Сталінською (Державною) премією.

 З кінця тридцятих років яскраво заявляє про себе Л.В. Канторович як економіст. У 1939 році виходить у світ його знаменита брошура «Математичні методи організації і планування виробництва» [4], що ознаменувала народження лінійного програмування. Надалі в його творчості економічна проблематика виходить на перший план. Вже в 1942 р. ним був написаний перший варіант капітальної монографії «Економічний розрахунок найкращого використання ресурсів». Ця робота настільки випереджала час і настільки не відповідала догмам тодішньої політичної економії, що її публікація виявилася можливою тільки в 1959 р. і повторно в 1960 р. [6]. Тоді піонерські ідеї Л.В. Канторовича були легалізовані, отримали деяке визнання і почали використовуватися в економічній практиці. Проте це вимагало від Леоніда Віталійовича впертої боротьби. Надалі ця книга була перекладена на англійську, французьку, японську, румунську, словацьку, польську, сербську, іспанську мови. Пріоритет Л.В. Канторовича був визнаний і на Заході, про що свідчить присудження йому Нобелівської премії.

 У 1957 році Леоніда Віталійовича запрошують на роботу у Сибірське відділення Академії наук СРСР і обирають на перших виборах членом-кореспондентом з Відділу економіки. З цього моменту основні публікації Канторовича відносяться до економіки, за винятком, насамперед, всесвітньо відомого курсу функціонального аналізу – «Канторович і Акілов» [12].

 Шістдесяті роки для Леоніда Віталійовича – час визнання. У 1964 році його обрано дійсним членом АН СРСР з Відділу математики. У 1965 р. дослідження Л.В. Канторовича в області економіко-математичних методів були удостоєні Ленінської премії, а в 1975 р. Л.В. Канторович разом з американським економістом Т. Купмансом був відзначений Нобелівською премією з економіки з формулюванням «за внесок в теорію оптимального використання ресурсів». У ці роки він особливо інтенсивно розвиває та відстоює свою тезу про взаємопроникнення математики та економіки, витрачає величезні зусилля на впровадження ідей і методів сучасної науки в практику радянської економіки.

 У 1971 р. Л.В. Канторович був переведений на роботу в Москву, де керував спочатку Проблемною лабораторією Інституту управління народним господарством ДКНТ, а з 1976 р. Відділом системного моделювання науково-технічного прогресу Всесоюзного науково-дослідного інституту системних досліджень. Всі ці роки Л.В. Канторович був членом Державного комітету з науки і техніки, учасником ряду інших комітетів і міністерств як член науково-технічних та експертних рад.

 Видатні заслуги Л.В. Канторовича були відзначені державою. Він нагороджений двома орденами Леніна – в ті роки найвищою нагородою країни, трьома орденами Трудового Червоного Прапора, орденами «Знак Пошани» і Вітчизняної війни II ступеня, багатьма медалями.

 Л.В. Канторович був членом ряду зарубіжних академій і почесним доктором багатьох університетів, брав участь в роботі міжнародних наукових товариств.

 До останніх своїх днів Леонід Віталійович був сповнений творчих планів і активно працював над їх втіленням у життя. Вже в останні місяці свого життя, перебуваючи в лікарні, він продиктував свої автобіографічні нотатки «Мій шлях в науці», опубліковані в «Успіхах математичних наук».

 Л.В. Канторович помер 7 квітня 1986 р. в Москві і похований на Новодівичому кладовищі.

3. ВНЕСОК ВЧЕНОГО  У РОЗВИТОК МАТЕМАТИКИ

 Перші наукові результати Леоніда Віталійовича, докладені ним на семінарі Г.М. Фіхтенгольца в Ленінградському держуніверситеті в 1927/28 рр. (у віці 15-16 років!) і опубліковані в 1929 році в престижних європейських журналах, ознаменували народження яскравого математичного таланту.

 Перший цикл дослідження Леоніда Віталійовича, виконаний в 1927-1931 рр., належав до теорії функцій і множин. У той час теорія функцій дійсної змінної та теорія множин займали одне з центральних місць в математиці і мали істотний вплив на розвиток інших розділів математики. Л.В. Канторовичу вдалося виявити ряд тонких ефектів у цій області. Він розвинув новий аналітичний апарат, який до цих пір використовується в теорії функцій. Отримані ним результати доповнювали дослідження таких класиків математики як А. Лебег, Р. Бер, А. Данжуа, У. Янг, А. Безікович, С.Н. Бернштейн.

 У 1932-1936 рр. Л.В. Канторович звернувся до наближених методів аналізу. І тут Леонід Віталійович взявся за проблеми, якими займалися найбільші математики того часу такі, наприклад, як академіки М.М. Боголюбов, М.В. Келдиш, І.Г. Петровський. Він збагатив цей важливий розділ математики рядом принципово нових підходів, які вже з 1930-х років стали включати у підручники, монографії і різні посібники з математики. Дослідження Л.В. Канторовича по наближеним методам аналізу тривали і в наступні роки, але зазначений період увінчався монографією «Методи наближеного розв'язання рівнянь в часткових похідних», написаної ним спільно з В.І. Криловим в 1936 році. Цей твір став першою у світовій науковій літературі книгою з чисельних методів вищого аналізу, неодноразово перевидавався надалі в Росії і за кордоном.

 Нещодавно було виявлено лист академіка М.М. Лузіна Л.В. Канторовичу, датований 29 квітня 1934 року. Цей лист дає можливість відчути ставлення до яскравого даруванню Леоніда Віталійовича як математика. Микола Миколайович, один з перших математиків того часу і засновник знаменитої «Лузітанії», писав:

 «... Ви повинні знати, яке моє ставлення до Вас. Вас повністю, як людину, я не знаю ще, але вгадую м'який чарівний характер. Але те, що я точно знаю – це розмір Ваших духовних сил, які, наскільки я звик вгадувати людей, представляють в науці необмежені можливості. Я не стану вимовляти відповідного слова – навіщо? Талант – це занадто мало. Ви маєте право на більше ...».

 Слова М.М. Лузіна виявилися пророчими: у найважливіших досягненнях Л.В. Канторовича проявився не просто талант неабиякого математика, а рука Майстра, що творить магістральні шляхи розвитку науки. Проілюструємо цю думку на прикладі вкладу Леоніда Віталійовича в функціональний аналіз.

 У двадцяті роки минулого століття інтенсивно став формуватися новий науковий напрям, що отримав згодом назву «Функціональний аналіз». Виникнення функціонального аналізу було пов'язане із затвердженням нової, «соціологічної» парадигми: якщо в класичному математичному аналізі основним об'єктом вивчення були індивідуальні функції і зв'язуючі їх співвідношення, то у функціональному аналізі основним предметом дослідження стали «структуровані спільноти» функцій, які отримали назву нормованих просторів і банахових просторів, і зберігають структуру перетворення. Саме вони стали основними синтезуючими поняттями, саме з цими об'єктами були пов'язані найважливіші абстрактні побудови функціонального аналізу.

 Вважається, що функціональний аналіз досяг зрілості до 1932 року. Саме в цьому році вийшли в світ три фундаментальні монографії, написані відповідно польським математиком Стефаном Банахом і американцями Джоном фон Нейманом і Маршаллом Стоуном. Незабаром після цього в Ленінградському університеті починає формуватися одна з перших вітчизняних шкіл з функціонального аналізу. Виконані в 1934 р. роботи Л.В. Канторовича і Г.М. Фіхтенгольца з проблеми представлення лінійних функціоналів і операторів з'явилися першими дослідженнями російських математиків з теорії нормованих просторів. До того часу Л.В. Канторович зарекомендував себе як блискучий аналітик, отримав ряд першокласних результатів у таких традиційних в той час сферах аналізу як теорія функцій, теорія множин, наближені методи аналізу. Молодого талановитого математика (в 1934 Леоніду Віталійовичу було всього 22 роки), захопленого функціональним аналізом, здавалося б, сама доля направляла в нову сферу досліджень, відкриту Е. Хеллі, Г. Ханом, С. Банахом та ін., в якій відбувалися найважливіші події наукового напрямку, що стрімко розвивався. Але Л.В. Канторович пішов своїм шляхом: у якості основи для побудови функціонального аналізу він ввів новий об'єкт, званий нині простором Канторовича. Такий підхід дозволяв охопити методами функціонального аналізу важливі аспекти класичного аналізу, пов'язані з можливістю порівнювати елементи функціональних просторів, та які не отримали жодного відображення при побудові теорії нормованих просторів.

 Першою роботою Л.В. Канторовича у зазначеній області була замітка 1935 року в Доповідях Академії наук СРСР [3], в якій він писав: «У цій замітці я визначаю новий тип просторів, які я називаю лінійними напіввпорядкованими просторами. Введення цих просторів дозволяє вивчати лінійні операції одного загального класу (операції, значення яких належать такому простору) як лінійні функціонали». Функціоналом називають операцію, значеннями якої служать числа. Тому зазначену думку Л.В. Канторовича слід розуміти так, що операції, значення яких належать простору Канторовича, можна вивчати так, як якщо б їх значеннями були звичайні числа. Це положення, висловлене спочатку як евристичне міркування, виявилося однією з тих стрижневих ідей, які, граючи організуючу роль у становленні нового напрямку, привели, в кінцевому підсумку, до глибокої і витонченої теорії просторів Канторовича, багатої різноманітними додатками, а через тридцять років стало потужним дослідницьким методом у рамках сучасної математичної логіки[15, 16].

 У 1940 р. Л.В. Канторович приступив до підготовки підсумкової монографії. Однак робота над цією монографією була завершена спільно з Б.З. Вулихом і А.Г. Пінскером лише до кінця 40-х років. У книзі «Функціональний аналіз у напіввпорядкованих просторах» (1950) вперше дається систематичний виклад теорії K-просторів [13]. Вона до цих пір є цінним посібником для фахівців в цій області.

 Л.В. Канторович також вперше застосував методи функціонального аналізу в обчислювальній математиці. Цьому напрямку присвячені його роботи 1937-1957 рр. Центральною тут є стаття «Функціональний аналіз та прикладна математика» (1948) [5], що об'єднує цілий цикл його робіт і відзначена Державною премією. Сама назва цієї статті звучала в 1948 р. незвично. Лише тепер, причому в значній мірі завдяки роботам Л.В. Канторовича, функціональний аналіз став основним апаратом в дослідженнях з обчислювальної математики. Основна думка статті, піонерська в той час і загальноприйнята в сучасній математиці, полягає в тому, що «ідеї та методи функціонального аналізу можуть бути використані для побудови та аналізу ефективних практичних алгоритмів математичних задач з таким же успіхом, як для теоретичного аналізу цих завдань».

 Не зупиняючись на великому числі інших математичних праць Л.В. Канторовича, не можна не відзначити все ж знамениту монографію «Функціональний аналіз в нормованих просторах», написану Л.В. Канторовичем спільно з Г.П. Акіловим і випущену в 1959 році. Ця монографія – плід творчої співдружності великого математика і видатного педагога – зробила істотний вплив на дослідження з застосуванням функціонального аналізу та на його викладання в провідних вузах СРСР і за кордоном. Поряд з оригінальним трактуванням традиційних розділів функціонального аналізу в нормованих просторах велику увагу в книзі приділено додаткам до обчислювальної математики. Зазначена монографія перекладена на багато мов. У 1977 р. вийшло її друге, істотно перероблене і доповнене видання («Функціональний аналіз»), в яке включені питання функціонального аналізу, пов'язані з математичною економікою, а також викладаються основи теорії впорядкованих просторів. Це видання також переведено на кілька мов.

4. ЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ ТА Л.В. КАНТОРОВИЧ

Завдання  оптимізації виникли в глибокій старовині. Перша екстремальна задача, що дійшла до нас носить ім'я фінікійської царівни Дідони. Легенда розповідає, що близько 825 року до н. е.. Дідона, дочка царя м. Тіра, що бігла від переслідувань брата, вирушила на кораблях по Середземному морю і пристала до африканського берега (нинішня Туніської затоки). У ході переговорів з туземцями, Дідона виторгувала собі клаптик землі, який можна оточити воловою шкірою. Розрізавши шкіру на вузькі смужки, вона зв'язала їх у довгу мотузку, оточила нею значну територію і згодом заснувала там місто Карфаген. Безсумнівно, що при виділенні ділянки землі Дідона зіткнулася з наступною задачею: в якій формі потрібно розташувати мотузку, щоб обмежуваний їй ділянку землі мав найбільшу площу? Відповідь добре відомий: мотузку потрібно розташувати у вигляді кола, так як коло має найбільшу площу серед всіх плоских фігур з одним і тим же периметром (довжиною мотузки-межі). Але природно вважати, що Дідона хотіла зберегти вихід до моря, і тоді рішення інше: мотузку слід розташувати у формі півкола, кінці якої впираються в берегову лінію (припускаючи, що берегова лінія являє собою пряму).

 Таким чином, завдання оптимізації були породжені практичною діяльністю людини. У 40-х роках дослідження економічних проблем і завдань організаційного управління породили новий розділ математичного аналізу, який отримав назву математичного програмування. Лінійне програмування – частина математичного програмування – відноситься до числа найбільш широко поширених методів аналізу завдань організаційного управління. У ті ж роки з потреб найкращої організації бойових дій набув розвитку прикладний науковий напрямок – дослідження операцій, математичний апарат якого також включає математичне програмування. Трохи пізніше була створена теорія оптимального управління, що розвивалась у зв'язку з проблемами управління літаючими апаратами і складними технологічними процесами. Визначну роль у створенні математичної теорії оптимального управління зіграв інший радянський математик академік Л.С. Понтрягін [18].

 У 1938 р. до Л.В. Канторовича звернулися співробітники Центральної лабораторії Ленінградського фанерного тресту з проханням порекомендувати чисельний метод для розрахунку раціонального плану завантаження наявного обладнання. Йшлося про комплексне виконання п'яти видів робіт на лущильних верстатах восьми типів. Питання зводилося до добре відомої математичної задачі, проте її рішення методами класичного аналізу було пов'язане з обчислювальними труднощами (було потрібно вирішити 109 систем лінійних рівнянь з 12 невідомими). Тому стало ясно, що ефективні методи вирішення подібних завдань мають базуватися на принципово нових ідеях, які дозволяють проводити цілеспрямований перебір зазначених комбінацій. Роздуми про цей клас завдань і привели Леоніда Віталійовича до лінійного програмування.

 Ядром відкриття Л.В. Канторовича є встановлений ним об'єктивний зв'язок завдання оптимального планування з завданням визначення відповідних вартісних показників. На цій основі формулюються ознаки оптимальності, що дозволяють запропонувати різні схеми спрямованого перебору допустимих планів і систем вартісних показників. Іншими словами, з оптимальним планом будь-якої лінійної програми автоматично пов'язані оптимальні ціни або «об'єктивно зумовлені оцінки». Останнє громіздке словосполучення Леонід Віталійович вибрав з тактичних міркувань для підвищення «критикостійкості» терміну. Взаємозалежність оптимальних рішень та оптимальних цін – така коротка суть економічного відкриття Л.В. Канторовича.

 Основам оптимального виробничого планування присвячені доповіді Л.В. Канторовича, з якими він виступав у Ленінградському університеті та Ленінградському інституті інженерів промислового будівництва в травні 1939 р. У тому ж році була видана брошура «Математичні методи організації і планування промислового виробництва», що є собою доповненою стенограмою цих доповідей, де досліджуються різні класи планово-виробничих задач.

 Для характеристики широти охоплення матеріалу варто перелічити найменування розділів: розподіл обробки деталей по верстатах; організація виробництва з забезпеченням максимального виконання плану за умови заданого асортименту; найбільш повне використання механізмів; максимальне використання комплексної сировини; найбільш раціональне використання палива; раціональний розкрій матеріалів; найкраще виконання плану будівництва при даних будівельних матеріалах; найкращий розподіл посівних площ; найкращий план перевезень. Математичному викладу і обґрунтуванню запропонованих методів присвячені три додатки. В останньому з них доводиться існування розв'язувальних множників.

 Видатний американський фахівець в області лінійного програмування Дж. Данциг [1] зазначав: «Робота Л.В. Канторовича 1939 р. містить майже всі області додатків, відомі в 1960 р.».

 Розробці і конкретизації методів лінійного та нелінійного програмування присвячені роботи Леоніда Віталійовича 1940-1981 рр.

 Сам термін «лінійне програмування» був запропонований в 1951 році Т. Купмансом – американським економістом, разом з яким Л.В. Канторович і отримав в 1975 році Нобелівську премію «за внесок в теорію оптимального використання ресурсів».

 У США лінійне програмування виникло в 1947 році перш все в роботах Дж. Данцига. Слова Дж. Данцига про розвиток лінійного програмування [1]:

 «Радянський математик Л.В. Канторович на протязі ряду років цікавився застосуванням математики до завдань планування... Канторовича слід визнати першим, хто виявив, що широкий клас найважливіших виробничих завдань піддається чіткому математичному формулюванню, яке, на його переконання, дає можливість підходити до завдань з кількісної сторони і вирішувати їх чисельними методами ...»

 «Канторович описав метод рішення, заснований на наявному спочатку допустимому рішенні ... Хоча двоїсті змінні і не називалися «цінами», в цілому ідея методу полягає в тому, що обрані значення цих «розв'язувальних множників» для відсутніх ресурсів можна довести до рівня, коли стає доцільною перекидання ресурсів, які є надлишковими ...»

 «Якщо б перші роботи Канторовича були б у належній мірі оцінені в момент їх першої публікації, то, можливо, в даний час лінійне програмування просунулося б значно далі».  

5. ДІЯЛЬНІСТЬ КАНТОРОВИЧА ЯК ЕКОНОМІСТА

Л.В. Канторович вніс великий внесок в економічну науку. Слід мати на увазі, що Леонід Віталійович жив і працював в країні з централізованим плануванням, бачив переваги і недоліки цієї системи і прагнув удосконалити її. Зроблене ним не втратило значення після зміни економічного устрою, хоча деякі його досягнення сприймаються тепер у новому світлі.

  З його ім'ям пов'язаний природничо-науковий підхід до дослідження широкого кола проблем планування. Л.В. Канторович заклав фундамент сучасної теорії оптимального планування. Розгорнутому викладу основних ідей цієї теорії присвячена його капітальна монографія «Економічний розрахунок найкращого використання ресурсів»[6]. Стрижнем цієї книги є формулювання основного завдання виробничого планування і динамічної задачі оптимального планування. Зазначені завдання досить прості, але в той же час враховують найважливіші риси економічного планування. Одна з привабливих якостей полягає в тому, що вони базуються на схемі лінійного програмування і, отже, на розвиненому аналітичному апараті і великому наборі ефективних обчислювальних засобів, частину з яких запропонував сам Леонід Віталійович.

  Розглянемо його внесок у проблему ціноутворення – одну з корінних, що зачіпає, по суті, всі сфери функціонування суспільства. З ліквідацією громіздкої системи централізованого встановлення цін науковий розрахунок цін змінив свою роль, але не втратив значення. Принципово важливо, що Л.В. Канторович встановив зв'язок цін і суспільно-необхідних затрат праці. Він дав визначення поняття оптимуму, оптимального розвитку, конкретизувавши, зокрема, що саме слід розуміти під максимальним задоволенням потреб членів суспільства. З його положення про нерозривність плану і цін випливає залежність суспільно-необхідних витрат праці від поставлених цілей суспільства.

  Таким чином, цілі суспільства, оптимальний план і ціни складають одне нерозривне ціле. Ним вказані конкретні умови, при яких об'єктивно обумовлені оцінки оптимального плану збігаються з повними (прямими і сполученими) витратами праці. Визначення перспектив економіки, наявність гігантських «природних монополій» змушує зберегти для них розрахунок, принаймні, опорних цін, узгоджених і взаємно, і з інтересами інших галузей економіки.

  Математичні моделі отримали відображення в деяких курсах політичної економії. У роботах Л.В. Канторовича досліджувався ряд основних проблем економічної теорії та практики господарювання. При цьому характерно, що поряд з науковим, теоретичним аналізом проблеми, які базуються на єдиній концепції оптимального плану і оптимальних (об'єктивно обумовлених) оцінок, Леонід Віталійович враховував специфіку проблеми, накопичений досвід, робив конкретні висновки і формулював практичні пропозиції. Ці положення і підхід знайшли продовження в роботах багатьох вчених економіко-математичного напрямку як у Росії, так і за кордоном.

  Вказуючи на недоліки дії економічної системи, Л.В. Канторович підкреслював, що система економічних показників повинна бути єдиною, побудованою за єдиним принципом. У зв'язку з цим значну частину своїх робіт у цій області Леонід Віталійович присвятив розробці та аналізу конкретних економічних показників.

  Положення про необхідність оцінки природних ресурсів та принципи такої оцінки використані в роботах самого Л.В. Канторовича і його учнів. Особливу увагу було приділено оцінці земельних ресурсів та води, обліку цих показників в (заготівельних) цінах на сільськогосподарську продукцію. Запропоновано оригінальні підходи до їх розрахунку (поєднання методу найменших квадратів і лінійного програмування). На цій основі були дані рекомендації по поліпшенню системи економічних показників і розрахунків у сільському господарстві.

  У роботах Л.В. Канторовича розкривається сутність поняття показника ефективності капіталовкладень, показується його роль в економічних розрахунках прийняття рішень, пропонується методика визначення величини цього нормативного показника. Таким чином, Л.В. Канторович дав переконливе наукове обґрунтування необхідності застосування нормативу ефективності і на основі оптимізаційного підходу дав об'єктивний шлях його розрахунку.

  У роботі «Амортизаційні платежі при оптимальному використанні обладнання» (1965) Л.В. Канторовичем була розкрита сутність поняття амортизації. Він показав як можна підвищити ефективність використання обладнання, розділивши амортизаційні платежі на два типи, і за допомогою математичної моделі вказав, як визначити чисельну величину коефіцієнта амортизаційних відрахувань. Ця зміна дозволило зробити ряд принципових висновків про необхідність коригування прийнятої методики розрахунку амортизації.

  Спеціальний інтерес проявляв Леонід Віталійович до проблем транспорту. Ще в його перших економічних роботах були дані загальний аналіз транспортної задачі та метод потенціалів для її вирішення. Цей метод широко використовувався на транспорті (залізничному, автомобільному, морському, повітряному) і в органах централізованого постачання для раціонального прикріплення і раціональної організації перевезень. Він, безумовно, зберігає своє значення і зараз поряд з широко використовуваними методами диспетчерського управління і розрахунками маршрутів.

  У роботах «Про використання математичних моделей в ціноутворенні на нову техніку» (1968) і «Математико-економічний аналіз планових рішень і економічні умови їх реалізації» (1971) Л.В. Канторович досліджував проблему ефективної роботи транспорту з економічної точки зору, показав, які повинні бути транспортні тарифи залежно від виду транспорту, вантажу, відстаней і т. д. У ряді робіт ним розглядалися і питання комплексної транспортної системи – взаємозв'язок транспорту з іншими галузями народного господарства і розподіл перевезень між видами транспорту з урахуванням економічності і, особливо, енерговитрат. Ці роботи зберігають своє значення і зараз.