Логические функции и логические элементы

1. Логические функции и логические элементы.

1. Основные понятия

 

Все цифровые вычислительные устройства построены на элементах, которые  выполняют те или иные логические операции.

Для формального описания логической стороны процессов в  цифровых устройствах используется алгебра логики (АЛ).

АЛ имеет дело с логическими  переменными, которые могут принимать  только два значения (ИСТИНА и ЛОЖЬ, TRUE и FALSE, ДА и НЕТ, 1 и 0). Наиболее распространено последнее обозначение. При этом 1 и 0 нельзя трактовать как числа, над ними нельзя производить арифметические действия.

Логические переменные хорошо описывают состояния таких  объектов, как реле, тумблеры, кнопки ., т.е. объектов, которые могут находиться в двух четко различимых состояниях: включено - выключено. К таким объектам относятся и полупроводниковые логические элементы, на выходе которых может быть лишь один из двух четко различимых уровней напряжения. Чаще более высокий, или просто ВЫСОКИЙ (HIGH) уровень принимается за логическую единицу, а более низкий, или просто НИЗКИЙ (LOW),- за логический нуль.

2. Представление информации физическими сигналами.

 

Как уже говорилось, физическими  аналогами логических переменных "0" и "1" служат сигналы, способные  принимать два хорошо различимых состояния, например, потенциал низкого и высокого уровней, разомкнутое и замкнутое состояние контакта реле и т.п.

В схемах цифровых устройств (ЦУ) переменные и соответствующие им сигналы  изменяются не непрерывно, а лишь в  дискретные моменты, обозначаемые целыми неотрицательными числами: 0,1,2,.. i…  Временной интервал между двумя соседними моментами дискретного времени называется тактом. Обычно ЦУ содержат специальный блок, вырабатывающий синхронизирующие сигналы, отмечающие моменты дискретного времени (границы тактов).

В современных ЦУ применяется потенциальный способ представления информации. Потенциальный сигнал сохраняет постоянный уровень в течение такта, а его значение в переходные моменты не является определенным (рис. 1.1)

 

 

Рис. 1.1.  Представление цифровой информации сигналами    потенциального типа     (последовательный код).

 

Слово информации может быть представлено последовательным или параллельным кодом.

При последовательном коде каждый временной  такт предназначен для отображения  одного разряда  кода слова (рис. 1.1). В этом случае все разряды слова фиксируются по очереди одним и тем же элементом и проходят через одну линию передачи информации.

При параллельном коде все разряды  двоичного слова представляются в одном временном такте, фиксируются  отдельными элементами и проходят через отдельные линии, каждая из которых служит для представления и передачи только одного разряда слова. Код слова развертывается не во времени, а в пространстве, т.к. значения всех разрядов слова передаются по нескольким линиям одновременно (рис. 1.2).

 

Рис. 1.2.  Представление информации параллельным кодом.

 

3. Логические функции.

 

Функции АЛ принимают значения 1 или 0 в зависимости от значений своих аргументов. Одна из форм задания логической функции - табличная. Таблицы, отображающие соответствие всех возможных комбинаций значений двоичных аргументов значениям логической функции, называют таблицами истинности.

Как бы ни была сложна логическая связь  между логической функцией и ее аргументами, эту связь всегда можно представить  в виде совокупности трех простейших логических операций: НЕ, И, ИЛИ. Этот набор называют булевским базисом, в честь английского математика Д.Буля (1815-1864), разработавшего основные положения АЛ.

Функция НЕ (другие названия: отрицание, инверсия) - это функция одного аргумента. Она равна 1, когда ее аргумент равен 0, и наоборот. Обычное обозначение Q= . Встречаются и другие обозначения Q=НЕ , Q= . Читается «Q есть не а».

Электронный логический элемент (ЛЭ), реализующий функцию НЕ в виде определенных уровней напряжения, называют инвертором. Инвертор на схемах изображается, как показано на рис. 1.3,а.  Вход- слева, выход- справа, кружок- символ инверсии. Условное изображение инвертора (или любого другого ЛЭ) на схеме может быть повернуто на 90° (вход- сверху, выход- снизу, рис. 1.3,б). Другие углы поворота и направления входов и выходов не допускаются.

В релейно-контактной технике функцию  НЕ реализует нормально замкнутый  контакт (рис. 1.3,в), т.е. такой контакт реле, который замкнут, пока в обмотке нет токового сигнала , и размыкается при подаче тока .

Рис.1.3.  Инвертор

а) предпочтительное изображение

б) допустимое изображение

в) реализация НЕ в релейно-контактной технике

 

Функция И (другие названия: конъюнкция, логическое умножение, AND)- это функция двух или большего числа аргументов.

Обозначение: Q=a&b; Q=aÙb; Q=a×b; Q=ab. Читается «Q есть a и b».

Функция И равна 1 тогда и только тогда, когда все ее аргументы равны 1. В релейно-контактной технике функция И реализуется последовательным включением нормально разомкнутых контактов (рис. 1.4,а). Ток в цепи пойдет, когда контакты замкнуты, т.е. находятся в единичном состоянии.

Значения функции И для всех комбинаций аргументов a и b приведены в таблице 1.1. Там же приведены значения и других часто используемых функций, о которых речь будет вестись ниже.

Элемент, реализующий  функцию И, называют элемент И  или конъюнктор. Элемент И часто используют для управления потоком информации. При этом на один его вход поступают логические сигналы, несущие некоторую информацию, а на другой- управляющий сигнал: пропускать- 1, не пропускать-0. Элемент И, используемый таким образом, называют вентиль (gate).

Таблица 1.1

Аргументы		Функции
а	b	И	ИЛИ	И-НЕ	ИЛИ-НЕ	М2	º
0	0	0	0	1	1	0	1
0	1	0	1	1	0	1	0
1	0	0	1	1	0	1	0
1	1	1	1	0	0	0	1

 

Функцию И можно построить от любого числа аргументов. На рис. 1.2,б  и в показаны условные изображения  двух- и четырехвходового конъюнкторов.

Рис. 1.4. Конъюнктор

а) реализация операции И на контактах  реле

б) условное изображение двухвходового  конъюнктора 2И (AND2)

в) то же для четырехвходового- 4И (AND4)

Функция ИЛИ (другие названия: дизъюнкция, логическое сложение, OR)- это функция двух или большего числа аргументов. Функция ИЛИ равна 1, если хотя бы один из ее аргументов равен 1. Обозначение: Q=aÚ b, Q=a+b. Читается: «Q есть a или b». Использовать знак «плюс» можно в тех случаях, когда дизъюнкцию нельзя смешать с арифметическим суммированием и сложением по модулю 2.

Условное изображение трехвходового  дизъюнктора (3ИЛИ, OR3) показано на рис. 1.5,а. В релейно-контактных схемах функция ИЛИ реализуется параллельным включением контактов (рис. 1.5,б)

Рис. 1.5.  Дизъюнктор

а) условное изображение

б) реализация ИЛИ на контактах

4.  Законы алгебры логики

 

АЛ базируется на нескольких аксиомах, из которых выводят основные законы для преобразований с логическими  переменными. Каждая аксиома представлена в двух видах, что вытекает из принципа дуальности логических операций, согласно которому операции конъюнкции и дизъюнкции допускают взаимную замену, если одновременно поменять 1 на 0, 0 на 1, знак Ú на ×, а знак × на Ú.

Аксиомы операции отрицания: , .

Аксиомы операций конъюнкции и дизъюнкции:

1а) 0×0=0     1б) 1Ú1=1

2а) 1×0=0×1=0     2б) 0Ú1=1Ú0=1

3а) 1×1=1     3б) 0Ú0=0

Законы АЛ вытекают из аксиом и  также имеют две формы выражения  а) и б).

1. Переместительный закон

а) a×b=b×a   б) aÚb=bÚa

2. Сочетательный закон

а) a(bc)=(ab)c=abc  б) aÚ(bÚc)=(aÚb)Úc=aÚbÚc

3. Закон тавтологии

а) a×a=a    б) aÚa=a

4. Закон обращения: если a=b, то
5. Закон двойной инверсии: =a
6. Закон нулевого множества

а) a×0=0    б) aÚ0=a

7. Закон универсального множества

а) a×1=a    б) aÚ1=1

8. Закон дополнительности

а) a× =0   б) aÚ =1

9. Распределительный закон

а) a(bÚc)=ab+aс  б) aÚ(bc)=(aÚb)( aÚc)

10. Закон поглощения

а) aÚab=a   б) a(aÚb)=a

11. Закон склеивания

а) (aÚb)(aÚ )=a  б) a.bÚ a. =a

12. Закон инверсии (закон Де Моргана)

а)   б)

или после инвертирования

в)   г)

 

5.   Произвольные функции и логические схемы

 

Поскольку значениями логических функций  могут быть только 0 или 1, то любые  логические функции можно использовать как аргументы других логических функций, т.е. строить из простых функций более сложные. Пусть в таблице 1.2. задана произвольная функция Y трех аргументов, и ее нужно выразить с помощью простых функций НЕ, И, ИЛИ.

Очевидно, что Y = 1, когда или a c = 1 (строка 1), или (строка 3), или (строка 6), или (строка 7).

 

Таблица 1.2.

№		Аргументы			Функция		№	Аргументы			Функция
	a		b	c	Y			a	b	c	Y
0	0		0	0	0	4		1	0	0	0
1	0		0	1	0	5		1	0	1	1
2	0		1	0	0	6		1	1	0	1
3	0		1	1	1	7		1	1	1	1

 

Все это можно записать в виде одного общего аналитического выражения:

    (1.1)

Полученное аналитическое выражение  называют совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ). СДНФ состоит из элементарных конъюнкций, соединенных знаками дизъюнкций. Конъюнкцию называют элементарной, если в нее не входит по несколько одинаковых букв. Число элементарных конъюнкций в СДНФ обязательно равно числу единичных значений функции в таблице истинности. В каждую элементарную конъюнкцию СДНФ входят обязательно все аргументы функции в прямой или инверсной форме.

Поскольку процедуру построения СДНФ в принципе можно применить к  таблице, содержащей любое число  аргументов при любом расположении единичных значений функции, то можно сделать важный вывод: с помощью набора функций НЕ, И, ИЛИ можно выразить любую логическую функцию. Такой полный набор называют логическим базисом или просто базисом.

Нетрудно показать, что базисами являются также и другие наборы:

НЕ, И;  НЕ, ИЛИ;  И-НЕ  и  ИЛИ-НЕ.

Для построения логической схемы, реализующей функцию, заданную таблицей истинности, обычно удобнее аналитическая форма представления функции. В данном случае - это выражение (1.1). Схема, реализующая (1.1), показана на рис. 1.6. Она состоит из трех ярусов. В первом ярусе расположены инверторы. Очевидно, что максимальное число инверторов не превышает числа аргументов. Во втором ярусе расположены элементы И, реализующие входящие в формулу элементарные конъюнкции. Число входов каждого элемента равно числу аргументов реализуемой функции, а число элементов- числу элементарных конъюнкций в формуле. В третьем ярусе схемы стоит элемент ИЛИ, число входов которого равно числу дизъюнкций в формуле.

 

Рис.1.6.  Логическая схема, реализующая (1.1).

6. Минимизация функций

 

Запись функции в СДНФ не единственно возможная и, как правило, не самая короткая. Чем меньше элементов содержит аналитическое выражение, тем проще логическая схема.

Выражение (1.1) можно упростить, если добавить в него дважды abc (закон тавтологии), сгруппировать попарно  слагаемые (сочетательный закон) и исключить (закон склеивания) переменные, которые в группе меняют свои значения.

abc abc= (abc a c) (abc bc) (abc ab ) =

 = ac(b ) bc(a ) ac(c ) = ac bc ac  (1.2)

 

Рис. 1.7. Схема, реализующая (1.2).

1. в булевском базисе;   б) в базисе И-НЕ.

 

В инженерной практике для минимизации  наиболее часто применяют карты  Карнау (Карно).

Карты Карно – это графическое  представление таблиц истинности логических функций. Структура карт для функций двух, трех и четырех переменных показана ниже.

Таблица истинности (а) и структура  карты Карно (б) для функции двух переменных.

x1	x2	f(x1,x2)
0	0	f(0,0)
0	1	f(0,1)
1	0	f(1,0)
1	1	f(1,1)

	x2	0	1
x1
0		f(0,0)	f(0,1)
1		f(1,0)	f(1,1)

 

 

Таблица истинности (а) и cтруктура карты Карно (б) для функции трех переменных.

x1	x2	x3	f(x1,x2,x3)
0	0	0	f(0,0,0)
0	0	1	f(0,0,1)
0	1	0	f(0,1,0)
0	1	1	f(0,1,1)
1	0	0	f(1,0,0)
1	0	1	f(1,0,1)
1	1	0	f(1,1,0)
1	1	1	f(1,1,1)

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

	x2,x3	00	01	11	10
x1
0		f(0,0,0)	f(0,0,1)	f(0,1,1)	f(0,1,0)
1		f(1,0,0)	f(1,0,1)	f(1,1,1)	f(1,1,0)

 

 

 

 

 

 

Сократить работу по минимизации иногда можно за счет работы не с самой заданной функцией, а с ее инверсией. Если число единиц в таблице истинности превышает половину числа комбинаций аргументов, то СДНФ для инверсии функции будет содержать меньше конъюнкций, чем СДНФ прямой функции. При аппаратной реализации к выходу схемы, обрабатывающей инверсию заданной функции, нужно подключить инвертор.

Пример.

Построить схему, реализующую функцию, заданную таблицей:

 

a	b	c	Y		a	B	c	y
0	0	0	1	0	1	0	0	1	0
0	0	1	1	0	1	0	1	0	1
0	1	0	1	0	1	1	0	1	0
0	1	1	1	0	1	1	1	0	1

 

СДНФ требуемой функции: 

Для СДНФ будет значительно проще:  .

Последнее выражение более обозримо и легко минимизируется:

  = ac, откуда .

Для реализации необходим один двухвходовой элемент 2И–НЕ.

Рассмотрим  особенности  минимизации  недоопределенных  функций.

Недоопределенной называют функцию, значения которой при некоторых  комбинациях не определены или, как  говорят, безразличны. Например, при  двоично-десятичном кодировании десятичные цифры представляются четырьмя двоичными разрядами. Из 16  возможных  кодовых комбинаций используются лишь 10, остальные запрещены и никогда появиться не могут.

В таблице истинности не определенные значения функции отмечают прочерками.

Пример.

Построить схему, реализующую функцию Y, не определенную на наборах 000 и 111 и заданную таблицей.

Y	bc	00		01		11		10
	a
0			–		1		1		0
1			0		1		–		1

 

При двух прочерках возможны четыре способа доопределения. Каждый из них  дает работоспособную схему, но по аппаратурным затратам они будут разными. Самая простая схема получится, если доопределить функцию так, как показано на рис. 1.8,а.

 В этом случае схема строится  на двух ЛЭ: 2И и 2ИЛИ. (рис. 1.9.б)

 

Рис. 1.9.  Реализация недоопределенной функции.

 

2. Интегральные  логические элементы.

Современные логические элементы (ЛЭ) реализуются исключительно в виде интегральных микросхем. Наибольшее распространение получили микросхемы транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ) и схемы на МОП (металл-окисел- полупроводник) – структурах.

7.  Характеристики ЛЭ.

 

ЛЭ характеризуются быстродействием, нагрузочной способностью (коэффициентом разветвления по выходу), коэффициентом объединения по входу (числом входов ЛЭ), помехоустойчивостью, потребляемой мощностью, напряжением питания и уровнем сигналов.

Быстродействие – один из важнейших параметров, характеризуюемый средним временем задержки распространения сигнала

(рис. 2.1.)

Для современных ЛЭ задержка распространения  составляет обычно единицы наносекунд.

 

Рис. 2.1. Задержка переключения.

 

Нагрузочная способность показывает, на сколько логических входов может быть одновременно нагружен выход данного ЛЭ без нарушения его работоспособности. Для большинства ЛЭ нагрузочная способность обычно не превышает 10 входов. Для специальных буферных ЛЭ она может достигать 30-40.

Коэффициент объединения  по входу определяет максимальное возможное число входов ЛЭ. Увеличение числа входов расширяет логические возможности схемы, однако при этом ухудшаются быстродействие и помехоустойчивость. У известных ЛЭ максимальное число входов – 8.

Помехоустойчивость характеризует способность ЛЭ правильно функционировать при наличии помех и определяется максимально допустимым напряжением  помехи.

Потребляемая мощность P_ср=0,5(P₀ + P₁), где P₀ и P₁ – соответственно потребляемые мощности при состоянии выхода «0» и «1». При этом считается, что в сложном устройстве половина ЛЭ находится в состоянии «0», а половина – в «1». Однако P_ср зависит от частоты переключений. Поэтому необходимо учитывать P_ср при максимально допустимой частоте следования переключения импульсов.

ЛЭ характеризуются еще значением напряжения питания и уровнем логических сигналов, соответствующих «0» и «1».

8. Серии ЛЭ.

 

 Серией микросхем называют  группу микросхем, выполненных  по одинаковой или близкой технологии, имеющих сходные технические характеристики и предназначенные для совместной работы в составе цифровой аппаратуры.

 Условное  обозначение логической микросхемы  состоит из следующих элементов  : 1) буквы, в большой степени  характеризующие стойкость микросхемы к воздействию окружающей среды и связанный с этим тип корпуса (отсутствие буквы рассматривается как своего рода «нулевая буква»); 2) трёх или четырёх цифр, обозначающих номер серии; 3) двух букв, характеризующих выполняемую функцию; 4) одной или двух цифр, обозначающих тип микросхемы внутри функциональной группы; 5) буквы, характеризующие возможные вариации значений некоторых параметров. Чаще всего этой буквы не бывает.

Пример : К555ЛА2 - микросхема серии К555, выполняющая  функцию И-НЕ, второго типа  (в серии К555 этот тип имеет 8 входов).

Микросхемы  заключены в стандартные корпуса, в основном с двумя типами выводов :

1. перпендикулярными плоскости корпуса, с шагом 2,5 мм, которые вставляются в отверстия монтажной платы и распаиваются на стороне платы, противоположной корпусу. Такие корпуса называют корпусами типа DIP (Dual In line Package - корпус с двумя рядами выводов). В корпуса DIP чаще всего заключаются микросхемы широкого применения, имеющие перед номером серии буквы К, КМ или КР ;
2. плоскими (планарными), которые накладываются на плату и распаиваются на той же её стороне, где находится и сам корпус; шаг выводов 1,25 мм. В таких корпусах обычно выпускаются серии специального применения без буквы перед номером.

Габариты микросхемы определяет не кристалл кремния, а выводы из корпуса. Поэтому если элементы простые, то в корпусе размещают несколько одинаковых элементов.

Простые ЛЭ обычно размещают  в корпусах DIP14 с 14 выводами, из которых один вывод - это питание и один вывод - общий провод всех логических входов, выходов и питания, кратко называемый общий или, менее строго - земля. Оставшиеся 12 выводов - логические.

Примеры состава корпусов : 6 х НЕ - шесть инверторов (Заняты все 12 выводов); 4 х 2И- четыре двухвходовых элемента И (заняты все выводы); 2 х 4И-НЕ - два четырёхвходовых элемента И-НЕ (не использованы два вывода). Более сложные логические узлы размещают в корпусах с 16, 24 и большим числом выводов.

В настоящее время наиболее распространены две технологии изготовления ЛЭ : ТТЛ  и КМОП.

Для технологии ТТЛ (транзисторно-транзисторной  логики) самыми удобными  для  изготовления  являются  элементы  И-НЕ.

Элементы ТТЛ, а тем более  их модификация с диодами Шоттки - ТТЛШ, имеют хорошее быстродействие, удовлетворительные электрические  и эксплуатационные характеристики. Большинство микропроцессорных больших интегральных схем (БИС) и БИС памяти согласованы по питанию и уровням сигналов с элементами ТТЛ. Серии ТТЛ и ТТЛШ - наиболее распространённые и популярные у разработчиков цифровых устройств.

Комплементарные (взаимно дополняющие) МОП (метал-окисел-полупроводник) - структуры, построенные на основе МОП-транзисторов с различным типом проводимости. Элементы КМОП исключительно экономны по потребляемой мощности, что является их основным достоинством. Они способны работать в широком диапазоне напряжений питания (3-15 В), имеют высокую помехоустойчивость. Недостатком их является пока ещё меньшее, чем у ТТЛ быстродействие. КМОП микросхемы нуждаются в более бережном обращении, чем другие микросхемы, т.к. из-за очень высокого входного сопротивления для них опасно статическое электричество.