МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования 

«РОССИЙСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Филиал  РГГУ в г. Санкт-Петербурге

ФАКУЛЬТЕТ КУЛЬТУРОЛОГИИ 
 
 

Савченко  Вероника Алексеевна

МАТЕМАТИКА  В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ

РЕФЕРАТ по ИСТОРИИ НАУКИ

студентки 2 курса группы КУ-21

Никифоров А. Л. 
 
 

Санкт-Петербург 2012

СОДЕРЖАНИЕ 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ

     В данном реферате рассматривается история математики в Древней Греции: ее зарождение, развитие, упадок. Актуальность данной темы обусловлена интересом современного человека к культуре и истории древних цивилизаций и к культуре Древней Греции в частности, а также, интерес к математике как к культурному явлению. Предметом изучения в данной работе является наука Древней Греции. Объект изучения – математика времен античности. 

     Как известно, математика родилась в Греции. Это, конечно, преувеличение, но не слишком  большое. В странах-современниках  Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов. Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули дерзкий тезис "Числа правят миром". Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя: "Природа разговаривает с нами на языке математики".

     Греки проверили справедливость этого  тезиса в тех областях, где сумели: астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже – механика. Всюду были отмечены впечатляющие успехи: математическая модель обладала неоспоримой предсказательной силой. Одновременно греки создали методологию математики и завершили превращение её из свода полуэвристических алгоритмов в целостную систему знаний. Основой этой системы впервые стал дедуктивный метод, польза от которого - не только в установлении истинности утверждений, но также и в выявлении неочевидных связей между понятиями, научными фактами и областями математики.

     При создании новых и обобщении уже  существующих теорий математики нередко встречались с трудностями, преодолеть которые им удавалось только после продолжительных поисков. 

1. ЗАРОЖДЕНИЕ И РАЗВИТИЕ АНТИЧНОЙ НАУКИ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШКОЛЫ

1.1 Школа Пифагора.

     Математика  как теория получила развитие в школе  Пифагора (571-479 гг. до н.э.).

     Главной заслугой пифагорейцев в области  науки является существенное развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию - открытие новых математических фактов. По форме - построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах.¹

     Дедуктивное построение геометрии явилось мощным стимулом её дальнейшего роста.

     Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию  прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга.

     Наличие у пифагорейцев учения о параллельных линиях говорит о том, что они  владели методом доказательства от противного и впервые доказали теорему о сумме углов треугольника. Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора. Последняя за много столетий раньше была сформулирована вавилонскими, китайскими и индийскими учеными, однако её доказательство им не было известно.²

     Успехи  пифагорейцев в стереометрии были значительными. Они занимались изучением свойств шара, открыли построение четырех правильных многоугольников - тетраэдра, куба, октаэдра и додекаэдра (икосаэдр исследовал впоследствии Геэтет).

     Однако  они не смогли обосновать утверждения, относящиеся к объемам тел (пирамиды, конуса, цилиндра и шара), хотя, конечно, эти утверждения были установлены эмпирически много веков раньше. Не знали пифагорейцы и отношения поверхности шара к большому кругу. В области арифметики пифагорейцы изучали свойства четных и нечетных, простых и составных натуральных чисел, искали совершенные числа, т.е. такие, которые равны сумме всех своих делителей (например, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14).³

     Пифагорейцы знали также дробные числа  и в этой связи разработали  теорию арифметической и геометрической пропорций. Они владели понятиями среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического.

1. 2  Школа Демокрита

     В V веке до н. э. появились новые вызовы оптимизму пифагорейцев. 
Первый из них - три классические задачи древности: удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. Греки строго придерживались требования: все геометрические построения должны выполняться с помощью циркуля и линейки, то есть с помощью совершенных линий - прямых и окружностей. Однако для перечисленных задач найти решение каноническими методами не удавалось. Алгебраически это означало, что не всякое число можно получить с помощью 4 арифметических операций и извлечения квадратного корня. Квадратурой круга безуспешно занимался выдающийся геометр-пифагореец, автор доевклидовых «Начал», первого свода геометрических знаний, Гиппократ Хиосский. 

     Первые  две задачи сводятся к кубическим уравнениям. Архимед позже дал  общее решение кубических уравнений  с помощью конических сечений. Однако многие комментаторы продолжали считали подобные методы неприемлемыми. Гиппий из Элиды (V век до н. э.) показал, что для трисекции угла полезна квадратриса (первая трансцендентная кривая в истории математики); она же, кстати, решает и задачу квадратуры круга (Динострат, IV век до н. э.).

     Помимо  перечисленных, греки активно исследовали  задачу деления круга: какие правильные многоугольники можно построить  циркулем и линейкой. Без труда  удавалось разделить окружность на 3, 4, 5, 15 частей, а также удвоить  перечисленные значения. Но семиугольник никому не поддавался. Как оказалось, здесь также получается кубическое уравнение. Полную теорию опубликовал только Гаусс в XIX веке.

     Второй  удар по пифагореизму нанёс Зенон  Элейский, предложив ещё одну тему для многовековых размышлений математиков. Он высказал более 40 парадоксов (апорий), из которых наиболее знамениты четыре. Вопреки многократным попыткам их опровергнуть и даже осмеять, они, тем не менее, до сих пор служат предметом серьёзного анализа. Здесь затронуты самые деликатные вопросы оснований математики - конечность и бесконечность, непрерывность и дискретность. Математика тогда считалась средством познания реальности, и суть споров можно было выразить как неадекватность непрерывной, бесконечно делимой математической модели физически дискретной материи.

     В конце V века до н. э. жил ещё один выдающийся мыслитель - Демокрит. Он знаменит не только созданием концепции атомов. Архимед писал, что Демокрит нашёл  объём пирамиды и конуса, но доказательств  своих формул не дал. Вероятно, Архимед  имел в виду доказательство методом исчерпывания, которого тогда ещё не существовало.

3. Платон, Евдокс (IV век до н. э.) 
   

      Уже к началу IV века до н. э. греческая  математика далеко опередила всех своих  учителей, и её бурное развитие продолжалось. В 389 году до н. э. Платон основывает в Афинах свою школу - знаменитую Академию. Математиков, присоединившихся к Академии, можно разделить на две группы: на тех, кто получил своё математическое образование вне Академии, и на учеников Академии. К числу первых принадлежали Теэтет Афинский, Архит Тарентский и позднее Евдокс Книдский; к числу вторых - Амикл из Гераклеи, братья Менехм и Динострат.

      Сам Платон конкретных математических исследований не вёл, но опубликовал глубокие рассуждения  по философии и методологии математики. А ученик Платона, Аристотель, оставил бесценные для нас записки по истории математики. 
Евдокс Книдский первый создал геоцентрическую модель движения светил с 27 сферами. Позже эта конструкция была развита Аполлонием, Гиппархом и Птолемеем, которые увеличили число сфер до 34 и ввели эпициклы. Ему же принадлежат два выдающихся открытия: общая теория отношений (геометрическая модель вещественных чисел) и античный анализ — метод исчерпывания.

1. В древнегреческой философии понятие бесконечности появилось впервые у материалистов милетской школы. Анаксимандр (610-546 гг. до н.э.), преемник Фалеса, учил: материя бесконечна в пространстве и во времени; вселенная бесконечна, число миров бесконечно. Анаксимен (546 г. до н.э. - расцвет деятельности) говорил: вечный круговорот материи - это и есть бесконечность.⁴

      Понятие бесконечности как математическая категория впервые появляется у  Анаксигора (около 500-428 гг. до н. э). В  сочинении “О природе" Анаксигор  писал: вещи бесконечно делимы, нет  последней ступени делимости  материи; с другой стороны, всегда имеется нечто большее, что является большим.

      Бесконечность для Анаксигора - потенциальная; она  существует в двух формах: как бесконечно малое и бесконечно большое. В  математике точка зрения Анаксагора нашла благоприятную почву благодаря открытию несоизмеримых величин - величин, которые не могут быть измерены любой, какой угодно малой, общей мерой.

      Демокрит (около 560-570 гг. до н.э.), по-видимому, изучал так называемые роговидные углы (углы, образуемые дугой окружности и касательной к ней).

      Поскольку каждый роговидный угол “меньше" любого прямолинейного угла, здесь появляется понятие актуально бесконечно малого. Впоследствии появилось и понятие  актуальной бесконечности.

      Аристотель (384-322 гг. до н.э.) отчетливо различает  два вида бесконечности: потенциальную и актуальную. Понятие актуальной бесконечности в древней Греции не получило развития как в философии, так и в математике.

      Понятие бесконечности подвергалось серьезной  критике со стороны Зенона Элейского (около 490-430 гг. до н.э.). Зенон был учеником Парменида, главы элейской школы. Парменид утверждал, что бытие едино, неподвижно и неизменно. Движение, изменение - это только видимость, обусловленная несовершенством наших органов чувств. Мир (бытие) может быть познан только разумом, но не чувствами.

      Зенон Элейский выдвинул 45 апорий (антиномий), имея при этом целью развить и  лучше обосновать учение Парменида. Из этих антиномий до нашего времени  дошло только 9.

      Заслуга Зенона Элейского в развитии философии  и математики состоит в том, что он выявил реальную противоречивость времени, движения и пространства, а значит и бесконечность. В.И. Ленин писал, что Зенон не отрицал чувственную достоверность движения; его интересовал вопрос, как выразить сущность движения в логике понятий.⁵

      Однако Зенон последнюю задачу не решил, как не решили её и другие ученые древней Греции.

2. ЗРЕЛОСТЬ  И УПАДОК ГРЕЧЕСКОЙ  МАТЕМАТИКИ

2.1 Зрелость греческой математики

     Период  зрелости греческой математики начинается в эпоху Эллинизма (3 в. до н.э.).

     Наиболее  значительными фигурами этого периода  были:

1. Евклид (315-255 г. до н.э.)- автор многих работ по математике, оптике, и теории музыки. Главный его труд – «Начала». «Начала» Евклида представляют собой систематизированное изложение всех математических фактов, созданных древнегреческими математиками к этому времени, исключая теорию канонических сечений. Есть предположения, что Евклид построил учебник логики в духе Платона-Аристотеля на математическом материале, этим в частности можно объяснить отсутствие всяких приложений математики в «Началах».

     Интересно отметить следующее:

1. «Начала» являлись первой наиболее полной попыткой строгого логического построения математики (также попытки предпринимались до Евклида).
2. Вычислительная сторона математики полностью отсутствовала.
3. Нет приложений.

     В первой книге 23 определения, которыми фактически Евклид не пользуется, 5 постулатов и 9 аксиом. Постулаты носили геометрический характер и начинались со слов "требуется". Они отражали возможности построений множеств плоскости с помощью циркуля и линейки.

     В древнегреческой математике существовали требования, идущие от Платона.  
 
Математический объект считался существующим, если его удавалось построить с помощью циркуля и линейки. Знаменитые задачи древности с помощью циркуля и линейки решить не удавалось, поэтому они считались неразрешимыми. 
 
Вычислительная сторона математики не была достойна внимания греческих мыслителей.

2. Диофант (ок. 3 в. до н.э.)

     В конце II в. н.э. начинается закат греческой  математики. Единственной яркой фигурой этого времени является Диофант. Главный труд Диофанта- «Арифметика», по предположению, состоит из 13 книг (глав). 

     Главные заслуги Диофанта:

     1. Отказ от геометрической алгебры  древних греков. Введение буквенной  алгебры (в зачатом состоянии), алгебраической символики.

     2. Расширение понятия числа.

     3. Заложил основы теории неопределённых  уравнений, которые приводят в  последствии к теории чисел.

     Если  древнегреческая геометрическая алгебра  имела дело со степенями не выше третьей, то Диофант это ограничение  фактически снимает.

     У Диофанта расширение понятия числа  наряду с положительными числами  появились отрицательные числа  и отрицательные показатели степеней. Диофант аксиоматически вводит умножения  степеней, которые в современной  форме имеют вид X^m*X^n = X^(m+n)

3. Архимед (ок. 287-212 г. до н.э.)

     Архимед был знаменитым механиком и математиком, главная особенность его математических работ в отличии от Евклида - приложение к механике.

     По  математике Архимедом выполнены  работы по вычислению площади и объёма (предварительно Архимед взвешивал различные пластины и тела), усовершенствовал метод исчерпывания, изложенным Евклидом -этим методом доказывается, что квадратуру круга , т.е. вычисление площади круга можно решить с помощью вписывания правильных многоугольников, неограниченно удваивая число их сторон, тогда площади таких многоугольников исчерпывают площадь круга.

     Интегральные  методы Архимед изложил в следующих  работах:

     1. «О шаре и цилиндре» 

     2. «О спиралях» 

     3. «О коноидах и сфероидах» 

     В этих работах он ввёл понятия верхних  и нижних сумм.  
В XIX веке эта идея воплощена Дарбу, разность площадей может быть сколь угодно малой при увеличении числа сторон вписанными и описанными окружностью. В работах Архимеда содержатся и дифференциальные идеи, когда он рассматривает о максимальной функции и касательной к кривой.

4. Апполоний (260-170 г.до н.э.)

     Главный его труд «Конические сечения», посвящённый  изучению кривых второго порядка. Установил  характерные свойства эллипса, гиперболы  и параболы. Предшественником Апполония  был Менехм (греческий математик, ок. IV в. до н.э.), который использовал конические сечения при решении задачи об удвоении куба. Менехм рассматривал сечения конусов плоскостью перпендикулярной образующим, при этом он рассматривал разные типы конусов - остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, но углы наклона плоскостей к образующим разные, в результате для одного и того же конуса имеем различные конические сечения. В работах Апполония просматривается идея координат, где точки кривой "привязываются " к серединам диаметра кривых. Название кривых - фокус и ассимптоты даны Апполонием.⁶  

2.2 Упадок античной науки

      
В деятельности Евклида, Аполлония  Пергейского и особенно Архимеда период самостоятельной деятельности греков в области математики достиг момента наибольшей высоты математических исследований как в количественном, так и в качественном отношении. Затем начинается период упадка. Работы греческих математиков мельчают. Дело идёт уже не о создании новых отраслей науки и решении её труднейших вопросов, а о пополнении тех, говоря относительно, неважных пробелов, которые были оставлены предыдущим быстрым развитием науки. В этой первой фазе упадка деятельность представителей математики: Никомеда, Диоклеса, Персея, Зенодора, Гипсикла Александрийского, астронома Гиппарха, всё ещё остаётся верной прежнему направлению, которое, как продукт характеристических свойств и особенностей греческой нации, может быть названо национальным.

     В следующую за тем фазу упадка, начавшуюся около 100 г. до н.э., прежняя стойкость  греческого гения в удержании национального направления оказывается совершенно утраченной, и если работы греческих математиков могут считаться греческими, то только по языку, а никак не по духу. Первым из чуждых греческому гению направлений, явившихся на смену национального, было прикладное направление, развившееся на почве древнего Египта, бывшее, по всей вероятности, наследием египетской математики, об утилитарном направлении которой во времена составления папируса Ринда уже говорилось ранее.⁷

     Третьей фазой упадка греческой математики была эпоха исключительной деятельности комментаторов великих произведений греческой математической литературы прошлого времени. Крупным представителем начала этой эпохи, подобного которому в дальнейшем её течении уже не встречалось, был Папп Александрийский. Он, действительно, в своём "Собрании", этом важнейшем из его сочинений, был ещё в состоянии к изложению содержания сочинений рассматриваемых им авторов присоединять от себя различные предложения, объясняющие или дополняющие предмет, хотя нередко и стоящие с ним в очень отдалённой связи. Этой способностью, всё ещё вносящей в науку кое-что новое, последующие деятели рассматриваемой эпохи: Теон Александрийский, его дочь Ипатия, Прокл Диадох, Дамаский, Эвтокий Аскалонский, Асклепий из Траллеса и Иоанн Филопон уже не обладали.⁸

     Четвёртой, и последней, фазой упадка греческой  математики была эпоха византийских учёных, продолжавшаяся от VII века н.э. до взятия турками Константинополя (1453). В эту эпоху произведения древних греческих математиков  сделались до того недоступными новым, что о самом их существовании эти последние нередко узнавали от арабов и персов; в то время, когда арабские математики прилагали все усилия к тому, чтобы иметь на своём языке переводы всех сколько-нибудь выдающихся в греческой математической литературе произведений, византийские математики не были в силах справляться даже с самыми незначительными элементарными произведениями арабской математической литературы и для переделок переводов на греческий язык нужных им сочинений обращались уже к совершенно ничтожной математической литературе персов. Особенного развития это пользование персидскими отголосками таких произведений прежней греческой литературы, как Алмагест, достигло в XIV в. в трудах Хиониада Константинопольского, Георга Хризокоццеса, Фёдора Мелитениота и монаха Исаака Аргиры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     Греческая математика поражает прежде всего красотой и богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры - у Диофанта, аналитическая геометрия - у Аполлония и т. д. Но главное даже не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов. 
Первое - греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики. 
Второе - они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели - ключ к их познанию. 
В этих двух отношениях античная математика вполне современна.⁹

     В деятельности Евклида, Аполлония Пергейского и особенно Архимеда период самостоятельной деятельности греков в области математики достиг момента наибольшей высоты математических исследований как в количественном, так и в качественном отношении. Затем начинается период упадка. Работы греческих математиков мельчают. Дело идёт уже не о создании новых отраслей науки и решении её труднейших вопросов, а о пополнении тех, говоря относительно, неважных пробелов, которые были оставлены предыдущим быстрым развитием науки. В этой первой фазе упадка деятельность представителей математики: Никомеда, Диоклеса, Персея, Зенодора, Гипсикла Александрийского, астронома Гиппарха, всё ещё остаётся верной прежнему направлению, которое, как продукт характеристических свойств и особенностей греческой нации, может быть названо национальным.

     В следующую за тем фазу упадка, начавшуюся около 100 г. до н.э., прежняя стойкость  греческого гения в удержании  национального направления оказывается  совершенно утраченной, и если работы греческих математиков могут считаться греческими, то только по языку, а никак не по духу. Первым из чуждых греческому гению направлений, явившихся на смену национального, было прикладное направление, развившееся на почве древнего Египта, бывшее, по всей вероятности, наследием египетской математики, об утилитарном направлении которой во времена составления папируса Ринда уже говорилось ранее. 

     СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

2. Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — 225-440 с.
3. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Перевод с голландского И.Н. Веселовского - М.: Физматгиз, 1959. - 456 с.
4. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире / М. Я. Выгодский - М., 1967. – 126 c.
5. Глейзер Г. И. История математики в школе / Г. И. Глейзер — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
6. Депман И.Я. История арифметики. Пособие для учителей. Изд. второе - М.: Просвещение, 1965. – 236-238 с.
7. Клайн М. Математика. Утрата определённости. / М. Клайн.  М., Мир, 1984. – 75 c.
8. Мотылева Л.С., Скоробогатов В.А. Концепции современного естествознания: Учебник для вузов / под ред. В.А. Скоробогатова – Спб.: Союз, 2002. – 87 с.
9. Нейгебауэр О. Точные науки в древности / О. Нейгебауэр. – М., Наука, 1968. – 145 c.
10. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / под ред. А. П. Юшкевича – М., 1976. – 116-271 c.