Математика в Древній Греції

Математика в Древній  Греції

 

 

 

 План:

Введення 

1 Введення 

2 Джерела 

3 Початковий період 

4 Піфагорійська школа 

5 V століття до н. е.. - Зенон, Демокріт

6 IV століття до н. е.. - Платон, Евдокс

7 III століття до н. е.. - Евклід, Архімед, Аполлоній 

8 Занепад античної науки 

9 Висновок 

Література 

Примітки 

 

 Введення 

Дана стаття - частина  огляду Історія математики.

 

 Муза геометрії ( Лувр)

1. Введення 

 

 Поняття давньогрецька  математика охоплює досягнення  грецькомовних математиків, які жили в період між VI століттям до н.е.. і V століттям н.е..

 

 Математика як наука народилася в Греції . У країнах-сучасників Еллади математика використовувалася або для повсякденних потреб (підрахунки, вимірювання), або, навпаки, для магічних ритуалів, що мали на меті з'ясувати волю богів ( астрологія, нумерологія і т. п.). Греки підійшли до справи з іншого боку: вони висунули тезу "Числа правлять світом". Або, як сформулював цю ж думку Галілей два тисячоліття тому: "книга природи написана мовою математики".

 

 Греки перевірили справедливість  цієї тези в тих областях, де  зуміли: астрономія, оптика, музика, геометрія,  пізніше - механіка. Усюди були  відзначені вражаючі успіхи: математична  модель володіла незаперечною  предсказательной силою. Одночасно греки створили методологію математики і завершили перетворення її із зведення полуеврістіческіх алгоритмів в цілісну систему знань. Основою цієї системи вперше став дедуктивний метод, який показує, як з відомих істин виводити нові, причому логіка виводу гарантує істинність нових результатів. Дедуктивний метод також дозволяє виявити неочевидні зв'язки між поняттями, науковими фактами і областями математики.

 

 

 

 

 

2. Джерела 

 

 Велика частина античних  творів з математики не дійшла  до наших днів і відома тільки  по згадках пізніших авторів  та коментаторів, в першу чергу  Паппа Александрійського (III століття), Прокла (V століття), Сімплікій (VI століття) і ін Серед збережених праць в першу чергу слід назвати "Початки" Евкліда та окремі книги Аристотеля, Архімеда, Аполлонія і Діофанта.

 

3. Початковий період 

 

 Аж до VI століття до  н.е.. грецька математика нічим  не виділялася. Були, як завжди, освоєні  рахунок і вимір. Грецька нумерація  (запис чисел), як пізніше римська,  була адитивною, тобто числові  значення цифр складалися. Перший  її варіант (аттическая, або геродіанова) містили літерні значки для 1, 5, 10, 50, 100 і 1000. Відповідно була влаштована і лічильна дошка ( абак) з камінчиками. До речі, термін калькуляція (обчислення) походить від calculus - камінчик. Особливий дірявий камінчик позначав нуль.

 

 Пізніше (починаючи  з V століття до н. Е..) Замість  аттической нумерації була прийнята алфавітна - перші 9 букв грецького алфавіту позначали цифри від 1 до 9, наступні 9 букв - десятки, інші - сотні. Щоб не сплутати числа і букви, над числами малювали риску. Числа, більші 1000, записували позиційно, позначаючи додаткові розряди спеціальним штрихом (внизу зліва). Спеціальні позначки дозволяли зображати і числа, великі 10000.

 

 В VI столітті до  н.е.. "грецьке диво" починається:  з'являються відразу дві наукові  школи - іонійці ( Фалес Мілетський, Анаксимен, Анаксимандр) і піфагорійці. Про досягнення ранніх грецьких математиків ми знаємо в основному по згадках пізніших авторів, переважно коментаторів Евкліда, Платона і Аристотеля.

 

Фалес, багатий купець, добре  вивчив вавілонську математику й астрономію - ймовірно, під час торгових поїздок. Іонійці, за повідомленням Евдема Родоського, дали перші докази декількох простих геометричних теорем - наприклад, про те, що вертикальні кути рівні [4]. Однак головна роль у справі створення античної математики належить піфагорійцям.

 

4. Піфагорійська школа 

 

Піфагор, засновник школи - особистість легендарна, і достовірність  дійшли до нас відомостей про нього  перевірити неможливо. Мабуть, він, як і Фалес, багато подорожував і  теж навчався у єгипетських і  вавілонських мудреців. Повернувшись близько 530 р. до н. е.. в Велику Грецію (район південній Італії), він у місті Кротон заснував щось на кшталт таємного духовного ордена. Саме він висунув тезу "Числа правлять світом", і з винятковою енергією займався його обгрунтуванням. На початку V ст. до н. е.., після невдалого політичного виступу, піфагорійці були вигнані з Південної Італії, і союз припинив своє існування, проте популярність вчення від розсіювання тільки зросла. Пифагорейские школи з'явилися в Афінах, на островах і в грецьких колоніях, а їх математичні знання, суворо оберігається від сторонніх, стали загальним надбанням.

 

 Рафаель Санті. Піфагор  (деталь Афінської школи) 

 

 Багато досягнень,  приписувані Піфагору, ймовірно, насправді  є заслугою його учнів. Піфагорійці  займалися астрономією, геометрією, арифметикою (теорією чисел), створили  теорію музики. Піфагор перший  з європейців зрозумів значення  аксіоматичного методу, чітко виділяючи  базові припущення ( аксіоми, постулати)  і дедуктивно виводяться з них теореми.

 

 Геометрія піфагорійців  в основному обмежувалася планіметрії  (судячи з дійшли до нас пізнішим  працям, дуже повно викладеної) і  завершувалася доказом " теореми  Піфагора ". Хоча вивчалися і  правильні багатогранники.

 

 Була побудована математична  теорія музики. Залежність музичної  гармонії від відносин цілих  чисел (довжин струн) була сильним  аргументом на користь піфагорійців  споконвічній математичної гармонії  світу, через 2000 років оспіваної  Кеплером. Вони були впевнені, що "елементи чисел є елементами всіх речей ... і що весь світ в цілому є гармонією і числом" [5]. В основі всіх законів природи, вважали піфагорійці, лежить арифметика, і з її допомогою можна проникнути в усі таємниці світу. На відміну від геометрії, арифметика у них будувалася не на аксіоматичної базі, властивості натуральних чисел вважалися самоочевидними, однак докази теорем і тут проводили неухильно. Поняття нуля і негативних чисел ще не виникли.

 

 Піфагорійці далеко  просунулися в теорії подільності,  але надмірно захопилися " трикутними "," квадратними "," досконалими  "і т. п. числами, яким, судячи  з усього, надавали містичне значення. Мабуть, правила побудови" піфагорових трійок "були відкриті вже тоді; вичерпні формули для них наводяться у Діофанта. Теорія найбільших спільних дільників та найменших загальних кратних теж, мабуть, пифагорейского походження. Вони побудували загальну теорію дробів (що розуміються як відносини ( пропорції), так як одиниця вважалася неподільною), навчилися виконувати з дробами порівняння (приведенням до спільного знаменника) і всі 4 арифметичні операції. Піфагорійці знали, задовго до " Почав " Евкліда, поділ цілих чисел із залишком і " алгоритм Евкліда "для практичного знаходження найбільшого загального дільника. Безперервні дробу як самостійний об'єкт виділили лише в Новий час, хоча їх неповні приватні природним шляхом виходять в алгоритмі Евкліда.

 

 Першою тріщиною в  пифагорейской моделі світу стало ними ж отримане доказ ірраціональності  , Сформульоване геометрично як несумірність діагоналі квадрата з його стороною (V століття до н. Е..). Неможливість висловити довжину відрізка числом ставила під сумнів головний принцип піфагорейства. Навіть Аристотель, не поділяв їхні погляди, висловлював своє здивування з приводу того, що є речі, які "не можна виміряти самою малою мірою" [6].

 

 Положення спробував  врятувати талановитий піфагорієць  Теетет. Він (і пізніше Евдокс) запропонували нове розуміння числа, яке тепер формулювалися на геометричному мовою, і проблем сумірності не виникало. Теетет розробив також повну теорію подільності і класифікацію иррациональностей. Здається, йому також були відомі поняття простого числа і основна теорема арифметики [7].

 

 Згодом, уже в Новий  час, з'ясувалося, що побудова  числової алгебри на основі  геометрії було стратегічною  помилкою піфагорійців. Наприклад,  з точки зору геометрії вираження  x 2 + x  і навіть x 4  не мали  геометричного тлумачення, і тому  не мали сенсу; то ж відноситься  до негативних числах. Пізніше  Декарт вступив навпаки, побудувавши  геометрію на основі алгебри,  і домігся величезного прогресу.

 

Нумерологічна містика піфагорійців нерідко призводила до довільних і спекулятивним висновків. Наприклад, вони були впевнені в існуванні невидимою антиземлі, так як без неї число небесних сфер (нижнє небо, Сонце, Місяць і 6 планет) не становить досконалого числа 10. В цілому, незважаючи на велику кількість містики і ексцентричних забобонів, заслуги піфагорійців у розвитку та систематизації античних математичних знань неоціненні.

 

5. V століття до н. е.. - Зенон, Демокріт

 

 В V столітті до н.е.. з'явилися нові виклики оптимізму  піфагорійців.

 

 Перший з них - три  класичні завдання давнини: подвоєння  куба, трисекции кута і квадратура кола. Греки строго дотримувалися вимоги: всі геометричні побудови повинні виконуватися за допомогою циркуля і лінійки, тобто за допомогою досконалих ліній - прямих і кіл. Однак для перерахованих завдань знайти рішення канонічними методами не вдавалося. Алгебраїчно це означало, що не всяке число можна отримати за допомогою 4 арифметичних операцій і добування квадратного кореня.

 

Квадратурою кола безуспішно займався видатний геометр-піфагорієць, автор доевклідових Начал, першого зводу геометричних знань, Гіппократ Хиосский.

 

 Перші два завдання  зводяться до кубічним рівнянням.  Архімед пізніше дав загальне  рішення кубічних рівнянь за  допомогою конічних перерізів.  Проте багато коментаторів продовжували  вважали подібні методи неприйнятними.  Гіппій з Еліди ( V століття до н.е..) показав, що для трисекции кута корисна квадратріси (перша трансцендентна крива в історії математики); вона ж, до речі, вирішує і завдання квадратури кола ( Дінострат, IV століття до н.е..).

 

 Крім перерахованих,  греки активно досліджували завдання  розподілу кола: які правильні  багатокутники можна побудувати  циркулем і лінійкою. Без праці  вдавалося розділити коло на 3, 4, 5, 15 частин, а також подвоїти  перераховані значення. Але семикутники  нікому не піддавався. Як виявилося,  тут також виходить кубічне  рівняння. Повну теорію опублікував  тільки Гаусс в XIX столітті.

 Зенон Елейський

 Другий удар по піфагореїзму  завдав Зенон Елейський, запропонувавши ще одну тему для багатовікових роздумів математиків. Він висловив більше 40 парадоксів (апорій), з яких найбільш відомі чотири. Всупереч багаторазовим спробам їх спростувати і навіть висміяти, вони, тим не менш, до цих пір служать предметом серйозного аналізу. Тут порушені найделікатніші питання підстав математики - кінцівку і нескінченність, безперервність і дискретність. Математика тоді вважалася засобом пізнання реальності, і суть суперечок можна було виразити як неадекватність безперервною, нескінченно подільною математичної моделі фізично дискретної матерії [8].

 

 В кінці V століття  до н.е.. жив ще один видатний  мислитель - Демокрит. Він знаменитий  не тільки створенням концепції  атомів. Архімед писав, що Демокріт знайшов обсяг піраміди і конуса, але доказів своїх формул не дав. Ймовірно, Архімед мав на увазі доказ методом вичерпання, якого тоді ще не існувало.

 

 

 

 

 

6. IV століття до н. е.. - Платон, Евдокс

 

Рафаель Санті. Афінська школа 

 

 Вже до початку IV століття до н.е.. грецька математика  далеко випередила всіх своїх  вчителів, і її бурхливий розвиток  тривало. В 389 році до н.е.. Платон  засновує в Афінах свою школу  - знамениту Академію. Математиків,  що приєдналися до Академії, можна  розділити на дві групи: на  тих, хто отримав свою математичну  освіту поза Академії, і на  учнів Академії. До числа перших  належали Теетет Афінський, Архит Тарентський і пізніше Евдокс Кнідський; до числа другого - брати Менехм і Дінострат.

 

 Сам Платон конкретних  математичних досліджень не вів,  але опублікував глибокі міркування  з філософії та методології  математики. А учень Платона, Аристотель, залишив безцінні для нас записки  з історії математики.

 

Евдокс Кнідський перший створив геоцентричну модель руху світил з 27 сферами. Пізніше ця конструкція була розвинена Аполлонієм, Гиппархом і Птолемеєм, які збільшили число сфер до 34 і ввели епіцикли. Йому ж належать два видатних відкриття: загальна теорія відносин (геометрична модель дійсних чисел) і античний аналіз - метод вичерпання.

 

 

 

 

 

 

 

7. III століття до н.  е.. - Евклід, Архімед, Аполлоній 

 Евклід. Оксфордський  університетський музей природної історії

 Після завоювань Олександра  Македонського науковим центром  стародавнього світу стає Олександрія  Єгипетська. Птолемей I заснував в ній Мусейон (Будинок Муз) і запросив туди найвизначніших учених. Це була перша в грекомовного світі державна академія, з багатющою бібліотекою (ядром якої послужила бібліотека Аристотеля), яка до I століття до н.е.. налічувала 70000 томів.

 

 Вчені Олександрії  об'єднали обчислювальну потужність  і древні знання вавілонських та єгипетських математиків з науковими моделями еллінів. Значно просунулися плоска і сферична тригонометрія, статика і гідростатика, оптика мов та ін Ератосфен уточнив довжину меридіана і винайшов свій знаменитий " решето ". В історії математики відомі три великих геометра давнини, і насамперед - Евклід з його " Началами ". Тринадцять книг Почав - основа античної математики, підсумок її 300-річного розвитку і база для подальших досліджень. Вплив і авторитет цієї книги були величезні протягом двох тисяч років.

 

 Фундамент математики, описаний Евклідом, розширив інший  великий учений - Архімед, один  з небагатьох математиків античності, які однаково охоче займалися  і теоретичної, і прикладною  наукою. Він, зокрема, розвинувши  метод вичерпання, зумів обчислити площі та обсяги численних фігур і тіл, раніше не піддавалися зусиллям математиків.

 

 Останнім з трійки  великих був Аполлоній Пергський, автор глибокого дослідження конічних перерізів.

 

 

 

 

8. Занепад античної науки 

 

 Після Аполлонія (зі II століття до н.е..) в античній  науці розпочався спад. Нових  глибоких ідей не з'являється.  В 146 року до н.е.. Рим захоплює  Грецію, а в 31 році до н.е.. - Олександрію.

 

 Серед нечисленних  досягнень: 

 відкриття конхоида ( Нікомед);

 відома формула Герона для площі трикутника ( I століття н. е..);

 змістовне дослідження  сферичної геометрії Менелаем Олександрійським;

 завершення геоцентричної  моделі світу Птолемея ( II століття н. е..), для чого потрібна глибока розробка плоскої і сферичної тригонометрії.

 

 Необхідно відзначити  діяльність Паппа Олександрійський ( III століття). Тільки завдяки йому до нас дійшли відомості про античних учених та їх працях.

 

 На тлі загального  застою та занепаду різко виділяється  гігантська фігура Діофанта - останнього з великих античних математиків, "батька алгебри".

 

 Після III століття н.  е.. Олександрійська школа проіснувала  близько 100 років - прихід християнства  і часті смути в імперії  різко знизили інтерес до науки.  Окремі вчені праці ще з'являються  в Афінах, але в 529 році Юстиніан  закрив Афінську академію як  розсадник язичництва.

 

 Частина вчених переїхала  до Персії або Сирію і продовжувала  праці там. Від них вцілілі  скарби античного знання отримали  вчені країн ісламу (див. Математика  ісламського середньовіччя).

 

9. Висновок 

 

 Грецька математика  вражає насамперед красою і  багатством змісту. Багато вчених  Нового часу відзначали, що мотиви  своїх відкриттів почерпнули  у древніх. Зачатки аналізу  помітні у Архімеда, коріння алгебри  - у Діофанта, аналітична геометрія - у Аполлонія і т. д. Але головне навіть не в цьому. Два досягнення грецької математики далеко пережили своїх творців [9].

 

 Перше - греки побудували  математику як цілісну науку  з власною методологією, заснованої  на чітко сформульованих законах  логіки.

 Друге - вони проголосили,  що закони природи збагненні  для людського розуму, і математичні  моделі - ключ до їх пізнання.

 У цих двох відносинах  антична математика цілком сучасна. 

 Література 

Башмакова І. Г. Лекції з історії математики в Стародавній Греції. / / Історико-математичні дослідження. -  М .: Фізматгіз, 1958. - № 11. - С. 225-440.

Ван дер Варден. прокидається наука. Математика стародавнього Єгипту, Вавилона і Греції. М.: Фізматгіз, 1959, 456 с.

Вигодський М. Я. Арифметика і алгебра в стародавньому світі. М., 1967.

Глейзер Г. І. Історія математики в школі -  М .: Просвещение, 1964. - 376 с.

Депман І. Я. Історія арифметики. Посібник для вчителів. Ізд.второе. М.: Просвещение, 1965.

Історія математики / За редакцією  А. П. Юшкевича, в трьох томах -  М .: Наука, 1970. - Т. I.

Клайн М. Математика. Втрата визначеності. М., Мир, 1984.

Нейгебауер О. Точні науки в давнину. М., 1968.

Розенфельд Б. А. Аполлоній Пергський. (2004)

Рибніков К. А. Історія математики. М., 1994.

 Хрестоматія з історії  математики. Арифметика і алгебра.  Теорія чисел. Геометрія. Під  ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.