Матрица и определители

Министерство образования и  молодёжной политики Ставропольского  края

ГБОУ СПО «Художественно-строительного  техникума»

 

 

 

РЕФЕРАТ

По предмету: Математика.

По теме: Матрица и определители.

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 2 курса группы №17

 Кубрина Бэлла

Проверила:

Братыгина Л.И.

 

п.Иноземцево

2013г

Матрицы. Операции над матрицами

Прямоугольной матрицей размера m x n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде

A = 

или сокращенно в  виде A = (a_ij) (i =  ; j =  ). Числа a_ij, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (a_ij) и B = (b_ij) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a_ij = b_ij.

Матрица, состоящая  из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая  из одного числа, отождествляется с  этим числом. Матрица размера m x n, все  элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы a_ii диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

E =  .

Квадратная матрица  называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной  диагонали, равны нулю. Транспонированием  называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы  меняются местами с сохранением  их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Пусть дана матрица . Переставим строки со столбцами. Получим матрицу

A^T =  ,

которая будет транспонированной  по отношению к матрице А. В  частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Произведением матрицы А на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число λ: λA = ( λa_ij).

Суммой двух матриц А = (a_ij) и B = (b_ij) одного размера называется матрица C = (c_ij) того же размера, элементы которой определяются по формуле c_ij = a_ij + b_ij.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением двух матриц А = (a_ij) и B = (b_jk), где i =  , j=  , k=  , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c_ik), элементы которой определяются по следующему правилу:

c_ik = a_i1b_1k + a_i2b_2k + ... + a_imb_mk = a_isb_sk. (4.2)

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим  образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

2. Определители

Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые  можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно  образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i > j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число  стоит левее меньшего.

Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней  соответственно четно (нечетно) общее  число инверсий. Операция, посредством  которой от одной перестановки переходят  к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.

Подстановка, переводящая  одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места  в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся  одно под другим. Например, символ  обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1→2, 2→1, 4→3. Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде  ,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n

.

Рассмотрим все  возможные произведения по n элементов  этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого  столбца, т.е. произведений вида:

,

где индексы q₁, q₂,..., q_n составляют некоторую перестановку из чисел

1, 2,..., n. Число таких  произведений равно числу различных  перестановок из n символов, т.е. равно  n!. Знак произведения равен (- 1)^q, где q - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Определителем n -го порядка, соответствующим матрице ,называется алгебраическая сумма n! членов вида . Для записи определителя употребляется символ ‌ A ‌ =  или det A=  (детерминант, или определитель, матрицы А).

Свойства определителей

1. Определитель  не меняется при транспонировании.

2. Если одна из  строк определителя состоит из  нулей, то определитель равен  нулю.

3. Если в определителе  переставить две строки, определитель  поменяет знак.

4. Определитель, содержащий  две одинаковые строки, равен  нулю.

5. Если все элементы  некоторой строки определителя  умножить на некоторое число  k, то сам определитель умножится  на k.

6. Определитель, содержащий  две пропорциональные строки, равен  нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены  в виде суммы двух слагаемых  a_ij = b_j + c_j (j =  ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом - из элементов c_j.

8. Определитель  не меняется, если к элементам  одной из его строк прибавляются  соответствующие элементы другой  строки, умноженные на одно и  то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк  взять столбцы.

Минором M_ij элемента a_ij определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим  дополнением элемента a_ij определителя d называется его минор M_ij, взятый со знаком (-1)^i+j. Алгебраическое дополнение элемента a_ij будем обозначать A_ij. Таким образом, A_ij = (-1)^i+j + M_ij.

Способы практического  вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может  быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая  теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или  столбцу).

Определитель равен  сумме произведений всех элементов  произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе  говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = a_i1A_i1 + a_i2A_i2 +... + a_inA_in (i =  )

или j- го столбца

d = a_1jA_1j + a_2jA_2j +... + a_njA_nj (j =  ).

В частности, если все  элементы строки (или столбца), кроме  одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному  на его алгебраическое дополнение.

3. Ранг  матрицы

Рассмотрим прямоугольную  матрицу (4.1). Если в этой матрице  выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении  выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение

0 ≤ r(A) ≤ min (m,n).

Ранг матрицы  находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга  матрицы первым способом следует  переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка  двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от  нуля число,

3) прибавление к  одной строке (или столбцу) другой  строки (или столбца), умноженной  на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного  множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы  не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в  начале

главной диагонали  стоят подряд несколько единиц (число  которых

может равняться  нулю), а все остальные элементы равны нулю,

например,  .

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

 

 

4. Обратная  матрица

Рассмотрим квадратную матрицу

A =  .

Обозначим Δ = det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если Δ = 0.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А^-1, так что В = А^-1. Обратная матрица вычисляется по формуле

А^-1 = 1/Δ  ,

где А_ij - алгебраические дополнения элементов a_ij.

Вычисление обратной матрицы по формуле для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью  метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы. 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Министерство образования и  молодёжной политики Ставропольского  края

ГБОУ СПО «Художественно-строительного  техникума»

 

 

 

РЕФЕРАТ

По предмету: Математика.

По теме: Система линейных уравнений.

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 2 курса группы №17

 Кубрина Бэлла

Проверила:

Братыгина Л.И.

 

п.Иноземцево

2013г

Критерий  совместности

Система линейных уравнений  имеет вид:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂ (5.1)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a_m1x₂ + a_m2x₂ +... + a_mnx_n = b_m

Здесь а_ij и b_i (i =  ; j =  ) - заданные, а x_j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему в виде:

AX = B, (5.2)

где A = (а_ij) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x₁, x₂,..., x_n)^T,

B = (b₁, b₂,..., b_m)^T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x_j и из свободных членов b_i.

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c₁, c₂,..., c_n) называется решением системы ,если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x₁, x₂,..., x_n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c₁, c₂,..., c_n)^T такой, что AC ≡ B.

Система называется совместной, или разрешимой, если она  имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

Матрица

à =  ,

образованная путем  приписывания справа к матрице A столбца  свободных членов, называется расширенной  матрицей системы.

Вопрос о совместности системы решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и Ã совпадают, т.е.

r(A) = r(Ã) = r.

Для множества М  решений системы имеются три  возможности:

1) M = Ø (в этом  случае система несовместна);

2) M состоит из  одного элемента, т.е. система  имеет единственное решение (в  этом случае система называется  определенной);

3) M состоит более  чем из одного элемента (тогда  система называется неопределенной). В третьем случае система имеет  бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда

r(A) = n. При этом  число уравнений - не меньше  числа неизвестных (m ≥ n); если m > n, то m-n уравнений являются следствиями  остальных. Если 0 < r < n, то система  является неопределенной.

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно  уметь решать системы, в которых  число уравнений равно числу  неизвестных, - так называемые системы  крамеровского типа:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂ (5.3)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a_n1x₂ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n = b_n

Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом  Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера;3) матричным методом.

Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом  решения систем линейных уравнений  является метод Гаусса, или метод  последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

 Формулы  Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

Δ = det (a_ij)

и n вспомогательных  определителей Δ_i (i =  ), которые получаются из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

Δ · x_i = Δ_i (i =  ). (5.4)

Из (5.4) следует правило  Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x_i = Δ_i / Δ.

Если главный  определитель системы Δ и все  вспомогательные определители Δ_i = 0 (i =  ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы Δ = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.

det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A^-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X = C, C = A^-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы. 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Министерство образования и  молодёжной политики Ставропольского  края

ГБОУ СПО «Художественно-строительного  техникума»

 

 

 

РЕФЕРАТ

По предмету: Математика.

По теме: Векторы. Операция над векторами.

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 2 курса группы №17

 Кубрина Бэлла

Проверила:

Братыгина Л.И.

 

п.Иноземцево

2013г

 

Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится  в точке А, а конец – в точке В, то вектор обозначается АВ. Если же начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой латинского алфавита a, b, c ,…. Через BA обозначают вектор, направленный противоположно вектору АВ. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается ō. Его направление является неопределенным.

Длиной или модулем  вектора называется расстояние между  его началом и концом. Записи |АВ| и |a| обозначают модули векторов АВ и a.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны  одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

К линейным операциям  над векторами относятся:

1) умножение вектора  на число (Произведением вектора  a и числа α называется вектор, обозначаемый α∙a. (или наоборот a∙α), модуль которого равен |α  a| =|α||a|, а направление совпадает  с направлением вектора a, если  α>0, и противоположно ему, если  α< 0.

2) сложение векторов (Суммой векторов   называется вектор, обозначаемый  , начало которого находится в начале первого вектора a₁, а конец – в конце последнего вектора a_n, ломаной линии, составленной из последовательности слагаемых векторов. Это правило сложения называется правилом замыкания ломаной. В случае суммы двух векторов оно равносильно правилу параллелограмма)

Прямая е с заданным на ней направлением, принимаемым за положительное, называется осью е.

Линейной комбинацией  векторов a_i называется вектор a, определяемый по формуле  , где   – некоторые числа.

Если для системы n векторов a_i равенство

верно только в случае, когда   эта система называется линейно независимой. Если же равенство выполняется для  , хотя бы одно из которых отлично от нуля, то система векторов aі называется линейно зависимой. Например, любые коллинеарные векторы, три компланарных вектора, четыре и более векторов в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы.

Три упорядочных линейно независимых вектора ē₁, ē₂, ē₃ в пространстве называется базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов всегда образует базис. Любой вектор a в пространстве можно разложить по базису ē₁, ē₂, ē₃, т. е. представить a в виде линейной комбинации базисных векторов: a= xē_{1 +} yē₂ + zē₃, где x, y, z являются координатами вектора a в базисе ē₁, ē₂, ē₃. Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Обозначают такой базис i, j, k, т. е. i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1).

Пример 5. Векторы  заданы в ортонормированном базисе i, j, k координатами: a=(2;-1;8),  е₁ = (1,2,3), е₂ = (1,-1,-2), е₃ = (1,-6,0). Убедиться, что тройка е₁,е₂,е₃ образует базис, и найти координаты вектора  в этом базисе.

Решение. Если определитель  , составленный из координат векторов е₁, е₂, е₃, не равен 0, то векторы е₁,е₂,е₃ линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Убеждаемся, что  = -18-4+3-12=-31 Таким образом, тройка е₁, е₂, е₃ - базис.

Обозначим координаты вектора a в базисе е₁, е₂, е₃ через x,y,z. Тогда а = (x,y,z) = хе₁ + yе₂ + zе₃. Так как по условию а = 2i – j +8k , е₁ = i +2j +3k , е₂ = i – j -2k, е₃ = i – 6j , то из равенства а = хе1 + yе₂ + zе₃следует, что 2i – j +8k = xi + 2xj + 3xk + yi – yj -2yk +zi -6zj = (x+y+z)i +(2x-y-6z)j +(3x-2y)k..Как видно, вектор в левой части полученного равенства равен вектору в правой его части, а это возможно только в случае равенства их соответствующих координат. Отсюда получаем систему для нахождения неизвестных x, y, z:

Ее решение: x = 2, y = -1, z = 1. Итак, а = 2е₁ – е₂ + е₃ = (2,-1,1).

Министерство образования и  молодёжной политики Ставропольского  края

ГБОУ СПО «Художественно-строительного  техникума»

 

 

 

РЕФЕРАТ

По предмету: Математика.

По теме: Прямая на плоскости, кривые 2 порядка.

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 2 курса группы №17

 Кубрина Бэлла

Проверила:

Братыгина Л.И.

 

п.Иноземцево

2013г

Прямую на плоскости можно задать: 

• двумя точками;
• точкой и направлением (угловым коэффициентом);
• отрезками на осях (точками пересечения с осями координат).

Соответственно, аналитическая геометрия рассматривает  основные задачи на прямую на плоскости, связанные с этими способами. 
 
Первая из этих основных задач: найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки и построить эту прямую. 
 
Традиционный способ решения задач аналитической геометрии состоит в использовании известных уравнений. Так, на плоскости уравнение прямой, проходящей через две данные точки c координатами (a, b) и (c, d) имеет вид: 

 
Основные характеристики такой прямой можно вычислить  по координатам данных точек. Например, точка пересечения с осью абсцисс (Ох), точка пересечения с осью ординат (Оу) и угловой коэффициент прямой (наклон прямой) вычисляются по формулам, соответственно: 

         

Расстояние  между данными точками (a, b) и (c, d) вычисляется по формуле: 

 
Координаты середины отрезка, соединяющего точки (a, b) и (c, d): 

-

 

 

 

 

 

 

В плоскости, в некоторой  прямоугольной системе координат  ,  , пусть задана кривая, определяемая неявно уравнением второй степени

,                                                        

где   - заданные действительные числа. При этом числа   одновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка. На самом деле может случиться, что нет вовсе точек   с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению.В этом случае говорят, что уравнение определяет мнимую кривую второго порядка. Мы не будем изучать мнимые кривые. Уравнение

может служить примером уравнения  второй степени, определяющего мнимую кривую.

Важные случаи общего уравнения кривой второго  порядка.

Перечислим шесть важнейших  частных случаев общего уравнения:

1) Уравнение эллипса

с полуосями длины   и  . В частности, при   уравнение окружности

с центром в начале координат  и радиусом  .

2) Уравнение гиперболы

с полуосями   и  .

3) Уравнение параболы

4) Уравнение пары пересекающихся прямых

.

5) Уравнение  пары параллельных или совпадающих прямых

.

6) Уравнение, определяющее  точку,

.

Остановимся вкратце на перечисленных  кривых.