Метод координат. Трехмерные пространства

 

Содержание

 

Введение

Метод координат и трехмерная геометрия в настоящее время широко применяются в математике и физике для наглядного представления уравнений с несколькими неизвестными, функций нескольких переменных и систем с несколькими степенями свободы.

Геометрический язык позволяет применить к решению сложных задач геометрическую интуицию, сложившуюся в нашем обычном пространстве.

К множеству задач, решаемых с помощью трехмерной геометрии, относятся задачи о нахождении более выгодных вариантов перевозок, задачи о наиболее выгодных способах раскроя материала, наиболее эффективных режимах работы предприятий, задачи о составлении производственных планов и т. п. Тот факт, что эти задачи решаются геометрически с помощью нахождения наибольших или наименьших значений линейных функций на многогранниках (причём, как правило, в пространствах, имеющую размерность, большую трёх) был впервые подмечен Л. В. Канторовичем. Необходимость рассмотрения n-мерных пространств при n > 3 диктуется также математическими задачами физики, химии, биологии и других областей знания.

Таким образом, пространственные свойства окружающего мира хорошо описываются геометрическим трёхмерным пространством. Целью  работы является рассмотрение методов построения трехмерных пространств.

Объектом работы является теория метода координат и трехмерных пространств и их практическая значимость.

 

1 Метод координат

Метод координат определяет наиболее сильную сторону векторной алгебры. Вот, что об этом говорит Петр Константинович Рашевский:

"... большую и часто ведущую  роль в геометрии играет координатный  метод. Здесь геометрические образы  изучаются не непосредственно  геометрически, а методами алгебры (аналитическая геометрия), а затем  и анализа (дифференциальная геометрия). Огромная сила этого метода основана на то, что он применяет к геометрии сильный, хорошо развитый вычислительный аппарат алгебры и анализа. В результате удается ставить и решать вопросы, лишь малая часть которых укладывается в сравнительно узкие рамки прямых геометрических методов" [13, с. 103].

1.1 Коллинеарные векторы

Определение: Векторы называются коллинеарными, если они параллельны.

Если бы всегда иметь дело с геометрическими векторами, то новое слово "коллинеарные" было бы излишним. Понятие о параллельных объектах слишком сильно связано с нашими геометрическими представлениями. Однако в математике слово "вектор" имеет более широкое значение, и применяется для таких векторов, про которые нельзя сказать, что они параллельны.

Поскольку векторы, которые могут быть совмещены при помощи параллельного переноса, считаются равными, можно коллинеарные векторы рассматривать как лежащие на одной прямой.

Любые два вектора, лежащие на одной прямой, могут различаться длинами и могут иметь либо одинаковые, либо противоположные направления. Поэтому для любых двух коллинеарных векторов и справедливо соотношение: , где – действительное число.

Определение: Если один из векторов, не равный нулю, принять за меру и обозначить его , то все остальные векторы могут быть представлены в единообразной форме . Вектор называется при этом базисным вектором, а – координатой вектора относительно данного базиса. Векторы базиса можно писать без "векторной" черты сверху. Нетрудно видеть, что . Можно также написать, что .

Для коллинеарных векторов все эти определения и обозначения являются излишними, и введены для того, чтобы использовать в более сложных и интересных случаях.

1.2 Компланарные векторы

Определение: Векторы называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости.

Поскольку свободные векторы можно переносить параллельно самим себе в пространстве, то можно считать, что все компланарные векторы лежат в одной плоскости.

Любой вектор, параллельный прямой, можно выразить через базисный вектор на этой прямой , но если вектор на этой прямой не лежит, то этого сделать уже нельзя. Однако, если мы выберем на плоскости два базисных вектора и , то любой другой вектор уже может быть выражен в виде линейной комбинации базисных векторов . При этом векторы и называются базисом, а числа и координатами вектора в этом базисе.

В самом деле, спроектируем вектор на прямую, совпадающую с вектором , по направлению вектора и на прямую, совпадающую с вектором , по направлению вектора (рис. 1).

Рисунок 1.

Очевидно, что . Поскольку каждую проекцию в свою очередь можно выразить через базисный вектор, то . Где,

, .

Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов. Благодаря универсальности подхода к решению различных задач, метод аналитической геометрии стал основным методом геометрических исследований и широко применяется в других областях точного естествознания – механике, физике.

Аналитическая геометрия объединила геометрию с алгеброй и анализом, что плодотворно сказалось на развитии этих трех разделов математики.

 

1.3.Метод координат на  плоскости

Метод координат лежит в основе аналитической геометрии. Суть системы координат состоит в том, что тем или иным способом устанавливается соответствие между точками плоскости (геометрическими объектами) и упорядоченными парами вещественных чисел (алгебраическими объектами). Вследствие этого геометрические фигуры, представляющие собой множества точек плоскости, оказываются состоящими из таких точек, координаты которых удовлетворяют некоторым алгебраическим соотношениям (уравнениям, неравенствам или их системам). В результате изучение свойств геометрических фигур заменяется изучением свойств алгебраических соотношений, описывающих эти фигуры. Для их изучения, в свою очередь, применяются методы алгебры и математического анализа.

Способов введения на плоскости систем координат существует великое множество. В своей курсовой работе я рассмотрю аффинную (и её частный случай – декартову) систему координат на плоскости.

1.4 Аффинная система  координат на плоскости.

Определение. Аффинная система координат (или аффинным репером) на плоскости называется упорядоченная тройка точек этой плоскости не лежащих на одной прямой: R={О, Е1, Е2}.

Рассмотрим тогда векторы: 1= 1 и 2 = 2 (рис. 2). Поскольку точки О, Е1, Е2, не лежат на одной прямой, поэтому векторы 1 и 2 не коллинеарны, следовательно, они образуют базис совокупности V2 всех векторов плоскости. Таким образом, мы приходим к упорядоченной тройке R={О,   1, 2}, состоящей из точки О и двух неколлинеарных векторов 1 и 2.

Обратно если дана упорядоченная тройка R={О, 1, 2}, состоящая из точки О и двух неколлинеарных векторов 1 и 2, то от неё легко перейти к тройке R={О, Е1, Е2}, отложив векторы 1 и 2 от точки О и взяв соответственно концы этих векторов Е1 и Е2: 1= 1 и  2 = 2. Ясно, что точки О, Е1, Е2, не будут лежать на одной прямой, так как векторы 1 и 2 не коллинеарны.

Таким образом, мы приходим к выводу, что задание на плоскости системы координат как упорядоченной тройки точек R={О, Е1, Е2}, не лежащих на одной прямой, равносильно заданию её как упорядоченной тройки  R={О, 1, 2}, состоящей из точки О и двух неколлинеарных векторов 1 и 2. В результате в геометрическую картину, составленную из точек, вводятся векторы.

Первая точка О в системе координат R называется началом системы координат, а векторы 1 и 2 – её базисными или координатными векторами. Прямая ОЕ1 с направляющим вектором 1 называется координатной осью Ох, или осью абсцисс, а прямая ОЕ2 с направляющим вектором 2 называется координатной осью Оу, или осью ординат.

Пусть на плоскости задана система координат R={О, 1, 2} и произвольная точка М. Вектор = м называется радиус-вектором точки М относительно точки О (или системы координат R).

Определение. Координатами точки М в системе координат R={О,   1, 2} называются координаты её радиус-вектора в базисе 1, 2,  то есть коэффициенты х, у в его разложении в линейную комбинацию векторов базиса: М(х, у)R ó = х1+ у2.

Итак, понятие координат точки тесно связывается с понятием координат вектора, а понятие системы координат для точек – с понятием базиса векторов. «Привязывая» векторный базис к фиксированной точке плоскости (началу координат), мы приходим к системе координат для точек. Если тот же векторный базис «привязать» к другому началу, мы получим другую систему координат для точек.

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Каждой точке М плоскости поставим в соответствие вектор . Координаты вектора называются координатами точки М в данной аффинной системе координат. При этом если = (х, у), то пишут: М (х, у).

Пусть прямые, проведенные через точку М параллельно осям координат, пересекают оси координат соответственно в точках М1 и М2 (рис. 2). Тогда имеем

= 1 + 2.

С другой стороны,

= х1+ у2.

Следовательно,

х =1 / , у = 2 / 2.

Точки Е1 и Е2 имеют координаты: Е1 (1; 0), Е2 (0;1).

Если на плоскости даны две точки А (х1, у1) и В (х2, у2), то координаты вектора вычисляются так:

= - = (х2 - х1, у2 - у1).

Пусть точка С делит отрезок АВ в данном отношении:

Тогда . Из правил действии над векторами в координатах следует, что координаты точки С определяются формулами:

, 

В частности, если С – середина отрезка АВ, то

,

 

Рассмотрим различные способы задания прямой на плоскости.

Пусть требуется написать уравнение прямой l, заданной в некоторой аффинной системе координат точкой М1 (х1, у1) и ненулевым вектором , параллельным прямой l (рис. 3).

Вектор будет называться направляющим вектором прямой  l .

Пусть М (х, у) – произвольная точка прямой l . Тогда, согласно условию, векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство , или

= 1 + t,

где t – некоторое число (параметр). Это соотношение в координатах запишется так:

Полученные уравнения называют параметрическими уравнениями прямой.

При и  эти уравнения равносильны следующему уравнению первой степени:

Если прямая задана двумя различными точками: А (х1, у1) и В (х2, у2), то вектор = (х2 - х1, у2 - у1) является направляющим вектором прямой l. Следовательно, при х1 х2 и у1 у2 получаем уравнение

,

которое называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

В частности, если прямая l проходит через точки А (а, 0) и В (0, b), отличные от начала координат, то уравнение прямой принимает вид

                                             

 

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.

Исключая из параметрических уравнений прямой параметр t. При  получим уравнение:

у - у1  = k (х - х1),

где . Число k называют угловым коэффициентом прямой. В частном случае, при х1 = 0 и у1 = b, уравнение принимает вид

Если же , то прямая l параллельна оси Оy, а её уравнение запишется так:

х = х1.

Таким образом, всякую прямую на плоскости можно задать уравнение первой степени Ах + Ву + С = 0, где хотя бы одно из чисел А и В отлично от нуля. Верно и обратное предложение: всякое уравнение первой степени Ах + Ву + С = 0 есть уравнение некоторой прямой в аффинной системе координат на плоскости.

При уравнение Ах + Ву + С = 0 приводится к виду у = kх + b, где

,

Если же В = 0 и , то оно принимает вид х = а, где .

1.5 Декартова система координат на плоскости. Прямая и окружность

Определение. Декартовой (или ортонормированной, или прямоугольной) системой координат на плоскости называется такая аффинная система координат, базисные векторы которой ортонормированны, то есть имеют единичные длины и ортогональны (перпендикулярны). Обозначение R = {O, , }; так что || = || = 1, перпендикулярен .

При решении задач, в которых существенную роль играет понятие расстояния между двумя точками, применяется, декартова или прямоугольная система координат.

Пусть даны две точки: А (х1, у1) и В (х2, у2). Тогда, как известно,

.

Пользуясь формулой, запишем уравнение окружности с центром в точке С (a, b) и радиусом r:

.

Вышеизложенная теория прямой справедлива и для прямоугольной системы координат. В частности, при решении задач пользуются уравнением прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку А (х1, у1):

.

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой, заданной двумя точками А (х1, у1) и В (х2, у2), вычисляется по формуле

Угловой коэффициент в прямоугольной системе координат имеет следующий геометрический смысл: , где – величина угла от оси абсцисс до прямой l.

Пусть прямые l1 и l2 заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами: у = k1х + b1 и у = k2х + b2.

Если l1 || l2, то , поэтому k1 = k2, и обратно, т.е. условие k1 = k2 выражает признак параллельности прямых l1 и l2.

Введем формулу для вычисления угла между пересекающимися прямыми l1 и l2 (рис. 6).

Так как и , , то

или 

Полученную формулу для вычисления угла от прямой l1 до прямой l2 можно записать и так:

Отсюда следует, что тогда и только тогда, когда k1k2 = - 1, т.е. условие k1k2 = - 1  выражает признак перпендикулярности прямых l1 и l2.

Приступая к решению геометрической задачи, следует рационально выбрать систему координат, присоединить её к данной фигуре наиболее естественным образом. Желательно, чтобы данные точки располагались на осях координат, тогда среди координат будут нули. Это позволит упростить вычисления.

2 Метрические задачи в  трехмерном пространств

2.1 Многомерность пространства

Проблема определения мерности пространства, казавшаяся на первый взгляд простой, в действительности предстала в науке как одна из сложнейших. В этой области знаний идет длительная теоретическая дискуссия между философами, математиками и естествоиспытателями.

Чтобы понять, почему, например, пространство трехмерно, попробуем вначале решить более простую задачу: выяснить, на каком основании расстояния между объектами или длины физических тел принято выражать в одном измерении. Странный вопрос – не правда ли? Вроде бы чего проще. Однако не все так просто, как кажется на первый взгляд. Ведь расстояния определяются на поверхности Земли, которая сама по себе объемна. Расстояние между объектами на Земле или в космосе – это ведь тоже расстояние между объемными физическими телами. А вот математические точки и линии – абстракция, в «чистом виде» в природе не встречаются. Точку или линию можно получить путем соприкосновения или наложения объемных предметов (линеек, циркулей, карандашей, рейсфедеров, бумаги и т. п.).

Измерение – процесс достаточно разнообразный. Например, в популярном детском мультфильме длину удава измеряют в попугаях. В повседневном быту иногда длину или площадь измеряют по толщине пальцев или ширине ладони, а объем – в горстях, ведрах или мешках. В прошлом при определении длины вполне обходились частями человеческого тела и отношениями между ними, откуда и пошли все наши сажени, локти, шаги, футы, дюймы и т. п. Лишь на известном этапе развития науки и техники были введены эталоны, сделавшие устаревшими прежние способы измерений.

Эти примеры можно продолжить. Еще в далеком прошлом, на заре математики практические потребности пастушества и земледелия вывели на первое место измерение длин и расстояний (а не, скажем, объемов и емкостей). Развитие строительной и землемерной практики обусловило переход к измерению углов и поверхностей. Абстрактная геометрическая наука (топология), отражая логику развития практики и производства, двигалась от изучения линии – через поверхность – к объему. Одно измерение прибавлялось к другому, в результате в классической евклидовой геометрии объем оказался трехмерным (и соответственно плоскость – двумерной, а линия – одномерной).

Принципиально допустимо, опираясь на понятие одномерного объема, построить сколько-угодно-мерную воображаемую геометрию, где площади и длины будут определяться в порядке, обратном логике геометрии Евклида. Аналогичным образом теоретическое обобщение конкретных систем геометрических отношений позволяет построить ту или иную неевклидову геометрию.

Однако вернемся к выяснению основного вопроса: почему пространство трехмерно? Причиной этого является материальность мира. Действительно, любое тело, от элементарной частицы до звезды или галактики, состоит из вещества в каком-то объеме, размеры которого можно определить только тремя измерениями (например, длиной, высотой и шириной). Если представить, что один из этих геометрических параметров (размеров или координат) равен нулю, то измеряемый объем будет также равен нулю, а следовательно, в нем не должно быть и никакой материи. Таким образом, геометрические поверхности, а тем более линии или точки, не имеющие объемов, являются нематериальными, а воссозданы абстрактным мышлением человека.

Следовательно, трехмерное пространство характеризует форму существования материи.

2.2 Векторы в трехмерном геометрическом пространстве

Два вектора всегда являются компланарными так же, как три точки всегда лежат в одной плоскости. Но три вектора уже могут не быть компланарными, и тогда любой из них не может быть выражен через два других. Но, если выбрать в пространстве три некомпланарных базисных вектора, то любой четвертый уже может быть выражен через них в виде линейной комбинации.

Рисунок 2.

Поступая аналогично тому, как мы это сделали для "плоского" случая, спроектируем вектор на базисные векторы , и при помощи проектирующих плоскостей (  ), ( ) и ( ) (рис. 2). Выразив каждую из проекций через соответствующий вектор базиса, получим:

.

То же самое в сокращенной записи:

.

2.3 Соглашение Эйнштейна об обозначениях

Поскольку в векторной алгебре подобного рода суммы встречаются часто, то по предложению А. Эйнштейна принято знак суммы опускать. С учетом соглашения А. Эйнштейна, последнее равенство можно переписать в более компактном виде: .

Последняя запись является всего лишь сокращением предыдущей. Символ i в последнем выражении можно заменить любым другим, и от этого ничего не изменится, поэтому его называют немым символом. Немой символ пробегает все возможные значения. В нашем случае – это 1, 2, 3. Интересно, что последнее выражение в сокращенной записи А. Эйнштейна выглядит совершенно одинаково для всех трех случаев, которые мы рассмотрели, если учесть, что для векторов на плоскости i принимает значения 1 и 2, а для векторов на прямой единственное значение – 1.

Уточним понятие базиса. Прежде всего, базисные векторы – это такие векторы, через которые могут быть однозначно выражены остальные. Но таких векторов много, и, когда говорят о векторах базиса, предполагается, что какие-то векторы для этой цели уже выбраны. В трехмерном пространстве можно выбрать в качестве базиса любые три некомпланарных вектора.

2.4 Линейная зависимость векторов и размерность пространства

Определение: Векторы называются линейно зависимыми, если можно подобрать не все равные нулю числа , такие что выполняется равенство: .

С другой стороны, если таких чисел не существует, то векторы называются линейно независимыми.

1. Три вектора линейно зависимы  тогда и только тогда, когда  они компланарны.

В самом деле, пусть векторы линейно зависимы. Тогда , и среди чисел есть не равные нулю. Пусть, для определенности, не равно нулю первое число . В этом случае мы имеем право записать: . Но это означает, что векторы лежат в одной плоскости, если, конечно, их перенести к одному началу. Следовательно, векторы компланарны.

С другой стороны, если векторы компланарны, то можно считать, что они лежат в одной плоскости. Здесь возможны варианты, которые мы рассмотрим по отдельности.

Вариант 1.

Один из векторов является нулевым вектором. Пусть, для определенности, это будет первый вектор. В этом случае мы можем записать: .

Вариант 2.

Среди векторов нет нулевых векторов, но есть коллинеарные. Пусть, для определенности, коллинеарными являются первые два вектора. Но в этом случае, первый вектор может быть выражен через второй: , и, следовательно, .

Вариант 3.

Среди векторов нет нулевых векторов, и все векторы не являются попарно коллинеарными. В этом случае все векторы могут быть перенесены в одну плоскость, и любой из них может быть разложен по остальным как по векторам базиса. Следовательно, , и мы снова получаем, что: .

2. Любые четыре вектора в трехмерном  пространстве всегда линейно зависимы.

Здесь также возможны два варианта.

Вариант 1.

Какие либо три вектора являются компланарными. Пусть, для определенности, этими векторами будут первые три. В этом случае мы можем подобрать не все равные нулю числа так, что . Но тогда

Вариант 2.

Любые три вектора не являются компланарными. В этом случае любой из четырех векторов может быть разложен по остальным трем как по базису , и мы можем записать, что .

Следовательно, в обоих возможных случаях четыре вектора являются линейно зависимыми.

Резюмируя все эти результаты, можно сказать, что в трехмерном пространстве всегда можно выбрать три линейно независимых вектора. В то же время, любые четыре вектора являются линейно зависимыми.

В плоскости любые три вектора являются линейно зависимыми, в то же время в плоскости всегда можно найти два линейно независимых вектора, так как для этого достаточно, чтобы они не были коллинеарны.

Это дает основание дать следующее определение размерности пространства векторов.

Определение размерности пространства: Наибольшее число линейно независимых векторов пространства называется его размерностью.

Размерность пространства совпадает с числом базисных векторов этого пространства. Поскольку любой вектор может быть разложен по векторам базиса, мы можем дать следующее определение координат вектора в произвольном базисе.

Определение координат вектора: Коэффициенты ,  ,  , ...  в разложении вектора по базису ,  ,   ...  называются координатами вектора в этом базисе.

Приведенные определения хороши тем, что они легко обобщаются на пространства любых размерностей. Привычное и уютное пространство трехмерно. Можно еще говорить о двумерном пространстве векторов на плоскости или об одномерном – на прямой.

Что представляет собой, к примеру, четырехмерное пространство? На этот вопрос любой физик-теоретик скажет, что наше пространство только приближенно можно считать трехмерным. Пространство не существует вне времени, а вместе со временем оно образует четырехмерное пространство-время. В более "продвинутых" теориях уже невозможно обойтись без одиннадцатимерных пространств. Но даже если все эти теоретические абстракции душа не принимает, и мы ни за что не хотим покидать привычного трехмерного пространства, нам все равно не уйти от представления о многомерных пространствах. Ну, хорошо, наше пространство трехмерно, но почему оно трехмерно? Уже сама постановка этого вопроса предполагает необходимость говорить и размышлять о пространствах с большим числом измерений.

Есть и более прагматические причины для интереса к многомерным пространствам. Например, вектор-столбцы и вектор-строки – типичные объекты матричной алгебры – являются векторами в смысле нашего общего определения вектора (8).

Пусть, скажем,

, , , , .

С этими формальными векторами можно обращаться, как с обычными векторами, например, разложить вектор по базису ,  ,  ,  :

.

Такого рода формальные структуры с необходимостью возникают в различных областях знания и очень приятно, что не нужно каждый раз строить заново всю теорию.

 

3 Применение метода координат

Мысль о возможности систематического применения метода координат в научных исследованиях зародилась несколько тысяч лет тому назад. Известно, например, что астрономы древнего мира, используя специальные системы координат на воображаемой небесной сфере, определяли положение наиболее ярких звёзд, составляли карты звёздного неба, вели отличавшиеся большой точностью наблюдения за перемещением Солнца, Луны и планет относительно неподвижных звёзд. В более позднюю эпоху широко развилось использование системы географических координат для составления карт земной поверхности и определения местонахождения корабля в открытом море. Однако до XVII века применение метода координат имело односторонний характер: им пользовались, по сути, только для указания положения определённого объекта — неподвижного (гора, мыс) или движущегося (корабль, планета). Новое, исключительно плодотворное применение получил метод координат в книге французского философа и математика Рене Декарта «Геометрия», изданной в 1637 году. Декарт выяснил важное значение понятия переменной величины. Занимаясь изучением наиболее употребительных линий, Декарт заметил, что координаты точки, перемещающейся по данной линии, связаны определённым уравнением, вполне характеризующим эту линию. Так был найден способ изучения линий по их уравнениям, положивший начало аналитической геометрии и способствовавший развитию других математических наук. «Поворотным пунктом в математике, — писал Энгельс, — была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление». Математической основой аналитической геометрии является своеобразный способ определения геометрических фигур: фигура задаётся уравнением. Возможны два подхода к выяснению сущности этого способа. Рассматривая точку с переменными координатами х, у, связанными некоторым уравнением, мы замечаем, что она перемещается в плоскости с изменением её координат, но пробегаемый ею путь не будет произвольным, так как данное уравнение устанавливает зависимость между величинами х и у. Иными словами, уравнение играет роль как бы рельсов, направляющих движение точки по Возможно, однако, не связывать задание фигуры уравнением с представлением о движущейся точке, описывающей эту фигуру подобно трассирующей пуле, оставляющей светящийся след, или подобно перу сейсмографа, вычерчивающему линию, отображающую колебания земной коры. Можно рассматривать уравнение как средство для отбора точек, составляющих определяемую уравнением фигуру: отбираются те точки плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.