Метод клеточных уравнений

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

 

На тему: метод клеточных уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: Кузьмин Д.С.

Проверил: Зоркин А.Я.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Саратов 2015

 

Математические модели типа «клеточных автоматов» в последнее время широко применя-ются для моделирования систем типа «реакция-диффузия». Кроме того, модели клеточных авто-матов применяются при моделировании процессов в нанотехнологиях, при моделировании до-рожного движения. Математические модели теории перколяции («просачивания») также можно отнести к моделям типа клеточных автоматов.

 

Рассмотрим процедуру построения подобной модели из общих соображений, а затем обсудим свойства получаемых моделей.

 

Рассмотрим однородный ареал обитания некоторых травоядных животных. Пусть на неко-торой территории при оптимальной плотности популяции, пищевых ресурсов для этих животных хватает на время t1, после чего требуется время t2 на восстановление запасов пищи.

 

Разобьем территорию обитания вида на клетки со стороной 1 (условия единица). Можно считать, что размеры ареала отнормированы на величину порядка среднего радиуса индивиду-альной активности животного. Будем считать, что каждая клетка может находиться либо в за-селенном состоянии (возбуждения, оптимальной численности популяции), либо в незаселенном состоянии (покоя, нет особей, есть только кормовой ресурс), либо в состоянии возобновления ресурса (рефрактерном). Будем считать, что клетки среды заселяются по следующим правилам.

 

1. Заселиться может только незаселенная клетка (рефрактерные клетки не заселяются).
2. Через время t1  возбуждение клетки переходит в состояние рефрактерности.
3. Через время t2  рефрактерные клетки переходят в состояние покоя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. «Двухрукавная спиральная волна». Момент t = 1

 

Очевидно, что подобная модель не в состоянии обеспечить предсказание количественных характеристик процессов, с ее помощью лишь возможно исследовать (имитировать) качествен-ное поведение системы. Замечательно, что это поведение довольно сложно, возможна нетриви-альная динамика, существенно зависящая от начальных условий и соотношения параметров t1 и t2.

 

Так, при t1 ≈ t2 и начальной конфигурации, показанной на рис. 1, точка, которая сосед-ствует и с двумя возбужденными участками, и с двумя рефрактерными, будет являться центром образующейся в системе спиральной волны. (Читателю предлагается подумать, почему в системе формируется двухрукавная спиральная волна.)

 

Описанный клеточный автомат (Н. Винера и А. Розенблюта) строился из некоторых со-ображений экологического характера. Однако ему можно придать ряд истолкований, включая качественную модель распространения возбуждения в коре головного мозга или протекания ре-акции Белоусова–Жаботинского [Лоскутов, Михайлов, 1989; Ахромеева и др., 1992]. Развитие спиральной волны, возникшей при эволюции системы, в два момента времени показано на рис. 2 и 3.

 

Авторы феноменологической модели исследования реакции Белоусова–Жаботинского [Ахромеева и др., 1992; Oono, Kohomoto, 1962] предположили, что сосредоточенная (точеч-ная) модель обладает автокаталитической кинетикой, а причиной сложного пространственно-временного поведения оказываются диффузионные процессы.

• одномерном случае система разбивается на одинаковые клетки. Состояние n-й клетки

 

• момент времени t (время в данной модели, конечно, дискретно) определяется неотрицательной функцией A(n, t). Значение A(n, t + 1) определяется по предыдущему состоянию по следующим

правилам:

Предварительный этап (1) моделирует диффузию. Второй этап схематично описывает протекание химической реакции, функция F задается как

 

1, x ≥ 1, 5;

 

F (x) =   0, 0, 5 ≤ x < 1, 5; (3)

M,   x < 0, 5.

 

По  замыслу авторов,  множитель α определяет  величину  коэффициента  диффузии системы,

0 ≤ α ≤ 1.

 

Для читателей, знакомых с основами применения численных методов для решения уравне-ний в частных производных, должно быть очевидным сходство предварительного этапа (1) с яв-ной разностной схемой для решения уравнения диффузии, при этом α играет роль удвоенного параболического числа Куранта.

 

Как известно, эта схема устойчива при α ≤ 1, более того, она становится монотонной (т. е. все коэффициенты перед A(j, t) в правой части становятся неотрицательными). Таким образом, становится ясным смысл ограничения 0 ≤ α ≤ 1: значения A_(n, t) становятся неотрицательными и не могут возрастать неограниченно на каждом шаге (см. также Приложение 1).

 

При α = 0 диффузия в системе отсутствует, и правила перехода определяются уравне-нием (2), т. е. дискретным отображением. Нарисовав график итераций этого отображения, видим, что при M > 1 существует единственный устойчивый цикл периода 3:

 

0 → M → 1 → 0 → . . .

 

• зависимости от M, α в автомате (1–2) могут существовать циклы с периодом 3 (очевидно,

 

• случае малых α), волновые процессы и «турбулентные режимы» [Oono, Kohomoto, 1962]. Далее мы вернемся к двумерному обобщению данного автомата.

 

Интересно, что определение клеточного автомата является весьма общим, и в класс «кле-точных автоматов» могут быть включены и объекты, изучаемые в других разделах. В соответ-ствии с [Лоскутов, Михайлов, 1989] под клеточными автоматами понимаются сети элементов, меняющих свое состояние в последовательные дискретные моменты времени по определенному закону в зависимости от того, каким было состояние рассматриваемого элемента и его соседей

 

• предыдущий дискретный момент времени.

 

Под соседями для элемента j, в свою очередь, понимаются фиксировано заданные элементы некоего множества θ(j).

 

Для клеточного автомата определяется закон перехода

для детерминированного автомата или функция вероятности перехода элемента

 

 

Здесь W  — вероятность перехода j-го элемента из состояния a(j, t)

в момент времени t

 

состояние a(j, t + 1) в следующий момент времени при определенных состояниях соседей. Такие клеточные автоматы называются вероятностными.

 

Конечно, наибольший интерес представляют не переименованные в «автоматы» числен-ные аппроксимации, а прямые модели, предпочтительно точно решаемые в целых числах. Так,

 

• [Тоффоли, Марголус, 1991] приведено описание «чисто аналогового» клеточного автомата (на треугольной или гексагональной решетке), являющегося прямой имитацией плоских движений жидкости. Модель позволяет получить гидродинамические течения (при не слишком больших числах Маха) без решения уравнений Навье-Стокса.

 

Учитывая однородность сети, одинаковые простые правила перехода и малое число свя-зей между элементами, такие процессы удачно проектируются на архитектуру существующих параллельных вычислительных комплексов. Для исследования моделей клеточных автоматов ис-пользуется математический аппарат, схожий с аппаратом термодинамики и теории информации: введение различных кодов, размерностей, энтропий и т. п.

 

Среди всех возможных классов клеточных автоматов большинство результатов получено для одномерных так называемых правильных суммирующих автоматов.

Автомат называется правильным, если для него выполнено следующее условие:

 

F (A(n − r, t), . . . , A(n + r, t)) = F (A(n + r, t), . . . , A(n − r, t)

Кроме того, если F (0, 0, . . . , 0) = 0, то автомат называется законным. Если

По классификации С. Вольфрама [Wolfram, 2002] одномерные и двумерные правильные суммирующие автоматы делятся по своему поведению на четыре класса.

 

Класс 1. За конечное число шагов автоматы достигают пространственно-однородного состояния. Конечное состояние не зависит от времени и от начальных условий.

 

ПРИМЕР 1. Рассмотрим следующий клеточный автомат: каждый элемент может находиться в двух состояниях: 0 и 1. Правила перехода имеют вид:

 

1,   A(n − 1, t) + A(n, t) + A(n + 1, t) = 3;

A(n, t + 1) =

0,   A(n − 1, t) + A(n, t) + A(n + 1, t)    3.

 

 

Класс 2. Автомат генерирует локализованные структуры, стационарные или периодиче-ские по времени.

 

ПРИМЕР 2. Как и в примере 1, считаем, что каждый элемент сети может находиться в двух состояниях: 0 и 1.

Класс 3. Автомат из этого класса порождает непериодические конфигурации клеток, «за-бывая» при этом о начальных условиях, — обладает так называемым «турбулентным» пере-мешиванием. Примеры автоматов такого класса приведены ниже, в параграфе, посвященном модификации клеточного автомата «игра „Жизнь“».

 

Класс 4. Динамика клеточного автомата существенно зависит от начальных данных. Под-бирая начальные условия, можно группировать самые различные последовательности сменяю-щих друг друга состояний. Известно несколько «кандидатов» на роль автомата класса 4, твердо установлено, что таким автоматом является игра Дж. Конвея «Жизнь».

Игра Дж. Конвея «Жизнь» и двумерный клеточный автомат У. Ооно–М. Кохомото

 

Игра «Жизнь» была предложена в 1970 г. Дж. Конвеем в качестве математического развле-чения. В настоящее время достаточно велик интерес математиков к этой игре: доказано, что она является клеточным автоматом класса 4. Согласно существующим гипотезам, автоматы данного класса могут осуществлять универсальные вычисления, подобно машине Тьюринга [Тоффоли, Марголус, 1991], и применяться при моделировании развития турбулентности и возникновения диссипативных систем в экологии, биологии, экономике и т. д.

 

Кроме того, благодаря «универсальному поведению», подобный клеточный трансляторов (компиляторов) для систем, осуществляющих параллельные вычисления на транспьютерных архитектурах.

 

Рассматривается двумерная система клеток на плоскости. Будем каждый элемент обозна-чать двумя индексами (снизу). Шаблон, учитывающий количество ближайших соседей, включает восемь клеток, имеющих с данной общие грани или вершины.

 

Правила перехода для каждого элемента крайне просты: элемент aij может находиться в со-стоянии покоя (0) или активности (1). Из состояния покоя в активное в следующем поколении элемент переходит, если рядом с ним в текущем поколении оказалось ровно три активных эле-мента. Состояние активности сохраняется, если среди ближайших соседей находятся два или три активных элемента. Правила перехода на следующий слой могут быть записаны в канонической форме B3/S2,3.

 

В первой части записи правила послойного перехода (B от слова Born — рождение) указы-вается то число соседей в окрестности Мура, при котором происходит рождение новой клетки. S (save) — число соседей, при котором клетка остается активной.

 

Динамика автомата «Жизнь» не является хаотической, а скорее «регулярна». В нем воз-можны локализованные циклы (конфигурации «мельница» или «семафор»), движущиеся кон-фигурации — «планеры». Существуют также и различные динамические структуры (например, в случае «столкновения» «планера» с «мельницей») и «неэлементарные» начальные конфигу-рации типа «паровоза» и «ружья», «стреляющего» «планерами». Описание эволюции таких структур приведено, например, в [Ахромеева и др., 1992].

 

Простейшими являются стационарные, то есть не зависящие от времени, структуры. Их примеры показаны на рис. 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4. Стационарные структуры в игре «Жизнь». Структура в верхнем левом углу состоит из четырех клеток

 

С помощью этих стационарных структур можно получить множество других. В самом деле, если мы имеем такую структуру, то конфигурация, полученная поворотом на 90◦, также является стационарной. Четыре конфигурации справа в нижнем ряду рисунка показывают, как можно достраивать определенные структуры до любых размеров. Важно подчеркнуть, что эти структуры локализованы. Будучи разделеными двумя покоящимися клетками, они не влияют друг на друга. Можно считать, что стационарные структуры повторяют себя на каждом шаге по времени. Но есть и другие конфигурации, повторяющие себя через N шагов, для краткости будем называть их N -циклами. Примеры циклов периода 2 показаны на рис. 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5. 2-циклы в три последовательных момента времени (сверху вниз). Цикл в третьей колонке — семафор

 

Известно много различных периодических конфигураций. Однако эффективные алго-ритмы, позволяющие строить различные конфигурации с данным периодом N , по-видимому, в настоящее время не созданы.

 

Система клеток, которую описывает игра «Жизнь», развивается необратимо. В самом деле, конфигурация в момент t полностью определяет будущее (состояние в моменты t +1, t +2 и т. д.). Но восстановить прошлое системы по ее настоящему не удается.

 

В игре «Жизнь» существуют конфигурации, которые могут передвигаться по плоскости. Одной из них является «планер». (Внизу на рис. 6 стационарная структура поставлена в качестве точки отсчета). Через каждые четыре шага он повторяет себя, сдвигаясь на одну клетку вниз и вправо. Некоторые конфигурации могут передвигаться не вдоль диагоналей, а по прямой. Таков, например, «корабль», показанный вверху на рис. 6

 

 

 

 

 

Рис. 6. Подвижные структуры «планер» и «ко-   Рис. 7. Начальная конфигурация «резонанс» из

рабль»  в  начале  эволюции.  Момент  време-   5 клеток

ни t = 1

Столкновение двух планеров или планера со стационарами может приводить к их «анни-гиляции». Иногда при столкновении может рождаться целый набор семафоров и стационаров

Обратим внимание на две закономерности. Если в конфигурации возникла симметрия (например, относительно вертикальной или горизонтальной оси), то далее в процессе эволюции она сохра-няется. Если конфигурация все время локализована в квадрате со стороной N , то она является набором стационаров и циклов, период которых не превышает 2N .

 

Обратим внимание на конфигурацию, показанную на рис. 7. Возникающие при эволюции клетки занимают все большую часть плоскости, рождается несколько планеров, причем это со-общество будет развиваться далее. Ни одна из других конфигураций, состоящих из пяти клеток, не приводит к такому сложному поведению.

 

Как правило, эволюция взятых наугад конфигураций приводит к появлению наборов ста-ционаров, семафоров, планеров. При этом общее число «живых» клеток при t → ∞ оказывается ограниченным. Однако при некоторых начальных данных ситуация может качественно менять-ся. Такое поведение характерно для ряда биологических систем, в частности, эволюционных процессов. Маловероятное событие может качественно изменить поведение системы, привести к появлению новых видов. Именно поэтому «клеточные автоматы» (к этому классу моделей принадлежит игра «Жизнь») находят применение в экологических моделях, при моделировании морфогенеза, в других биологических задачах

Чем большую площадь занимает сообщество, тем сложнее оно может себя вести.

 

 

 

 

 

Рис. 8. «Катапульта» в момент а) t = 1; б) t = 128

 

Поэтому большой интерес вызывают неограниченно растущие в пространстве конфигура-ции. Одну из них, называемую «катапультой», или «планерным ружьем«, предложил в 1970 г. Р. Госпер-младший.

 

Катапульта через каждые 30 шагов повторяет себя и выпускает планер. Планерное ружье заполняет пространство потоком планеров. Есть еще более сложные сообщества клеток, которые могут двигаться, оставляя за собой большой набор семафоров и стационаров. Одно из них — «паровоз», показанный на рис. 9. Поиск таких конфигураций требует применения специальных алгоритмов.

«Райские сады»

 

В последнее время среди любителей игры «жизнь» появилось новое увлечение — поиски «райских садов», или «садов Эдема». Так называется конфигурация клеток, которая не может быть получена ни при какой начальной конфигурации клеток «жизни».

 

Другим примером нетривиального характера эволюции простых начальных данных служит исследование Г. Г. Малинецким и М. С. Шакаевой двумерного обобщения автомата

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Легко видеть, что окрестности Неймана соответствует явная разностная схема с шаблоном, соединяющим центры квадратов на рис. 10а, а окрестности Мура — на рис. 10б. (Конечно, только для этапа «предиктора» (6)). Можно убедиться, что для гладкого начального распределения обе разностные схемы устойчивы в случае k < 1/4 ( k — аналог числа Куранта; k = τD/h2 , схема на рис. 10а монотонна при k < 1/4 а на рис. 10б — при k < 1/8 ). Изменение α от 0 до 1 в формуле (6) соответствует k ∈ [0, 1/4] для схемы на рис. 10а, k ∈ [0, 1/8] для схемы на рис. 10б. Читателям, знакомым с основами теории разностных схем, предоставляем проверить это в качестве простого упражнения. Остальным следует обратиться к Приложению 1

Таким образом, случай схемы с рис. 10а (окрестность Неймана) «ближе» к области немо-нотонности, и, как можно ожидать, она будет более «урожайна» на существование различного рода структур.

 

Численный эксперимент, результаты которого приведены в [Малинецкий, Шакаева, 1992; Малинецкий, Шакаева, 1991], показывает, что в случае окрестности Неймана в довольно уз-кой области параметров (α, M) могут существовать аналоги «планеров» в игре «Жизнь»: в эксперименте фиксируется два вида «планеров».

 

Первый вид существует при M = 6, α ∈ [0, 41, 0, 43] и повторяет себя через каждые 7 вре-менных шагов, смещаясь на две клетки по вертикали вниз. Начальное распределение показано на рис. 11. В «розовых» клетках значение функции равно 1, в «голубых» — М. Второй вид (M = 6, α ∈ [0, 35, 0, 40]) перемещается за четыре временных шага на одну клетку вниз.

 

При M = 6, α = 0, 45 «планер» превращается в «паровоз» (подвижную структуру, остав-ляющую след из «дыма», изчезающего за конечное число тактов). При столкновении «планеров» между собой и с устойчивыми структурами могут наблюдаться достаточно сложные структуры, в том числе, спиральные волны. Последние в этом случае можно получить и в результате взаимо-действия растущей структуры со стационарным циклом периода 3. При этом спиральные волны существуют также в ограниченном диапазоне значений α, M ( α = 0, 35, M = 6 — конфигурация рис. 7 дает спиральную волну, при M = 8 волн нет). Данные волны по своей природе отличают-ся от волн в «стандартных» возбудимых средах: в этой модели они обусловлены перемещением границ областей постоянной концентрации, внутри которых концентрация меняется по циклу периода 3 [Малинецкий, Шакаева, 1992].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 11. Конфигурация «Планер, повторяющая себя за 7 временных шагов» в момент t = 1

 

 

Таким образом, класс моделей клеточных автоматов способен демонстрировать разнооб-разное поведение и является сравнительно легко моделируемым (на ЭВМ) объектом. Класс мо-делей позволяет получить качественные характеристики процессов. Клеточные автоматы могут служить также для имитационного моделирования течений вязкой жидкости и МГД-течений. К недостаткам относится слабая изученность класса моделей.

В последнее время появляются и более сложные конструкции клеточных автоматов. В ка-честве примера укажем работу [Gontar, 1993], где строится и анализируется автомат для моде-лирования периодических химических реакций типа реакции Белоусова–Жаботинского. В цити-руемой работе для анализа свойств клеточного автомата строится теория, основанная на анализе размерности и Π-теореме [Седов, 1988]. Для анализа свойств клеточного автомата построены дискретные аналоги автомодельных решений.

 

Теория клеточных автоматов в настоящее время разработана очень слабо, и основным способом их изучения является численный эксперимент.

 

Другие автоматы типа «Жизни»

 

Первые описания игры «Жизнь» на русском языке содержится в книгах Мартина Гардне-ра [Гарднер, 1988; Гарднер, 1972]. В 1980–2010 годах в разных странах разными авторами созда-ны «жизнеподобные» клеточные автоматы. Математические теории и численный эксперимент в области таких автоматов привели к возникновению не только многочисленных специализи-рованных Интернет-ресурсов, но и специализированных научных журналов. Адреса некоторых ресурсов приведены в Приложении 2.

 

Так, в двумерном пространстве все автоматы типа «Жизни» определены только на шаблоне типа «окрестности Мура». Правила перехода на следующий слой могут быть записаны в канони-ческой форме B3/S23. В первой части записи правила послойного перехода (B от слова «born» — «рождение») указывается то число соседей в окрестности Мура, при котором происходит рож-дение новой клетки. S (save) — число соседей, при котором клетка остается живой. Во всех остальных случаях клетка переходит в состояние 0 — «смерть», и эти правила не записываются стандартной нотацией.

 

Все автоматы типа «Жизнь» рассматривают клетки, находящиеся в двух состояниях, правила перехода зависят только от числа соседей в окрестности Мура.

 

 

Обобщение игры Дж. Конвея «Жизнь» на случай пространства произвольной размерности

и трехмерный клеточный автомат У. Ооно–М. Кохомото

 

 

 

 

 

 

Здесь α ∈ [0, 1], N — число точек в окрестности Aij . Их количество может быть различ-ным. Если в окрестность θ(i, j, n) включены те ячейки, которые имеют с данной общие грани (их 6), назовем окрестность трехмерной окрестностью Неймана; если включены те ячейки, что имеют с данной общие грани и общие ребра (их 14), то назовем окрестность окрестностью Неймана–Мура. Можно включить в окрестность θ(i, j, n) все ячейки, имеющие с данной об-щие грани, ребра или вершины. В этом случае окрестность из 26 ячеек назовем трехмерной окрестностью Мура.

 

Остановимся на некоторых недостатках данного клеточного автомата. Модель второ-го этапа (химических реакций), очевидно, условна. Это — достоинство предлагаемой моде-ли, позволяющее сократить количество операций и уменьшить требования к точности их выполнения.

 

Первый этап моделирует диффузию. Если в окрестности Неймана нет очевидных способов улучшения автомата на данном этапе, то для окрестностей типа Мура есть почти очевидные дефекты описания диффузии.

 

Модификации автомата Кохомото–Ооно в окрестности Мура для трехмерного случая

 

Для линейного уравнения диффузии все пространственные направления равноправны. Для этого достаточно убедиться, что уравнение

 

 

Отсюда следует, что диффузионные потоки во всех направлениях в модель должны входить равноправно. Между тем, для рассматриваемой модели правил перехода клеточного автомата по-токи из тех ячеек, которые имеют с данной общее ребро или общую вершину, точно такие же, как и потоки из ячеек, имеющих с данной общую грань. Это приводит к неравноправному уче-ту диффузионных потоков. В эвклидовой метрике расстояние между центрами соседних клеток неодинаково, следовательно, при равноправии пространственных направлений, веса у диффузи-онных потоков должны учитывать тип соседства (общая грань, ребро или вершина). Будем рас-сматривать автомат, реализованный на окрестности Мура в трехмерном случае, как более общий случай. Сужение правил перехода автомата при выборе окрестности Мура–Неймана будет сразу

следовать из рассмотрения. Очевидно, что расстояние между центрами фиксированной ячейки и ячеек, имеющих с ней общее ребро, в   2 раз больше, чем расстояние до центров тех ячеек,

которые имеют с данной общую грань. Если ячейка имеет с данной лишь общую вершину, то расстояние между центрами увеличится в 3 раз. Соответственно, во столько же раз уменьшим и диффузионные потоки. После необходимых тривиальных преобразований для правил перехода получим следующую краткую запись.

 

 

где учтено, что у данной клетки 6 соседей, имеющих с ней общую грань (расстояние √между центрами ячеек равно 1), 12 соседей имеют с данной общее ребро (поток уменьшается в 2 раз, вес значения функции в данной ячейке уменьшается вдвое) и 8 соседей имеют с данной общую вершину. При этом поток уменьшается в 3 раз, вес значения функции в данной ячейке умень-шается втрое. Параметры, характеризующие подвижность молекул, в этих двух записях правил перехода связаны очевидным соотношением

 

β(6 + 12 · 1/2 + 8 · 1/3) = α.

 

 

 

Отметим, что и двумерные модифицированные клеточные автоматы в окрестности Мура, и, тем более, трехмерные варианты пока не исследованы.

 

 

 

 

 

 

Список литературы.

 

http://www.vlad-utenkov.narod.ru/personal2/informat/ka/k_1.htm

http://www.dissercat.com/content/razvitie-metoda-podvizhnykh-kletochnykh-avtomatov-dlya-modelirovaniya-deformatsii-i-razrushe

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1388586

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BA%D0%BB%D0%B5%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B0%D0%B2%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B2

http://uvd45.ru/2-kurs/referat-po-metodologii-nauchnykh-issledovanii-na-temu-kompiuterno/

http://cinref.ru/razdel/00800economica_teoria/05/115004.htm

http://refdb.ru/look/1427299-p2.html

http://ancient.hydro.nsc.ru/labsimflow/report.pdf