Метод прогонки

Содержание: 

Введение………………………………………………………………………..3

1. Суть метода прогонки…………………………………………………..4
2. Теоретическая часть.................................................................................5
3. Виды прогонки…………………………………………………………..7
4. Теорема о корректности и устойчивости прогонки…………………..10
5. Решение системы методом прогонки. Код, реализующий метод прогонки…………………………………………………………………..12
6. Трёхдиагональная матрица (матрица Якоби)…………………………15

Заключение……………………………………………………………………..19

Список литературы…………………………………………………………….20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ

    Прогонкой называется модификация метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Если матрица системы обладает определенными  свойствами, то метод прогонки является численно устойчивым и очень эффективным методом, который позволяет практически мгновенно решать одномерные краевые задачи, одну из которых мы рассмотрели в предыдущем разделе. Большинство корректно поставленных физических задач приводит к системе уравнений с хорошей матрицей, и в этих случаях метод прогонки проявляет слабую чувствительность как к погрешностям задания начальных условий, так и к погрешностям вычислительного характера. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Суть метода прогонки

    Суть  метода прогонки заключается в том, что, используя специфику структуры матрицы системы уравнений (наличие трех диагоналей), удается получить рекуррентные формулы для вычисления последовательности коэффициентов прогонки, которые позволяют на обратном ходу вычислить значения функции в узлах сетки. Рассматривая конечно-разностное уравнение для первой тройки узлов:

b1U1+c1U2=-a1U0,

видим, что оно связывает между собой два соседних значения U1, и U₂. Перепишем его в виде:

d1U2+e=U1, (1)

где d₁ и е1вычисляются по известным значениям. Наблюдательный читатель заметит, что это справедливо только для задач первого рода. Чуть позже мы получим общее решение. Теперь мы можем исключить £/, из уравнения для следующей тройки узлов:

a2U1+b2U2+c2U2=f2,

подставив значение U1 из уравнения (8). После этой процедуры последнее уравнение также может быть приведено к виду:

d3U3+e2=U2,

Подстановки можно продолжать и дальше, но для  получения рекуррентного соотношения, достаточно рассмотреть одну из них  для произвольного индекса i. Подставив

di-1Ui+ei-1=Ui-1,

в уравнение

aiUi-1+biUi+ciUi+1=fi,

получим:

Ui=-[CiUi+1/(aidi-1+bi)]+[fi-ai+1*ei+1/(aidi-1+bi)] (2)

Это соотношение  дает две рекуррентные формулы для  коэффициентов:

di=-Ci/(ai*di-1+bi) (3) 

ei=(fi-ai*ei-1)/(aidi-1+bi) (4)

    Цикл  вычисления последовательности коэффициентов в соответствии с этими формулами носит название прямого хода прогонки.  
 

do=yo, eo=бo,

    Цикл  прямого хода повторяется N-1 раз. Последними будут вычислены коэффициенты d_N-1 и e_N-1, которые связывают функции в двух узлах вблизи правой границы:

Un-1=dn-1Un+en-1 (5)

    Если  на правой границе задано условие  первого рода U_n = с, то уже можно вычислить U_n-1 и далее продолжать обратный ход прогонки при I = N - 1,..., 1, 0. Если условие более сложное, то надо рассмотреть уравнение (6), определяющее граничное условие на правой границе. Напомним его:

Un=ynUn-1+бn (6)

    Соотношения (6) и (5) составляют систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Используя определители, запишем ее решение.

Un-1=(en-1+бndn-1)/(1-yndn-1) (7)

Un=(бn+ynen-1)/(1-yndn-1)

    Таким образом, мы нашли значения в двух узлах, лежащих вблизи правой границы расчетной области. Теперь, используя формулу (2) и уменьшая индекс i от N= 2 до 0, можно вычислить все неизвестные £/.. Этот процесс носит название обратного хода прогонки. Почему-то в голову приходит лозунг нашего времени: «Цели ясны, задачи определены.  
 

2. Теоретическая часть

    Пусть Ax=b, где A – трехдиагональная матрица. Матрица A=[a_ij] называется (2m+1) – диагональной, если a_ij=0 при |i-j|>m.

    Для решения систем уравнений такого вида часто наиболее целесообразно применять метод Гаусса при естественном порядке исключения неизвестных. В случае, когда этот метод применяется для решения СЛАУ, его называют методом прогонки.

    Получаем  , используем метод прогонки, исходя из следующего рекуррентного соотношения: ,(2) получаем:

                      

                      

Эти формулы  представляют собой прямой проход метода. Обратный проход:

Остальные x_i находим из формулы (2).

Для применимости метода прогонки достаточно, чтобы  матрица A была с диагональным преобладанием.

Алгоритм:

1.     Вводим str/stlb – количество строк/столбцов, A – элементы расширенной матрицы

2.     Проверяем матрицу на диагональное преобладание

3.     Если матрица с диагональным преобладанием тогда п.4, иначе п.8

4.     Выполняем прямой ход метода (формулы (3), (4)): c[1]:=A[1,2]/A[1,1]; d[1]:=A[1,stlb]/A[1,1];

c[i]:= (-A[i,i+1])/(A[i,i-1]*c[i-1]+A[i,i]);

d[i]:= (A[i,stlb]-A[i,i-1]*d[i-1])/(A[i,i-1]*c[i-1]+A[i,i])

5.     Далее обратный ход (формулы (2),(5)):

x[str]:=(A[str,stlb]-A[str,str-1]*d[str-1])/(A[str,str]+A[str,str-1]*c[str-1]);

x[i]:=c[i]*x[i+1]+d[i];

6.     Выводим x;

7.     Проверки на невязку;

8.     Заканчиваем алгоритм.

В программе: A[i,i+1] = B_i, A[i,i] = C_i, A[i,i-1] = A_i, A[i,stlb] = b_i, d[i] = ?_i, c[i] = ?_i, str = n.

Описание входной информации: Str (Stlb) – количество строк (столбцов) в расширенной матрице, A [i, j] – матрица A (i – строки, j – столбцы) 

3. Виды прогонки

     Часто возникает необходимость в решении  линейных алгебраических систем, матрицы  которых, являясь слабо заполненными, т.е. содержащими немного ненулевых элементов, имеют определённую структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов метод Гаусса можно трансформировать в более эффективные методы.

     Рассмотрим  наиболее простой случай ленточных систем, к которым, как увидим впоследствии, сводится решение задач сплайн-интерполяции функций, дискретизации краевых задач для дифференциальных уравнений методами конечных разностей, конечных элементов и др. А именно, будем искать решение такой системы, каждое уравнение которой связывает три “соседних” неизвестных: 

                       b_ix_i-1+c_ix_i+d_ix_i=r_i      (1) 

где i=1,2,...,n; b₁=0, d_n=0. Такие уравнения называются трехточечными разностными уравнениями второго порядка. Система (1) имеет трёхдиагональную структуру, что хорошо видно из следующего, эквивалентного (1), векторно-матричного представления: 

   c₁ d₁ 0 0 ...  0 0 0                   x₁                    r₁

                  b₂ c₂ d₂ 0 ...  0 0  0                   x₂                    r₂ 

                  0 b₃ c₃ d₃ ...  0   0 0                   x₃                            r₃        

                  .   .   .    .    ...   .   .   .            *       ...          =        ...    

                  0  0  0  0    ...  b_n-1c_n-1 d_n-1                  x_n-1                            r_n-1

                  0  0  0  0    ...  0   b_n  c_n                         x_n                             r_n 

    Как и в решении СЛАУ методом Гаусса, цель избавится от ненулевых элементов  в поддиаганальной части матрицы  системы, предположим, что существуют такие наборы чисел δ_i и λ_i (i=1,2,...,n), при которых  

                        x_i= δ_ix_i+1+ λ_i      (2) 

    т.е. трехточечное уравнение второго порядка (1) преобразуется в двухточечное уравнение первого порядка (2). Уменьшим в связи (2) индекс на единицу и полученое выражение x_i-1= δ_i-1x_i+ λ_i-1 подставим в данное уравнение (1): 

                        b_iδ_i-1 x_i+ b_i λ_i-1+ c_ix_i+ d_ix_i+1= r_i      

откуда

                        x_i= -((d_i /( c_i+ b_iδ_i-1)) x_i-1+(r_i - b_i λ_i-1)/( c_i - b_i δ_i-1)). 

Последнее равенство имеет вид (2) и будет  точно с ним совпадать, иначе  говоря, представление (2) будет иметь  место, если при всех i=1,2,…,n выполняются рекуррентные соотношения  

                  δ_i = - d_i /( c_i+ b_iδ_i-1) ,   λ _i=(r_i - b_i λ_i-1)/( c_i - b_i δ_i-1)  (3) 

     Легко видеть, что, в силу условия b₁=0, процесс вычисления δ_i , λ_i может быть начат со значений 

                        δ₁ = - d₁/ c₁ , λ₁ = r₁/ c₁ 

и продолжен  далее по формулам (3) последовательно  при i=2,3,...,n, причем при i=n, в силу d_n=0, получим δ_n=0.Следовательно, полагая в (2) i=n,будем иметь 

                        x_n = λ_n = (r_n – b_n λ_n-1)/( c_n – b_n δ_n-1) 

(где  λ_n-1 , δ_n-1 – уже известные с предыдущего шага числа). Далее по формулам (2) последовательно находятся x_n-1 , x_n-2 ,…, x₁ при i=n-1, n-2,...,1 соответственно.

    Таким образом, решение уравнений вида (1) описываем способом, называемым методом прогонки, сводится к вычислениям по трём простым формулам: нахождение так называемых прогоночных коэффициентов δ_i , λ_i  по формулам (3) при i=1,2,…,n (прямая прогонка) и затем неизвестных x_i по формуле (2) при i=n-1, n-2,...,1 (обратная прогонка).

      Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычислений не возникало ситуаций с делением на нуль, а при больших размерностях систем не должно быть строгого роста погрешностей округлений.

      Будем называть прогонку корректной, если знаменатели прогоночных коэффициентов (3) не обращаются в нуль, и устойчивой, если |δ_i|<1 при всех i€{1,2,...,n }.

      Приведем  простые достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях метода автоматически выполняются. 

4. Теорема о корректности и устойчивости прогонки

    Пусть коэффициенты b_i и d_i  уравнения (1) при i=2,3,...,n-1 отличны от нуля и пусть

                  |c_i|>|b_i|+|d_i|  i=1,2,…,n.    (4) 

    Тогда прогонка (3), (2) корректна и устойчива (т.е. с_i+b_iδ_i-1≠0, |δ_i|<1). 

    Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции для установления обоих нужных неравенств одновременно.

    При i=1, в силу (4), имеем: 

|c₁|>|d₁|≥0 

- неравенство нулю первой пары прогоночных коэффициентов, а так же 

                        |δ₁|=|- d₁/ c₁|<1     

    Предположим, что знаменатель (i-1)-x прогоночных коэффициентов не равен нулю и что |δ_i-1|<1. Тогда, используя свойства модулей, условия теоремы и индукционные предположения, получаем: 

            |с_i+b_iδ_i-1|≥|c_i| - |b_iδ_i-1|>|b_i|+|d_i| - |bi|*|δi_-1|= |d_i|+|bi|(1 - | δ_i-1|)> |d_i|>0

а с учетом этого 

                        |δ_i|=|- d_i/ с_i+b_iδ_i-1|=|δ_i|/| с_i+b_iδ_i-1|<|δ_i|/|δ_i|=1     

Следовательно, с_i+b_iδ_i-1 ≠0 и |δ_i|<1 при всех i€{1,2,...,n }, т.е. имеет место утверждаемая в данных условиях корректность и устойчивость прогонки. Теорема доказана.

      Пусть А – матрица коэффициентов  данной системы (1), удовлетворяющих  условиям теоремы, и пусть  

      δ₁= - d₁/ c₁  ,  δ_i=|- d_i/ c_i+b_iδ_i-1    (i=2,3,...,n-1),   δ_n=0

    - прогоночные коэффициенты, определяемые  первой из формул (3), а 

                        ∆_i= с_i+b_iδ_i-1  (i=2,3,...,n)

    - знаменатели этих коэффициентов  (отличные от нуля согласно  утверждению теоремы). Непосредственной  проверкой легко убедится, что  имеет место представление A=LU, где  
 

   c₁  0 0  0  ...  0   0  0              

                  b₂ ∆₂ 0  0  ...  0   0   0                  

               L= 0  b₃ ∆₃ 0  ...  0  0   0                  

                  …………………………      

                  0 0 0 0    ...  b_n-1 ∆_n-1 0              

                  0   0 0   0    ...  0   b_n  ∆_n                      

                        1  -δ₁ 0   0  ...  0    0    0              

                  0   1  δ₂  0  ... 0    0    0                  

               U= 0  0   1   δ₃  ...  0    0    0                  

                  …………………………      

                  0   0   0   0  ... 0   1  -δ_n-1      

                  0   0 0   0  ...  0   0     1                    
 

      Единственное  в силу утверждение теоремы LU-разложения матриц. Как видим, LU-разложение трехдиагональной матрицы А может быть выполнено очень простым алгоритмом, вычисляющем ∆_i δ_i при возрастающих значениях i. При необходимости попутно может быть вычислен

                                                _n

      det A = c₁ ∏ ∆_i .

                       ⁱ⁼² 

      В заключение этого пункта заметим, что, во-первых, имеются более слабые условия корректности и устойчивости прогонки, чем требуется в теореме условие строгого диагонального преобладания в матрице А. Во-вторых, применяется ряд других, отличных от рассмотрения нами правой прогонки, методов подобного типа, решающих как поставленную здесь задачу (1) для систем с трехдиагональными матрицами (левая прогонка, встречная прогонка, немонотонная, циклическая, ортогональная прогонки и т.д.), так и для более сложных систем с матрицами ленточной структуры или блочно-матричной структуры (например, матричная прогонка). 

      5. Решение системы методом прогонки. Код, реализующий метод прогонки

    Часто при решении задач математической физики встречаются матрицы, в которых большинство элементов равно нулю. Причем структура матрицы не хаотична, а вполне определена, а именно - матрица трехдиагональна, ненулевые элементы расположены на главной диагонали и двух прилегающих к ней.

    Метод прогонки является частным случаем  метода Гаусса, и также состоит  из прямого и обратного хода. Для  решения системы, матрицу сначала нужно привести к двухдиагональной:

Поделив первую строку матрицы, приведенной  выше, на -b₁ очевидно, что:

и можно вывести  формулу для прямого хода:

    Затем необходимо выполнить обратный ход - найти вектор X, из последней строки преобразованной матрицы следует, что x_n= Q_n.

В тоже время остальные элементы вектора считаются по формуле:

    Следует заметить, что метод устойчив если(следует из диагонального преобладания матрицы А):

и корректен, если(иначе формулы прямого хода не имеют смысла):

    Ниже  представлен код, реализующий метод  прогонки, принимает трехдиагональную матрицу a размерности N*N, и вектор правых частей b размерности N, результат возвращается в b:

void sweep(double a[N][N],double b[N])

{

int i;

double znam;

b[0]/=a[0][0];//Q₁

a[0][1]/=-a[0][0];//P₁

for(i=1;i < N-1;i++)

{

  znam=-a[i][i]-a[i][i-1]*a[i-1][i]; //общий знаменатель для формул нахождения Pi, Qi

  a[i][i+1]/=znam; //P_i

  b[i]=(a[i][i-1]*b[i-1]-b[i])/znam; //Q_i

}

//строка ниже для вычисления Q_N

b[N-1]=(a[N-1][N-2]*b[N-2]-b[N-1])/(-a[N-1][N-1]-a[N-1][N-2]*a[N-2][N-1]);

 

//обратный ход

 for(i=N-2;i > -1;i--)

{

  b[i]+=b[i+1]*a[i][i+1];

}

return;

}

    Метод прогонки.Если матрица системы является разреженной, то есть содержит большое число нулевых элементов, то применяют еще одну модификацию метода Гаусса - метод прогонки. Рассмотрим систему уравнений с трехдиагональной матрицей:

Преобразуем первое уравнение системы к виду , где ,

Подставим полученное выражение во второе уравнение  системы и преобразуем его  к виду и т.д. На i-ом шаге уравнение преобразуется к виду , где , . На m-ом шаге подстановка в последнее уравнение выражения дает возможность определить значение :

. Значения остальных неизвестных  находятся по формулам: , i = m-1, m-2, ..., 1.

Пример 4. Решение системы уравнений методом прогонки.

Прямой  ход прогонки. Вычислим прогоночные коэффициенты:

, ,

,   

, ,

,

Обратный  ход прогонки. Находим значения неизвестных:

, , ,

Ответ:       .

    Прямые (или точные) методы, позволяют найти  решение за определённое количество шагов. Итерационные методы, основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение  в результате последовательных приближений. 

    6. Трёхдиагональная матрица (матрица Якоби)

    Трёхдиагональной  матрицей или матрицей Якоби называют матрицу следующего вида:

.

    Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математики и физики. Краевые условия x₁ и x_n, которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так краевое условие первого рода F(x = x₁) = F₁ определит первую строку в виде C₁ = 1, B₁ = 0, а условие второго рода dF / dx(x = x₁) = F₁ будет соответствовать значениям C₁ = − 1, B₁ = 1.

    Метод прогонки

Для решения  систем вида или, что то же самое,

                                                                  (1)

используется  метод прогонки, основанный на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:

     , где                     (2)

Используя это  соотношение, выразим x_i-1 и x_i через x_i+1 и подставим в уравнение (1):

,

где F_i — правая часть i-го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать

Отсюда следует:

Из первого  уравнения получим:

    После нахождения прогоночных коэффициентов  α и β, используя уравнение (2), получим решение системы. При этом,

     

    Другим  способом объяснения существа метода прогонки, более близким к терминологии конечно-разностных методов и объясняющим  происхождение его названия, является следующий: преобразуем уравнение (1) к эквивалентному ему уравнению

                    (1')

c надиагональной  матрицей

.

    Вычисления  проводятся в два этапа. На первом этапе вычисляются компоненты матрицы  и вектора , начиная с     до    

      

и