Методика формирования понятия числа и изучения нумерации

Методика  формирования понятия  числа и изучения нумерации

     Понятие натурального числа, нумерация целых  неотрицательных чисел и действия над ними являются основными темами начального курса математики. При  изучении нумерации у учащихся должен быть сформированы знания, которые являются основой работы над арифметическими действиями.

     Материал  по нумерации изучается в четырех  концентрах: десяток, сотня, тысяча, многозначные числа. При этом изучение каждого  вопроса опирается на предыдущий концентр, дополняется новым содержанием  и тем самым получает свое развитие.

1. Десяток

     В методической литературе выделение  темы "Десяток" в особый концентр объясняют следующими причинами:

     1) Десять - основание десятичной системы  счисления и числа от 1 до 10 образуются  в процессе счета, получают  название и обозначение.

     2) Арифметические действия связаны  с операциями над множествами.  Сложение и вычитание в пределах 10 формируют навыки работы с  конкретными множествами, т.к.  у них число элементов не  превосходят 10.

     3) Используя небольшие числа, многие  понятия легче демонстрировать  практическими действиями для  более эффективного их формирования (например, понятия равенства, неравенства,  сложение, вычитание, натуральное  число).

     4) В концентре "Десяток" изучаются  темы, которые являются основой  для изучения последующих вопросов. Например, 20+30=50 сводится к 2 дес.+3 дес.=5 дес.

     В изучении концентра "Десяток" выделяют три этапа: подготовительный период, изучение нумерации, изучение сложения и вычитания.

Подготовительный  период

     Подготовительным  периодом принято называть период изучения некоторых вопросов до введения числа 1, т.е. до начала нумерации. В этот период учитель проверяет уровень математических знаний учащихся: умеют ли они считать, понимают ли смысл слов "больше", "меньше", "столько же" и какие пространственные представления у них имеются: слева - справа, вверху - внизу, впереди - позади и т.д. Все это делается в непринужденной беседе, используя предметы, картинки, палочки и др.

     Полезно так же проверить знание цифр, геометрических фигур, их названий.

     Основное  внимание на уроках подготовительного  периода (обычно 4-5 уроков) должно быть сосредоточено на выяснении, пополнении и систематизации у детей знаний, умений и навыков.

     В подготовительный период рассматриваются  такие вопросы:

     1. Счет предметов. При счете упражняются в такой последовательности: а) предметы в классе; б) объемные игрушки; в) предметные картинки; г) счетные палочки; е) рисунки учебника. Полезно попытаться использовать и обратный счет:10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Выполняя упражнения в счете предметов, дети должны понять, что счет не зависит, в каком порядке мы считаем; при счете нельзя пропускать предметы, нельзя один и тот же предмет назвать дважды.

     2. Больше? Меньше? Столько  же? При изучении этой темы основной целью ставится научить детей практически выяснять, в какой из двух сравниваемых групп предметов больше (меньше) или в них поровну предметов. Учащимся предлагается в один ряд положить 5 красных, в другой 4 синих кружка. Накладываем 1 синий кружок на 1 красный и 1 красный кружок остается без пары. Говорим: красных кружков больше, а синих кружков меньше; красных кружков на 1 больше, а синих - на 1 меньше.

     На  этом же упражнении учитель начинает обучать приему преобразования неравночисленных множеств в равночисленные и обратно. Учитель спрашивает: "Что надо сделать, чтобы синих кружков стало столько, сколько красных? (Положить еще один синий кружок.) Что надо сделать, чтобы красных кружков стало столько же, сколько синих? (Убрать 1 красный кружок.) Как мы их уравняли? (Добавили кружок, убрали кружок.)

     3. Порядковые отношения: "стоять перед", "находиться между", "следовать за" и порядковые значения чисел.

     Учитель просит нескольких учащихся встать в  один ряд друг за другом и вопросами  вида "Кто стоит первым?", и  т.д. разъясняет смысл этих терминов. Дети должны понять, что если при  счете порядок не имел значение, то здесь порядковые номер предмета зависит от порядка, в котором  производился счет предметов. После  работы с другими наглядными пособиями  работают по рисункам учебника.

     В подготовительный период учащиеся знакомятся с тетрадью и ее разлиновкой, другими  учебными пособиями. Начинается подготовка к письму; после показа учителем на доске дети выполняют работы по образцу, данному в учебнике. В  этот период с помощью родителей  учащиеся должны сделать индивидуальное наборное полотно, кружки, квадраты и  т.п.

Нумерация чисел первого десятка

     При изучении нумерации чисел первого  десятка учащиеся должны овладеть следующими знаниями, умениями и навыками:

     - усвоить последовательность чисел  от 1 до 10 и уметь вести счет  в прямом и обратном направлении;

     - знать, как образуется каждое  число из предыдущего и следующего  за ним числа;

     - уметь сравнивать любые два  числа, т.е. устанавливать, какое  из них больше (меньше) другого  и уметь записывать знаками ">", "<", "=";

     - научиться воспринимать на слух  и с опорой на наглядность  простейшие задачи, связанные со  сложением и вычитанием; знать  элементы задачи и уметь их  решать;

     - научиться читать цифры, правильно  и аккуратно писать их в  тетради.

     При изучении нумерации идет процесс  формирования понятия числа. Учащиеся должны понять, что число 4 обозначает число элементов множеств, состоящих  из четырех любых предметов: парты, столы, машины, люди, кружки, палочки  и т.д.

     Для образования чисел используются также упражнения (11, с.57-62):

     1. Присчитывание и  отсчитывание по 1. Этот прием выполняется с предметами. Например, чтобы получить число 3 учитель предлагает детям положить 2 палочки, затем положить еще 1 палочку. Выясняют, что палочек стало 3 и их получили присоединением к 2 палочкам 1 палочки. Делают вывод: чтобы получить 3, надо к 2 прибавить 1. Теперь обратно: из 3 палочек убирают 1 палочку и поясняют, как получили 2 палочки. Делают вывод: чтобы получить 2, надо из 3 отнять 1.

     Учитель сообщает учащимся, что в первом случае присчитывали по 1, во втором - отсчитывали  по 1. Эти термины учащиеся запоминают при выполнении упражнений формулировкой: "Начиная от числа 2 присчитываем по 1 до 5". Учащиеся говорят: "к 2 прибавим 1 получим 3; к 3 прибавим 1, получим 4; к 4 прибавим 1, получим 5". Такие упражнения направлены не только на усвоение терминов, но и на развитие математической речи.

2. Образование  числовых последовательностей ("числовых  лесенок").

      При изучении чисел 1-4 проводится такая  работа: "Положите 1 круг; рядом положите 1 круг и сверху еще 1 круг (столбиком - учитель рисует на доске). Сколько стало кружков? (2.) Рядом столбиком положите столько же кружков и еще 1.Сколько их стало? (3.) Как получили 3 кружка? (К 2 прибавили 1.) Теперь столбиком положите столько же кружков и еще 1. Сколько стало? (4.) Как получили 4 кружка? (К 3 прибавили 1.) Запишем это цифрами: 3+1=4. Ребята, что напоминает расположение наших кружков? (Лесенку.) Верно. Получается лесенка (чертим её доске лесенку (рис.87)). Лесенка наша может подниматься выше и выше, а чисел будет ... (много-много). Теперь уберите кружки и из треугольников постройте лесенку от 4 до 1 так, чтобы она опускалась вниз и объясните, как из 4 получили 3, потом из 3 число 2 и т.д.".

     "Числовая  лесенка" дает представление  о бесконечности последовательности  натуральных чисел, закрепляет  прием образования числа:3+1=4, 4-1=3.

     3. Решение задач  с помощью иллюстраций.

     После ознакомления с понятием задачи (см.гл.7,§ 7) учащиеся работают над составлением и их решением с помощью иллюстраций, записывая при этом решение в виде примера: 3+1=4.

     4. Знакомство с печатной и письменной цифрой.

     Изучаемые числа обозначают сначала печатными  цифрами, которые выставляют на наборном полотне рядом с соответствующим  множеством предметов. Учитель поясняет: можно сказать три квадрата, три  куклы, три

машины, а можно обозначить число 3 вот  таким знаком, такой цифрой. (Показывает.) Для закрепления используют взаимообратные упражнения:

     а) учитель называет число предметов, учащиеся показывают цифрой;

     б) учитель показывает цифру, учащиеся предметы.

Знакомя с письменной цифрой, учитель объясняет и показывает образец написания на доске. Дети повторяют объяснение вслух, рисуя  при этом цифру в воздухе или  обводя образец, данный учителем в тетрадях.

     5. Сравнение последовательных  чисел натурального ряда и записи вида 4>3, 3<4 вводятся с опорой на сравнение множеств (см. гл. 4, § 5- сравнение чисел 3 и 4).

     6. Развитие математических  способностей надо начинать с первых уроков. Учитель подбирает упражнения на развитие внимания, восприятия. На этом этапе учитель начинает отрабатывать прием наблюдения (гл.2,§1). Особое внимание обращается развитию математической речи – подробные повторения (хором, индивидуально) за учителем, без учителя, объяснение своих записей и т.д.

     Изучая  числа первого десятка, учащиеся знакомятся и с числом нуль. Учащиеся выполняют ряд упражнений в отсчитывании предметов по одному до тех пор, пока не останется ни одного. Число 0 должно быть

осознано  учащимися как количественная характеристика пустого множества (т.е. такого множества, которая не содержит ни одного элемента). Дети должны понять, что число 0 меньше любого из чисел натурального ряда, оно меньше одного на 1, а потому должна стоять в ряду чисел перед числом 1.

     Рассмотрение  нового материала, как обычно, лучше  всего начать с практической работы. например, учитель предлагает: "Положите 4 треугольника. Уберите 1. Сколько осталось? (3.) Уберите еще 1. Сколько стало треугольников? (2.) Сколько останется, если убрать еще 1 треугольник (1) и, наконец, если убрать и этот, последний треугольник? (Ни одного.) Запишем последний пример: 1-1=... Получится число 0. Число 0 показывает, что не осталось ни одного предмета. (Показ печатной цифры 0.)"

     Затем можно поставить несколько вопросов такого рода: сколько в нашем классе окон (3), дверей (1), кроватей? (Ни одной.)

     В концентре "Десяток" основным методом  обучения является метод беседы. При  этом наилучших результатов можно  получить, используя технологию поэтапного формирования умственных действий. например, при изучении темы "Числа 1,2 3,4.Образование числа 4.Сравнение чисел 3 и 4" в общих чертах последовательность работы такова (таблица 22).

Таблица 22

2. Сотня

     В концентре "Сотня" изучаются следующие  вопросы: нумерация чисел, сложение и вычитание, умножение и деление. Эти вопросы выделяются в особый концентр по следующим причинам:

     - учащиеся знакомятся с новой  счетной единицей - десятком и  новым понятием - понятием разряда;

     - учащиеся овладевают приемами  устных и письменных вычислений  на основе свойства арифметических  действий, связи между их компонентами  и результатом;

     - учащиеся усваивают таблицы сложения  и умножения и соответствующие  случаи обратных действий - вычитания  и деления;

     - вводятся составные задачи и продолжается работа над простыми задачами;

     - изучаются математические выражения,  продолжается изучение геометрического  материала.

     В результате изучения нумерации в  пределах 100, учащиеся должны овладеть следующими знаниями, умениями и навыками:

     - научиться считать предметы десятками  и усвоить образование, название  двузначных чисел;

     - усвоить порядок следования чисел  при счете, используя предшествующее  и последующее число;

     - уметь сравнивать числа, опираясь  на их место в натуральной  последовательности, а также на  десятичный состав чисел;

     - уметь читать и записывать  числа в пределах 100.

     Нумерация в концентра "Сотня" изучается в два этапа: 1) устная нумерация; 2) письменная нумерация.

     Подготовительной  работой к изучению нумерации  в пределах 10 является повторение нумерации  в пределах 10: образование числа (присчитывание и отсчитывание по 1), последовательность чисел от 1 до 10, прямой и обратный счет. Каждый раз  учитель говорит: эти же приемы мы будем использовать при изучении нумерации чисел больше 10, но там  вместо единиц мы будем употреблять  десятки.

     Изучение  устной нумерации в пределах 100 начинается с формирования у учащихся понятия о десятке. Предлагается отсчитать десять палочек и завязать их в пучок. Можно сказать "десять", "десяток" - т.е. десять единиц образуют десяток. Отсчитав по 10 палочек, мы получим еще 1 десяток и будет 2 десятка и т.д. Практически выясняем, что эти десятки можно сложить и вычитать как простые единицы.

     После ознакомления с понятием "десяток", повторяем основные упражнения по образованию  чисел в пределах 10 и то же самое  проделываем используя термин "десяток": считаем 1 десяток, 2 десятка, ... и наоборот, выясняем: к 1 десятку прибавим 3 десятка, получим 4 десятка; из 7 десятков вычитаем 2 десятка, получим 5 десятков и т.д. Учащиеся должны понять, что при изучении

нумерации принципы и приемы работы с числами переходят  из одного концентра в другое.

     При изучении образования чисел от 11 до 20 из десятков и единиц может быть проведена такая практическая работа с дидактическим материалом: отсчитайте10 палочек, как сказать иначе, сколько  у вас палочек? (1 десяток.) Завяжите палочки в пучок. Положите 1 палочку  на десяток палочек. Сколько стало  всего палочек? (Один – на - дцать.) Сколько здесь десятков палочек? Возьмите десяток в левую руку и покажите. Покажите, сколько еще есть отдельных палочек. Значит, сколько десятков и единиц содержится в числе 11? Положите на десяток еще 1 палочку. Сколько палочек лежит на десятке? (Две.) Сколько всего палочек? Сколько десятков и сколько от дельных палочек? Сколько единиц и сколько десятков в числе "две – на - дцать"? Вместо палочек можно работать с полосками (рис.88).

Рис. 88

     Аналогично  рассматриваются следующие числа  второго десятка, после чего надо обратить внимание детей на то, что в названиях чисел от 11 до 19 первая часть слова обозначает число единиц, а в числе 20 первая часть слова обозначает число десятков.

     Для закрепления устной нумерации учитель  подбирает такие упражнения:

     1) Отсчитайте 14 палочек, покажите сколько десятков и сколько единиц.

     2) У меня в руках 1 десяток  палочек и 8 отдельных палочек.  Каким числом вы это назовете?

     3) Положите 12 палочек, передвигайте  по одной палочке и называйте,  сколько палочек стало.

     4) Положите 19 палочек, отодвиньте в  сторону по 1 палочке и называйте,  сколько палочек стало.  

      При изучении письменной нумерации учитель использует абак (рис.89), где в кармашках верхнего ряда ставятся палочки, нижнего ряда – цифры. Кроме этого большую помощь оказывает более раннее ознакомление с нумерационной таблицей (рис. 90) и общей схемой разбора числа.

Предлагая нумерационную  таблицу, учитель говорит, что к  концу обучения в 3 классе мы будем  знать эту таблицу полностью. Сегодня начнем с ней работать и постепенно будем усваивать то, что пока нам доступно.    
 

Таблица разрядов и классов

Рис. 90

Аналогично мотивируется схема разбора числа, которую  приводим ниже (в скобках - примеры  для читателя -А.А.).

Схема разбора числа

     1. Прочитайте число (9409 - девять  тысяч четыреста девять).

     2. Назовите число единиц каждого  разряда и каждого класса ( 9 ед.1 разряда, или 9 ед; 4 ед. 3 разряда, или 4 сотни; 9 ед. 4 разряда, или 9 тысяч; 409 ед. 1 класса и 9 ед. 2 класса).

     3. Назовите общее число единиц  каждого разряда (9409 ед., 940 дес., 94 сот., 9 тыс.).

     4. Замените число суммой разрядных  слагаемых (9409=9000+400+9).

     5. Назовите число, предшествующее  при счете данному, и число, следующее при счете за данным (9408, 9410).

     6. Назовите наименьшее и наибольшее  числа, которые имеют столько  же разрядов, что и данное число

( 1000, 9999).

     7. Укажите, сколько всего цифр  понадобилось для записи данного  числа и сколько среди них  различных (всего 4 цифры, различных  3).

     8. Используя все цифры данного  числа, запишите наименьшее и  наибольшее числа (4099, 9940).

     Использование этих пособий позволяет поэтапно усваивать и запоминать необходимые  моменты (особенно терминологию).

     Ознакомление  с письменной нумерацией может быть проведено таким образом.

     Учитель кладет в верхний правый карман палочки  по одной до 10 (например, 7, 8, 9, 10), а  дети считают. Сколько здесь палочек? (10.) Как назвать иначе? (1 дес.) Десять палочек будем вкладывать во второй карман, если считать справа налево (завязывает палочки в пучок и ставит его во второй карман, а в первый карман кладет 1 палочку). Сколько здесь всего палочек? (11) Сколько десятков и отдельных единиц? (1 дес. и 1 ед.) Вкладывает еще одну палочку и повторяет вопросы, затем добавляет еще одну палочку и т.д. Кто разложит в карманы 15 палочек? (Дети раскладывают.) Сколько здесь всего палочек? (15.) Сколько десятков? (1 дес.) Обозначим это цифрой (вставляет в нижний левый карман цифру 1). Что показывает цифра 1? (1 дес.) Сколько отдельных единиц в числе 15? (5 ед.) Обозначим цифрой (ставит в нижний правый карман цифру 5). Что обозначает цифра 5? (5 ед.) Здесь записано число 15. На первом месте, считая справа налево (указывает), записано 5 единиц, а на втором 1 десяток.

     Аналогично  рассматриваются еще 2-3 числа (19,11,10). Можно предложить обратное упражнение: положить столько пучков десятков и  отдельных палочек, сколько обозначено цифрами, и прочитать число.

     После этого обозначение числа 15 выставляют в нумерационной таблице. Названия "разряд", "класс" будут говорить по мере появления этих терминов на уроках по программе.

     Рассмотрев  несколько чисел, учитель начинает приучать учащихся к работе по общей  схеме разбора числа. Учащиеся отвечают так: 1) число восемнадцать; 2) в этом числе 1 десяток и 8 единиц; 3) в числе  всего 18 единиц; 4) перед числом идет число 17, за числом 18 следует 19; 5) для  записи понадобилось две цифры. Остальные  пункты вводятся по мере дальнейшего  усвоения знаний о нумерации.

     Нумерация чисел от 20 до 100 идет по такому же плану.

     Для закрепления нумерации в пределах 100 вводится понятие о сантиметре и чуть позже о дециметре. Например, 15 сантиметров они рассматривают  как 1 десяток и 5 единиц сантиметров, т.е. 1 дециметр 5 сантиметров.

     При изучении нумерации учащиеся знакомятся с разрядом и разрядным числом. Учитель поясняет, что в числе 57 содержится 5 десятков и 7 единиц, или  иначе: 5 единиц второго разряда и 7 единиц первого разряда. После этого  знакомятся представлением числа в  виде суммы разрядных слагаемых: 57=50+7.

     На  знании разрядного состава числа  основано решение примеров вида 10+2=12, 12-2=10, 12-10=2. Например, 12 - это 1 десяток  и 2 единицы, вычитаем 2 единицы, остается 1 десяток; значит 12-2=10. Учащиеся знакомятся с понятиями: однозначное и двузначное число, четное и нечетное число. В  дальнейшем при изучении сложения и  вычитания включаются упражнения, связанные  с нумерацией.

3.Тысяча

     Нумерация в пределах 1000 и арифметические действия выделяются в особый концентр по следующим  причинам:

     - здесь заканчивается изучение  нумерации чисел первого класса, класса единиц (сотни, десятки,  единицы), что является основой  для изучения нумерации многозначных  чисел;

     - закрепляются знания устных и  письменных приемов вычислений;

     - вводятся устные приемы умножения  и деления;

     - далее продолжается решение составных  задач с новыми величинами, изучение  геометрического и алгебраического  материала.

     В результате изучения нумерации учащиеся должны:

     - уметь читать и записывать  трехзначные числа;

     - понимать образование чисел из  сотен, десятков, единиц;

     - усвоить названия разрядных единиц, их соотношение и уметь представлять  число как сумму разрядных  слагаемых;

     - уметь применять знание нумерации  при устных вычислениях.

     Методика  изучения нумерации в пределах 1000 аналогична методике изучения нумерации  в пределах 100. Разница только в  том, что здесь добавляется еще  один разряд - разряд сотен.

     Перед изучением нумерации в пределах 1000 учитель посвящает один урок повторению всех видов упражнений по нумерации  в пределах 100, работает по общей  схеме разбора числа, повторяет  все термины.