Методика использования систем счисления в базовом курсе информатики

  «Методика использования систем счисления в базовом курсе информатики»

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……...………………………………………………………..………3

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ..7

1. Исторические предпосылки развития систем счисления в разных странах ………………………..………………………………….………..……7
2. Роль систем счисления в истории развития компьютеров……...…....18
3. Вклад ученых в развитие теории чисел ………………..……..……23

ГЛАВА 2. ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ И  МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕМЫ «СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ»…...……….......32

1. Методика преподавания темы «Системы счисления» ...……………32
2. Педагогические и методические особенности обучения арифметическим основам ЭВМ в базовом курсе информатики ………………………...………55
3. Анализ и результаты исследования ………………………...………...58

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………...…………………...…61

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ..………….……………...….............63

ПРИЛОЖЕНИЕ №1 …………………………………………………...….…...65

ПРИЛОЖЕНИЕ №2 …………………………………………………...….…...72

                                   ВВЕДЕНИЕ

Тема «Система счисления» имеет прямое отношение к математической теории чисел. Однако в школьном курсе математики она, как правило, не изучается. Необходимость изучения этой темы в курсе информатики связана с тем фактом, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную системы. Это одна из традиционных тем курса информатики. Являясь смежной с математикой, данная тема вносит вклад также и в фундаментальное математическое образование школьников [11].

При вводе в вычислительную машину десятичных чисел они преобразуются в двоичные, и все дальнейшие арифметические действия производятся в двоичной системе [2].

В процессе развития ЭВМ математиками и инженерами разработаны методы выполнения математических действий, при которых все они, в том числе умножение, деление, вычитание, возведение в степень, извлечение корня и т.д., сводятся к сложению. Таким образом, из многих элементов, составляющих арифметико-логических устройств современных вычислительных машин, одними из самых многочисленных являются сумматоры, осуществляющие сложение чисел в двоичной системе. Существует множество разновидностей сумматоров, различающихся разрядностью, быстродействием, способами управления, функциональными возможностями (например, памятью) и т.п. [28].

Актуальность темы: Знание систем счисления в информатике (в частности, двоичной системы счисления) обеспечивает понимание способов кодирования информации, принципов сжатия и шифрования информации [15].

Теория кодирования и древнейшее искусство тайнописи — искусство криптографии — близки друг другу. Над разработкой различных шифров трудились многие известные ученые: философ Ф. Бэкон, математики Д. Кардано, Д. Валлис. Естественно, что одновременно с развитием методов шифровки развивались приемы расшифровки, или криптоанализа. Например, французский математик Ф. Виет (1540—1603) нашел ключ к шифру, которым пользовались испанцы во время войны с французами, и даже сумел проследить за всеми его изменениями [21].

Целью исследования является разработка методики преподавания темы «Система счисления» в школьном курсе информатики.

Объектом исследования является процесс обучения информатике в средней школе.

Предмет исследования дипломной работы - это творческая деятельность студента и будущего учителя информатики, как условие развития творческой готовности школьников, знания принципов устройства и работы ЭВМ.

Гипотеза дипломной работы предполагает, что применение компьютерной технологии, способствует эффективному усвоению информации учащимися, и позволит сделать урок нетрадиционным, ярким, насыщенным, приводит к необходимости пересмотреть различные подходы в методике обучения информатике.

Основная задача дипломной  работы: формирование у учащихся навыков работы организации и проектирования учебного процесса. Разработка методического обеспечения по изучению темы «Система счисления».

Задачами дипломной  работы также можно назвать следующие:

• познакомить учащихся с возникновением и развитием системы счисления, с понятием и основанием системы;
• дать представление о роли и назначении систем счисления, в информатике;
• познакомить с различными методами арифметических вычислений в различных системах счисления, а так же со способами перевода чисел;
• побудить интерес к изучению темы, с использованием информационно-коммуникационных технологий;

Методы исследования:

• анализ научной, учебной и методической литературы  по теме исследования;
• наблюдение за учебно-воспитательным процессом в старших классах;
• подбор и составление уроков по разделу: «Арифметические основы компьютера»;
• анализ и обработка полученных данных в результате проведённых уроков.

Новизна исследования заключается в том, что проведен анализ и получены результаты по теме исследования.

Проблема исследования работы заключается в том, что некоторые ученики на бытовом уровне знакомы с новейшим программным обеспечением и техникой, которого нет у школьного учителя [22].

В работе изложен систематизированный  материал, в котором использовались такие принципы как:

=> Научность - излагается набор  основных терминов и понятий, необходимых для усвоения материала;

=> Последовательность - материал изложен последовательно;

=> Связь теории с практикой  - излагаемый теоретический материал разбирается на реальных принципах;

=> Наглядность  - материал снабжен схемами и  таблицами.

В процессе объяснения темы четко  прослеживаются такие этапы как:

=> Изложение тематического материала;

=> Разбор примеров;

Вопросы и задания для самопроверки. Это способствует лучшему усвоению необходимого материала.

Структура работы. Дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка и приложения.

Первая глава дипломной работы посвящена истории возникновения  и развития теории чисел, роли систем счисления в развитии компьютеров.

Во второй главе предлагаются для рассмотрения педагогические и методические особенности  преподавания темы «Система счисления».

Также во второй главе рассматриваются  различные методы арифметических вычислений в различных системах счисления. Приводится сравнительный анализ проведенного урока с использованием презентации, созданной, с помощью программы Microsoft Office PowerPoint 2003, на тему: «История возникновения и развития систем счисления».

В заключении сформулированы основные выводы по работе.

В первой части приложения прилагаются  практические задания по теме работы. А приложение №2 содержит разработки уроков, по темам: «Системы счисления» и «История возникновения и развития систем счисления», которые помогут для изучения данной темы.

Таким образом, тема «Система счисления», в частности, знание двоичной системы счисления – в информатике обеспечивает понимание способов кодирования информации, принципов сжатия и шифрования информации, так же является одной из главных тем раздела, арифметические основы компьютера, в базовом курсе информатики [11]. Предлагаемая работа будет полезна в процессе обучения учащимся и студентам.

^{ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ}

1.1 Исторические предпосылки  развития систем счисления

в разных странах

Понятие числа является одним из основных понятий современной математики. Оно является одним из древнейших понятий. Все культурные народы, обладавшие письменностью, имели понятие о  числе и те или иные системы  счисления [9].

Перемещаясь по странам, мы сможем познакомиться  с различными системами счислений  народов мира.

Развитие систем счисления  в Америке

Исследователи, путешествовавшие в 16 в. по Центральной Америке, обнаружили цивилизации с высокоразвитыми системами счисления, отличными от тех, которые были известны в Европе.

Племя Майя жило в Центральной Америке в  течение первого тысячелетия  и во время своего расцвета имело  одну из наиболее развитых и очаровательных культур этого периода. Хотя они  и не знали, что такое колесо и  упряжные животные, но зато превосходили других в областях плетения, архитектуры  и изготовления глиняной посуды. Но истинно поразительной были их достижения в областях астрономии и математики. Пока Европа тащилась через темное средневековье, жрецы и астрономы племени Майя определили по солнцу, что продолжительность года составляет 365.242 дня (современное измерение: 365.242198), а длина лунного цикла равна 29.5302 дням (современное измерение: 29.53059). Такие удивительно точные результаты были едва возможны без мощной системы записи числа. Жрецы и астрономы племени использовали систему счисления с основанием 20. Необычная, по тому времени, их система включала позиционность и нуль. Оба этих понятия были полностью неизвестны европейцам в это время. Первые девятнадцать чисел системы счисления были представлены точками и черточками, согласно следующей таблице:

Нуль записывался  как символ, похожий на раковину (домик улитки). Многозначные числа большие 19, записывались вертикально, начиная с единиц высшего разряда сверху вниз. Числа системы счисления майя носили следующие названия: кин - единицы, виналь - двадцатки, тун - 400, катун - 8000, бактун -160 000. Например, число 79 записывалось так:

Нетрудно  заметить, что 79 = 3 x 20 + 19, т.е. цифру второго разряда жрецы определяли, как произведение количества единиц на число 20.Из-за различий с календарной системой племени Майя, цифра третьего разряда определялась не при помощи множителя 400 (20 x 20), как ожидалось, а 360. Со всеми последующими цифрами более высоких разрядов поступали следующим образом: цифра четвертого разряда рассчитывалась при помощи множителя 7200 (360 x 20), пятого - 144000 (7200 x 20), и так далее.

Тогда, число  13495 = (1 x 7200 + 17 x 360 + 8 x 20 + 15) имеет вид:

Числа в системе  счисления древних майя записывались в столбец, причем верхние символы  были старшими. Самая нижняя позиция  соответствовала разряду единиц; «этажом выше» располагалось  число двадцаток. Еще выше единица  соответствовала не кратным числа  400, как можно было бы ожидать, а кратным числа 360. За исключением этого разряда, связанного, насколько можно судить, с календарными соображениями и продолжительностью года, все остальные более высокие позиции соответствовали степеням числа 20. 360-элементный "календарный" период под названием тун проставляет собой третий позиционный разряд майянской числовой последовательности, основанный на множителе 9. Эта последовательность, во всех остальных случаях образуемая множителем 20, бесконечна, но в практических целях используются ее первые девять членов, приведенные ниже с указанием майянских наименований соответствующих разрядных позиций и временной продолжительности: Если бы эта последовательность увеличивалась без "нарушения" в третьем разряде, тун равнялся бы 400 кинам. Однако при переходе от биналя к туну вводится множитель 9, и тун равен 18, а не 20 виналям, то есть 360 кинам, или дням. Далее последовательность вновь возвращается к стандартному закону увеличения в 20 раз, хотя и несет в себе "искажение", вызванное появлением множителя 9 между вторым и третьим разрядами. Приведенные девять членов возрастающей последовательности представляют собой систему Майя, откорректированную ими специально для исчисления временных периодов на Земле, а число 9 связано с самой концепцией времени. В любом случае, этот ряд является отклонением от "чистого счета" Майя. Наша позиционная математика десятична, то есть основана на кратных числа 10, а майянский "чистый счет" двадцатиричен, основан на числе 20, и представляется следующими "круглыми" числами, или разрядами: У индейцев майя также существовала и иероглифическая запись чисел.

Система счисления  у ацтеков в Мексике была более последовательно двадцатеричной, чем у майя, но в остальном менее тонкой, так как не использовала ни позиционный принцип, ни специальный символ для нуля. Точка означала у ацтеков единицу, а для обозначения степеней числа 20 были введены новые знаки: флаг для 20, дерево для 400 и кошелек для 8000. При необходимости другие числа представлялись с помощью повторения этих символов, а от их чрезмерного повторения они избавлялись, вводя специальные промежуточные коллективные знаки: ромбовидный знак для 10 и фрагменты дерева для 100, 200 или 300 [7].

Обозначение чисел в  Греции

В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления  – аттическая (или геродианова) и ионическая (она же александрийская или алфавитная).

Аттическая система счисления  использовалась греками, по-видимому, уже к 5 в. до н.э. По существу это была десятичная система (хотя в ней также было выделено и число пять), а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов. Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символ Г (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте"). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символ, первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символ H означал 100 (гекатон), X – 1 000 (хилиои), символ M – 10 000 (мириои или мириада). Используя число 5 как промежуточное подоснование системы счисления, греки на основе принципа умножения комбинировали пятерку с символами степеней числа 10. Так, число 50 они обозначали символом , 500 – символом , 5 000 – символом , 50 000 – символом . Более большие числа обычно описывались словами.

Ионическая система счисления  – алфавитная – получила широкое распространение в начале Александрийской эпохи (примерно 3 в. до н.э.). Хотя возникнуть она могла несколькими столетиями раньше, по всей видимости, уже у пифагорейцев. Эта более тонкая система счисления была чисто десятичной, и числа в ней обозначались примерно так же, как в древнеегипетской иератической системе. Используя двадцать четыре буквы греческого алфавита и, кроме того, еще три архаических знака, ионическая система сопоставила девять букв первым девяти числам: другие девять букв – первым девяти целым кратным числа 10; и последние девять символов – первым девяти целым кратным числа 100. Для обозначения первых девяти целых кратных числа 1 000 греки частично воспользовались древневавилонским принципом позиционности, снова использовав первые девять букв греческого алфавита, снабдив их штрихами ' слева. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше. Чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту. Первоначально числа обозначались прописными буквами, но позднее сменились на строчные.

Ионическая система первоначально  не сильно потеснила уже установившуюся аттическую или акрофоническую (по начальным буквам слов, означавших числительные) системы исчисления. По-видимому, официально она была принята в Александрии во времена правления Птолемея Филадельфийского и в последующие годы распространилась оттуда по всему греческому миру, включая Аттику. Переход к ионической системе счисления произошел в золотой век древнегреческой математики и, в частности, при жизни двух величайших математиков античности. Есть нечто большее, чем просто совпадение, в том, что именно тогда Архимед и Аполлоний работали над усовершенствованием системы обозначения больших чисел. Архимед, придумавший схему октад (эквивалентную современному использованию показателей степени числа 10), гордо заявлял в своем сочинении «Псаммит» («Исчисление песчинок»), что может численно выразить количество песчинок, необходимых для того, чтобы заполнить всю известную тогда Вселенную. Изобретенная им система обозначения чисел включала число, которое ныне можно было бы записать в виде единицы, за которой следовало бы восемьдесят тысяч миллионов миллионов цифр [4].

С помощью простого введения диакритических знаков наподобие тех, которые греки  применяли для обозначения тысяч, алфавитное обозначение целых чисел  можно было бы легко приспособить для обозначения десятичных дробей, но этой возможностью они не воспользовались. Вместо этого для обозначения дробей греки использовали приемы древних египтян и вавилонян. Египетское влияние в Греции было достаточно сильным, чтобы навязать грекам употребление лишь аликвотных дробей, однако большие вычислительные удобства системы счисления вавилонян побудили живших позднее александрийских астрономов перейти к использованию шестидесятеричных дробей. Переняв систему счисления Древнего Вавилона, греки заменили месопотамскую клинопись своими буквенными обозначениями.

В более поздний период в вавилонской шестидесятеричной системе имелся специальный символ для обозначения «пустой» позиции, и греческие астрономы ввели для этой цели букву омикрон. Неясно, был ли такой выбор подсказан тем, что с этой буквы начиналось слово оуден (ничто). Сходство греческой буквы О с современным обозначением нуля может быть чем-то большим, чем случайное совпадение, но у нас нет точных данных, позволяющих утверждать это со всей определенностью. Поскольку греки работали с обыкновенными дробями лишь эпизодически, они использовали различные обозначения. Герон и Диофант, самые известные арифметики среди древнегреческих математиков, записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Но в принципе предпочтение отдавалось либо дробям с единичным числителем, либо шестидесятеричным дробям.

Недостатки греческих обозначений  дробных чисел, включая использование шестидесятеричных дробей в десятичной системе счисления, объяснялись отнюдь не пороками основополагающих принципов. Недостатки греческой системы счисления можно отнести скорее за счет их упорного стремления к строгости, которое заметно увеличило трудности, связанные с анализом отношения несоизмеримых величин. Слово «число» греки понимали как набор единиц, поэтому то, что мы теперь рассматриваем как единое рациональное число – дробь, – греки понимали как отношение двух целых чисел. Именно этим объясняется, почему обыкновенные дроби редко встречались в греческой арифметике. Кроме того, десятичные представления обыкновенных дробей в большинстве случаев бесконечны. А поскольку бесконечность была исключена из строгих рассуждений, теоретическая арифметика не нуждалась в такого рода представлениях.

С другой стороны, областью, в которой  практические вычисления испытывали величайшую потребность в точных дробях, была астрономия, а здесь вавилонская  традиция была настолько сильна, что  шестидесятеричная система обозначений  угловых, дуговых и временных величин сохраняется и поныне [5].

Обозначение чисел в  Египте

Расшифровка системы счисления, созданной в  Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Если штрихов нужно изобразить несколько, то их объединяли в группы из трех или четырех черт и изображали в несколько рядов, причем в нижнем должно быть столько же штрихов сколько и в верхнем, или на одну больше.

        1                  5              10                                  40

Для обозначения  числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Подобными путами египтяне связывали коров. Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1 000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона.

        100         1000            10000              100000           1000000            10000000

Самые древние  из дошедших до нас математических записей высечены на камне. Но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены  на гораздо более хрупком и  недолговечном материале – папирусе. Два таких документа – папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) – служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел. Группа одинаковых символов заменялись более простой по начертанию пометой или знаком, например, девять записывалось как вместо , а семьсот как вместо .В этой записи число 6789 имело вид , причем знаки более высокого порядка располагались справа, а не слева. Иероглифическая запись чисел использовалась преимущественно в официальных документах и текстах. Еще позднее иератическая система обозначения чисел уступила место демотическим системам записи. Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления [7].

Обозначение чисел в  Индии

Письменных памятников древнеиндийской  цивилизации сохранилось очень  немного, но, судя по всему, индийские  системы счисления проходили  в своем развитии те же этапы, что и во всех прочих цивилизациях. На древних надписях из Мохенджо-Даро вертикальная черточка в записи чисел повторяется до тринадцати раз, а группировка символов напоминает ту, которая знакома нам по египетским иероглифическим надписям.

В течение некоторого времени имела  хождение система счисления, очень  напоминающая аттическую, в которой для обозначения чисел 4, 10, 20 и 100 использовались повторения коллективных символов. Эта система, которая называется кхарошти, постепенно уступила место другой, известной под названием брахми, где буквами алфавита обозначались единицы (начиная с четырех), десятки, сотни и тысячи. Переход от кхарошти к брахми, происходил в те годы, когда в Греции, вскоре после вторжения в Индию Александра Македонского, ионическая система счисления вытеснила аттическую. Вполне возможно, что переход от кхарошти к брахми происходил под влиянием греков, но сейчас вряд ли возможно хоть как-то проследить или восстановить этот переход от древних индийских форм к системе, от которой произошли наши системы счисления. Надписи, найденные в Нана-Гат и Насике, относящиеся к первым векам до нашей эры и первым векам нашей эры, по-видимому, содержат обозначения чисел, которые были прямыми предшественниками тех, которые получили теперь название индо-арабской системы. Первоначально в этой системе не было ни позиционного принципа, ни символа нуля. Оба эти элементы вошли в индийскую систему к 8–9 вв. вместе с обозначениями деванагари. В индийской системе число 6789 записывалось бы как . Здесь мы впервые встречаемся с элементами современной системы счисления: индийская система была десятичной, цифровой и позиционной. При желании можно даже усмотреть некоторое сходство в начертании современных цифр и цифр деванагари. Напомним, что позиционная система счисления с нулем возникла не в Индии, поскольку за много веков до этого она использовалась в Древнем Вавилоне в связи с шестидесятеричной системой. Поскольку индийские астрономы использовали шестидесятеричные дроби, вполне возможно, что это навело их на мысль перенести позиционный принцип с шестидесятеричных дробей на целые числа, записанные в десятичной системе. В итоге произошел сдвиг, приведший к современной системе счисления. Не исключена также возможность, что такой переход, по крайней мере отчасти, произошел в Греции, скорее всего в Александрии, и оттуда распространился в Индию. В пользу последнего предположения свидетельствует сходство кружка, обозначающего нуль, с начертанием греческой буквы омикрон. Однако происхождение индийского символа для нуля окутано тайной, так как первое достоверное свидетельство его появления в Индии датируется лишь концом 9 в. Как ни странно, ни греки, ни индийцы не включили в свои системы счисления десятичные дроби, но именно индийцам мы обязаны современной системой записи обыкновенных дробей с числителем, расположенным над знаменателем (но без горизонтальной черты, отделяющей числитель от знаменателя) [9].

Обозначение чисел в  Италии

Это, наверное, самая известная  нумерация, после арабской. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д. Римские обозначения чисел известны ныне лучше, чем любая другая древняя система счисления. Объясняется это не столько какими-то особыми достоинствами римской системы, сколько тем огромным влиянием, которым пользовалась Римская империя в сравнительно недавнем прошлом. Этруски, завоевавшие Римскую империю в 7 в. до н.э., испытали на себе влияние восточно-средиземноморских культур. Этим отчасти объясняется сходство основных принципов римской и аттической систем счисления. Обе системы были десятичными, хотя в обеих системах счисления особую роль играло число пять. Обе системы использовали при записи чисел повторяющиеся символы.

Цифры римской нумерации имеют  следующее начертание:

Прежде знак M изображался знаком Ф, потому то 500 и стал изображать знак D как "половина" Ф. Так же построена и пары L и C, X и V. Хотя о первоначальном значении этих символов было написано много, но достоверного объяснения не существует. Согласно одной из распространенных теорий, римская цифра V изображает раскрытую руку с четырьмя прижатыми друг к другу пальцами и отставленным большим пальцем; символ X, согласно той же теории, изображает две скрещенные руки или сдвоенную цифру V. Символы чисел 100 и 1000, возможно, берут начало от греческих букв Q и Ф. Неизвестно, произошли ли более поздние обозначения C и M от старых римских символов или они связаны с начальными буквами латинских слов, означавших 100 (центум) и 1000 (милле). Полагают, что римский символ числа 500, буква D, возник из половинки старого символа, обозначавшего 1000. Если не считать, что большинство римских символов скорее всего не были акрофоническими и что промежуточные символы для обозначения чисел 50 и 500 не были комбинациями символов чисел 5 и 10 или 5 и 100, то в остальном римская система счисления напоминала аттическую (греческую). Разумеется, в деталях они отличались. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание. Есть правило, по которому нельзя записывать подряд четыре одинаковых цифры, такая комбинация заменяется комбинацией с правилом вычитания, например: В целом римляне не были склонны заниматься математикой, поэтому не испытывали особой потребности в больших числах. Тем не менее, для обозначения 10 000 они эпизодически использовали символ , а для числа 100 000 – символ . Половинки этих символов иногда использовались для обозначения чисел 5 000 ( ) и 50 000 ( ) [6].