Методика изучения нумерации однозначных чисел

Методика изучения нумерации однозначных чисел

Изучению первого десятка  обычно предшествует непродолжительный  по времени, но очень важный по существу подготовительный период. Задачами его  являются, во-первых, выявление имеющихся  у детей знаний, во-вторых, подготовка к изучению арифметики. Используя  первые страницы учебника, а также  различный дидактический материал, учитель выясняет: все ли ученики  умеют считать и в каких  пределах? Каким образом они сравнивают между собой группы предметов? Числа? Сознательно ли пользуются выражениями  столько же, больше, меньше? В какой  степени справляются дети с решением примеров и простейших задач? Какие  цифры и геометрические фигуры они  знают? Само собой разумеется, что  учитель не только выявляет знания детей, но попутно уточняет их, исправляет обнаруженные ошибки. Установив уровень  подготовки детей к обучению арифметике, учитель может построить изучение первого десятка применительно  к своему классу с учетом выявленных особенностей развития детей.

На этих же уроках ученики  знакомятся с учебником и тетрадью по арифметике, с цифровой кассой и  наборным полотном, выполняют подготовительные упражнения к письму цифр, а вместе с тем усваивают правила поведения, которые создают возможность  коллективной работы в классе (как  сидеть за партой, как отвечать и  спрашивать, как входить и выходить из класса и т.д. Все эти навыки имеют большое воспитательное значение.

Основные задачи учителя  при изучении первого десятка  состоят в следующем:

• научить детей сознательно считать и правильно обозначать цифрами первые десять чисел,
• обеспечить понимание структуры натурального ряда,
• сформировать у детей четкие числовые представления в пределах первого десятка.

Изучение этого концентра, как и других, начинается с нумерации.

Большинство учителей, следуя за учебником, рассматривают устную и письменную нумерацию совместно. Каждое число изучается при этом в отдельности. Сюда включаются такие  моменты:

• Образование числа путем присоединения единицы к предыдущему числу.
• Восприятие и представление естественных групп предметов, которые характеризуются данным числом.
• Счет предметов и называние чисел в прямом и обратном порядке с целью запоминания количественных и порядковых отношений чисел в натуральном ряду.
• Рассмотрение состава данного числа из меньших чисел на наглядных пособиях с целью иллюстрации количественного значения числа.
• Знакомство с печатной и письменной цифрой.

Общепринято знакомить детей  с письмом цифр в порядке следования чисел натурального ряда. Обычно на уроке записывают одну две строчки  новой цифры и в качестве повторения — несколько ранее пройденных цифр (запиши число, которое больше на один, чем три; запиши число, которое  называем при счете перед числом пять, и т. п.). После знакомства со знаком действий записываются примеры  вида п + 1 (при письме цифры 7: 6+1= 7 и 7 — 1 = 6).

Такая система обеспечивает четкую последовательность в работе и постепенность введения детей  в область чисел. С помощью  разнообразных упражнений, рекомендуемых  для изучения нумерации, реализуются  такие дидактические принципы, как  наглядность, доступность и сознательность обучения.

Требуется, однако, уточнить и детализировать данную систему, поскольку  в практике школы можно столкнуться  с неверным пониманием отдельных  ее положений. Так, некоторые учителя  уделяют мало внимания изучению структуры  натурального ряда, ограничиваясь рассмотрением  только порядковых отношений (какое  число следует за данным, какое  предшествует ему); не выясняют количественных отношений последовательных чисел (какое число больше, какое меньше данного и как получить число, которое больше или меньше данного  на единицу). Рассматривают только образование  данного числа из предыдущего  путем прибавления единицы, но не показывают получение каждого натурального числа из следующего путем вычитания  единицы, что позднее отрицательно влияет на усвоение вычитания.

Иногда изучение нумерации  чисел затягивается надолго, так  как отводится слишком много  времени на изучение состава чисел  в целях запоминания детьми всех пар слагаемых, дающих в сумме  то или иное число в пределах десяти. Но поскольку сложение еще не рассматривалось, детям приходится запоминать состав чисел, опираясь только на зрительное восприятие различной группировки предметов, что достигается большим трудом.

В методической литературе имеются и другие варианты изучения нумерации чисел первого десятка. Так, по системе Н. С. Поповой первый пяток изучается несколько иначе, чем второй. Наряду с нумерацией чисел 1 — 5 рассматриваются все случаи сложения в этих пределах (действие выполняется на предметах, результат  находится пересчитыванием). Попутно  усваивается и состав этих чисел  из слагаемых. Соответствующие случаи вычитания рассматриваются после  изучения нумерации и сложения в  пределах первого пятка и выполняются  на основе знания состава числа.

При изучении нумерации чисел 6 - 10 рассматриваются только случаи п ± 1, непосредственно вытекающие из счета, и запоминается состав числа  из предыдущего и единицы. Состав чисел из других слагаемых на данном этапе не рассматривается.

Надо отметить, что методика изучения нумерации чисел первого  десятка в этом случае строится с  учетом знаний, имеющихся у детей  при поступлении в школу, чем  объясняется выделение первого  пятка и особый порядок его  изучения.

Принимая во внимание различные  варианты изучения нумерации чисел  в пределах десяти, наметим наиболее целесообразную, на наш взгляд, систему  работы над этим разделом.

Известно, что счет в пределах первого десятка первоклассников  не затрудняет. Сложнее обстоит дело с письмом цифр. Вот почему устную и письменную нумерацию в пределах десяти лучше изучать раздельно.

На первом этапе, как выяснилось в процессе неоднократной проверки, целесообразно изучать не каждое число в отдельности, а несколько  последовательных чисел одновременно. В этом случае создаются благоприятные  условия для отработки навыков  счета, изучения структуры натурального ряда и запоминания печатных цифр. Например, рассматриваются сразу  три числа: 1, 2, 3. Дети упражняются  в .счете отдельных предметов  и групп предметов (пар, троек), а  также считают мерки при измерении  одной из величин — длины (шаги, метры). С помощью предметов создаются  числовые лесенки (1, 2, 3...), которые наглядно иллюстрируют способ образования последующих  чисел из предыдущих (рис. 28). Устанавливается, какое из двух соседних чисел больше (меньше) и на сколько. Количественные отношения соседних чисел определяют порядок их называния при счете: единица меньше двух; поэтому при  счете сначала называют число 1, а  потом число 2 и т. д.

На втором этапе дети учатся писать цифры от 1 до 9 по порядку. Эта  работа облегчается предшествующими  упражнениями, в процессе которых  формируются соответствующие числовые представления, вырабатываются навыки узнавания и называния печатных цифр, а также некоторые навыки письма в результате рисования бордюров, елочек, элементов цифр.

рис. 28

Такой порядок изучения нумерации  не только учитывает уровень подготовки детей к обучению арифметике, но и позволяет наилучшим образом  решить стоящие перед учителем задачи, в частности обеспечить образовательную  цель обучения. Дети усваивают ряд  математических фактов (общий принцип  образования чисел натурального ряда, связь между понятиями прибавить  и больше, отнять и меньшей д,р.), что создает основу для выполнения в дальнейшем сложения и вычитания  приемом присчитывания и отсчитывания.

Методика изучения многозначных чисел

Нумерация многозначных чисел  и действия над ними выделяются в  особый концентр потому, что нумерация  чисел за пределами 1 000 имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой не только на понятие разряда, но и  на понятие класса. Необходимо раскрыть это важнейшее понятие нашей  системы счисления.

 Задача изучения данной  темы состоит в том, чтобы  расширить у детей знания десятичной  системы счисления, структуры  многозначного числа, натуральной  последовательности чисел и на  этой основе сформировать у  детей умение правильно читать  и записывать многозначные числа  в пределах класса миллионов.

 Основным содержанием  этой темы являются следующие  вопросы:

1. Ознакомление учащихся  с новыми для них счетными (разрядными) единицами и введение понятия  "класс"; усвоение разрядного  и классного состава числа  путем упражнений в образовании  чисел из разрядных и классных  единиц и разложения чисел  на разрядные слагаемые, в сложении  и вычитании чисел на основе  знания их десятичного состава.

2. Изучение натуральной  последовательности чисел за  пределами тысячи, особенно при  переходе из одного разряда  или из одного класса в другой.

3. Чтение и запись многозначных  чисел.

4. Усвоение терминологии, связанной с формируемыми понятиями.

 Из перечня основных  вопросов, составляющих содержание  дайной темы, видно, что изучение  ее связано с усвоением ряда  отвлеченных понятий, нуждающихся  в конкретизации. Так, должны  быть конкретизированы десятичная  основа нашей системы счисления,  поместное значение цифры, место  разрядов и классов и др. Этой  цели служат следующие наглядные  пособия:

 а) нумерационная таблица,  или таблица разрядов и классов,  с "карманами" для вставки  цифр, которая облегчает ученику  его первые шаги в овладении  умением читать и записывать  многозначные числа;

 б) демонстрационный  абак, который особенно полезен  на первых уроках (при изучении  вопросов устной нумерации) для  показа образования числа и  его разложения на разрядные  числа.

 Ученики должны иметь  у себя ученические счеты и  абаки такого же типа, что и  демонстрационные, только меньшего  размера. Изучение данной темы  полезно связать с жизнью, с  конкретным материалом-числовыми  данными, характеризующими развитие  промышленности, сельского хозяйства  и культуры в своем крае, городе.

 К изучению данной  темы ученики приступают с  хорошим знанием нумерации трехзначных  чисел, т.е. чисел первого класса. Это знание и нужно положить  в основу изучения нумерации  чисел класса тысяч.

 Пользуясь откладыванием  чисел на классных счетах, ученики  получают три новые для них  счетные (разрядные) единицы - тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч.  И здесь же учитель сообщает, что ранее известные три разряда  (единицы, десятки, сотни) составляют  класс единиц, а вновь полученные  три разряда (единицы тысяч,  десятки тысяч, сотни тысяч)  составляют класс тысяч.

 Далее подробно выясняется, что общего и что различного  в этих классах.

 Общее: в каждом  классе по три разряда; название  разрядов (единицы, десятки, сотни  в классе единиц; единицы тысяч,  десятки тысяч, сотни тысяч  в классе тысяч). Отношение соседних  разрядных единиц (10); в каждом  классе 10 единиц низшего разряда  образуют одну единицу следующего, высшего разряда.

 Что различного в  этих классах: в классе единиц  счет ведется единицами, в классе  тысяч - тысячами; счетная единица  первого класса - простая единица;  счетная единица второго класса - тысяча. Единицами считают от 1 до 999, тысячами - от 1 тысячи до 999 тысяч.

Чтобы у детей сложилось  правильное представление о натуральной  последовательности чисел за пределами  тысячи, на первом или на втором уроке  нужно провести упражнение в счете: в присчитывании и отсчитывании по единице и группами единиц - по 5, 10, 50, 100 и т.д.

 После этого следует  остановиться на нумерации чисел  класса тысяч, т.е. круглых тысяч,  например: 268 тысяч, 306 тысяч, 500 тысяч, 420 тысяч, и провести упражнения:

• в образовании таких чисел из данных разрядных чисел;
• в чтении чисел класса тысяч, сначала записанных в нумерационной таблице, потом - без таблицы;
• в записи чисел, состоящих из круглых тысяч (под диктовку учителя);
• в выполнении действий над числами второго класса, причем эти числа даются сначала в таком виде: 320 тыс. + 200 тыс.; 600 тыс. - 400 тыс.; 18 тыс.4, а потом в обычной их записи:

7 000 + 9 0004 000 8

40000 - 2500036000: 9

 После этого изучается  нумерация любых четырех-, пяти-, шестизначных чисел, в которых  все или только некоторые разряды  обоих классов (в том числе  и класса единиц) заполнены разрядными  числами, например 516824; 40068 и др.

 Переход, к каким  числам может быть сделан путем  постепенного "заполнения" разрядными  числами класса единиц, представленного  нулями.

 Сколько получится, - спрашивает  учитель, - если к 325 тысячам (325000) прибавить 8 единиц? 48'единиц? 648 единиц?

 Ответы учащихся записываются  на доске, и в результате  получается шестизначное число,  в котором оба класса представлены  значащими цифрами:

325 тыс. - 325 000

325 тыс.8 ед. - 325 008

325 тыс.48 ед. - 325 048

325 тыс.648 ед. - 325 648

 Полученное число (325 648) подвергается подробному анализу:  в нем два класса; в каждом  классе по три разряда; в  классе тысяч 325 единиц, - значит, в числе 325 тысяч; в классе  единиц 648. Все число читается  так: 325 тысяч 648. Вслед за этим  идут упражнения в чтении и  записи аналогичных чисел. Уяснению  структуры многозначного числа,  его разрядного и поклассного  состава во многом способствуют:

 а) примеры на сложение  и вычитание, решаемые на основе  знания десятичного состава числа,  например:

25000 + 4000 18420 - 4205460 - 400

30 000 + 500 76 200 - 6 000 16 903-16 000

 б) разложение данного  числа на его разрядные слагаемые  и обратная операция - запись выражения  (суммы) в виде одного числа,  например:

65 040 - 60 000 + 5 000 + 40

4 000 + 700 + 30 + 8 = 4 738

 На этом этапе изучения  нумерации продолжается работа  и по закреплению знания натуральной  последовательности чисел. С гой  целью проводятся упражнения  в выполнении различных заданий,  например:

 а) присчитывайте по 1 и записывайте числа: от 9 997 до 10 004; 99 998 до 100 005;

 б) отсчитывайте по 1 и записывайте числа: от 1 003 до 998; от 3 002 до 9 996; от 10 000 до 99 996;

 в) запишите число,  меньшее 100 000 на 5; большее 19 998 на 3;

 г) запишите "соседей"  чисел: 20 000; 90 000; 100 000;

 д) сравните числа: 600 и 6 000; 7 009 и 7 090; 36 214 и 36 241;

 е) вставьте вместо  точек необходимые числа:

1 726 < 17. ., 100 060 > 1000...

 Знание натуральной  последовательности чисел находит  свое применение и при решении  примеров типа:

99 999 + 1 10 000 - 1 70 000 + 30 000

199 999 + 1 100 000 - 1 90 000 + 1 000

 Решая первый пример, ученик рассуждает так: "Если  прибавить числу единицу, то  получится число, следующее за  данным. А число, которое следует  за числом 99 999, есть 100 тысяч. Поэтому  пишу: 99 999 + 1 = 100 000".

 Если ученик затрудняется  назвать это число, что вполне  естественно, тогда число 99 999 нужно представить в виде суммы:  Э тыс. + 999, прибавить единицу к  999.999 да 1 будет 1000, 99 тыс. а 1 тыс.  будет 100 000.

 Решая пример 10000 - 1, ученик  рассуждает: "Если вычесть из  числа единицу, то получится  число, предшествующее данному.  Числу 10 тысяч предшествует число  9 999. Значит, 10 000 - 1 = = 9 999". Если же  ученик не сумеет назвать это  предшествующее число, то объяснение  может быть дано в таком  виде: "Представим число 10 тыс.  в виде суммы двух слагаемых: 9 тыс. + 1 тыс. Теперь вычтем 1 из 1 тысячи, получим 999, а всего останется  9 999".

 Теперь нужно продолжить  эту работу и установить, что  наименьшим и наибольшим числами  являются:

• среди четырехзначных чисел: 1 000 и 9 999;
• среди пятизначных чисел: 10 000 и 99 999;
• среди шестизначных чисел: 100 000 и 999 999.

 Очень важно, делая  такую запись, объяснить, почему 1 000 наименьшее, а 9 999 наибольшее  в ряду четырехзначных чисел.  Ответ на этот вопрос дает  знание натуральной последовательности  чисел: 1 000 - наименьшее число в  ряду четырехзначных, потому что  число, меньшее его на единицу  (999), является уже трехзначным  числом, а 9 999 - в ряду четырехзначных  чисел наибольшее, потому что  число, большее его на единицу  (10 000), является уже пятизначным  числом.

 После объяснения этого  случая ученики с помощью учителя  уже смогут самостоятельно дать  объяснение, почему в ряду пяти-, шестизначных чисел 10 000 и 100 000 являются наименьшими.

 Существенной особенностью  системы изучения нумерации, принятой  в учебнике, является и то, что  в ней нумерация отвлеченных  чисел изучается в тесной связи  с нумерацией именованных чисел;  разрядные единицы счета сравниваются  с единицами измерения; образование  отвлеченных чисел сопоставляется  с образованием именованных чисел.

 После того как ученики  познакомятся с правилом чтения  шестизначных чисел и научатся  узнавать, сколько всего единиц II класса содержится в данном  числе, им предлагается задание  выразить в метрах: 3 000 мм; 30 000 мм; 920 000 мм.

 Выполняя эти задания,  ученик рассуждает так: "Тысяча  миллиметров составляет 1 м, а  3 тыс. мм составляют 3 м".

 Далее следуют упражнения  обратного характера: "Выразите  в миллиметрах: 1 м; 80 см; 3 м 20 см; 4 м 05 см".

 Ученик рассуждает  так: "В 1 м тысяча миллиметров,  а в 2 м-

2 тысячи миллиметров  (2 000 мм)".

 В 1 см - 10 мм, а в 80 см - 80 десятков миллиметров, или  800 мм.

 В 3 м - 3 000 мм да  еще 20 см - 200 мм, а всего в 3 м  20 см

3 200 мм.

 После рассмотрения  различных случаев преобразования  отвлеченных чисел, т.е. выражения  их в более мелких или в  более крупных разрядных единицах, параллельно рассматриваются такие  вопросы:

 Сколько всего сотен  в числе 3 200?

 Сколько метров в  3 200 см?

 Сколько метров и  сантиметров в числе 5846 см?

 Выразите в более  мелких единицах: 8 сот.9 дес. - в десятках, 8 м 9 дм - в дециметрах.

 В результате совместного  рассмотрения отвлеченных и именованных  чисел ученик начинает понимать, что численная характеристика

 множества зависит  от выбора единицы счета, понимать  равенство чисел, характеризующих  одно и то же числовое значение  величины.

 Чтобы закрепить у  детей знание поместного значения  цифры, в содержание работы  по изучению нумерации включен  раздел "Увеличение и уменьшение  числа в 10, 100, 1000 раз". Умение  увеличить и уменьшить число  путем приписывания или отбрасывания  нулей справа позволяет решать  примеры и задачи, в которых  требуется умножать или делить  число, оканчивающееся нулями. Это  умение требуется также при  преобразовании данных чисел  (при выражении их в более  мелких и крупных единицах).

 В основе методики  этого вопроса лежат наблюдение  и сравнение: учащиеся наблюдают  за тем, как изменяются числа,  когда к ним приписывают или  отбрасывают нули, сравнивают исходные  и полученные числа и выводят  соответствующее правило. После  этого вводятся знаки умножения  и деления, решаются примеры  и задачи: 54 000: 1 000; 3 800 100 и т.п.

 В содержание темы "Нумерация", как уже сказано  выше, входит вопрос о преобразовании  числа, которое сводится к двум  операциям - к раздроблению единиц  какого-либо разряда в единицы  низшего разряда и к выделению  из данного числа всех единиц  какого-либо разряда.

 В методическом отношении  это сложный вопрос, и решается  он по-разному. Приведем здесь  один из способов объяснения. На конкретных примерах выясняется, что в числе, состоящем из  круглых десятков, единиц в 10 раз  больше, чем десятков; в числе,  состоящем из круглых сотен,  единиц в 100 раз больше, чем  сотен, и т.д. Поэтому, если  требуется, например, 36 десятков  выразить в единицах, достаточно 36 увеличить в 10 раз; это можно  сделать путем приписывания к  числу одного нуля справа. А  если требуется узнать, сколько единиц в 36 сотнях, достаточно 36 увеличить в 100 раз, что можно сделать, приписав к числу справа два нуля, и т.д.

 Отсюда правило: чтобы  узнать, сколько единиц в числе,  состоящем из десятков, надо приписать  к числу справа один нуль; чтобы  узнать, сколько единиц в данном  числе сотен, надо приписать  к числу справа два нуля  и т.д.

 Точно так же на  отдельных примерах можно показать  учащимся, что, если требуется,  например, узнать, сколько десятков  в числе 480, достаточно отбросить  в нем нуль. Получим 480 = 48 дес.  А если нужно узнать, сколько  сотен в числе I 200, достаточно  отбросить два нуля. Получим: 1 200 = 12 сот.

 Сколько десятков в  числе 4 735? Рассуждаем так: десятков  не будет только в разряде  единиц, поэтому отбрасываем единицы;  оставшиеся цифры обозначают  число, которое покажет, сколько  всего десятков в данном числе  (473 десятка). Действительно, в 4 тысячах  40 сотен, а в 40 сотнях 400 десятков. В 7 сотнях 70 десятков, а всего  будет: 400 дес. + 70 дес. + 3 дес. = 473 дес.

 Точно так же объясняется,  сколько сотен, например, во всем  числе 34 815. Сотен нет только  в разрядах десятков и единиц; отбрасываем их. Оставшееся число  (348) покажет, сколько всего сотен  в числе (348 сот). Отсюда вытекает  правило: чтобы узнать, сколько  всего сотен в данном числе,  надо отбросить в нем десятки  и единицы и прочитать оставшееся  число, как число сотен.

 После изучения нумерации  шестизначных чисел вводится  класс миллионов и девятизначные  числа. Порядок работы примерно  тот же, что и над классом  тысяч и шестизначными числами:  образование трех новых разрядных  единиц-миллиона, десятка миллионов,  сотни миллионов, объединение  их в класс миллионов, в котором  счетной единицей является миллион  (новая классная единица), перенос  на этот класс всего того, что  детям известно о классе единиц  и классе тысяч; рассмотрение  нумерационной таблицы, в которой  представлены три класса, использование  этой таблицы для первоначального  ознакомления учащихся сначала  со структурой числа III класса  без нулей и с нулями в  пределах этого класса (632 млн., 370 млн., 800 млн), а потом со структурой  девятизначных чисел, с их чтением  и записью в таблице.

 При изучении нумерации  девятизначных чисел проводятся  упражнения: в образовании чисел  (преимущественно из классных  единиц, например: "Напишите число,  которое содержит 158 ед. III класса, 840 ед. II класса и 256 ед. I класса"), в разложении чисел без нулей  и с нулями на месте отсутствующих  единиц, как отдельных разрядов, так и целого класса, в записи  всех возможных чисел с помощью  данных цифр (например: "С помощью  цифр 3, 8, 5 запишите все возможные  трехзначные числа так, чтобы  одна и та же цифра в числе  не повторялась"), в сравнении  чисел, в усвоении натуральной  последовательности чисел за  пределами миллиона, в преобразовании  чисел как отвлеченных, так  и именованных.

 Использование методики, изложенной здесь в самых общих  чертах, должно не только научить  детей правильно читать и записывать  числа, но и дать им знание  основ десятичной системы счисления,  натурального ряда чисел, а  также развить их математическое  мышление.

 Одновременно с изучением  нумерации многозначных чисел  проводится работа над ранее  изученным материалом (его повторение, закрепление и некоторое расширение) по всем основным линиям: по  совершенствованию вычислительных  навыков и умению решать задачи, по расширению сведений из  алгебраической и геометрической  пропедевтики. На многих уроках  после проверки домашнего задания  проводятся специальные кратковременные  устные упражнения. Материал для  таких упражнений (примеры и задачи) дан в учебнике в разделе  "Дополнительные упражнения". Некоторые из них могут включаться  и в домашнее задание. На  каждом уроке по теме "Нумерация"  учащиеся вместе с изучением  нового материала повторяют и  закрепляют знания.

Методика раскрытия  конкретного смысла умножения

По мнению В.В. Давыдова, умножение  является центральной темой программы 3 класса. Умножение в курсе 3 класса рассматривается как особое действие, связанное с переходом к новым  меркам в процессе измерения величин. Первая учебная задача здесь - это  задача воспроизведения величины в  ситуации, когда измеряемая величина А много больше заданной мерки, в  связи с чем возникает необходимость  использования вспомогательной, промежуточной  мерки. Одно из чисел, описывающих эту  ситуацию, фиксирует отношение вспомогательной  мерки к исходной (или стандартной) мерке, именно оно является основанием принятой системы счисления. Второе число - это количество вспомогательных  мерок в измеряемой величине (по … взять … раз), третье - отношение  измеряемой величины к исходной мерке.

Другими словами, для воспроизведения  величины с помощью исходной мерки  необходимо иметь не одно число, а  два, одно из которых описывает способ построения вспомогательной мерки  с помощью исходной мерки, а второе описывает способ построения самой  величины с помощью вспомогательной  мерки.

Таким образом, в описании нового способа действия участвуют 2 числа, которых достаточно для воспроизведения  и построения исходной величины. Научившись выполнять арифметическое действие умножения, можно будет определять третье число, характеризующее это  же действие измерения «прямым» способом, от которого дети отказались первоначально.

Основным способом изучения таблицы умножения в этой программе  является выявление закономерностей  и общих способов. Примером тому служит алгоритм изучения таблицы умножения  на 9:

1*9=09 - Сумма двух цифр в произведении всегда равна 9!