Методы выбора кривых роста

Содержание

Введение……………………………………………………………………..3 

1. Методы выбора кривых роста………………………………………….4
2. Применение моделей кривых роста в прогнозировании……………..8

Заключение………………………………………………………………….17

Список используемых источников………………………………………..18 

Введение

     Существует  несколько практических подходов, облегчающих  процесс выбора формы кривой роста.

     Наиболее  простой путь - это визуальный, опирающийся  на графическое изображение временного ряда. Подбирают такую кривую роста, форма которой соответствует  фактическому развитию процесса.

     В статистической литературе описан метод  последовательных разностей, помогающий при выборе кривых параболического  типа.

     Универсальным методом выбора кривых роста, позволяющим  выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик  прироста. Он основан на использовании  отдельных характерных свойств  кривых. При этом методе исходный временной  ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней.

     Задачи:

1. Рассмотреть методы выбора кривых роста.
2. Рассмотреть применение моделей кривых роста в прогнозировании.
 

1. Методы выбора кривых роста

     Существует  несколько практических подходов, облегчающих процесс выбора формы кривой роста. Наиболее простой метод – визуальный, опирающийся на графическое изображение временных рядов. Подбирают такую кривую роста, форма которой соответствует фактическому развитию процесса. Если на графике исходного ряда тенденция развития недостаточно четко просматривается, то можно провести некоторые стандартные преобразования ряда (например, сглаживание), а потом подобрать функцию, отвечающую графику преобразованного ряда. В современных пакетах статистической обработки имеется богатый арсенал стандартных преобразований данных и широкие возможности для графического изображения, в том числе в различных масштабах. Все это позволяет существенно упростить для исследователя проведение данного этапа.

     В литературе описан также метод последовательных разностей помогающий при выборе кривых полиноминального типа. Этот метод применяют при выполнении следующих предположений: уровни временного ряда могут быть представлены в виде суммы систематической составляющей  и случайной компоненты, подчиненной закону нормального распределения с математическим ожиданием, равным 0 и постоянной дисперсией. Метод последующих разностей предполагает вычисление первых, вторых и т.д. разностей уровней ряда.

     ¹Поясним, что для временного ряда y₁, y₂….y_n последовательные разности  
первого порядка определяются следующим образом:

     ∆у_t = y₁ – y_t-1, t = 2,…,n. (1.1)

     Последовательные  разности второго порядка – разности от последовательных разностей первого  порядка:

       ∆²y₁ = ∆ у_t - ∆у_t-1, t = 3,…n. (1.2)

     Аналогично  последовательные разности  порядка  k≥3 можно представить в виде:

       ∆^ky_t = ∆^k-1y₁ - ∆^k-1y_t-1, t = k+1, ..,n. (1.3)

     Расчет  ведется до тех пор, пока разности не будут примерно равными. Порядок  разностей принимается за степень  выравнивающего полинома. Так, если примерно близкими оказываются первые разности, то для выравнивания берется полином первой степени, если разность на примерно одну, и ту же величину имеют вторые разности, то берется полином второй степени и т. д. Однако такой подход далеко не универсален, он возможен при подборе только кривых, описываемых многочленами. К тому же его предпосылки могут и не быть адекватными рассматриваемому реальному процессу.

     Существенную  помощь при выборе кривых роста из более широкого класса функций может  оказать метод характеристик  прироста. Процедура выбора кривых роста с использованием этого метода включает:

     1) выравнивание ряда по скользящей  средней;

     2) определение средних приростов;

     3) вычисление производных характеристик  прироста

      Для многих видов кривых были найдены такие преобразования приростов, которые линейно изменялись относительно t или были постоянны. В связи с этим исследование рядов характеристик приростов часто оказывает существенную помощь при определении законов развития исходных временных рядов.

      Данный метод является более универсальным по сравнению с методом последовательных разностей.

      Однако чаще всего на практике к выбору формы кривой подходят исходя из значений критерия, в качестве которого принимают сумму квадратов отклонений фактических значений уровня от расчетных, получаемых выравниванием. Из рассматриваемых кривых предпочтение будет отдано той, которой соответствует минимальное значение критерия, чем меньше значение критерия, тем ближе к кривой ложатся данные наблюдений. Используя этот подход, следует иметь в виду ряд моментов.

      Во-первых, к ряду, состоящему из m точек можно подобрать многочлен степени (m-1), проходящий через все m точек.

      Во- вторых, существуют множество многочленов более высоких степеней, а также проходящих через все эти точки. Для этих многочленов значение критерия будет равно 0, однако, очевидно, что такая кривая не слишком пригодна как для выделения тенденции, так и для целей прогнозирования.

      Также следует учитывать, что за счет роста сложности кривой можно увеличить точность описания тренда в прошлом, однако доверительные интервалы при прогнозировании будут существенно шире, чем у более простых кривых при одинаковом периоде упреждения, например, за счет большего числа параметров.

      Таким образом, использование этого подхода должно проходить в два этапа. На первом происходит ограничение приемлемых функций, исходя из содержательного анализа задачи. На втором - осуществляется расчет значений критерия и выбор на его основе наиболее подходящей кривой роста. В современных пакетах статистической обработки данных и анализа временных рядов представлен широкий спектр кривых роста. Можно среди этих кривых выбрать отдельную функцию, и получить подробный протокол, включающий оценки параметров, характеристики остатков, прогнозы, интервальные и точечные. Можно выделить на экране несколько функций, тогда протокол будет содержать оценки параметров всех заказанных функций и значения критерия для каждой из них.

      ²В качестве критерия выбирается средняя квадратическая ошибка:

(1.4)

     Подробный протокол, а также прогнозные значения, на заданное пользователем число временных интервалов, приводятся для функции, отвечающей минимуму указанного критерия. Представляется целесообразным для пользователя на основе выше рассмотренных подходов заранее отвергнуть заведомо непригодные варианты, ограничить поле выбора. Отметим, что на практике часто в качестве знаменателя подкоренного выражения принимают величину (n - k), где k - число оцениваемых коэффициентов модели.

2. Применение  моделей кривых роста  в прогнозировании

     На  практике для описания тенденции  развития явления широко используются модели кривых роста, представляющие собой различные функции времени y = f(t). При таком подходе изменение исследуемого показателя связывают лишь с течением времени, считается, что влияние других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени.

     Правильно выбранная модель кривой роста должна соответствовать характеру изменения  тенденции исследуемого явления. Кривая роста позволяет получить выровненные  или теоретические значения уровней  динамического ряда. Это те уровни, которые наблюдались бы в случае полного совпадения динамики явления  с кривой.

     Прогнозирование на основе модели кривой роста базируется на экстраполяции, на продлении в  будущее тенденции, наблюдавшейся  в прошлом.

     При этом предполагается, что во временном  ряду присутствует тренд, характер развития показателя обладает свойством инерционности, сложившаяся тенденция не должна претерпевать существенных изменений в течение периода упреждения.

     ³Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

1) выбор  одной или нескольких кривых, форма которых соответствует  характеру изменения временного ряда;

2) оценка  параметров выбранных кривых;

3) проверка  адекватности выбранных кривых  прогнозируемому процессу, оценка точности моделей и окончательный выбор кривой роста;

4) расчет  точечного и интервального прогнозов.

     Кривые  роста условно могут быть разделены  на 3 класса.

⁴К 1 классу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером тенденции развития и отсутствием пределов роста. Эти условия справедливы для многих экономических показателей, например, для большинства натуральных показателей промышленного производства.

     Функции, относящиеся ко 2 классу, называются кривыми насыщения. Ко 2 классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде. С такими процессами часто сталкиваются в демографии, при изучении потребностей в товарах и услугах (в расчете на душу населения), при исследовании эффективности использования ресурсов. Примерами показателей, для которых могут быть указаны пределы роста, являются среднедушевое потребление определенных продуктов питания, расход удобрений на единицу площади.

Если  кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к 3 классу кривых роста — к S-образным кривым. Эти кривые описывают, как бы два последовательных процесса, когда прирост зависит от уже достигнутого уровня. Причем один развивается с ускорением, другой с замедлением.

S-образные  кривые находят применение в  демографических исследованиях,  в страховых расчетах, при решении  задач прогнозирования научно-технического прогресса, при определении спроса на новый вид продукции.

Среди кривых роста  1 типа, прежде всего следует выделить класс полиномов:

y_t  = a₀ + a₁t + a₂t + a_pt ^p  (2.1)

где

  a_i (i = 0, 1, ... ,p) — параметры многочлена,

t — независимая переменная (время), t = 1, 2, …, n.

Коэффициенты  полиномов невысоких степеней могут  иметь конкретную интерпретацию  в зависимости от содержания динамического  ряда. Например, их можно трактовать как скорость роста (a₁), ускорение роста (a₂), изменение ускорения (a₃), начальный уровень ряда при t = 0 (a₀).

Полином первой степени : y_t = a₀ +a₁t. (2.2)

На графике изображается прямой и используется для описания процессов, развивающихся во времени равномерно.

Основные  свойства тренда в форме прямой:

1. равные изменения за равные промежутки времени (цепные приросты = изменению);
2. если средний абсолютный прирост – положительная величина, то относительные приросты (темпы прироста) постепенно уменьшаются;
3. если средние абсолютные изменения – отрицательная величина, то относительные изменения постепенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню;
4. если имеется тенденция к сокращению уровней, а изучаемая величина является по определению положительной, то среднее значение параметра а₁ не может быть больше среднего уровня (т.е. «а₀»);
5. при линейном тренде ускорение (разность абсолютных значений за последовательные периоды)=0

     ⁵Полином второй  степени:

     Y t=a₀+a₁t+a₂t² . (2.3)

     Парабола  применяется в тех случаях, когда  процесс развивается равноускоренно.

      Параболический  тренд обладает следующими свойствами:

1. неравные, но равномерно возрастающие или убывающие абсолютные  изменения за равные промежутки времени;
2. поскольку а₀ как правило величина положительная, то характер тренда определяется знаками параметров а₁ и а₂.

 При а₁>0 и а₂>0 имеем восходящую ветвь, т.е. тенденцию с ускоренному росту уровней.

При а₁<0 и а₂<0 имеем нисходящую ветвь, т.е. тенденцию к ускоренному сокращению уровней.

При а₁>0 и а₂<0 имеем либо восходящую ветвь с замедляющимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, если их по существу можно считать единым процессом.

При а₁<0 и а₂>0 имеем либо нисходящую ветвь с замедляющимся сокращением уровней, либо обе ветви, если их можно считать единым процессом.

3. В зависимости от соотношения между параметрами, цепные темпы изменений могут либо уменьшаться, либо некоторое время увеличиваться. Но при достаточно длительном периоде темпы роста начинают изменяться, а темпы сокращения уровней начинают возрастать.

     Полином 3-й степени:

      Y _t=a₀+_a1t+a₂t²+a₃t³   (2.4)

     У этого полинома знак прироста ординат  может изменяться 1 или 2 раза. Отличительная черта полиномов — отсутствие в явном виде зависимости приростов от значений ординат (yt). Оценки параметров в модели определяются методом наименьших квадратов. Как известно, суть его состоит в нахождении таких параметров, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических значений была бы минимальной.

     ⁶Таким образом, эти оценки находятся в результате минимизации выражения:

∑( y_t – y_t)² →min. (2.5)

где

y _t — фактическое значение уровня временного ряда;

y _t — расчетное значение;

n — длина временного ряда.

     ⁷К первому классу кривых роста относятся также экспоненциальные кривые. Для них характерным является зависимость приростов от величины самой функции..

      Наиболее  часто применяется простая экспоненциальная кривая, которая имеет вид: y_t=ab^t    (2.6)

Если  b > 1, то кривая растет вместе с ростом t, и падает, если b < 1.Параметр a характеризует начальные условия развития, а параметр b — постоянный темп роста.

Ко второму  классу кривых относят модифицированную экспоненту:

y _t=к+ab^t. (2.7)

где

y = k является горизонтальной асимптотой. 
 
 

     Если  параметр a отрицателен, то асимптота находится выше кривой, если a положителен, то ниже. При решении экономических задач чаще всего приходится иметь дело с кривой, у которой a < 0, b < 1. В этом случае рост уровней происходит с замедлением и стремится к некоторому пределу. Таким образом, модифицированная экспонента хорошо описывает процесс, на развитие которого воздействует ограничивающий фактор, причем влияние этого воздействия растет вместе с ростом достигнутого уровня.

     Если  воздействие ограничивающего фактора  начинает сказываться только после определенного момента (точки перегиба), до которого процесс развивался по некоторому экспоненциальному закону, то для выравнивания используют S-образные кривые. Наиболее известными из них являются кривая Гомперца и логистическая кривая.

     Уравнение кривой Гомперца имеет вид:

у _t=к+a^bt ( 2.8)

     ⁸Кривая несимметрична. Если log a <0, кривая имеет S-образный вид, при этом асимптота, равная k, проходит выше кривой. Если log a >0, асимптота, равная k, лежит ниже кривой, а сама кривая изменяется монотонно: при b < 1 — монотонно убывает; при b > 1 — монотонно возрастает.

     Уравнение логистической кривой получается путем  замены в модифицированной  экспоненте yt обратной величиной:

       к+ab^t (2.9) 

     Используется  и другая форма записи уравнения  логистической кривой:

     У=    _(2.10)

При t → –∞ ордината стремится к 0, а при t → ∞ — к асимптоте, равной значению параметра k.

Заключение

В заключение отметим, что нет “жестких” рекомендаций для выбора кривых роста. Особенно осторожно следует подходить к решению этой задачи при использовании полученной функции для экстраполирования найденных закономерностей в будущее. Применение кривых роста должно базироваться на предположении о сохранении выявленной тенденции в прогнозируемом периоде. Рассмотренные различные статистические приемы и методы могут помочь исследователю при осуществлении сложного выбора подходящей кривой роста.

     Применение  критерия для выбора формы кривой, по-видимому, даст практически пригодные  результаты в том случае, если отбор  будет проходить в два этапа. На первом этапе отбираются зависимости, пригодные с позиции содержательного  подхода к задаче, приемлемых функций. На втором этапе для этих функций  подсчитываются значения критерия, и выбирается та из кривых, которой соответствует минимальное его значение.

     В большинстве случаев практически  приемлемым является метод, который  основывается на сравнении характеристик  изменения приростов исследуемого динамического ряда с соответствующими характеристиками кривых роста. Для  выравнивания выбирается та кривая, закон  изменения прироста которой наиболее близок к закономерности изменения  фактических данных. Поскольку основным при исследовании ряда динамики является изменение приростов, то метод, основанный на выявлении и анализе изменений  приростов и различных показателей, полученных на их основе, можно считать  наиболее содержательным. 

Список  используемых источников

1. Гранборга Статистическое моделирование и прогнозирование Москва 2009 г.
2. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике. М.,2010 г.
3. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. М.: Статистика, 2008 г.
4. Льюис К.Д. Методы прогнозирования экономических показателей. М.: Финансы и статистика, 2009 г.
5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкйй А.А. Эконометрика: Начальный курс. М.: Дело, 2010 г.
6. Тейл. Г. Экономические прогнозы и принятия решений. – М. : Прогресс 2009 г.
7. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования - М.: Статистика, 2010г
8. Юзбасиев М.М. Манелл А. М. Статистический анализ тенденций  и колеблемости  Москва: Финансы и статистика, 2008г.