ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ  ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  НАЦИОНАЛЬНЫЙ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(НИУ  «БелГУ») 
 
 
 
 

                                                          Кафедра  туризма и

социально-культурного  сервиса

РЕФЕРАТ

На тему:  «Непрерывные случайные величины» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила:

Студентка группы 171006                                                              А.В.Коваленко 
 

Руководитель:                                                                 к.б.н.,доцент Е.В.Думачёва                                                                     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Белгород,2011г. 

Оглавление 

          Введение……………………………………………………………………3                                                       

1.История теории вероятности………………….…………………...……5                

2.Непрерывные случайные величины. ………………….………….……7               

Заключение………………………………………………………………..13 

Список литературы……………………………………………………….14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

        Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

        Формальное математическое определение следующее: пусть — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на . Вероятностное поведение отдельной (независимо от других) случайной величины полностью описывается её распределением.   

  Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х). Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х). Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины:  
 

 
       Таким образом, и здесь функция F(х) определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х.  
      Формула (19) и свойства 1° и 2° справедливы для функции распределения любой случайной величины. Доказательство проводится аналогично случаю дискретной величины.  
     Случайная величина называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция* , удовлетворяющая для любых значений x равенству :

1.История  теории вероятности

          Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях.    Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей^[1]. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс.    При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год)^[2].

        Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые   предельные теоремы. Во второй половине XIX века   основной вклад  внесли   русские  учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов.    В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

2. Непрерывные случайные величины.

      Случайная величина, значения которой заполняют  некоторый промежуток, называется непрерывной.

      В частных случаях это может  быть не один промежуток, а объединение  нескольких промежутков. Промежутки могут  быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (–µ ; a), [b;µ), (–µ; µ).

      Вообще  непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд, выпущенный из пушки, может пролететь любое  расстояние, скажем, от 5 до 5,3 километров, но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до 0,0000001 километра (то есть до миллиметра), не говоря уже об абсолютной точности. В практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной, у которой одно значение от другого отличается по крайней мере на 1 метр.

      При описании непрерывной случайной  величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное  множество, называемое «континуум».

      Если x – непрерывная случайная величина, то равенство x = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что однако не влечёт за собой невозможности события. Так например, можно говорить, что только с вероятностью «нуль» снаряд пролетит 5245,7183 метра, или что отклонение действительного размера детали от номинального составит 0,001059 миллиметра. В этих случаях практически невозможно установить, произошло событие или нет, так как измерения величин проводятся с ограниченной точностью, и в качестве результата измерения можно фактически указать лишь границы более или менее узкого интервала, внутри которого находится измеренное значение.

      Значениям непрерывной случайной величины присуща некоторая неопределенность. Например, нет практического смысла различать два отклонения от номинального размера, равные 0,5 мм и 0,5000025 мм. Вероятность, отличная от нуля, может быть связана только с попаданием величины в заданный, хотя бы и весьма узкий, интервал. Здесь можно привести сравнение с распределением массы вдоль стержня. Отсутствует масса, сосредоточенная, скажем, в сечении, расположенном на расстоянии 20 см от левого конца стержня, имеет смысл говорить лишь о массе, заключённой между сечениями, проходящими через концы некоторого промежутка.

      Пусть x – непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность неравенства х < x < х + Dх

      P(х < x < х + Dх).

Здесь Dх – величина малого интервала.

      Очевидно, что если Dх ® 0, то P(х < x < х + Dх) ® 0. Обозначим р(х) предел отношения P(х < x < х + Dх) к при Dх ® 0, если такой предел существует:

        (1)

Функция р(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из формулы (1) следует равенство, справедливое для малых величин Dх, которое также можно считать определением функции р(х):

  P(х < x < х + Dх)   p(x)Dх (2)

Очевидно, что p(x) – неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина x примет значение из промежутка [a, b] конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x₁, х₂,¼,  х_n удовлетворяющие условию а=х₀<х₁<x₂<¼<x_n<b=x_n+1. Эти числа разобьют промежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х₀, х₁), [х₁, х₂), ¼,[х_n, b]. Введём обозначения:

      Dх₀= х₁ – х₀, Dх₁= х₂ – х₁, ¼, Dх_n = b – х_n,

и составим сумму . Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина Dх_i стремится к нулю. Будем считать функцию p(x) непрерывной на промежутке (а; b), тогда пределом суммы будет определённый интеграл по  промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности:

      P(a £ x £ b) =   (3)

       Это равенство  можно также рассматривать как  определение функции р(х). Отсюда следует, что вероятность попадания случайной величины в любой интервал (х₁, х₂) равна площади фигуры, образованной отрезком [х₁, х₂] оси х, графиком функции р(х) и вертикальными прямыми х = х₁, х = х₂, как изображено на рисунке 1.

      Если  все возможные значения случайной  величины принадлежат интервалу (а; b), то для р(х) – её плотности распределения справедливо равенство

Для удобства иногда считают функцию р(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины.

      Плотностью  распределения может служить  любая интегрируемая функция р(х), удовлетворяющая двум условиям:

1. р(х) ³ 0;

Можно задавать случайную величину, задавая функцию  р(х), удовлетворяющую этим условиям.

      В качестве примера рассмотрим случайную  величину x, равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае р(х) постоянна внутри этого промежутка:

По свойству 2) функции р(х)

Отсюда  . График функции р(х) представлен на рисунке 2.

      Во  многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х ® ¥ и х ® – ¥ асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина x примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует.

      Пусть x – непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством

       ,

называется  интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины x. Непосредственно из определения следует равенство . Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению . Плотность распределения р(х) называют дифференциальной функцией распределения.

      Функция распределения F(x) случайной величины x имеет следующие свойства.

1. F(x) — непрерывная возрастающая функция.
2. ;

Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения  функции F(x).

3. Приращение F(x) на промежутке (х₁; х₂) равно вероятности того, что случайная величина x принимает значение из этого промежутка:

F(x₂) – F(x₁) = P(x₁ < x £ x₂)

Доказательство.

      F(x₂) = P(x £ x₂) = P(x £ x₁) + P(x₁ < x £ x₂) = F(x₁) + P(x₁ < x £ x₂)

Отсюда 

      P(x₁ < x £ x₂) = F(x₂) – F(x₁)

      Заметим, что для непрерывной случайной величины x справедливы равенства

      P(x₁ < x £ x₂) = P(x₁ < x < x₂) = P(x₁ £ x < x₂) = P(x₁ £ x £ x₂)

      Для равномерного распределения функция  F(x) имеет вид:

Рис. 3

График  функции F(x) представлен на рисунке 3.

      Закон распределения непрерывной случайной величины можно определить заданием либо функции р(х), либо функции F(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

      Случайная величина, значения которой заполняют  некоторый промежуток, называется непрерывной.

      В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (–µ ; a), [b;µ), (–µ; µ).

      Вообще  непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд, выпущенный из пушки, может пролететь любое расстояние, скажем, от 5 до 5,3 километров, но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до 0,0000001 километра (то есть до миллиметра), не говоря уже об абсолютной точности. В практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной, у которой одно значение от другого отличается по крайней мере на 1 метр.

      При описании непрерывной случайной  величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество, называемое «континуум». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  используемых источников: 

1. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности .[Текст]:учеб.пособие/  Б.В. Гнеденко. – Москва: Изд-во Едиториал — М, 2005. — 448 с.
2. Прохоров Ю. В. Математический энциклопедический словарь      [Текст]: учеб.пособие/Ю.В. Прохоров. – Москва: Изд-во Инфра – М, 2006. – 847с.
4. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем [Текст]:учеб.пособие/В.И. Тихонов, В.Н. Харисов. – Москва: Изд-во Инфра – М, 2005. –608с.
5. Чернова Н. И., Теория вероятностей [Текст]:учеб.пособие/Н.И. Чернова. – Новосибирск: Изд-во Новосибирский государственный университет – Н, 2007. –160с.

6. Для   подготовки   данной    работы   были использованы    материалы    с

        сайта: http://exsolver.narod.ru/Books/Mathematic/Vtheory/c22.html

    7. Кремер Н.Ш., Теория   вероятности    и      математическая    статистика

         [Текст]:  учеб.пособие/Н.Ш. Кремер. – Москва: Изд-во ЮНИТА-ДАНА

        – М, 2004. – 573с.