Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Н.И. Лобачевский

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава I. Краткая биография Н.И. Лобачевского………………………………...5

Глава II. Элементы геометрии Н.И. Лобачевского……………………………10

§ 1. Основные факты геометрии Лобачевского………………………………..10

§ 2. Непротиворечивость (содержательная) геометрии Лобачевского………...

Глава III. История признания геометрии Н.И. Лобачевского в России……….

§ 1. Путь признания идей Н.И. Лобачевского в России и за рубежом………….

Приложение…………………………………………………………………………

Заключение………………………………………………………………………….

Список литературы…………………………………………………………………

Введение

Лобачевский - в геометрии, носящий его имя, во всем его математическом творчестве, в фактах жизни, в самой его личности проявились замечательные качества человеческого духа. Появление новой геометрии явилось разрешением более двухтысячелетних усилий доказать V постулат Евклида - аксиому о параллельных. Но появление новой геометрии имело гораздо большее значение, знаменуя переворот не только в геометрии и даже не только в математике, но, можно сказать, в развитие человеческого мышления вообще.

В своей работе я использовала литературу о жизни, деятельности и научных трудах гениального русского ученого.

В истории науки часто бывает так, что истинное значение научного открытия выясняется не только через много лет после того, как это открытие было сделано, но, что особенно интересно, в результате исследований совсем в другой области знаний. Так произошло и с геометрией, предложенной Лобачевским, которая сейчас носит его имя.

Никому не ведомо, как люди становятся гениями. Разумеется, нужны незаурядные природные способности. Однако для того, чтобы они "переросли" в гениальность должно свершиться некое количество счастливых совпадений. Будучи ректором Казанского университета, гениальный математик и геометр, создатель неевклидовой геометрии Николай Иванович Лобачевский в своей известной речи "О важнейших предметах воспитания" назвал несколько условий становления таланта: "В этом искусство воспитателей: открыть гения, обогатить его познаниями и дать свободу следовать его внушениям".

Гениальность Лобачевского не была понята и оценена при его жизни - ни коллегами, ни друзьями, ни тем более в семье. Его основной труд подвергался резкой критике, насмешкам. Ученый так и остался для своих современников «выжившим из ума чудаком».

Он задал человечеству загадку, которую оно оценило лишь много лет спустя. Оценив - вознесло на вершину славы. И тогда людей заинтересовала сама личность учёного. И оказалось, что свидетельств его жизни сохранилось слишком мало, она полна загадок.

Долгое время было неясно, где родился Н.И. Лобачевский,- в г. Макарьеве, Макарьевском уезде или в Нижнем Новгороде; указывались разные даты рождения – 20 ноября 1792 года и 22 октября 1793 года.

За последние сто лет очень многим ученым мира пришлось выучить русский только за то, что им разговаривал Лобачевский. Без этого было сложно освоить "геометрию Лобачевского". А без знания этой новой науки немыслимо было движение вперед, к поиску новых представлений о пространстве, в котором мы живем, о космосе, куда мы рвемся сегодня. Самым убедительным свидетельством гениальности автора стало заключение математиков о том, что в его геометрии классическая геометрия Евклида, которой все пользовались более двух тысяч лет, является нормальным частным случаем...

О том, что "может собственных Платонов и быстрых разумом Невтонов российская земля рождать...", мы догадывались давно, еще с ломоносовских времен. Но вот то, как Гений рождается где-нибудь в Холмогорах (тот же Ломоносов), или в Нижнем Новгороде, на Черном пруду - всегда остается загадкой. Как складываются его отношения с миром? Как постепенно зреет в нем то, чего ради он появился на свет? Чему радовался и о чем горевал Гений в обыденной своей жизни? Да и сама эта жизнь - как она сложилась, из каких достижений, поступков, впечатлений? Кто стоял рядом с ним и, вольно или невольно, дал толчок к рождению гениальной идеи?..

Глава I. Краткая биография Н.И. Лобачевского.

Лобачевский Николай Иванович - великий математик, один из творцов неевклидовой геометрии. Родился 1 декабря 1792 г. в Нижегородской губернии. Девятилетним мальчиком он был привезен матерью в Казань и ее стараниями устроен вместе с двумя братьями в гимназию на казенное содержание, С этого времени его жизнь и работа протекают в Казани. Учась в Казанском университете, рано обратил на себя внимание успехами в математике, но аттестован инспекцией как "юноша упрямый, нераскаянный, весьма много о себе мечтательный", проявляющий даже "признаки безбожия". Только заступничество профессоров предотвратило исключение Лобачевского из университета. 3 августа 1811 г. Лобачевский утверждается магистром. Он изучает под руководством профессора М. Ф. Бартельса классические труды по математике и механике: "Теорию чисел" Гаусса и первые тома "Небесной механики" Лапласа. Представив два научных исследования по механике и по алгебре такие труды, как "Теория эллиптического движения небесных тел" (1812 г.) и "О разрешимости алгебраического уравнения xn - 1 = 0" (1813 г.), он был ранее срока, в 1814 г., произведен в адъюнкты (доценты). И приступил к чтению лекций по теории чисел. В дальнейшем, наряду с математическими дисциплинами, он читал лекции по астрономии, расширяя и углубляя их содержание. Его лекции, например, были посвящены определению элементов орбит, их вековым изменениям, теории приливов и отливов, теории возмущенного движения комет и спутников планет. Проводил в 1811-42 астрономические наблюдения, в частности наблюдал комету Энке в 1832. Дневники его наблюдений сгорели во время пожара обсерватории Казанского ун-та. Вместе со своим учеником М.В. Ляпуновым участвовал в экспедиции в Пензу для наблюдения полного солнечного затмения 8 июля 1842. Подробно описал свои наблюдения и размышления по поводу загадочных в то время явлений протуберанцев и солнечной короны. Занимался также усовершенствованием методов обработки астрономических наблюдений.

В 1827 году Лобачевский был избран в ректоры и занимал эту должность в течение 19 лет. Лобачевский стремился претворить в жизнь свою широкую передовую программу университетского образования, представление о которой дает его речь "О важнейших предметах воспитания", произнесенная им через год после назначения ректором. В которой отразилось его увлечение просветительными идеями XVIII столетия. Будучи ректором Казанского ун-та, способствовал развитию астрономии в Казани. По его инициативе при ун-те в 1833-37 была построена новая обсерватория, одна из лучших по тому времени. Она начала работать в 1838, на год раньше Пулковской. Лобачевский занимается обширной и многообразной педагогической, административной и исследовательской деятельностью. Он преподает математику на всех курсах; читает физические курсы и заведует физическим кабинетом; замещает отправившегося в кругосветное плавание астронома И.П.Симонова; читает астрономию и геодезию, приняв в свое ведение обсерваторию. Ряд лет он работает деканом физико-математического отделения. Колоссальный труд вкладывает он в упорядочивание библиотеки и в расширение ее физико-математической части. Он является вместе с тем одним из активнейших членов, а затем и председателем строительного комитета, занятого постройкой главного университетского корпуса. Наконец, несмотря на тысячи текущих дел и

обязанностей, Лобачевский не прекращает напряженной творческой деятельности. Он пишет два учебника для гимназий: "Геометрию" (1823 г.) и "Алгебру" (1825 г.). "Геометрия" получает отрицательный отзыв у академика Н И. Фусса, не оценившего тех изменений, который Лобачевский внес в традиционное изложение, и осудившего введение метрической системы мер, поскольку она создана в революционной Франции. "Алгебра" из-за внутренних проволочек в университете тоже не была напечатана. Однако и в этих сложных условиях мысль Лобачевского работает неустанно над строгим построением начал геометрии. Первые следы этой работы мы находим в студенческих записках его лекций по геометрии за 1817 г. О ней же свидетельствует рукопись учебника "Геометрия" и его "Обозрения преподавания чистой математики" за 1822 - 1823 и 1824 – 1825 гг. Наконец, его искания завершаются гениальным открытием. Разрывая оковы тысячелетних традиций, Лобачевский приходит к созданию новой геометрии. 23 (11) февраля 1826 г. он делает на факультете доклад о новой "Воображаемой геометрии". Этот доклад "Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных" был передан на отзыв профессорам И. М. Симонову, А. Я. Купферу и адъюнкту Н. Д. Брашману.

Лобачевский хотел знать мнение своих сотрудников об открытии, величие которого он сознавал, и просил принять свое сочинение в предполагаемое издание "Ученых Записок" отделения. Но отзыва не последовало. Рукопись доклада до нас не дошла. Материал этого доклада был включен Лобачевским в его первое сочинение "О началах геометрии",

вышедшее в 1829 - 1830 гг. в "Казанском вестнике".

Открытие Лобачевского было сделано им на путях принципиального критического пересмотра самых первых, начальных, геометрических понятий, принятых в геометрии еще со времен Евклида (3 век до н.э.). Это требование безусловной строгости и ясности в началах, это пристальное внимание к вопросам основ науки и углубленный анализ первоначальных понятий характерны вообще для творчества Лобачевского. Избранное им направление исследований способствовало тому, что он не только в геометрии, но и в ряде других областей математики превосходит достигнутый в то время уровень науки. Так, им дано уточнение понятия функции, приписанное впоследствии Дирихле; он четко разграничивает непрерывность функции и ее дифференцируемость; им проведены глубокие

исследования по тригонометрическим рядам, опередившие его эпоху на много десятилетий; им разработан метод численного решения уравнений, несправедливо получивший впоследствии название метода Греффе, тогда как Лобачевский и независимо от него бельгийский математик Данделен разработали этот метод значительно раньше. Его идеи были настолько непривычны, глубоки и новы, он настолько обогнал свою эпоху, что современники не смогли понять его и правильно оценить. Встретив непонимание и даже издевательство, Лобачевский не прекратил своих исследований. После работы 1829-1830 гг. "О началах геометрии" Лобачевский печатает в "Ученых записках" (в 1835 г.) "Воображаемую

геометрию", в 1836 г. "Применение воображаемой геометрии к некоторым

интегралам". С 1835 по 1838 гг. он публикует свою наиболее обширную работу "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных". Наконец, в 1840 г. выходят на немецком языке "Геометрические исследования по теории параллельных", где содержится предельно ясное и лаконичное изложение его основных идей. Ни одного положительного отклика не получает Лобачевский, кроме единственного высказывания профессора механики Казанского университета П. И. Котельникова, который в актовой речи в 1842 г. отметил, что изумительный труд Лобачевского, построение новой геометрии на предположении, что сумма углов треугольника меньше двух прямых, рано или поздно найдет своих ценителей. Многолетние плодотворные труды Лобачевского не могли получить положительной оценки у правительства Николая I.

В 1846 г. Лобачевский оказался фактически отстраненным от работы в университете. Внешне он получил повышение - был назначен помощником попечителя (однако жалованья ему за эту работу не назначили), но при этом он лишился кафедры и ректорства. Насильственное отстранение от деятельности, которой он посвятил свою жизнь, ухудшение материального положения, а затем и семейное несчастье (в 1852 г. У него умер старший сын) разрушающе отразилось на его здоровье; он сильно одряхлел и стал слепнуть. Но и лишенный зрения, Лобачевский не переставал приходить на экзамены, на торжественные собрания, присутствовал на ученых диспутах и не прекращал научных трудов. Непонимание значения его новой геометрии, жестокая неблагодарность современников, материальные невзгоды, семейное несчастье и, наконец, слепота не сломили его мужественного духа. За год до смерти он закончил свой последний труд "Пангеометрия", диктуя его

своим ученикам. 24 (12) февраля 1856 г. кончилась жизнь великого ученого, целиком отданная русской науке и Казанскому университету.

К высоким умственным качествам Лобачевского присоединялись не менее высокие качества души: доброе сердце, отзывчивость на все честные стремления, горячая любовь и отеческое отношение к университетскому юношеству и ко всем талантливым молодым людям. О чем говорит учреждение международной премии им. Н. И. Лобачевского за выдающиеся работы по геометрии, преимущественно – неевклидовой. Первым лауреатом (1897г.) стал норвежский математик профессор Лейпцигского университета Софус Ли.

Медаль, изготовленная главным медальером Петербургского Монетного двора Антоном Васютинским, вручалась ученым, рецензирующим сочинения, представленные на соискание премии. Одним из первых обладателей золотой медали в России стал выдающийся математик

и механик А. Ляпунов. В 1992г. в ознаменование 200-летия великого ученого возобновилось присуждение медали казанским университетом. Первым обладателем медали стал известный ученый-геометр профессор Казанского университета А.П. Норден.

Глава II Элементы геометрии Н.И. Лобачевского

§ 1. Основные факты геометрии Лобачевского

Все предложения абсолютной геометрии справедливы в геометрии Лобачевского.

Плоскость, в которой выполняются все аксиомы абсолютной геометрии и аксиома параллельности Лобачевского, называется гиперболической плоскостью или плоскостью Лобачевского.

Пусть в данной гиперболической плоскости б точка С лежит вне данной прямой АВ. По аксиоме параллельности Лобачевского в плоскости б через точку С можно провести по крайней мере две прямые, которые не пересекают прямую АВ. Обозначим эти прямые СК и СР (рис.1). Если прямые СК и СР не пересекают прямую АВ, то любая прямая СМ, проходящая между прямыми СК и СР в вертикальных углах К'СР и KC P', также не пересекает прямую АВ, т.е. на основании аксиомы параллельности Лобачевского через точку С в плоскости ABC проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих прямую АВ.

С другой стороны, если X — любая точка прямой АВ, то прямая СХ пересекает прямую АВ в точке X, причем прямая СХ проходит уже в вертикальных углах КСР и К'СР'. Вращая прямую СХ вокруг точки С в направлении против часовой стрелки, мы будем получать прямые, пересекающие прямую АВ соответственно в точках расположенных правее точки X (см. рис.1).

Таким образом, через точку С проходит бесконечно много прямых, пересекающих прямую АВ, и бесконечно много прямых, непересекающих aB. При этом «пересекающие» прямые лежат по одну сторону от «непересекающих», т.е. если CF и СH - «непересекающие» прямые, то ни одна прямая, лежащая между ними внутри угла FCH, не может быть «пересекающей» прямой, и наоборот.

Такое разбиение всех прямых пучка с центром С означает, что должна существовать либо последняя «пересекающая» прямую АВ, либо первая «непересекающая» эту прямую. Но, как легко убедиться, последней «пересекающей» прямую АВ быть не может, значит, граничной прямой, отделяющей «пересекающие» прямую АВ от «непересекающих» ее, является первая «непересекающая». Эту граничную прямую Лобачевский и называет прямой, параллельной прямой АВ в точке С.

Пусть этой прямой является прямая CY (рис.2). Тогда прямая CZ, симметричная CY относительно перпендикуляра CL к данной прямой АВ, также параллельна прямой АВ в точке С.

Рис. 2

Таким образом, в гиперболической плоскости картина расположения прямых, проходящих через точку С относительно прямой АВ, представляется в таком виде: через точку С проходят две прямые Y'Y и Z'Z, параллельные прямой АВ, расположенные симметрично относительно перпендикуляра CL к данной прямой АB; прямые, расположенные внутри вертикальных углов Y'CZ и YCZ', не пересекают прямую АВ. Лобачевский называет эти прямые расходящимися с АВ: все остальные прямые пучки с центром С (они пересекают АВ) Лобачевский называет сходящимися в АВ.

В целях наглядности на рисунках будем указывать стрелкой направление прямой и при этом говорить, что направленная прямая Y'Y параллельна направленной прямой АВ, а направленная прямая Z'Z параллельна направленной прямой ВА (см.рис.2).

Заметим, что прямая ЕЕ', проходящая через точку С перпендикулярно прямой CL (CL AB), принадлежит к числу прямых, расходящихся с АВ, т.е. в гиперболической плоскости две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся. (В евклидовой плоскости две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны.)

Параллельные прямые как в евклидовой, так и в гиперболической плоскости обладают следующими свойствами: если АВ || CD, то CD || АВ; если AВ || CD, CD || КР, то АВ || КР.

Николай Иванович Лобачевский ввел следующее понятие угла параллельности.

Пусть АК и АР - прямые, параллельные прямой ВС в точке A, AD - перпендикуляр к ВС (рис.3). (Прямые АК и АР симметричны относительно AD). В плоскости Лобачевского углом параллельности, соответствующим данной прямой ВС в данной точке А, вне ее лежащей, называется острый угол KAD между перпендикуляром AD, опущенным на точки А на ВС, и прямой АК, параллельной данной прямой ВС.

Если длину перпендикуляра AD обозначить х, то где бы точка А ни была расположена относительно прямой ВС, находясь от нее на расстоянии х, величина угла параллельности не изменяется. Иначе говоря, угол параллельности в плоскости Лобачевского является инвариантом движения. Это, в свою очередь, означает, что с изменением расстояния х от точки А до прямой ВС угол параллельности меняет свою величину, т.е. угол параллельности является функцией расстояния х от точки А до прямой ВС. Эту функцию Лобачевский обозначает через П(х): б = П(х). (Евклидова геометрия характеризуется тем, что в ней угол б = П(х) всегда прямой, каков бы ни был отрезок AD.)

Лобачевский доказывает, что 0<П(х)< . При этом функция П(х) монотонно убывает с возрастанием аргумента х: , т.е. по мере удаления точки А от прямой ВС угол б = П(х) уменьшается от 90° до 0°. Более того, каков бы ни был острый угол б, всегда существует один и только один отрезок длиной х такой, что П(х) = б. т.е. функиия П(х) обратима.

Здесь уместно заметить, что мы, вероятно, потому питаем большое доверие к евклидовой геометрии, что все доступные нам измерения происходят в таком незначительном уголке вселенной, что не представляется возможным обнаружить отличие евклидовой геометрии от наших ощущений. Поэтому не исключено, что вера в утверждение «сумма внутренних углов линейного треугольника равна 180°» была обусловлена тем, что экспериментальной проверке этого утверждения подвергались треугольники достаточно малых размеров. Лобачевский вычислил сумму углов треугольника, вершинами которого служили Земля, Солнце и звезда Сириус, и получил угловой дефект (угловой недостаток до 180°) 0",000372. (Даже столь малое отличие суммы углов этого треугольника от 180° не поколебало убежденности Лобачевского в неевклидовости мирового пространства.)

Следствием аксиомы параллельности Лобачевского является рождение новой геометрии, которую называют геометрией Лобачевского или гиперболической геометрией. В этой геометрии имеется ряд предложений, совершенно отличающихся от соответствующих предложений геометрии Евклида.

Укажем ряд важнейших планиметрических теорем, относящихся к абсолютной геометрии.

Каждый отрезок и каждый угол можно единственным образом разделить пополам.
Через каждую точку можно провести единственный перпендикуляр к данной прямой.
Сумма двух смежных углов равна 2d
Все прямые углы равны между собой.
Вертикальные углы равны.
В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, углы при основании равны.
Перпендикуляр короче наклонной. Известные теоремы о сравнении перпендикуляров, наклонных и их проекций.
Внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним несмежного.
Во всяком треугольнике не может быть более одного прямого или тупого угла.
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Сумма двух сторон треугольника больше третьей.
Три признака равенства треугольников.
Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, или внутренние накрест лежащие углы равны, или сумма внутренних односторонних углов равна 2d, то данные прямые не пересекаются.
Два перпендикуляра к третьей прямой не пересекаются.
Через точку, лежащую вне прямой, в плоскости, ими определяемой, проходит по крайней мере одна прямая, не пересекающая данной.
Сумма углов треугольника не более 2d(11-я теорема Лежандра).
Если в плоскости две точки лежат по разные стороны прямой, то отрезок, их соединяющий, пересекает данную прямую.
Если луч проходит через вершину треугольника внутрь его, то он пересекает противоположную сторону треугольника.
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей внутри треугольника.
В треугольник можно вписать единственную окружность.
Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках.
Равные дуги окружности стягиваются равными хордами, и
Если выбрать единичный отрезок, то всякому отрезку можно поставить в соответствие единственное положительное число, называемое длиной отрезка, и, обратно, каждому положительному числу можно поставить в соответствие некоторый отрезок, длина которого выражается этим
числом.
Если все внутренние лучи, выходящие из вершины угла АОВ,а также сторона АО и ОВ разбить на два класса так, что 1) каждый луч принадлежит одному и только одному из этих классов, луч АО принадлежит первому классу, а луч ОВ - ко второму, 2) каждый луч первого класса лежит между ОА и любым лучом второго класса, то существует один и только один луч 1, пограничный между лучами обоих классов, причем сам луч 1 принадлежит либо первому, либо второму классу.

1.26. Если выбрать некоторый угол в качестве единицы измерения, то каждому углу можно поставить соответствие единственное число, называемое мерой или величиной угла.

Точки ориентированной прямой CD, параллельной прямой АВ, неограниченно приближаются к АВ в сторону параллельности и неограниченно от нее удаляются в противоположную сторону. Это неограниченное приближение параллели CD к АВ выражают так: параллельные прямые в сторону параллельности асимптотически приближаются одна к другой (рис.4) (во-видимому, именно асимптотическое приближение прямых друг к другу было не до конца понято Саккери при исследовании им гипотезы острого угла).

Прямая в гиперболической плоскости имеет две бесконечно удаленные точки. (В евклидовой плоскости прямая дополняется только одной бесконечно удаленной точкой.)

В гиперболической плоскости существует ряд «интересных» особенностей взаимного расположения параллельных прямых (параллелей).

Договоримся, что если две параллели имеют общую бесконечно удаленную точку В, то будем записывать АВ || CD. На рисунках направления параллельности будем указывать стрелками (рис.5).

Рис. 5

Фигуру, состоящую из двух лучей АВ, АС и прямой ВС, которой они параллельны в одну и в другую сторону (рис.6) (конфигурация Лобачевского-Больяи), можно рассматривать как треугольник с одной конечной и двумя бесконечно удаленными вершинами.

Рис.6

В геометрии Лобачевского треугольник с двумя конечными и одной бесконечно удаленной вершинами иногда (рис.7) называют двуугольником.

Теперь возьмем между параллелями АВ и СВ любую точку М и проведем через нее прямые МА и МС, параллельные тем же прямым, обращенным в противоположные стороны, т.е. направленным прямым ВА и ВС (рис.8, а; MA || BA, МС|| ВС). Пусть AMC = 2 б. Тогда на биссектрисе угла АМС существует такая точка H, удаленная от точки М на расстояние x, что П(х) = б. Прямая АС, проходящая через точку H перпендикулярно МН, параллельна каждой из прямых МА и МС, значит, параллельна ВА и ВС. Таким образом, мы получили треугольник АВС, все три стороны которого попарно параллельны (рис.8, б).

В гиперболической плоскости две расходящиеся прямые имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются одна от другой (рис.9). Длина этого перпендикуляра принимается за расстояние между расходящимися прямыми.

Пусть АВ и CH — две расходящиеся прямые. Из середины М их общего перпендикуляра КР проведем прямые MB || KB и МА || КА, МН || РH и МС || PC (рис.10) (такие прямые существуют согласно обратимости функции Лобачевского П(х)). Тогда для каждого из углов АМС и ВМН существуют соответственно прямые АС и ВН, параллельные сторонам этих углов.

Рис.10

Конфигурация, которую мы таким образом получили, представляет собой своеобразный четырехугольник АВНС, четыре вершины которого лежат в бесконечно удаленных точках прямых, являющихся его сторонами; стороны и диагонали этого четырехугольника параллельны между собой в направлениях, указанных стрелками. (О таком четырехугольнике упоминает Швейкарт в заметке, которую он послал Гауссу.)

Далее, сумма внутренних углов треугольника в геометрии Лобачевского является переменной величиной - она меняется от треугольника к треугольнику, но всегда остается меньше 180°.

Предложение «сумма углов четырехугольника меньше 4d» вытекает из предыдущего.

Отсюда следует, что в геометрии Лобачевского нет ни прямоугольников, ни квадратов. Вообще сумма углов n – угольника меньше 2d(n-2).

Внешний угол треугольника больше суммы внутренних, с ним не смежных углов.

Сумма внутренних углов треугольника непостоянна. Отсюда следует, что чем больше стороны треугольника, тем меньше сумма его внутренних углов.

Угловым дефектом треугольника ABC в плоскости Лобачевского (его обозначают ) называется разность между числом р и суммой величин всех трех его внутренних углов, т.е. = р - (А + В + С), где А, В и С - величины соответствующих углов в радианном измерении.

В гиперболической плоскости площадь треугольника пропорциональна его угловому дефекту, т.е. , где k - гиперболическая постоянная. Это означает, например, что в гиперболической плоскости все треугольники, имеющие общее основание и одну и ту же сумму углов, равновелики.