Основные задачи синтеза РОК и РКА. Исследование замкнутых адаптивных САУ. Устойчивая и минимально-фазовая система

Санкт-Петербургский  Государственный Политехнический  Университет

Факультет Технической  Кибернетики

Кафедра Системного Анализа и Управления 
 
 
 
 
 

Реферат

«Основные задачи синтеза РОК и РКА.

Исследование  замкнутых адаптивных САУ.

Устойчивая  и минимально-фазовая  система» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Санкт-Петербург

2009

Основные задачи синтеза РОК и РКА 

       Автоматическое  управление в технике - совокупность действий, направленных на поддержание или улучшение функционирования управляемого объекта без непосредственного участия человека в соответствии с заданной целью управления.

       А. у. широко применяется во многих технических и биотехнических системах для выполнения операций, не осуществимых человеком в связи с необходимостью переработки большого количества информации в ограниченное время, для повышения производительности труда, качества и точности регулирования, освобождения человека от управления системами, функционирующими в условиях относительной недоступности или опасных для здоровья.

       Цель  управления тем или иным образом связывается с изменением во времени регулируемой (управляемой) величины - выходной величины управляемого объекта. Для осуществления цели управления, с учётом особенностей управляемых объектов различной природы и специфики отдельных классов систем, организуется воздействие на управляющие органы объекта - управляющее воздействие. Оно предназначено также для компенсации эффекта внешних возмущающих воздействий, стремящихся нарушить требуемое поведение регулируемой величины. Управляющее воздействие вырабатывается устройством управления (УУ).

       Совокупность  взаимодействующих управляющего устройства и управляемого объекта образует систему автоматического управления.

       Системы автоматического  управления классифицируются в основном по цели управления, типу контура управления и способу передачи сигналов.

       Система автоматического управления (САУ) поддерживает или улучшает функционирование управляемого объекта.

 

       Адаптация (в технической системе) – процесс изменения структуры и/или параметров ОУ для достижения заданных целевых условий.

       Цели  адаптации – условия, которые должны быть достигнуты адаптивным управлением (т.е. управлением в условиях структурной или параметрической неопределенности и алгоритмов изменения структуры или параметров адаптивной САУ).

       Структура адаптивной САУ включает:

• ОУ (объект управления);
• РОК (регулятор основного контура);
• РКА (регулятор контура адаптации).

 
 
 
 
 
 
 
 

       w1, w2 – воздействие,

       f – возмущение 

       Общая методика синтеза  РОК

1. Синтез РОК выполняется по известным методикам, которые используют методы:

• Аналитические:

• Метод модального управления

• Численно-аналитические:

• Метод динамического программирования
• Метод скоростного градиента

• Вычислительные:

• Рекуррентных целевых неравенств
• Методы математического программирования
• Метод функций Ляпунова

 
       

2. Сущность  вычислительных методов – преобразование целевых условий в силу модели ОУ или модели замкнутой системы.
3. Исследование устойчивости и сходимости адаптивных САУ (сходимости по параметрам).

 
 

Формулировка  задач синтеза  РОК и РКА 

 
 

     Все задачи синтеза РОК и РКА сводятся к задачам математического программирования. 
 
 
 
 
 

Основные  задачи синтеза РОК  и РКА в методе рекуррентных целевых  условий. 

     Реализация  и основные задачи являются типовыми:

 

     Из  таблицы следует, что синтез основывается на содержательной формулировке задач  и соответствующих вычислительных методов.

     В 4 строке таблицы рассматриваются  основные методы, базирующиеся на вычислительной математике, СА и ПР, ТАУ…

     При этом модальное управление и локально-оптимальное  управление являются стандартными методами в синтезе РОК (и РКА). 

     В частном случае минимизация функционала: 

            (1); 

     Если  , то тогда

     Имеет место решение задачи вида в силу метода (1). 

     Как следует из приведенного рассуждения, реализация систем адаптивного управления может принимать различные формы, которые требуют решения широкого комплекса вычислительных задач.

     Метод качественного исследования завершает  процедуру синтеза, т.к. позволяет  ответить на вопрос, является ли синтезируемая  САУ адаптивной в данном классе адаптации. 

Качественное  исследование замкнутых адаптивных САУ

Устойчивая  и минимально-фазовая  система 

       Постановка  задачи:

       Пусть ОУ:

            (1),

       где ,

       ,

         – полином от оператора сдвига «назад»:

       ,

       .

       Модель  (1) – операторное представление классической модели «вход - выход». 

                                                               (2) 

       Модель  (1) называется иногда полиномиальной формой, т.к. левая и правая части сформированы от полинома от оператора сдвига «назад». 

       Задан РОК, который может синтезироваться  на основе целевых условий (точечного, интервального, экстремального типа). Они могут быть различными. 

       Рассмотрим  синтез РОК на основе точечного целевого условия:

           (3)

       Целевое условие соответствует задаче слежения за заданным неизменным заданием или изменяемым .

       Тогда синтез на основе целевого условия  (3), представленный в силу (1) и (2), определяет условие РОК. 

       Выходная  переменная в силу (1) и (2) имеет вид, который определяется итерированием индексов, так, что .

       Тогда:

            (4)

       Введем  в (4) понятие «прогнозируемых» выходов и управлений :

       ,

       Тогда модель для вычисления:

           (5)

       – прогнозирующая модель, в которую  можно ввести целевое условие (3), где 
 
 

       Если  заменить на целевое условие, то уравнение (5) преобразуется.

       (5) – уравнение относительно вектора (прогнозируемого управления), из которого следует:

         (6) 

       Т.к. - прогнозируемое управление, представленное явным образом в форме, эквивалентной (5), то из (6) очевидно можно определить необходимую информацию для синтеза РОК:

        ,

       При этом, - измеряется, и - известны.

       Если  объекты (1) и (2) «замкнуть» управлением (5), (6), то могут возникнуть проблемы устойчивости замкнутой САУ с РОК. Можно синтезировать управление .

          (7),  

       Где γ – коэффициент усиления (ослабления) прогнозируемого управления.

       На  основании проведенных рассуждений  можно сформулировать уравнение  замкнутой системы с РОК.

       Оптимальное значение прогнозируемого выхода:

        

       Уравнение регулятора может иметь различный  вид.

       РОК может быть представлен полиномиальной моделью:

                 (8),

       где , - полиномы от оператора сдвига «назад», которые должны быть либо заданы, либо синтезируемы.

       Уравнение замкнутой адаптивной системы с  РОК примет вид:

                                      (9)

       Или в матричной форме:

                                           (10)

       Если  полиномы *, * заданы, то синтез САУ с РОК сводится к определению γ из по условию устойчивости замкнутой САУ.

                                       (11),

       где пары заданы.

       Синтез  РОК на основе (11) и (5) требует совместного рассмотрения устойчивости систем (11) и (5).

       В этом случае имеем следующие составляющие для синтеза: уравнение объекта  (1), (2), (5), (9.2).

       Фактически, мы должны рассмотреть устойчивость системы (9) и уравнения (5).

       Если  мы используем (9.2), то задаем дополнительную динамику регулятора, дополняющую модель (5).

       Замечание:

       Введение  уравнения регулятора типа (9.2) эквивалентно классическому формированию законов управления в форме:

               (12)

       //Закон  пропорционально – интегрального  управления.

       В ряде случаев добавляется .

       Уравнение (12) соответствует ДУ в форме «вход - выход».

              (12.1) – 

       интегро – дифференциальное уравнение.

       Это уравнение можно свести к ДУ, применив к нему операцию дифференцирования:

               (12.2)

       Полиномиальная  форма (12.2) имеет вид:

       ,  или

            (13),      

             

       Уравнения (13) и (9.2) – аналогичны по структуре.

       Общая модель РОК имеет вид:

                      (14) 

       ,  где . 

       Рисунок 1.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                          (1)

           (2) 

       

1. - уравнение замкнутой адаптивной САУ, синтезируемой по методу рекуррентных целевых условий (РЦУ).
1. – уравнение ОУ
2. – уравнение динамического регулятора, обеспечивающего реализацию для пары «ОУ+РОК1» модальное управление, которое необходимо, чтобы стабилизировать тройку «ОУ+РОК1+РОК2» так, чтобы пара «ОУ+РОК1» была бы минимально фазовая и устойчивая.

       //Это  необходимо, т.к. РОК2 реализует  точное, интервальное или экстремальное  (локально - оптимальное) управление, которое позволяет стабилизировать  только такие пары «ОУ+РОК1»,  которые устойчивы и минимально  фазовые.

       Определение:

       ОУ  типа:    называется устойчивым и минимально фазовым, если полиномы - устойчивы.

       Если  синтезировать РОК2 на основе стабилизации пары «ОУ+РОК2», то в случае нелинейной фазовости (1.1) характеристический полином замкнутой системы пары «ОУ+РОК2» может иметь структуру (2).

       Из (2) следует содержательный вывод о невозможности стабилизации регуляторами заданного класса, если - неустойчивы. 

       Кроме этого, если объект (1.1) – неустойчивый, нелинейно фазовый, то с помощью РОК1 его можно стабилизировать, т.к. РОК1 является полиномиальным с заданной степенью полиномов. 

       Описанная ситуация, возникающая при синтезе  РОК, является типичной и часто встречающейся, т.к. многие системы синтезируются  на основе локально – оптимальных  регуляторов. 

       Локально  – оптимальные регуляторы основаны на min – ции функционалов мгновенной ошибки.

       Поэтому необходимо отличать регуляторы, синтезируемые  на основе интегральных (или суммарных):

        

       и локально – функциональных функций  качества.

       Первое  поколение адаптивных систем синтезировалось  на базе интегральных (или суммарных) функционалов.

       Ограничения на класс регуляторов, которые были сформулированы, являются существенными  и могут быть сформулированы на основе анализа полиномиальной модели. 

       Общая структура на рисунке 1 в случае устойчивости и минимальной фазовости может  быть упрощена: 

       Рисунок 2.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Рассмотрим  анализ свойств пары «ОУ+РОК» (рис. 2) 

               (3) 
 

       Сформулируем  операторную запись РОК: 

            (4) 

       Обозначим:

                 (*)

              (**) 

       Полиномы  (*) и (**) являются частью полиномов .

       Для качественного анализа необходимо преобразовать управление (4) к виду, в котором в явном виде можно выделить полиномы и .