Основы теории катастроф. 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Г.Р.Державина

ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И СЕРВИСА

Реферат

По концепции современного естествознания на тему:

«Основы теории катастроф»

Подготовила:

Студентка 2 курса очного обучения группы 21

Специальности «Менеджмент»

Коновалова Альбина Викторовна

Проверил: доцент кафедры ядерной физики Яковлев А. В.

Тамбов 2013

Содержание:

Введение

Мы привыкли к стабильности и постоянству. Мы ступаем по твердой поверхности Земли и верим, что она всегда будет служить нам опорой. Мы знаем, что вслед за зимой придет лето, станет тепло и солнечно, и так будет всегда. Мы думаем, что мир вокруг нас не может внезапно измениться, и исходя из этого формируем свой образ жизни и приоритеты, планируем свои действия.

Такая привычная, «бытовая» точка зрения на устойчивость нашего мира нашла свое отражение в науке XVIII века, когда создавалось классическое естествознание. Его основой стал математический язык дифференциального и интегрального исчислений; считалось, что все зависимости можно описывать непрерывными функциями, для которых характерно небольшое изменение значения функции при малых приращениях аргументов. Казалось бы, логично: приложено чуть больше усилий — получен чуть больший результат... Более того, если математические модели не отвечали этим условиям, то они считались некорректными, а значит, лишенными реального содержания.

Но... Легкий поворот выключателя приводит в действие управляющие механизмы, и открываются створки плотины, мощные потоки воды обрушиваются на лопатки турбин, заставляя крутиться многотонный вал генератора. Легкий удар по детонатору вызывает взрыв, при котором мгновенно высвобождается энергия, сравнимая с энергией маленького солнца. Есть примеры и нерукотворных природных процессов, в которых в результате слабого воздействия пробуждаются силы, во много раз более мощные: маленький камешек может вызвать горный обвал, страшную по своим последствиям снежную лавину и даже землетрясение. Научная и инженерная мысль открыла множество примеров скачкообразного изменения системы при малых воздействиях, но, как ни странно, на наши представления об окружающем мире до недавнего времени это почти не влияло.

Еще в древности, например в античной Греции, среди философов существовали представления о том, что вся природа живет и развивается благодаря соразмерности и гармонии величайших противоположностей, находящихся в равновесии. Нарушение этого равновесия может разрушить весь мир. За гармонию противоположностей отвечают боги, и они прикладывают немалые усилия для ее сохранения. Вспомним миф о Фаэтоне, который упросил своего отца Гелиоса дать ему небесную колесницу в доказательство его божественного происхождения. Руки смертного не удержали небесных коней, он не сумел провести колесницу по безопасному пути, где солнечные лучи не опаляют землю, но и не дают ей замерзнуть.

Чтобы вернуть мир из хаоса, потребовалось вмешательство верховного божества Зевса, восстановившего порядок.

Древние философы понимали, что даже малые изменения, нарушающие гармонию, могут существенно изменить мир, ввергнуть его в хаос. Многие столетия их внимание занимали именно законы этой гармонии, ибо в ней они видели проявление божественной воли, удерживающей мир в порядке. Начиная с пифагорейцев, открывших, что эти законы могут быть записаны на языке цифр и геометрических фигур, математику стали использовать как средство отражения идеальных законов природы, в которой все противоположности соразмерны и уравновешены друг другом. Может быть, этим и объясняется упорное нежелание «классических» математиков рассматривать неустойчивые математические модели, в которых возможно резкое нарушение равновесия.

1. Теория катастроф

В ХХ веке появились работы, в которых всерьез заговорили о том, что неустойчивости столь же реальны, как и состояния гармонии. Было осознано, что любая система, развиваясь, проходит этапы перестройки, резкого изменения, во время которых происходит перегруппировка сил, переустройство равновесия. Эти этапы характеризуются временным преобладанием одной из сил, что приводит к хаосу, разрушающему предыдущие структуры; затем происходит гармонизация, равновесие восстанавливается, но уже в новом, качественно ином состоянии.

Одной из математических теорий, описывающих резкие переходы, является теория катастроф. Как научная дисциплина она появилась в 70-х годах прошедшего века. Важным достоинством этой теории является то, что она не требует подробных математических моделей и может описывать ситуации не «количественно», а «качественно», а ее результаты и выводы иллюстрируются простыми геометрическими образами.

Такая «наглядность» теории катастроф привела к бурному росту числа публикаций, и наряду с серьезными работами, посвященными, например, устойчивости кораблей, описанию психических явлений, социальных и экономических процессов, появились и работы полушутливого характера

Теория катастроф, наряду с другими современными теориями динамических систем, уже в значительной степени изменила привычные представления об устойчивости и инерционности мира. Благодаря ей мы сегодня (хочется надеяться) лучше понимаем свою ответственность за возможные нарушения гармонии и равновесия противоположных природных сил, к которым ведет неограниченный рост промышленного производства в обществе потребления. Сейчас раздается все больше голосов за то, чтобы провести переоценку ценностей в современном мире и, вслед за мудрецами древности, вновь начать ценить красоту и соразмерность выше материального изобилия. Ведь если этого не произойдет, то поистине пророческими могут стать слова творца теории катастроф французского ученого Рене Тома: «Быть может, удастся доказать неизбежность некоторых катастроф, например болезней или смерти. Познание не обязательно будет обещанием успеха или выживания: оно может вести также к уверенности в нашем поражении, в нашем конце».

Но наряду со столь мрачными перспективами эта теория открывает и другие возможности. Действительно, коль скоро мы уверились в том, что при определенных условиях очень малые воздействия могут привести к значимым результатам, есть резон не опускать руки даже в самых тупиковых ситуациях — ведь, может быть, кажущаяся безысходность есть лишь признак надвигающейся «катастрофы», обещающей нам новый период расцвета.

История дает немало примеров, когда в критические моменты судьбы народов зависели от решения одного человека, и если ему удавалось «поймать момент», понять необходимость того или иного действия, то начиналось новое время, открывались новые перспективы, воплощались великие идеи. Так Перикл, обратившись к идеалам единства и гармонии, после страшных разрушений греко-персидских войн привел Аттику к золотому веку классики, когда создавались совершенные вещи — скульптуры, храмы, научные и философские концепции, — к которым мы и сегодня обращаемся как к эталону. При Перикле творили великие Фидий, Анаксагор, Геродот; при нем заново отстроили Акрополь, ставший образцом прекрасного на многие века. Так же 19 веков спустя Козимо Медичи, поддержав возникший интерес к античной культуре, положил начало Ренессансу — эпохе, перевернувшей жизнь средневековой Европы.

Поскольку в определенных ситуациях — в точках катастроф — даже очень незначительные движения могут повлиять на ход развития, очень полезным окажется умение определять, далеко ли от такой точки находится система. Формально для этого следует изучить зависимость изучаемой системы от внешних параметров в математических моделях, однако на практике нередко встречаются случаи, когда у исследователя нет даже туманных соображений о том, каким эволюционным уравнением описывается развитие системы. Тем не менее, даже в этих ситуациях, патологических с точки зрения математического моделирования, можно указать некоторые косвенные признаки того, что изучаемая система находится вблизи точки катастрофы.

Речь идет о так называемых «флагах катастроф» — особенностях поведения системы, по которым можно судить о приближении критической точки. Перечислим некоторые из них, чаще всего встречающиеся вместе:

• наличие нескольких различных (устойчивых) состояний;
• существование неустойчивых состояний, из которых система выводится слабыми «толчками»;
• возможность быстрого изменения системы при малых изменениях внешних условий;
• необратимость системы (невозможность вернуться к прежним условиям);
• гистерезис.

Чтобы проиллюстрировать эти ситуации, можно привести множество примеров из физики, но обратимся лучше к примерам более «жизненным». Всем нам после окончания средней школы приходилось выбирать дальнейший жизненный путь. Первый «флаг катастрофы» — существование различных устойчивых состояний — проявляется в том, что мы можем видеть несколько различных привлекательных для нас вариантов деятельности. Это могут быть несколько институтов, в которые мы можем поступить (в последние годы благодаря вступительным олимпиадам школьник к моменту окончания школы может быть уже зачислен в несколько вузов), несколько фирм, где нас согласны принять на работу, и т. п. Наряду с этим присутствует и второй «флаг» — неустойчивые состояния — места, где мы уж точно надолго не задержимся. Третий «флаг»: приняв решение и став, например, студентом, мы испытываем стремительное изменение — и внешнее (меняется наш социальный статус, у нас появляются собственные деньги, пусть небольшие), и внутреннее — мы стремительно взрослеем. Четвертый «флаг»: после выбора обратный путь практически невозможен — чтобы нас отчислили с первого курса, еще до сессии, нужно натворить что-то очень грандиозное. Но уж если отчислили, то просто так обратно не примут, и надо ждать подходящих условий — новых приемных экзаменов. Это пятый «флаг катастрофы».

Еще одним «флагом катастрофы» служит так называемое «критическое замедление», когда множество усилий не приводит к сколько-нибудь заметному изменению ситуации. Такой флаг был вывешен на историческом пути нашей страны в 80-е годы, когда колоссальные средства, вкладываемые в экономику, например в сельское хозяйство, уходили словно в песок, ничего существенно не изменяя.

Нетрудно заметить, что если исследователь наткнулся на один из этих «флагов», то управляющие параметры можно поменять так, чтобы стало возможным обнаружить и другие «флаги», которые обязательно должны проявить себя в подходящих условиях. Правда, в рассмотренном нами примере с выбором института экспериментировать вовсе не обязательно и даже нежелательно, если только вы не хотите пожертвовать собой ради подтверждения теории. Но в иных условиях, чтобы убедиться, что система действительно может претерпеть резкий скачок состояния, имеет смысл поискать и более представительный набор «флагов катастроф».

2. Рене Том

ТОМ (Thorn) Рене Фредерик (р. в 1923) - французский математик и философ, создатель математической теории катастроф. Т. - профессор Университета Страсбурга, член Парижской Академии наук с 1976. Основные направления научных интересов - алгебраическая топология, дифференциальная топология. По направлению и стилю своих исследований Т. близок к группе Бурбаки. Основные работы: "Стабильность структур и морфогенез. На пути к общей теории модели" (1972), "Теория катастроф: ее прошлое состояние и будущие перспективы" (1974) и др. Математическая теория катастроф в своих основаниях имеет труды Пуанкаре но теории бифуркаций динамических систем, восходящих к его докторской диссертации (1879), и развитая Андроновым и Уитни по теории особенностей гладких отображений. Как утверждал В.И.Арнольд в книге "Теория катастроф", математическое описание мира основано на "тонкой игре непрерывного и дискретного. Дискретное более заметно", а функции, "как и живые существа, характеризуются своими особенностями" (П. Монтель). Порождение дискретных структур непрерывными описывается категориями "катастрофа", "бифуркация", "особенность". Катастрофа - скачкообразное изменение (внезапный разрыв) динамической системы в ответ на плавное изменение условий внешней среды. Бифуркация (раздвоение) - качественная перестройка (метаморфоза) объекта динамической системы при изменении регулирующего его параметра. Теория особенностей (по Уитни) - обобщение исследований функций на минимум и на максимум, где сами функции заменяются отображениями (наборами функций многих переменных). Применения теории катастроф Т. имеют основополагающее значение в синергетических исследованиях. Работы Т. по теории катастроф издавались также и в "карманной" серии, что позволило ей стать в 1970-х одной из распространенных теорий в массовом сознании. Появлялись работы, в которых декларировалась эффективность применения теории катастроф: она использовалась в боевых системах, биологии, геологии, лингвистике, медицине, психологии, судостроении, физике и экономике. Также при помощи методов теории катастроф проводились исследования "моделирования деятельности мозга и психических расстройств, восстаний заключенных в тюрьмах, поведения биржевых игроков, влияния алкоголя на водителей транспортных средств, политики цензуры по отношению к эротической литературе" (В.И.Арнольд, "Теория катастроф"). Т. в 1970-х обнаружил, что представления одного из лидеров биологических наук того времени К. Х. Уоддингтона о структурной устойчивости биологических структур и эпигенетике (направления в биологии, изучающего причинные взаимодействия между генами и продуктами, образующими фенотип) хорошо укладываются в разработанную им топологическую теорию. Т. при этом исходил из представления о том, что морфогенетические процессы возможно в определенной степени понять независимо от свойств субстрата форм и природы действующих сил. В трудах симпозиума Международного общества биологических наук по теоретической биологии под редакцией К.Х.Уоддингтона ("На пути к теоретической биологии. 1. Пролегомены", 1970) Т. сформулировал свой подход в самом общем виде: "При анализе любого естественного процесса сначала приходится вычленять те части области, в которых процесс обладает структурной устойчивостью - "креоды" процесса /канализированные траектории, притягивающие ближайшие траектории - С.С./, островки детерминизма, разделенные зонами, где процесс не детерминирован или структурно неустойчив. Вводя динамические модели, мы пытаемся затем разложить каждый креод на "элементарные креоды", связанные с тем, что я называю "элементарными катастрофами", после чего объединяем эти элементарные креоды в глобальную устойчивую фигуру под действием некой присущей динамической системе сингулярности - "организующего центра". Что касается организации различающихся между собой креодов, то эта проблема представляется более сложной, поскольку она в принципе не детерминирована. Среди всех возможных конфигураций различных креодов одни более устойчивы, чем другие: это те креоды, которые являются наиболее "важными". Эта трудная проблема по существу сравнима с расшифровкой текста на незнакомом языке". По мнению Т., современная биология интерпретирует естественный отбор как "некий исключительный принцип - deus ex machina /"Бог из машины" - C.C.I - всех биологических явлений", однако ее ошибка состоит в том, что она при этом "рассматривает организм (или вид) как некий несводимый функциональный элемент. На самом деле устойчивость организма или вида сама зиждется на конкуренции между "полями", между еще более простыми "архетипами", борьба которых порождает структурно устойчивую геометрическую конфигурацию, обеспечивающую регуляцию, гомеостаз обмена веществ и устойчивость размножения. Именно анализируя эти подчиненные, более глубоко скрытые структуры, мы сможем лучше понять механизмы, определяющие морфогенез организма и эволюцию вида. "Борьба" происходит не только между организмами, но также в каждый момент в любой точке организма". В книге "Стабильность структур и морфогенез..." Т. продекларировал также и философские аспекты своего подхода к проблеме морфогенеза. Он полагал, что с "эпистемологической точки зрения именно геометрическое наступление на проблемы морфогенеза не только оправданно, но, возможно, даже необходимо. Провозгласить, что живое существо является глобальной структурой, - это значит только констатировать очевидный факт и не значит принимать виталистическую философию: в виталистической метафизике как раз неприемлемым оказывается объяснение локальных феноменов через глобальные структуры. Следовательно, биолог должен с самого начала постулировать существование локального детерминизма, чтобы объяснить все частичные микрофеномены в живом существе, а затем попытаться интегрировать все локальные детерминизмы в согласованную устойчивую глобальную структуру. С этих позиций фундаментальная проблема биологии становится топологической, поскольку топология есть... математическая дисциплина, которая занимается переходом локального в глобальное. Доведя этот тезис до предела, мы могли бы рассматривать все проявления живого как манифестации геометрического объекта, поля жизни (champ vital), аналогичного гравитационному или электромагнитному полям; тогда живые существа становились бы частицами или структурно устойчивыми характеристиками этого поля, а феномены симбиоза, хищничества, паразитизма, сексуальности и др. являлиcь бы взаимодействиями и соединениями этих частиц. В таком случае первоочередной задачей становится геометрическое описание этого поля, определение его формальных свойств и законов его эволюции, тогда как вопрос о предельной природе этого поля - может ли оно быть объяснимо в терминах известных полей или инертной материи - остается чисто метафизическим". Несмотря на всю абстрактность работ Т. с точки зрения биологов-исследователей, он широко цитировался в Индексе научных цитат: книга "Стабильность структур и морфогенез..." в 1981-1982 выдержала цитирование в индексе SCI - 69 раз, в индексе SSCI - 65 раз; в том числе в журналах биологических наук - 7 и 10 раз. О дальнейших перспективах теории катастроф в книге "Теория катастроф: ее прошлое состояние и будущие перспективы" сам Т. писал, что в "философском, метафизическом плане теория катастроф не может принести ответа на великие проблемы, волнующие человека. Но она поощряет диалектическое, гераклитовское видение Вселенной, видение мира как театра непрерывной борьбы между "логосами", между архетипами. Теория катастроф приводит нас к глубоко политеистическому взгляду: во всем следует различать руку Богов. И здесь, быть может, теория катастроф, найдет неизбежные пределы своей применимости. Она разделит, быть может, участь психоанализа. Нет сомнения, что основные психологические открытия Фрейда верны. И все же знание этих фактов принесло мало практической пользы (при лечении психических заболеваний). Как герой "Илиады" не мог противостоять воле бога, скажем Посейдона, не опираясь на мощь другого божества, скажем Афины, так и мы не можем ограничить действие архетипа, не противопоставляя ему архетипа-антагониста в борьбе с неопределенным исходом. Те самые причины, которые нам позволяют располагать возможностями действовать в одних случаях, осуждают нас на бессилие в других. Быть может, удастся доказать неизбежность некоторых катастроф, например болезней или смерти. Познание не обязательно будет обещанием успеха или выживания: но может вести также к уверенности в нашем поражении, нашем конце". Свои философско-поэтические декларации Т. обычно выдерживает в таком стиле, что, как писал его коллега К.Зиман, смысл его слов "становится понятным лишь после того, как вставишь 99 своих строк между каждыми двумя строками Тома". Т. также отличается широтой интересов и в других направлениях: известна, например, его работа "Топология и лингвистика".

3. Семь элементарных катастроф по Тому

Теория катастроф анализирует критические точки (репетиции) потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но и равны нулю же производные более высокого порядка. Динамика развития таких точек может быть изучена при помощи разложения потенциальной функции в рядах Тейлора посредством малых изменений входных параметров. Если точки роста складываются не просто в случайный узор, но формируют структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности, с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства. Если потенциальная функция зависит от трёх или меньшего числа активных переменных, и пяти или менее активных параметров, то в этом случае существует всего семь обобщённых структур описанных геометрий бифуркаций, которым можно приписать стандартные формы разложений в ряды Тейлора, в которые можно разложить репетиции при помощи диффеоморфизма (гладкой трансформации, обращение которой также гладко). Сегодня эти семь фундаментальных типов катастроф известны под именами, которые им дал Рене Том.

1. Потенциальные функции с одной активной переменной:

а) Катастрофа типа «Складка».

Стабильная и нестабильная части экстремума, исчезаемого при бифуркации типа «складка»

При отрицательных значениях параметра a, потенциальная функция имеет два экстремума — один стабильный (устойчивое равновесие) и один нестабильный (неустойчивое равновесие). Если параметр a медленно изменяется, система может находиться в точке стабильного минимума. Но если a = 0, стабильные и нестабильный экстремумы встречаются и аннигилируют. Это — точка бифуркации. При a > 0 не существует стабильного решения.

Если физическая система проходит через точку бифуркации типа «свёртка», и поэтому параметр a достигает значения 0, стабильность решения при a < 0 внезапно теряется, и система может осуществить внезапный переход в новое, весьма отличное от предыдущего состояние. Это бифуркационное значение параметра a иногда называется «точкой фиксации».

б) Катастрофа типа «Сборка».

Диаграмма катастрофы «сборка» с точкой возврата, на которой показаны кривые (коричневые, красные) по переменной x, удовлетворяющие выражению для параметров (a, b), кривые показаны для непрерывно изменяющегося параметра b при различных значениях параметра a. Вне геометрического места точек возврата (синяя область) для каждой точки (a, b) в фазовом пространстве существует только одно экстремальное значение переменной x. Внутри точек возврата существует два различных значения x, которые дают локальные минимумы функции V(x) для каждой пары (a, b). При этом указанные значения разделены локальным максимумом.

Бифуркация типа «вилка» при a = 0 на пространстве b = 0. Форма точек возврата в фазовом пространстве (a, b) около точки катастрофы, показывающая геометрическое место бифуркаций типа «свёртка», которое разделяет область с двумя стабильными решениями и область с одним решением. Геометрия точек возврата весьма обычна, когда производится изучение того, что происходит с бифуркациями типа «свёртка» при добавлении в управляющее пространство нового параметра b. Изменяя параметры, можно найти, что имеется кривая (синяя) точек в пространстве (a, b), на которой теряется стабильность, то есть на этой кривой стабильное решение может внезапно «перепрыгнуть» на альтернативное значение (также стабильное).

Но в геометрии точек возврата кривая бифуркаций заворачивает назад, создавая вторую ветвь, на которой уже это второе решение теряет стабильность, а потому может совершить «прыжок» назад на исходное множество решений. При повторном увеличении значения параметра b и последующем уменьшении его, можно наблюдать гистерезис в поведении петель, поскольку система следует по одному решению, «перепрыгивает» на другое, следует по нему и «перепрыгивает» назад на исходное.

Однако это возможно только в области в параметрическом пространстве при a < 0. Если значение параметра a увеличивается, петли гистерезиса становятся меньше и меньше, пока значение a не достигнет 0. В этой точке петли исчезают (катастрофа с точкой возврата), и появляется только одно стабильное решение.

Также можно рассмотреть процесс изменения параметра a при неизменном значении b. В симметричном случае при b = 0 можно наблюдать бифуркацию типа «вилы» при уменьшающемся значении параметра a одно стабильное решение внезапно разделяется на два стабильных решения и одно нестабильное. В это время физическая система проходит в область a < 0 через точку возврата (a = 0,b = 0) (это — пример спонтанного нарушения симметрии). Вдали от точки возврата не существует внезапных изменений в физической системе, поскольку при прохождении по кривой бифуркации свёртки происходит только то, что становится доступным второе альтернативное решение.

Одно из наиболее интересных предложений по использованию катастрофы с точкой возврата заключается в том, что этот тип катастрофы можно использовать для моделирования поведения собаки, которая в ответ на внешнее воздействие может испугаться или обозлиться. Предложение заключается в том, что при умеренном воздействии (a > 0) собака будет проявлять плавное изменение отклика с испуга на злость в зависимости от того, как было проведено воздействие. Но более высокий уровень воздействия — это стресс, соответствующий переходу в область a < 0. В этом случае если собака изначально испугалась, она останется испуганной при увеличении уровня воздействия на неё, пока в конечном итоге она не достигнет точки возврата, где произойдёт спонтанный переход в режим злобы. При переходе в этот режим собака будет оставаться озлобленной даже в случае постепенного снижения воздействия на неё.

Другой пример прикладного применения катастрофы с точкой возврата заключается в моделировании поведения электрона при перемещении с одного энергетического уровня на другой, что часто наблюдается в химических и биологических системах. Это указывает на то, что бифуркации рассмотренного типа и геометрия точек возврата является наиболее важной практической частью теории катастроф . Это — шаблоны, которые проявляются вновь и вновь в физике, инженерии и математическом моделировании.

Оставшиеся простые геометрии катастроф являются более специализированными по сравнению с только что рассмотренной, а потому проявляются только в некоторых отдельных случаях.

в) Катастрофа типа «Ласточкин хвост».

Управляющее пространство в данном типе катастроф является трёхмерным. Каскад бифуркаций в фазовом пространстве состоит из трёх поверхностей бифуркаций типа «свёртки», которые встречаются на двух кривых бифуркаций с точками возврата, которые в конечном итоге встречаются в одной точке, представляющей собой бифуркацию типа «ласточкин хвост».

По мере прохождения значений параметров по поверхностям областей бифуркаций типа «свёртка» пропадает один минимум и один максимум потенциальной функции. В области бифуркаций с точкой возврата два минимума и один максимум замещаются одним минимумом; за ними бифуркации типа «свёртка» исчезают. В точке ласточкиного хвоста два минимума и два максимума встречаются в одном значении переменной x. Для значений a > 0 за ласточкиным хвостом существует либо одна пара (минимум, максимум), либо не существует вообще никаких бифуркаций. Это зависит от значений параметров b и c. Две поверхности бифуркаций типа «свёртка» и две линии бифуркаций с точками возврата встречаются при a < 0, а потому исчезают в самой точке ласточкиного хвоста, заменяясь одной поверхностью бифуркаций типа «свёртка». Последняя картина Сальвадора Дали под названием «Ласточкин хвост» создана под влиянием этого типа катастроф .

г) Катастрофа типа «Бабочка».

В зависимости от значений параметров потенциальная функция может иметь три, два или один локальный минимум, причём все минимумы разделены областями с бифуркациями типа «свёртка». В точке с поэтичным наименованием «бабочка» встречаются три различные пространства (трёхмерных плоскости) таких бифуркаций типа «свёртка», две поверхности бифуркаций с точками возврата и скривая бифуркаций типа «ласточкин хвост». Все эти бифуркации пропадают в одной точке и преобразуются в простую структуру с точкой возврата тогда, когда значение параметра a становится положительным.

2. Потенциальные функции с двумя активными переменными:

Омбилические катастрофы являются примерами катастроф второго порядка. Они, к примеру, могут наблюдаться в оптике при отражении света от трёхмерных поверхностей. Сами по себе такие катастрофы тесно связаны с геометрией почти сферических поверхностей. Рене Том предложил рассматривать гиперболическую омбилическую катастрофу как разрушение волны, а эллиптическую омбилическую катастрофу ― как процесс создания структур, похожих на волосяной покров.

- Гиперболическая омбилика

- Эллиптическая омбилика

- Параболическая омбилика

Заключение

Теория катастроф — математическая дисциплина, и сама по себе она не может ни предотвратить резкое ухудшение обстановки, ни обеспечить быстрый выход из застоя. Но, как любая теория, она позволяет глубже вникнуть в суть вещей, явлений и процессов реального мира. С точки зрения математики катастрофа — вовсе не обязательно крушение всех надежд или еще какая-нибудь беда, это резкая перестройка системы, качественный скачок ее состояния: неожиданный поворот жизненного пути, социальная революция, экономический бум. И важно в преддверии этих кризисных ситуаций найти нужный путь, не дающий «застрять» в кризисе. Помогают в этом знаки судьбы — «флаги катастроф», предупреждающие умеющего их читать, что пришел подходящий момент для головокружительного прыжка вверх. А если упустить момент, то будут тянуться перед ним глухие кривые окольные тропы...

Список литературы

1. В. И. Арнольд. Особенности в вариационном исчислении.
2. В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций.
3. В. И. Арнольд, В. А. Васильев, В. В. Горюнов, О. В. Ляшко. Особенности. I. Локальная и глобальная теория.
4. В. И. Арнольд, В. А. Васильев, В. В. Горюнов, О. В. Ляшко. Особенности. II. Классификация и приложения.
5. А. Б. Гивенталь. Особые лагранжевы многообразия и их лагранжевы отображения.
6. В. М. Закалюкин. Перестройки фронтов, каустик, зависящих от параметра, версальность отображений.
7. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
8. Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов, — М.: Фазис, 1996.
9. Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
10. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.
11. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения, — М.: Мир, 1980.
12. Том Р. Структурная устойчивость и морфогенез, — М.: Логос, 2002.
13. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей, — М.: Мир, 1988.