Особенности нелинейных цепей при переменных токах

Особенности нелинейных цепей при переменных токах

Наиболее существенная особенность  расчета нелинейных цепей  при переменных токах заключается в необходимости учета  в общем случае динамических свойств нелинейных элементов, т.е. их анализ следует осуществлять на основе динамических вольт-амперных, вебер-амперных, и кулон-вольтных характеристик.

Если нелинейный элемент  является безынерционным, то его характеристики в динамических и статических  режимах совпадают, что существенно  упрощает расчет. Однако на практике идеально безынерционных элементов не существует. Отнесение нелинейного элемента к классу безынерционных определяется скоростью изменения входных  воздействий: если период Т переменного воздействия достаточно мал по сравнению с постоянной времени  , характеризующей динамические свойства нелинейного элемента, последний рассматривается как безынерционный; если это не выполняется, то необходимо учитывать инерционные свойства нелинейного элемента.

 
В качестве примера можно рассмотреть  цепь на рис.1 с нелинейным резистором  (термистором), имеющим вольт-амперную характеристику (ВАХ), представленную на рис. 2, и характеризующимся постоянной времени нагрева  .

Если   , то изображающая точка    перемещается по прямой 1 и нелинейный резистор характеризуется сопротивлением       . При    изображающая точка перемещается по кривой 2, и свойства нелинейного резистора определяются сопротивлением   . Когда постоянная времени нагрева t НР одного порядка с Т, соотношения между переменными составляюшими напряжения и тока являются более сложными, определяющими сдвиг по фазе между ними.

Другой важной особенностью нелинейных элементов в цепи переменного  тока является вызываемое ими появление  высших гармоник даже при наличии в цепи только источников синусоидального напряжения и (или) тока. На этом принципе строится, например, ряд умножителей частоты, а также преобразователей формы тока или напряжения. 

 

Основные типы характеристик нелинейных элементов  в цепях переменного тока

Использование динамических характеристик нелинейных элементов  позволяет осуществлять расчет нелинейных цепей для мгновенных значений переменных, т.е. проводить принципиально ее наиболее точный и полный анализ. Однако в целом ряде случаев такой  расчет может оказаться достаточно трудоемким или избыточным по своей  глубине. Поэтому в зависимости  от цели решаемой задачи, а также  от требований к точности получаемых результатов, помимо динамической характеристики, могут использоваться нелинейные характеристики по первым гармоникам и для действующих  значений (см. табл. 1). 

 

Таблица 1. Определение основных типов характеристик нелинейных элементов

 

 

Графические методы расчета

Графические методы расчета  позволяют проводить анализ нелинейных цепей переменного тока для частных  значений параметров с использованием характеристик нелинейных элементов  для мгновенных значений, по первым гармоникам и действующим значениям (см. табл. 1). 

 

Графический метод  с использованием характеристик  для мгновенных значений

В общем случае методика анализа нелинейной цепи данным методом  включает в себя следующие этапы:

-исходя из физических соображений находят (если он не задан) закон изменения одной из величин, определяющих характеристику    нелинейного элемента;

-по нелинейной характеристике    для известного закона изменения переменной   путем графических построений определяют кривую     (или наоборот);

-с использованием полученной  зависимости    проводят анализ остальной (линейной) части цепи.

В качестве примера построим при синусоидальной ЭДС    кривую тока в цепи на рис. 3, ВАХ    диода в которой представлена  на рис. 4.

 

 

Решение

1. Строим результирующую ВАХ    цепи (см. рис. 4) согласно соотношению

2. Находя для различных  значений      с использованием полученной кривой  соответствующие им значения тока, строим по точкам (см. рис. 5) кривую искомой зависимости   .

К полученному результату необходимо сделать следующий комментарий. Использование при анализе подобных цепей ВАХ идеального вентиля (обратный ток отсутствует, в проводящем направлении  падение напряжения на диоде равно  нулю) корректно при достаточно больших  значениях амплитуд приложенного к  диоду напряжения, определяющих значительное превышение током, протекающим через вентиль в прямом направлении, его обратного тока,вследствие чего последним можно пренебречь. При снижении величин напряжения, когда эти токи становятся сопоставимыми по величине, следует использовать ВАХ реального диода,представленную на рис. 4 и учитывающую наличие обратного тока.

  
Важнейшим элементом в цепях переменного  тока является катушка с ферромагнитным сердечником. В общем случае кривая зависимости    имеет вид гистерезисной петли, но, поскольку в устройствах, работающих при переменном напряжении, используются магнитные материалы с узкой петлей гистерезиса, в большинстве практических случаев допустимо при расчетах использовать основную (или начальную) кривую намагничивания. 

Условное изображение нелинейной катушки индуктивности приведено  на рис. 6. Здесь   – основной поток, замыкающийся по сердечнику,   - поток рассеяния, которому в первом приближении можно поставить в соответствие потокосцепление рассеяния   , где индуктивность рассеяния   в силу прохождения потоком    части пути по воздуху.

Для схемы на рис. 6 справедливо  уравнение

 

 

 

где   .

В общем случае в силу нелинейности зависимости    определить на основании (1) несинусоидальные зависимости    и    достаточно непросто. Вместе с тем для реальных катушек индуктивности падением напряжения   и ЭДС, обусловленной потоками рассеивания, вследствие их малости, часто можно пренебречь. При этом из (1) получаем   , откуда

 ,

где    постоянная интегрирования.

Так как характеристика    катушки (см. рис. 7) симметрична относительно начала координат, а напряжение    симметрично относительно оси абсцисс (оси времени), то кривая    также должна быть симметричной относительно последней, откуда следует, что   .

  
Находя для различных значений    с использованием кривой    соответствующие им значения тока, строим по точкам (см. рис. 7) кривую зависимости   .

Анализ полученного результата позволяет сделать важный вывод: при синусоидальной форме потока напряжение    на катушке синусоидально, а протекающий через нее ток имеет явно выраженную несинусоидальную форму. Аналогично можно показать, что при синусоидальном токе поток, сцепленный с катушкой, и напряжение на ней несинусоидальны.

Для среднего значения напряжения, наведенного потоком, можно записать

Умножив (2) на коэффициент  формы, получим выражение для  действующего значения напряжения

.

В частности, если напряжение и поток синусоидальны, то

 .

Соотношение (2) является весьма важным: измеряя среднее значение напряжения, наведенного потоком, по (2) можно определить амплитуды потока   и индукции  при любой форме нелинейности катушки.

Аналогично проводится построение кривой    при синусоидальном потоке и задании зависимости    в виде петли гистерезиса. При этом следует помнить, что перемещение рабочей точки по петле осуществляется против часовой стрелки (см. рис. 8).

  
 

 
           

 К полученному результату  следует сделать следующий важный  комментарий. Разложение построенной  кривой    в ряд Фурье показывает, что первая гармоника тока (см. кривую    на рис. 8) опережает по фазе потокосцепление и, следовательно, отстает по фазе от синусоидального напряжения на катушке на угол, меньший 90°. Это указывает (   ) на потребление катушкой активной мощности, затрачиваемой на перемагничивание сердечника и определяемой площадью петли гистерезиса.

 

Нелинейные цепи постоянного тока. Графические методы расчета.

Нелинейные цепи

Нелинейными называются цепи, в состав которых входит хотя бы один нелинейный элемент.

Нелинейными называются элементы, параметры которых зависят от величины и (или) направления связанных  с этими элементами переменных (напряжения, тока, магнитного потока, заряда, температуры, светового потока и др.). Нелинейные элементы описываются нелинейными  характеристиками, которые не имеют  строгого аналитического выражения, определяются экспериментально и задаются таблично или графиками.

Нелинейные элементы можно  разделить на двух – и многополюсные. Последние содержат три (различные полупроводниковые и электронные триоды) и более (магнитные усилители, многообмоточные трансформаторы, тетроды, пентоды и др.) полюсов, с помощью которых они подсоединяются к электрической цепи. Характерной особенностью многополюсных элементов является то, что в общем случае их свойства определяются семейством характеристик, представляющих зависимости выходных характеристик от входных переменных и наоборот: входные характеристики строят для ряда фиксированных значений одного из выходных параметров, выходные – для ряда фиксированных значений одного из входных.

По другому признаку классификации  нелинейные элементы можно разделить  на инерционные и безынерционные. Инерционными называются элементы, характеристики которых зависят от скорости изменения переменных. Для таких элементов статические характеристики, определяющие зависимость между действующими значениями переменных, отличаются от динамических характеристик, устанавливающих взаимосвязь между мгновенными значениями переменных. Безынерционными называются элементы, характеристики которых не зависят от скорости изменения переменных. Для таких элементов статические и динамические характеристики совпадают.

Понятия инерционных и  безынерционных элементов относительны: элемент может рассматриваться  как безынерционный в допустимом (ограниченном сверху) диапазоне частот, при выходе за пределы которого он переходит в разряд инерционных.

В зависимости от вида характеристик  различают нелинейные элементы с симметричными и  несимметричными характеристиками. Симметричной называется характеристика, не зависящая от направления определяющих ее величин, т.е. имеющая симметрию относительно начала системы координат:   . Для несимметричной характеристики это условие не выполняется, т.е.   . Наличие у нелинейного элемента симметричной характеристики позволяет в целом ряде случаев упростить анализ схемы, осуществляя его в пределах одного квадранта.

По типу характеристики можно  также разделить все нелинейные элементы на элементы с однозначной  и неоднозначной характеристиками.Однозначной называется характеристика   , у которой каждому значению х соответствует единственное значение y и наоборот. В случае неоднозначной характеристики каким-то значениям х может соответствовать два или более значения  y или наоборот. У нелинейных резисторов неоднозначность характеристики обычно связана с наличием падающего участка, для  которого   , а у нелинейных индуктивных и емкостных элементов – с гистерезисом.

Наконец, все нелинейные элементы можно разделить на управляемые и неуправляемые. В отличие от неуправляемых управляемые нелинейные элементы (обычно трех- и многополюсники) содержат управляющие каналы, изменяя напряжение, ток, световой поток и др. в которых, изменяют их основные характеристики: вольт-амперную, вебер-амперную или кулон-вольтную.  

 

Нелинейные электрические  цепи постоянного тока

Нелинейные свойства таких  цепей определяет наличие в них  нелинейных резисторов.

В связи с отсутствием  у нелинейных резисторов прямой пропорциональности между напряжением и током  их нельзя охарактеризовать одним параметром (одним значением   ). Соотношение между этими величинами в общем случае зависит не только от их мгновенных значений, но и от производных и интегралов по времени. 

 

Параметры нелинейных резисторов

В зависимости от условий  работы нелинейного резистора и  характера задачи различают статическое, дифференциальное и динамическое сопротивления.

Если нелинейный элемент  является безынерционным, то он характеризуется  первыми двумя из перечисленных  параметров.

Статическое сопротивление равно отношению напряжения на резистивном элементе к протекающему через него току. В частности для точки 1 ВАХ на рис. 1

 .

Под дифференциальным сопротивлением понимается отношение бесконечно малого приращения напряжения к соответствующему приращению тока

 .

Следует отметить, что у  неуправляемого нелинейного резистора    всегда, а    может принимать и отрицательные значения (участок 2-3 ВАХ на рис. 1).

В случае инерционного нелинейного  резистора вводится понятие динамического  сопротивления

 ,

определяемого по динамической ВАХ. В зависимости от скорости изменения  переменной, например тока, может меняться не только величина, но и знак   . 

 

Методы расчета  нелинейных электрических цепей  постоянного тока

Электрическое состояние  нелинейных цепей описывается на основании законов Кирхгофа, которые  имеют общий характер. При этом следует помнить, что для нелинейных цепей принцип наложения неприменим. В этой связи методы расчета, разработанные для линейных схем на основе законов Кирхгофа и принципа наложения, в общем случае не распространяются на нелинейные цепи.

Общих методов расчета  нелинейных цепей не существует. Известные  приемы и способы имеют различные  возможности и области применения. В общем случае при анализе  нелинейной цепи описывающая ее система  нелинейных уравнений может быть решена следующими методами:

• графическими;
• аналитическими;
• графо-аналитическими;
• итерационными.

 

 

Графические методы расчета

При использовании этих методов  задача решается путем графических  построений на плоскости. При этом характеристики всех ветвей цепи следует записать в функции одного общего аргумента. Благодаря этому система уравнений  сводится к одному нелинейному уравнению  с одним неизвестным. Формально  при расчете различают цепи с  последовательным, параллельным и смешанным  соединениями.

а) Цепи с последовательным соединением резистивных элементов.

При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий  через последовательно соединенные  элементы. Расчет проводится в следующей  последовательности. По заданным ВАХ    отдельных резисторов в системе декартовых координат    строится результирующая зависимость   . Затем на оси напряжений откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине напряжения на входе цепи, из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью   . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой    опускается ортогональ на ось токов – полученная точка соответствует искомому току в цепи, по найденному значению которого с использованием зависимостей    определяются напряжения    на отдельных резистивных элементах.

Применение указанной  методики иллюстрируют графические  построения на рис. 2,б, соответствующие  цепи на рис. 2,а.

 

 

 

 

 

 

Графическое решение для  последовательной нелинейной цепи с  двумя резистивными элементами может  быть проведено и другим методом  – методом пересечений. В этом случае один из нелинейных резисторов, например, с ВАХ    на рис.2,а, считается внутренним сопротивлением источника с ЭДС Е, а другой – нагрузкой. Тогда на основании соотношения    точка а (см. рис. 3) пересечения кривых    и   определяет режим работы цепи. Кривая    строится путем вычитания абсцисс ВАХ    из ЭДС Е для различных значений тока.