Реферат

на тему:

"Оценка качества процессов регулирования"

1. Общие положения по оценке качества

Устойчивость необходимое, но недостаточное требование, предъявляемое к системе, она должна удовлетворять требованиям по качеству.

Качество системы – это соответствие системы, предъявляемым к ней требованиям (например: по точности, быстродействию и другим показателям качества).

Качество оценивается качеством переходного процесса и точностью в установившемся режиме, т.е. с помощью динамических и статических показателей качества. Существует ряд методов оценки качества процессов регулирования, которые можно классифицировать следующим образом:

Прямые методы: классический метод; оценка качества по переходной функции; методы моделирования.

Косвенные методы: частотные; корневые; интегральные.

Рассмотрим методы оценки качества.

2. Классический метод оценки качества

Классический метод основан на решении неоднородных дифференциальных уравнений, т.к. аналитическое решение уравнений выше 3-го порядка представляет определенные трудности, то этот метод находит ограниченное применение и используется для систем до 3-го порядка.

3. Оценка качества по переходной функции

Рассмотрим переходную функцию некоторой системы (рис. 1).

При оценке качества переходного процесса с использованием переходной функции определяются прямые показатели качества.

По переходной функции определяются следующие прямые показатели качества:

1. Время регулирования (переходного процесса) – время, по истечении которого

(1)

где  = 3–5% от h, т.к. теоретически t_p.

Время регулирования характеризует быстродействие системы.

Рис. 1

2. Величина перерегулирования

(2)

Относительное перерегулирование – %.

(3)

Если % = 0, процесс называется монотонным. Относительное перерегулирование характеризует перегрузки в системе. Обычно % = 20–30%.

3. Число перерегулирований, т.е. число минимумов и максимумов за время регулирования – N. Обычно N = 2–3.

4. Период собственных колебаний T₀ = 2/₀.

5. Величина статической ошибки

6. Логарифмический декремент затухания

Достоинство метода: простота и наглядность.

4. Оценка качества систем методами моделирования

При проектировании и исследовании систем управления широко используются методы моделирования (аналоговое, цифровое, имитационное и др.). Идея метода – использование вместо реальной системы адекватной ее модели. При моделировании систем управления используются либо языки моделирования (например: CSSL, GPSS, SIMULA и др.), либо пакеты прикладных программ (например: CC, SIAM и др.).

5. Частотные методы оценки качества

Частотные методы позволяют оценить как устойчивость, так и качество системы. При этом для оценки качества системы можно использовать любую частотную характеристику, но наиболее часто используют АФХ, ЛАЧХ, АЧХ, ВЧХ.

Любая реальная техническая система инерционна (рис. 2).

A()

1

0.707

A_m()

0 ₀ _c _п 

A ()

0 

()

0 

()

0 

Рис. 2

При этом:

₀ - резонансная частота, которая характеризует частоту собственных колебаний системы (при А = А_m);

_c - частота среза (при А = 1);

_п - верхняя граничная частота, которая характеризует полосу пропускания системы (при A = A(0)/2).

Только на небольшом участке в области низких частот характеристики входного и выходного сигнала совпадают, далее на резонансной частоте ₀ амплитуда имеет максимальное значение – A _m, при дальнейшем увеличении частоты система, вследствие инерционности не успевает реагировать на колебания больших частот и амплитуда резко падает. Так как в диапазоне _c и _п амплитуда резко падает, то можно считать _c = _п. Полоса пропускания влияет на точность и быстродействие.

Колебательность определяется M = A_m/ A(0). Обычно М = 1,2–1,5.

При малой колебательности система «вялая» имеет большое время регулирования – t_p. При большой колебательности увеличивается перегрузка системы и система приближается к границе устойчивости.

Т.о. косвенными показателями качества являются: М – колебательность; ₀ - резонансная частота; _п - верхняя граничная частота.

Ветвь АФХ состоит из трех частей: низкочастотная (НЧ) – определяет статику системы; среднечастотная (СЧ) – определяет динамику системы; высокочастотная (ВЧ) – не представляет интереса, так как амплитуда сигнала в этой области мала.

L()

0 _c A_з 

() 

_з

+j

A_з

-1 =0 +

_з

K(j)

Рис. 3

Рекомендуемые значения: A_з = 20–30 дБ; _з = 40–60⁰.

1. Каждой вещественной частотной характеристике – P() соответствует определенная переходная функция – h(t).

Рис. 4

2. Значение вещественной частотной характеристики в нуле соответствует установившееся значение переходной функции, т.е. P(0)  h(). Если P₂()=кP₁() то графики переходных функций имеют вид (рис. 4).

3. Изменение масштаба по оси частот. Если P () = h (t/ ). Графически это можно представить следующим образом (рис. 5).

Рис. 5

Рис. 5

Как видно из графика h(t), чем больше _п, тем выше быстродействие системы.

4. Пик P() характеризует колебательность и частоту колебаний (рис. 6).

Рис. 6

Как видно из графиков пик ВЧХ характеризует колебательность и период собственных колебаний системы.

Таким образом, по виду вещественной характеристики системы можно построить ее переходную функцию и определить ее качество.

6. Корневые методы оценки качества

Основа корневых методов – анализ расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы в комплексной плоскости

(4)

Расположение корней характеристического уравнения замкнутой системы в комплексной плоскости характеризует не только устойчивость, но и качество системы (рис. 7).

При этом косвенными показателями качества являются:

1. Степень устойчивости - ₀ – расстояние от мнимой оси до ближайшего корня или пары корней. Этот показатель характеризует быстродействие системы.

2) Колебательность -

3) Затухание (демпфирование)-

2 1 ₀ +j

p₁

+

p₂

Рис. 7

Линия 1 определяет запас устойчивости, а линия 2 определяет колебательность. Если корни расположены в области ограниченной линиями 1 и 2, то система удовлетворяет заданным ₀ и .

Определение длительности переходного процесса.

Корни ближайшие к мнимой оси являются определяющими (доминирующими), они определяют характер переходного процесса. Если ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, то переходный процесс имеет вид:

(5)

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Определить степень устойчивости и колебательность системы с характеристическим уравнением p³+14p²+53p+130 = 0.

Решение:

1. Определяем корни характеристического уравнения

p₁ = -10 c^-1; p_2,3 = (-2  j3) c^-1.

1. Определяем степень устойчивости ₀ = -2 c^-1 и колебательность  = 1,5.

Пример 2. Для заданной системы (рис. 9) определить зависимость степени устойчивости и колебательности от параметров системы.

x y

-

Рис. 9

k

p(Tp+1)

Решение:

1. Определяем характеристический полином

D(p) = 1+K_р(p) = Tp²+p+k = 0.

1. Определяем корни характеристического уравнения

p²+ (1/T) p+k/T = 0; p_1,2 = -1/T j (k/T-1/ 4T²).

1. Определяем:

– степень устойчивости ₀ = -1/2T c^-1;

– колебательность  =  (k/T-1/ 4T²)/ 0,5 T =  (4kT-1).

Применение критериев устойчивости для оценки качества

Критерии устойчивости Найквиста и Михайлова можно использовать не только для определения устойчивости системы, но и для оценки ее качества.

Применение критерия Михайлова для оценки качества.

Для определения, обладает ли система заданной степенью устойчивости необходимо в характеристический полином подставить p = -₀+ j вместо p = j и, если , то система не только устойчива, но и обладает заданной степенью устойчивости.

Для определения, обладает ли система заданным демпфированием, необходимо в характеристический полином подставить p = -₀+j = (-+j) вместо p = j и, если , то система не только устойчива, но и обладает заданным демпфированием.

Применение критерия Найквиста для оценки качества.

Для определения, обладает ли система заданной степенью устойчивости, необходимо в комплексную передаточную функцию разомкнутой системы подставить p = -₀+ j вместо p = j и, если АФХ не охватывает критическую точку, то система не только устойчива, но и обладает заданной степенью устойчивости.

Для определения, обладает ли система заданным демпфированием, необходимо в комплексную передаточную функцию разомкнутой системы вместо p = j подставить p=-₀+ j= (-+j) и, если АФХ не охватывает критическую точку, то система не только устойчива, но и обладает заданным демпфированием.

7. Метод корневого годографа

Корневой годограф – геометрическое место точек корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении какого-либо параметра системы (чаще всего 0  к  ).

Пусть задана передаточная функция разомкнутой системы

(6)

где s_i - нули передаточной функции разомкнутой системы;

p_i - полюса передаточной функции разомкнутой системы;

p_k - полюса передаточной функции замкнутой системы.

Задача состоит в том, чтобы, зная расположение нулей и полюсов передаточной функции разомкнутой системы, найти корни передаточной функции замкнутой системы как функции параметра системы. Это и есть корневой годограф.

Если полюс p_k (рис. 10) является корнем характеристического уравнения (т.е. точка принадлежит корневому годографу), то он обращает его в нуль, при этом выполняется условие модуля и аргумента:

+j

p_k

p_k-s₁

s₁ p_k-p₁

p₁ +

Рис. 10

Если из каждого полюса и нуля провести линии к точке корневого годографа, то сумма углов должна быть равна , а модуль 1.

Для упрощения процедуры построения корневого годографа необходимо использовать правила, позволяющие приближенно определить расположение ветвей корневого годографа.

Рассмотрим основные свойства корневого годографа.

1. Число ветвей корневого годографа равно – n.

2. Ветви корневого годографа расположены симметрично вещественной оси и нигде не пересекаются.

3. Ветви корневого годографа начинаются в полюсах передаточной функции разомкнутой системы, заканчиваются в нулях, а т. к. n  m, то остальные n – m ветвей уходят в бесконечность.

4. Ветви корневого годографа уходят в бесконечность вдоль асимптот.

Точка пересечения асимптот определяется как центр тяжести координат нулей и полюсов

(7)

Угол наклона асимптот определяется по формуле

где к = 1,2,…,. (8)

Например: угол наклона асимптот при различном их количестве имеет вид (рис. 11а-г)

при n-m = 1; при n-m = 2;

при n-m = 3; при n-m = 4;

+j +j +j +j

+ + + +

a) б) в) г)

Рис. 11

Определим расположение ветвей корневого годографа в области двух полюсов, расположенных на вещественной оси (см. рис. 12).

p²+ap+b=0, (9)

Если в-увеличивается, то значение подкоренного выражения уменьшается и корни сближаются. Если значение подкоренного выражения равно нулю, корни сольются. Если значение подкоренного выражения меньше нуля, корни станут комплексными.

Расположение ветвей корневого годографа в области двух нулей на вещественной оси приведено на рис. 12б.

Полюса движутся навстречу друг к другу, сливаются и далее расходятся к нулям.

Рис. 12

Рассмотрим примеры.

Решение:

1. Определяем количество полюсов, нулей и их разность:

n = 3; m = 0; n-m = 3.

1. Определяем значение полюсов и нулей:

p₁ = -1; p₂ = -2 p₃ = -3.

1. Определяем точку пересечения асимптот
2. Определяем угол наклона асимптот

5. Строим примерный график (рис. 13а). Если задать ₀, то можно определить, при каком коэффициенте усиления система достигнет границы устойчивости и заданной степени устойчивости. При этом можно определить критический коэффициент усиления.

Решение:

1. Определяем количество полюсов, нулей и их разность:

n = 6; m = 3; n – m = 3.

1. Определяем значение полюсов и нулей:

p₁ = -1; p_2,3 = -2  j2; p₄ = -3; p_5,6 = -4  j2.

s₁ = -2; s₂ = -4; s₃ = -5;

1. Определяем точку пересечения асимптот

4. Определяем угол наклона асимптот

Ветви корневого годографа пересекают мнимую ось при критическом коэффициенте усиления.

Литература

1. Автоматизированное проектирование систем автоматического управления. / Под ред. В.В. Солодовникова. – М.: Машиностроение, 1990. -332 с.
2. Вероятностные методы в вычислительной технике. Под ред. А.Н. Лебедева и Е.А. Чернявского – М.: Высш. Шк., 1986. -312 с.
3. Попов Е.П. Теория нелинейных систем. М.: Наука, 1979. – 255 с.
4. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 1987. – 712 с.
5. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 1987. -712 с.
6. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Наука, 1977. – 270 с.