Плоскость Лобачевского

 

 

 

Реферат

Плоскость Лобачевского

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                            ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

 

Введение……………………………………………………………………………3

 

1. Основное понятие плоскости Лобачевского………………………………….

 

1.   Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского. Основные понятия. ……………

 

2. Основные факты в планиметрии Лобачевского. 

 

3. Аксиомы параллельности…………………………………….............

 

4. Открытие неевклидовой геометрии .Утверждения Евклидовой геометрии………………………………………………………………..

 

Заключение…………………………………………………………………………

Приложение………………………………………………………………………...

Список  литературы……………………………………………………………….

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Целью написания  данного реферата является изучение структуры плоскости Лобачевского.

Основными задачами являются:

1. Изучение модели А. Пуанкаре плоскости Лобачевского
2. Реализация аксиом параллельности
3. Проверка утверждений Евклидовой геометрии
4. Примеры неевклидовых факторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Основное понятие плоскости Лобачевского

 

1. Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского. Основные понятия.

 

Аксиомы 1-3 I-ой группы аксиом Д. Гилберта вместе с остальными аксиомами II-V групп образуют систему 15 аксиом евклидовой плоскости. Заменим аксиому параллельности V этой группы на следующую аксиому.

V’. Аксиома параллельности Лобачевского.

Через любую  точку A, не инцидентную прямой a, можно провести в плоскости, определяемой точкой A и прямой a, по крайней мере, две различные прямые, не пересекающиеся с прямой a.

Определение плоскости Лобачевского.

Плоскостью  Лобачевского называется мыслимая планиметрия, определяемая аксиомами 1-3 группы I, всеми аксиомами групп II-IV системы аксиом Д. Гильберта и аксиомой параллельности V’ Лобачевского.

Эта модель неевклидовой геометрии  была опубликована Н. И. Лобачевским в его известной работе «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник» в 1829-1830 г.г. Созданная им геометрия получила название мыслимой геометрии, т.к. в течение длительного времени в математическом мире отсутствовала общепризнанная реализация этой модели.

То, что существует хотя бы одна прямая, проходящая через точку A вне прямой a и не пересекающая прямую a, было доказано еще Евклидом без ссылки на постулат о параллельности . Одна из моделей, в которой через точку A вне прямой a проходит более одной прямой, не имеющей общих точек с a, была построена великим французским математиком Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912). Эта модель (опубликована около 1883 г.) представляет множество точек полуплоскости, на которой «прямые» определены так, что реализуются все 15 аксиом планиметрии Лобачевского.

Рассмотри кратко эту модель, опуская доказательства, которые можно найти, например, в [2]

1. Представление основных объектов - точек и прямых в модели Пуанкаре. Пусть l - произвольная прямая евклидовой плоскости. Точками плоскости Лобачевского будем называть все точки одной из полуплоскостей, например, верхней, лежащих по одну сторону от l. Прямыми плоскости Лобачевского назовем либо вертикальные лучи, лежащие в заданной полуплоскости, либо полуокружности с центрами на l, также лежащими в этой полуплоскости, рис.1.

2.  Прямая l представляет «бесконечно удаленные точки» плоскости Лобачевского и называется абсолютом.
3. Углы между прямыми - это обычные евклидовы углы, образованные касательными в точке пересечения полуокружностей, представляющих эти прямые, рис. 1.
4. Движение в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского представляется специальными дробно-линейными преобразованиями верхней полуплоскости на себя. Это преобразование сохраняет отношение 4-х точек, через которое определяется функция расстояния между двумя точками в модели Пуанкаре. Мы не будем иллюстрировать свойства конгруэнтности на плоскости Лобачевского, поэтому не приводим формулы, представляющие функцию расстояния. Подробно изложение свойств движения в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского можно найти, например, в [2]

 

В модели, определяемой перечисленными выше условиями 1-4, выполняются все 15 аксиом планиметрии Лобачевского. Эту модель будем обозначать L₂ и ограничимся проверкой нескольких аксиом.

Проверим две первые аксиомы  I группы. Они должны определять единственную прямую в модели L₂ по двум любым точкам. Пусть абсолют l - линия OX в евклидовой плоскости. Тогда уравнения окружностей с центром в точках A(x₀, О) Î l и радиусом R имеют вид:

(x-x₀)² + y² = R²                                                  (5) 

Две точки B(x₁,y₁), C(x₂,y₂) лежат на некоторой «прямой» a тогда и только тогда, когда их координаты удовлетворяют уравнению (5) для некоторых значений x₀ и R:

                                           (6)

В полученной алгебраической системе уравнений числа x₁, y₁ и x₂, y₂ заданы, а величины x₀ и R - искомые. Раскрывая квадраты и вычитая второе уравнение из первого, находим

x₁² – x₂² + y₁² – y₂² = 2x₀(x₁ – x₂).

 

 

 

Откуда 

Это решение определено, если x₁¹x₂, т.е. точки B и C не лежат на общем перпендикуляре x₁=x₂=х к оси OX. (Если x₁=x₂=x, то этот перпендикуляр представляет прямую в L₂, рис. 2(a)). Подставляя найденное значение x₀, в любое из уравнений (6), находим значение радиуса R. Тем самым найдена окружность (5), проходящая через точки B и C. Эта окружность единственна и в модели L₂ представляет единственную же «прямую» a, инцидентную точкам B и C, рис. 2.

 

 

Таким образом, аксиомы 1 и 2 группы I выполнены. Аксиома 3 этой группы выполняется очевидным образом.

Оставляя проверку аксиом группы II-IV, займемся проверкой аксиомы V' (параллельности по Лобачевскому) в модели L₂. Пусть a - некоторая прямая и точка AÏa в модели L₂, рис.3. Пусть A_¥ и B_¥ - точки на абсолюте l, представляющие бесконечно удаленные точки прямой a, рис.3. Используя формулу (5) точно так же, как при проверке аксиом 1-2 группы I, заключаем, что существует единственная окружность с центром на l, проходящая через точки A и A_¥, обозначим ее g₁(A,A_¥), и, аналогично, единственная окружность g₂(A,B_¥), рис.3. Полуокружности g₁ и g₂ в верхней полуплоскости L₂  представляют две прямые, параллельные прямой a, т.к. имеют с ней общие точки A_¥=g₁Ça и B_¥=g₂Ça, лежащие на абсолюте l и являющиеся, по определению, бесконечно удаленными точками. Кроме этого, существует еще бесконечно много прямых g, представляемых окружностями, проходящими через точку A внутри вертикального угла, образованного g₁, и g₂, рис 3. Эти прямые не имеют общих точек с a в L₂ даже на абсолюте и называются прямыми, расходящимися с a.

Следствие 1.

В плоскости L₂ через точку A вне прямой a проходит бесконечное множество прямых, не имеющих общих точек с a (расходящихся с a). При этом существует в точности две параллельные g₁ и g₂, имеющие общие точки с a на абсолюте l:

A_¥ = g₁ Ç aÎ l, A_¥ = g₂ Ç aÎ l,

Вывод.

В модели L₂ выполняются 15 аксиом планиметрии Лобачевского.

 

2. Основные факты в планиметрии Лобачевского

 

Принятие столь  экзотической аксиомы параллельности V' позволяет «обнаружить» (точнее, строго доказать) на плоскости L₂ неевклидовы «эффекты», т.е. такие отношения между геометрическими объектами, которые не реализуются в евклидовой плоскости.

Ограничимся иллюстрацией ряда свойств взаимного расположения прямых на плоскости L₂. Строгое доказательство этих фактов можно найти, например, в [2].

1. Сумма углов многоугольника  в плоскости L₂.

Рассмотрим треугольник, рис. 4(а) с вершинами, лежащими на абсолюте. Т.к., по определению абсолюта вершины, А₁,А₂,А₃ - бесконечно удалены, то этот треугольник образован тремя сторонами А₁А₂, А₁А₃ и А₂А₃ бесконечной длины. Т.к. в вершинах А₁, А₂ и А₃ окружности касаются друг друга, то представляемые ими «прямые» А₁А₂, А₁А₃ и А₂А₃ образуют нулевые углы между собой. Аналогично, на рис. 4(b) представлен n-угольник с бесконечно длинными сторонами и суммой углов, равной нулю.

Если внутренние окружности на рис. 4(a) и (b) взять чуть большего радиуса, то точки А₁А₂…А_n попадут в плоскость L₂ (не будут лежать на абсолюте), перестанут считаться бесконечно удаленными. Тогда длины сторон многоугольника станут конечными, а сумма углов многоугольника станет несколько больше нуля. С другой стороны, если треугольник образован «малыми» кусками дуг окружностей, рис.4(с), то сумма его углов приближается к 180°, но остается все же несколько меньше 180°.

Следствие 2.

В плоскости  Лобачевского L₂ сумма углов треугольника не постоянна и может принимать любое значение больше нуля и меньше p.

2. Взаимное расположение прямых  в плоскости L₂.

Всякие две  прямые в плоскости L₂ либо пересекаются, либо параллельны, либо являются расходящимися, т.е. не параллельны и не пересекаются, рис. 3.

3. Перпендикуляр к стороне угла.

Для любого угла, образованного  пересечением прямых ОА_¥ и ОВ_¥, рис. 5, на любой из его сторон (например, на стороне ОА_¥) существует такая точка М, что перпендикуляр, восстановленный к ОА_¥ из точки М, будет параллелен второй стороне угла OB_¥, рис. 5: MB_¥^OA_¥, и MB_¥||OB_¥. При этом, всякий перпендикуляр, выходящий из точки М’ÎОМ, пересекает противоположную сторону угла ОВ_¥, а всякий перпендикуляр, восстановленный из точки M"ÎMA_¥, не имеет общих точек со стороной OB_¥, рис. 5.

 

 

 

5. Четвертый признак конгруэнтности  треугольников. 

В абсолютной геометрии  без привлечения аксиомы параллельности доказываются три признака конгруэнтности треугольников. В планиметрии Лобачевского справедлив еще один, четвертый признак. Если три угла одного треугольника конгруэнтны соответствующим трем углам второго треугольника, то эти треугольники конгруэнтны, [2].

Вывод 2.

Рассмотренные выше неевклидовы отношения 1-4 между  прямыми на плоскости Лобачевского являются логическим следствием 15 аксиом планиметрии Лобачевского и реализуются в модели Пуанкаре L₂.

 

 

3. Аксиомы параллельности

Через любую точку  А не инцидентную прямой “a” , можно провести в плоскости (определяемой этой точкой А и прямой “a”) не более одной прямой, не пересекающейся с “a”.

Замечание

То, что через точку  А вне прямой “a” можно провести хотя бы одну прямую “b”  не пересекающуюся с “a”, аÇb =Æ, мог доказать еще Евклид.

Действительно, опустим  перпендикуляр АВ на прямую “a”. Затем восстановим в точке А перпендикуляр “b”  к прямой АВ (рис.3.).

Если существует пересечение прямых “a”  и “b”  в точке Р, то в треугольнике АВР имеем прямой угол В равный внешнему прямому же углу при вершине А. Это противоречит теореме о внешнем угле треугольника (доказанной на основании I-III групп аксиом!). Следовательно, “b”Ç”а”=Æ.

Итак, одна прямая, проходящая через точку и не пересекающая заданную прямую, существует. Но другую, отличную от этой, прямую никто построить  не мог. Это породило иллюзию, что  аксиома параллельности (V-постулат в «началах» Евклида – всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых)  может быть доказана. На протяжении почти двух тысяч лет геометры пытались вывести V постулат из остальных, рассуждая от противного. Лишь в XIX веке Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792-1856) удалось построить мыслимую непротиворечивую геометрию, основанную на отрицании V постулата.

 

4. Открытие неевклидовой геометрии .Утверждения Евклидовой геометрии

Открытие мыслимой неевклидовой геометрии задолго  до построения ее реализаций и последовавшие  затем открытия ее реализаций Гауссом, Клейном, Бельтрами и Пуанкаре явились прологом пересмотра многих устоявшихся фундаментальных понятий в теории познания. Вначале подверглись анализу идеи и методы доказательства в классической математике и математической логике. Это привело к рождению теории множеств и развитию дедуктивного формализма в математике на новом структурном уровне. Новые геометрические идеи математического формализма подняли научный уровень теоретической физики, а затем и всего естествознания.

В современной науке понятие  реализации или модели некоторой системы аксиом используется для проверки основных требований, предъявляемых к аксиоматическому методу в моделировании вообще и в математическом моделировании в частности.

Вывод

Открытие и  построение неевклидовой геометрии  предшествовало, а затем и сопутствовало развитию современного математического формализма. Роль математического формализма в современной науке не сводится только к формированию математического аппарата. Многие законы, открытые в теории математического формализма, т.е. в математических языках, моделируют интеллектуальную деятельность вообще и исследовательскую деятельность в частности.

 

 

Александрийский ученый Евклид, живший в третьем веке до нашей эры, впервые в истории  предпринял попытку глобальной систематизации математических фактов. Его “Начала” состояли из 13 книг, которые представляли собой, по существу, главы, посвященные отдельным  вопросам математики. В них дано безупречное для того времени построение геометрии. Евклид начинал изложения с определений, постулатов и аксиом. Затем идут теоремы, которые представляют  собой умозаключения, основанные на постулатах, аксиомах, определениях и ранее доказанных теоремах.

Математические построения начинаются с 23 определений. Приведем некоторые из них:

• Точка есть то, что не имеет частей;
• Линия же - длина без ширины;
• Концы линии - точки;
• Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней;
• Параллельные прямые - это прямые которые находятся в одной плоскости и при неограниченном продолжении ни с той, ни с другой стороны не пересекаются и т.д.

 

Далее Евклид излагает постулаты и  аксиомы, формулировки которых представляют для нас лишь исторический интерес.

 

Постулаты:

 

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
2. Каждую прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из любого центра можно описать окружность любым радиусом.
4. Все прямые углы равны между собой.

 

Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние по одну сторону  углы, меньшие в сумме двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно  встретятся с той стороны, где  углы в сумме меньше двух прямых.

 

Аксиомы:

 

1. Равные одному и тому же равны между собой.
2. Если к равным прибавляются равные, то целые будут равны.
3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. Если к неравным прибавляются неравные, то целые будут не равны.
5. Удвоенные одного и того же равны между собой.
6. Половины одного и того же равны между собой.
7. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. Целое больше части.
9. Две прямые не содержат пространства.

Построения оснований  геометрии были проделаны Евклидом с большим мастерством. “Начала” Евклида затмили сочинения его предшественников и на протяжении более чем двух тысяч лет “Начала” представляли образец математической строгости.

    С точки  зрения современной математики  дедуктивные построения Евклида  не отражают все отношения  между геометрическими элементами, часть определений логически не задействована, а сами доказательства опираются на ряд неопределяемых понятий.

Существуют различные  объяснения роли аксиом и постулатов в “Началах”. Постулаты играют роль модельной аксиоматики, а аксиомы  “Начал” являются прообразом аксиоматики действительных чисел. На интуитивном уровне “Начала” предвосхищают многие математические построения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение.

Группа 1. Аксиомы соединения.

Эта группа аксиом описывает  отношения инцидентности (связи и принадлежности) между точками, прямыми и плоскостям.

1. Для любых двух различных точек существует прямая, инцидентная этим точкам.
2. Для любых двух различных точек существует не более одной прямой  инцидентной этим точкам.
3. Для каждой прямой существуют, по крайней мере, две точки, ей инцидентные. Существуют три точки, не инцидентные одной прямой.
4. Для любых трех точек, не инцидентных прямой, для каждой плоскости существует, по крайней мере, одна точка, ей инцидентная.
5. Для трех различных точек, не инцидентных прямой, существует не более одной плоскости, инцидентной этим точкам.
6. Если две точки прямой инцидентны плоскости, то каждая точка этой прямой инцидентна плоскости (т.е. вся прямая инцидентна плоскости).
7. Если две плоскости имеют точку им инцидентную, то существует, по крайней мере, еще одна точка, им инцидентная.
8. Существуют четыре точки, не инцидентные одной плоскости.

Заметим, что аксиомы 3 и 4 содержат по два требования. Приведем примеры типичных утверждений, доказываемых в группе 1.

Теорема 1.

Две различные точки  определяют одну и только одну прямую им инцидентную.

Теорема 2.

Три точки, не инцидентные  одной прямой определяют одну и только одну плоскость им инцидентную.

Теорема 3.

Прямая и не инцидента  ей точка определяют одну и только одну плоскость, им инцидентную.

И так далее.

Группа 2. Аксиомы порядка.

Аксиомы этой группы определяют линейный порядок точек на прямой и понятие полуплоскости относительно прямой на плоскости. Первая аксиома  содержит два требования.

9. Если А,В,С - три точки инцидентные прямой, и точка В лежит между точками А, С, то: а) точки А,В,С различны; б) точка В лежит между точками С, A.

10. Для любых двух точек А,  В, инцидентных прямой а, существует  точка С прямой а такая, что  точка В лежит между точками  А и С.

11. Для трех различных точек, инцидентных прямой, существуют не более одной из них, которая лежит между двумя оставшимися.

Для формулировки следующей  аксиомы требуется дать некоторые  определения, являющиеся логическими  следствиями уже сформулированных аксиом 1-11.

 

 

 

Определение.

Две точки на прямой А  и В определяют отрезок.

Следствие.

Согласно аксиомам 9-11 на этой прямой существуют точки, внешние  и внутренние по отношению к отрезку  АВ.

Определение.

Совокупность трех точек  А, В, С, не инцидентных одной прямой, и трех отрезков АВ, АС и ВС называется треугольником.

Аксиома Паша.

12. Пусть задан треугольник АВС  и в его плоскости прямая  а, не проходящая через А, B, C. Если прямая а пересекает  одну сторону АС треугольника, то она пересекает по крайней  мере еще одну сторону.

Вот типичная теорема  этой группы аксиом.

Теорема 4.

Отрезок АВ имеет бесконечное  множество внутренних точек (т.е. точек, лежащих между А и В).

Схема доказательства.

(1) существует т. С, не принадлежащая  прямой АВ, (акс.3), рис.1;

(2) существует т. D на прямой АС и т. C лежит между А и D;

(3) существует прямая ВD, (акс.1-2) и существует т. Е и D лежит  между В и Е;

(4) прямая ЕС по аксиоме Паша  имеет общую с АВ точку F1 (иначе ЕС совпадет с ЕD).

(5) аналогично доказывается, что  на АF1 существует еще одна точка F2, и т.д.

Теорема доказана.

Примечательно то, что для доказательства существования внутренних точек  отрезка приходится “выходить” на плоскость. Далее можно определить понятия луча, полуплоскости, угла, многоугольника и т.д.

Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.

Группы аксиом 1-3 позволяют доказать основные свойства отношения конгруэнтности между геометрическими фигурами, определить понятие движения в геометрии  и установить признаки конгруэнтности геометрических фигур. Первая аксиома  этой группы содержит два требования, а четвертая три.

 

13. Пусть дан отрезок АВ а  также прямая а^/ и точка . точка с заданной стороны относительно точки такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку (обозначим это АВ=АВ), требуется также, чтобы АВ=ВА.

14.

15. Пусть АВ и ВС – отрезки   на прямой  , АВ ВС=В, тогда  
и лежит между и .

16. Пусть Ð есть угол с вершиной О. Для любой точки и любого выходящего из нее луча можно построить в заданной плоскости, инцидентной , по любую сторону от один и только один, второй луч такой, что Ð .

Требуется также, чтобы Ð (угол конгруэнтен самому себе) и Ð

17. Пусть даны два треугольника АВС и таких, что , , тогда .

На основании аксиом конгруэнтности вводятся понятия прямого угла, смежных  и вертикальных конгруэнтных углов, операции сравнения углов и отрезков. Отрезок АВ больше отрезка СD, обозначается АВ>СD, если при совмещении точек А и С и откладывании точек В и D по одну сторону от точки А  на некоторой прямой, точка D будет лежать между  
А и С.

В этой группе аксиом доказываются три признака конгруэнтности треугольников, свойства равнобедренных и равносторонних треугольников и т.д. Справедлива также теорема о внешнем угле треугольника в слабом варианте (известная еще Евклиду).

Теорема (о внешнем  угле треугольника).

Внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника.

Аксиомы 13-17 позволяют  ввести операцию движения  в геометрии.

Определение движения.

Взаимно-однозначное соответствие точек плоскости  называется движением, если соответствующим парам точек , соответствуют конгруэнтные отрезки

Замечание 1.

В этой группе вместо аксиом 13-17 можно аксиоматически задать движение и некоторые его свойства. Тогда  аксиомы 13-17 будут являться теоремами, которые доказываются на основании аксиом движения.

Вывод 1.

Аксиомы 1-17 первых трех групп позволяют построить  геометрию, в которой на прямой существует последовательность примыкающих друг к другу конгруэнтных отрезков, пронумерованных натуральным рядом. В этой геометрии есть конгруэнтные и правильные фигуры, определено понятие движения, совмещающего конгруэнтные фигуры и т. д.

Действительно, шаром В (O, OА) с центром  в точке О и радиусом ОА назовем  все точки М такие, что ОМ<ОА. Далее, шар В(О,ОА₁) Ì B(О,ОА₂), если ОА₁<ОА₂, таким образом, множество окрестностей точки О есть множество всех шаров В(О, ОР_к ), kÎN, где Р_к- любая точка пространства. Определим последовательность точек М_кÎВ(О,ОР_к), kÎN условиями а) и b):

а) ОР₁>ОР₂>…>ОР_к>…, что означает, что мы имеем последовательность вложенных шаров В(О,ОР₁)ÉВ(О,ОР₂)É…É В(О,ОР_к) É…;

b) М_кÏВ_к+1 "кÎN , что означает, что каждая последующая точка выбирается в следующем вложенном шаре.

Вывод 2.

Используя лишь аксиомы I-III групп мы не сможем установить существование предела у последовательности М_1, М_{2, …,} М_к, … , а в случае существования мы не сможем доказать его единственность.

Группа 4. Аксиомы непрерывности.

Для описания свойства непрерывности  расположения точек на прямой, определения  длины отрезка и величины угла, установление взаимно однозначного соответствия между длинами всех отрезков и множеством действительных чисел вводим две следующие аксиомы.

18. Аксиома Архимеда. Пусть  даны два произвольных отрезка  АВ  и СD; существует такое натуральное n, что n·СD>АВ (n·СD - обозначаем отрезок, полученный откладыванием отрезка СD n раз так, что конец предыдущего откладывания есть начало следующего и два последовательных отрезка имеют только одну общую точку, рис.2.).

19. Аксиома Кантора. Пусть на прямой дана последовательность отрезков, удовлетворяющая двум требованиям: 1) каждый  последующий отрезок  содержится в предыдущем 2) не существует отрезка, принадлежащего всем отрезкам последовательности. Тогда  существует точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности.

Аксиомы непрерывности 18-19 в геометрии  и аксиомы непрерывности Архимеда и Кантора действительных чисел  позволяют установить взаимно однозначное  соответствие между значениями длин всех отрезков и действительными  числами так, что конгруэнтным отрезкам соответствуют равные значения длин.