Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Понятие метрического пространства

ПОНЯТИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

Пусть Х произвольное непустое множество. Говорят, что на Х задана метрика (расстояние), если каждой паре элементов х,у Х поставлено в соответствие единственное неотрицательное число ρ(х,у), удовлетворяющее следующим трем условиям (аксиомам метрического пространства) :

х=у тогда и только тогда, когда ρ (х,у)=0 (аксиома тождества);

(ρ(х,у)=ρ(у,х)) (аксиома симметрии);

(ρ(х,у)+ρ(у,z)≥ρ(х,z))(аксиома треугольника).

Пара (Х, р) т.е. множество Х с заданной на нем метрикой называется метрическим пространством.

Если (Х, ρ) – метрическое пространство и А Х, то пара (А, ρ), где ρ(х,у) расстояние между точками х,у А равно расстоянию между этими точками в пространстве (Х, ρ), также будет являться метрическим пространством и называется подпространством пространства (Х, р).

Рассмотрим некоторые примеры метрических пространств. позже, в разделе «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ», некоторые из них будут рассмотрены подробнее, с доказательством.

1. На любом непустом множестве Х можно определить метрику следующим образом:

ρ(х,у)=

Такое пространство называется пространством изолированных точек.

2. Пусть Х – множество действительных чисел. В качестве расстояния между точками возьмем функцию

ρ(х,у)=│х-у│.

Справедливость аксиом метрического пространства вытекает из свойств функции абсолютная величина числа. Полученное метрическое пространство называется одномерным арифметическим пространством или числовой прямой.

3. Множество оставим прежним, а метрику определим иначе . Полученное пространство обозначают .

4. Воспользуемся множеством всех функций, непрерывных на отрезке . Расстояние между двумя его элементами будем вычислять по формуле │f(x)-g(x)│.

Получили пространство непрерывных на [a,b] функций (обозначается ).

Арифметическое евклидово пространство.

Множество R с метрикой

является метрическим пространством. Действительно, рассмотрим любые три элемента из множества R:

Тогда:

3) Перейдем к проверке третьей аксиомы:

По неравенству Минковского (приложение 2,(3)) ,

ρ(x,y)= ,

то есть аксиома действительно выполняется. Таким образом ,

- метрическое пространство.

6. Множество непрерывных на отрезке функций С с метрикой является метрическим пространством.

Если f=g, то очевидно, что ρ(f,g)=0. Наоборот, если p(f,g)=0, то по определению метрики и для данного пространства:

Так как , то функции f и g равны друг другу на . Аксиома тождества выполняется.

- аксиома симметрии.

аксиома симметрии тоже выполняется.

- аксиома треугольника.

Для любых трех функций : в силу неравенства треугольника для модуля, выполняется неравенство:

Возьмем максимальное значение

и максимальное значение :

Так как на отрезке для любых двух функций

( положим )

в силу определения наибольшего значения, имеет место неравенство

а следовательно , то есть наибольшее значение суммы функций не превосходит суммы их наибольших значений.

Получим:

А значит:

Все аксиомы выполняются.

На множестве непрерывных функций метрику можно определить иначе, например: , полученное метрическое пространство обозначается .

7. Пространства числовых последовательностей.

Рассмотрим множество числовых последовательностей вида:

, удовлетворяющих условию .

Если на этом множестве ввести расстояние ,

То получим метрическое пространство, которое обозначают .

Ряд: сходится, если сходятся ряды , (приложение3, (6),(7)), а значит

введенная метрика имеет смысл для любых последовательностей

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

( [3], №116)

Является ли метрическим пространством множество всех вещественных чисел, если под расстоянием между двумя числами x и y подразумевать число .

Решение.

Проверим выполнение аксиом метрического пространства:

Аксиома тождества

. Пусть , тогда , а следовательно, при

следовательно, , при любых , кроме =0.

Аксиома тождества не выполняется, а значит, заданное множество не является метрическим пространством.

2.([4], №2.8)

На множестве задана метрика ρ такая, что

Какие значения может принимать ?

Решение.

Требуется выполнение аксиомы треугольника, т.е.: .

Из условия известно, что , получим .

Итак, может принимать значения меньше либо равное двум, с учетом что , т.е. может принимать значения на [0;2].

3.([ 4 ], №2.13)

Пусть М – множество всех населенных пунктов на левом берегу Волги. Расстояние от пункта x до пункта y будем измерять временем движения от х до у теплохода, имеющего собственную скорость 20 . Образует ли М- метрическое пространство?

Решение.

≥0 (т.к. время всегда неотрицательно).

X ______________Y Предположим, что теплоход, двигаясь из пункта х

S к пункту у, идет по течению реки, а из пункта у в х–

против течения. В первом случае скорость его будет равна сумме скорости течения реки и собственной скорости теплохода, а во втором случае – собственная скорость минус скорость течения реки. Обозначим собственную скорость теплохода , а скорость течения реки . Расстояние будем измерять временем движения. Получим:

Видим, что, следовательно, не имеет смысла проверять выполнение аксиом тождества и треугольника, т.к. не выполняется аксиома симметрии. Значит, данное множество М не образует метрического пространства.

4.([3], №120)

Пусть Е- множество всех точек на окружности С; примем в качестве расстояния между двумя точками и длину кратчайшей дуги окружности С, соединяющей точки х и у. Является ли Е метрическим пространством?

Решение

Рассмотрим два случая:

I . А,В,С – на одной половине окружности II. А,В,С – на разных половинах окружности

B C B

A A C

Рис. 1 Рис. 2

1) 1)

аксиома тождества выполняется аксиома тождества

выполняется

2) как длина кратчайшей дуги 2) аналогично случаю I

По свойству дуг:

Большая из двух хорд находится ближе к центру окружности.

Хорда AC > AB Хорда AC > AB

AC > BC AC > BC

Равные дуги стягиваются равными хордами.

3) 3)

В обоих случаях выполняются все аксиомы, а значит, Е является метрическим пространством.

5.([4], №2.6)

Является ли метрикой на функция ρ, если ; ? Удовлетворяет ли ρ аксиоме треугольника?

Решение.

1.По аксиоме симметрии

из условия видим, что а , следовательно,

аксиома симметрии не выполнена. А значит, функция ρ не является метрикой на .

Проверим выполнение аксиомы треугольника.

, с другой стороны .

Таким образом .

Рассмотрим всевозможные случаи совпадения и несовпадения метрик, которые задают функцию:

≤

, , , 2≤1+2;

≤

, , , 1≤2+1;

≤

, , , 2≤2+2;

≤

, , , 2≤2+2;

≤

, , , 1≤2+1;

≤

, , , 2≤1+2;

Аксиома треугольника выполнена.

6.([4], №2.14)

Задает ли метрику на пространстве многочленов формула

Решение.

=> (по определению модуля).

Проверим аксиому тождества.

Пусть , тогда для , , а значит при ,

Рассмотрим два многочлена (тождественно не равных)

Найдем и :

Итак многочлены совпадут только в одной точке x=0, т.е. = , но при этом .

Аксиома тождества не выполнена, а значит, данная формула не задает метрики.

7.([ 4 ], №2.3)

Пусть М- любое множество. Положим

Доказать, что метрика на М.

Решение.

Для решения нам необходимо доказать выполнение трех аксиом метрического пространства.

Из условия видим, что .

При , ,

при , .

3) Для доказательства выполнения аксиомы треугольника, рассмотрим все возможные случаи совпадения и несовпадения точек:

, ,

, ,

, 1 ≤ 1+1, 1 ≤ 2.

, ,

, ,

, 0 ≤ 1+1, 0≤ 2.

, ,

, ,

, 1≤ 1.

, ,

, ,

, 1 ≤ 1, 1≤ 1.

, ,

, ,

, 0 ≤ 0.

Аксиома треугольника выполняется, а значит

есть метрика на М. А М это любое множество с метрикой (М, ρ).Т.е. множество М с метрикой (М, ρ), является метрическим пространством. Такое пространство называется пространством изолированных точек.

8.([3], №122)

Является ли метрическим пространством множество всех непрерывных функций, заданных на сегменте , если расстояние между любыми двумя функциями и определить формулой

Решение

, а значит ,.

Пусть , значит, и .

Пусть , тогда ,

(по основному свойству интеграла (приложение4(8))) . .

Аксиома тождества выполнена.

2. -

аксиома симметрии выполняется.

по неравенству Минковского (приложение2)

=, получим

аксиома треугольника выполнена, а значит, данное множество является метрическим пространством.

9. ([ 3 ], №111)

Доказать, что множество всех функций, ограниченных на сегменте ( не только непрерывных), образует метрическое пространство, если за расстояние между двумя элементами и этого множества принять число : .

Решение:

≥0 => ≥0 => ≥0 .

Докажем выполнение трех аксиом (аксиом метрического пространства).

Аксиома тождества

Пусть , тогда => , а значит, и .

Пусть , тогда по определению метрики данного пространства

. По свойству супремума: - есть наименьшая из верхних границ для всех элементов ,где , поэтому ,

, ,

=> . Аксиома тождества выполняется.

Аксиома симметрии.

Аксиома симметрии выполняется.

Аксиома треугольника.

это следует из ограниченности функции (приложение5(9)).

по определению метрики.

При условии ограниченности , выполняется условие при , а значит и для выполняются те же условия.

Аксиома треугольника выполняется.

Данное множество образует метрическое пространство.

10. ([ 3 ], №114)

Дано множество всех числовых последовательностей , обладающих тем свойством, что сумма квадратов их членов сходится.

Доказать, что оно образует метрическое пространство, если под расстоянием между двумя последовательностями и подразумевать число .

Решение.

≥ 0 => ≥ 0 .

Из сходимости рядов нам известно, что ряд сходится всегда, когда сходятся ряды и . Это следует из теоремы о сравнении рядов. (приложение3 (6),(7)).

Из теоремы о сравнении рядов так же следует сходимость ряда

Проверим выполнение аксиомы метрического пространства.

Аксиома тождества.

Пусть => => => => => .

Пусть .

=> ≥0, - аксиома тождества выполняется.

2. Аксиома симметрии

Аксиома симметрии выполняется.

3. Аксиома треугольника.

по неравенству Минковского.(приложение2)

или

, то есть аксиома треугольника выполняется, а значит, заданное множество, образует метрическое пространство.

11. ([3], №115)

Доказать, что множество всех непрерывных на функций образует метрическое пространство, если под расстоянием между двумя элементами этого множества и подразумевать число:

Это пространство мы будем обозначать .

Решение:

Возьмем две функции, непрерывные на [ɑ,b] ,

∀x∈ [ɑ,b] , по основному свойству интеграла (приложение4 (8)) || ≥ 0, ≥ 0.

Интеграл от неотрицательной суммы – неотрицателен, а значит, неотрицательно.

Множество функций является метрическим пространством, если

удовлетворяет трем аксиомам (аксиомам метрического пространства).

Докажем, что все три аксиомы выполняются.

Аксиома тождества.

Пусть => => => ∀x∈ [ɑ,b] , а значит, .

Пусть , , тогда по основному свойству интеграла (приложение4 (8)) , а следовательно (по свойству модуля), ∀x∈ [ɑ,b] ,

а значит, аксиома тождества выполняется.

Аксиома симметрии.

∀x∈ [ɑ,b].

Т.е. .

Аксиома симметрии выполняется.

Аксиома треугольника.

(по свойству модуля). по свойству интеграла

если f1(x) ≥ f2(x).

Получили :

(по свойству непрерывных функций (приложение4 (8’))).

Из определения метрики следует: .

Аксиома треугольника выполняется.

Итак, все аксиомы выполняются для этой функции, а значит, данное множество образует метрическое пространство.

Понятие метрического пространства 📙 Реферат → 🆔 205367