Предмет и метод начертательной геометрии

Введение

§ 1. ПРЕДМЕТ И МЕТОД  НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Начертательная геометрия, являясь  одной из ветвей геометрий, имеет  ту же цель, что и геометрия вообще, а именно: изучение форм предметов  окружающего нас действительного  мира и отношений между ними, установление соответствующих закономерностей и применение их к решению практических задач.

Начертательную геометрию выделяет то обстоятельство, что она для  решения общегеометрических задач  использует графический путь, при  котором геометрические свойства фигур изучаются непосредственно по чертежу. В то время как в других ветвях геометрии чертеж является вспомогательным средством (так как с помощью чертежа лишь иллюстрируются свойства фигур), в начертательной геометрии чертеж является основным средством изучения свойств фигур.

Разумеется, не всякое изображение  может служить этим-средством. Для  того чтобы чертеж был геометрически  равноценным изображаемой фигуре или, как говорят, оригиналу, он должен быть построен по определенным геометрическим законам. В начертательной геометрии каждый чертеж строится при помощи метода проецирования, поэтому чертежи, применяемые в начертательной геометрии, носят название проекционных чертежей. При построении этих чертежей широко используются проекционные свойства фигур, благодаря чему изображение обладает такими геометрическими свойствами, по которым можно судить о свойствах самого оригинала.

Таким образом, содержанием начертательной геометрии является:

исследование способов построения проекционных чертежей;

решение геометрических задач, относящихся к пространственным фигурам;

приложение способов начертательной геометрии к исследованию практических и теоретических вопросов науки и техники.

В наше время нелегко указать  на такой вид человеческой деятельности, где бы в большей или меньшей степени не приходилось прибегать к помощи чертежей. Кроме технических чертежей, значение которых общеизвестно, чертежи встречаются в виде планов зданий и соо}5ужений, географических и топографических карт. Все они строятся по правилам проецирования.

«Чертеж является языком техника»,— говорил один из создателей начертательной геометрии — Гаспар Монж. Дополняя высказывание Монжа, профессор В. И. Курдюмов — автор классического русского учебника начертательной геометрии — писал: «Если чертеж является языком техника, то начертательная геометрия служит грамматикой этого языка, так как она учит нас правильно читать чужие и излагать наши собственные мысли, пользуясь в качестве слов одними только линиями и точками, как элементами всякого изображения».

§ 2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

1. Как и всякая другая наука,  начертательная геометрия возникла  из практической деятельности  человечества. Задачи строительства  различных сооружений, крепостных  укреплений, жилья, храмов требовали предварительного построения изображений этих сооружений. Зародившись в глубокой древности, различные способы построения изображений по мере развития материальной жизни общества претерпевали глубокие изменения. От примитивных изображений, передававших геометрические формы изображаемых на них объектов лишь весьма приближенно, постепенно совершился переход к составлению проекционных чертежей, отражающих геометрические свойства изображаемых на них объектов.

После упадка и застоя в средние  века в эпоху возрождения начинается новый расцвет культуры. В связи с бурным развитием в это время архитектуры, скульптуры и живописи разрабатываются теоретические основы перспективы.

Итальянский ученый Альберти (1404—1472), использовав опыт мастеров-профессионалов, дал основы теоретической перспективы. Гениальный итальянский художник и ученый Леонардо да Винчи(1452—1519) дополнил линейную перспективу учением «об уменьшении цветов и отчетливости очертаний». Этим самым абстрактное геометрическое пространство как бы насыщалось воздухом. В результате Леонардо получал исключительно рельефные изображения. Немецкий художник и гравер Дюрер (1471—1528) внес большой вклад в развитие перспективы. Известен его способ построения перспективы по двум ортогональным проекциям предмета. Итальянский ученый У б а л ь д и (1545—1607) по праву может считаться основателем теоретической перспективы, так как в его работах содержится решение почти всех основных задач перспективы.

Французский архитектор и математик  Д е з а р г (1593—1662) впервые применил для построения перспективы метод координат, положив тем самым начало аксонометрическому методу в начертательной геометрии.

Выдающуюся роль в развитии начертательной геометрии как науки сыграл знаменитый французский геометр и инженер  времен Великой французской революции Гаспар Монж (1746—1818). Монж систематизировал и обобщил накопленные к этому времени практический опыт и теоретические познания в области изображений пространственных фигур на плоскости. В своем труде «Начертательная геометрия», изданном в 1798 г., Монж дает первое научное изложение общего метода изображения пространственных фигур на плоскости. Монж предложил рассматривать плоский чертеж, состоящий из двух проекций, как результат совмещения двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Это совмещение плоскостей проекций он достигает путем вращения вокруг прямой их пересечения, получившей впоследствии название оси проекций.

Появление «Начертательной геометрии» Монжа было вызвано к жизни  все возрастающими потребностями в разработке теории изображений. Поэтому новая наука сразу же завоевала прочное положение в технической школе как одна из основных дисциплин инженерного образования.

Дальнейшее развитие начертательной геометрии в середине прошлого столетия обязано трудам школы австрийского геометра Винера. Задачи начертательной геометрии освещались этой школой с точки зрения проективной геометрии, в связи с чем были получены более общие результаты. В это же время зародилось новое направление в начертательной геометрии — многомерная начертательная геометрия. К началу нашего столетия относится зарождение векторно-моторной начертательной геометрии, нашедшей применение в строительной механике и в теории механизмов и машин.

2. Развитие начертательной геометрии  в нашей стране происходило по трем основным периодам.

/ период (до XIX в.).

Изучение памятников старины, различных  документов — летописей, планов, карт, чертежей показывает, что проекционные методы построения изображений были известны еще в древней Руси. Художественные картины Рублева, Дионисия и др. были выполнены с соблюдением некоторых законов перспективы. Также был выполнен план города Пскова (1581 г.). Чертеж Московского кремля (1600 г.) был выполнен в свободной, проекции, близкой к фронтальной аксонометрии. Примерами геометрически правильных проекционных изображений (в том числе и ортогональных проекций) могут служить чертежи И. И. Ползунова (1728— 1766) — изобретателя новой паровой машины, чертежи И. П. К у л и б и н а (1735—1818), например его знаменитые чертежи однопролетного арочного моста через Неву, а также чертежи великих русских зодчих XVIII в.: Я. И. Баженова (1737—1799), А. Н. Воронихи- на (1759—1814), М. Ф. Казакова (1733—1812) и др.

2. период (от начала XIX в. до Великой Октябрьской социалистической революции).

К началу XIX в. в России трудами техников-самоучек, архитекторов и художников были довольно детально разработаны различные приемы построения изображений.

В 1810 г. в Институте корпуса инженеров  путей сообщения (ныне Ленинградский институт инженеров железнодорожного транспорта) впервые стал читаться курс начертательной геометрии. Первым профессором, читавшим этот курс, был ученик Монжа — французский инженер К. И. П о т ь е, который издал в 1816 г. курс начертательной геометрии на французском языке, переведенный на русский язык помощником Потье по институту Я.А. Севастьяновым (1796—1849). С 1818 г. преподавание начертательной геометрии стал вести Севастьянов, которому вскоре было присвоено звание первого русского профессора начертательной геометрии. В 1821 г. был издан первый в России оригинальный курс начертательной геометрии, написанный Севастьяновым. Этот курс содержал подробное изложение теории начертательной геометрии и стоял на уровне лучших европейских курсов. Огромная заслуга Севастьянова состояла также в том, что он ввел русскую терминологию по начертательной геометрии, употребляющуюся, с некоторыми изменениями, и по настоящее время.

Высокому уровню преподавания начертательной геометрии во многом способствовали курсы преемников Севастьянова Н. И. Макарова (1824—1904) иВ. И. Курдюмова (1853—1904). «Курс начертательной геометрии» В. И. Курдюмова является капитальным трудом (более 1100 страниц), не устаревшим в некоторых своих частях и сейчас.

Знаменитый русский кристаллограф  и геометр Е. С. Федоров (1853—1919) часть из своих многочисленных работ посвятил проективной геометрии, внеся также большую ясность в понимание основных принципов построения многомерной начертательной геометрии. Обширную учебную литературу по начертательной геометрии создал H. А. Р ы н и н (1887— 1943). Им были показаны различные области применения начертательной геометрии, в частности, в задачах механики, аэросъемки, кинематографии..

Московские профессора А. К. Власов (1869—1921) и Н. А. Глаголев (1888—1945) развивали проективное направление в начертательной геометрии и работали в области обоснования аксонометрии.

3. период (советский).

После Великой Октябрьской социалистической революции начертательная геометрия как наука получила все условия для своего полного развития. Появилась обширная учебная и научная литература. Во втузах были образованы специальные кафедры по начертательной геометрии и инженерному черчению. При кафедрах в ведущих вузах страны была учреждена аспирантура, готовящая научных работников. Возникли научные объединения преподавателей и научных работников по начертательной геометрии и графике. Особо следует отметить московский научный семинар по начертательной геометрии, организованный и возглавляемый Н. Ф. Ч е т в е- р у х и н ы м, имеющий большое значение в развитии начертательной геометрии.

В настоящее время начертательная геометрия развивается по следующим основным научным направлениям:

проективное направление и исследование основной теоремы аксонометрии;

методы параметрического исследования изображений; теория позиционной и метрической полноты изображений;

многомерная начертательная геометрия  и ее применение; векторно-моторная начертательная геометрия и ее приложения; применение топологических преобразований в начертательной геометрии; развитие способов номографирования и механизации  построений в начертательной геометрии.

 

_

Глава I

КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ  ЗАДАЧИ

§ 3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОЕЦИРОВАНИЯ

1. Центральная проекция (перспектива). Пусть дана некоторая плоскость П', которую называют плоскостью проекций, и вне ее точка 5, называемая центром проекций.

Для построения изображения или проекции А' некоторой точки А проводят через точку А и центр проекций 5 прямую называемую проецирующей прямой, а затем н аходят точку А' пересечения этой прямой с плоскостью П' (рис. 1)

Таков метод центрального проецирования точек пространства на плоскость проекций 1Г, его можно записать с помощью следующего символического равенства

А'= П'Х SА

(А' есть точка пересечения плоскости П' с прямой SА).

Проецирование можно выполнить для любой точки пространства, за исключением точек, лежащих в плоскости, проходящей через центр проекций S и параллельной плоскости проекций П'.

 

 

На рис. 1 показано построение проекций точек А, В, С и О, различно расположенных относительно плоскости проекций П' и центра проекций 5.

Обычно проекциями точек, лежащих  в плоскости, проходящей через центр  проекций 5 и параллельной плоскости  проекций П', принято считать бесконечно удаленные точки¹ плоскости П\ так как для этих точек проецирующие прямые оказываются параллельными плоскости проекций П'. Однако для центра проекций 5 не может быть построена проекция, так как проецирующая прямая становится при этом неопределенной, вместе с тем становится неопределенной и проекция точки 5 на плоскости П\ Так как каждая геометрическая фигура есть некоторая совокупность точек, будем называть

проекцией фигуры совокупность проекций всех ее точек. Однако для построения проекции фигуры совершенно не обязательно проецировать все ее точки. Так, проекция отрезка или прямой линии вполне определяется проекциями двух точек; проекция треугольника или плоскости определяется проекциями трех точек; проекция какого-либо многогранника определяется проекциями его вершин.

Изображение предметов при помощи центрального проецирования обладает большой наглядностью, так как процесс человеческого зрения в геометрическом отношении совпадает с операцией центрального проецирования (оптический центр хрусталика глаза можно считать центром проекций, а участок задней стенки сетчатки может быть принят приближенно за плоскость проекций). Метод центрального проецирования слишком сложен и в значительной степени искажает форму и размеры оригинала, так как' не сохраняет параллельности прямых и отношения отрезков. Поэтому на практике чаще пользуются методом параллельного проецирования (в частности, ортогонального проецирования). Этот метод, являясь частным случаем центрального проецирования, когда центр проекций находится в бесконечно удаленной точке 5оо, дает более простое построение изображения и в большей степени, как это будет показано дальше, сохраняет те свойства оригинала, от которых зависят его форма и размеры.

2. Параллельная проекция. Пусть даны плоскость проекций П' и направление проецирования 5, непараллельное плоскости проекций. Когда мы удаляем центр проекций 5 в бесконечно удаленную точку 5оо, то все проецирующие прямые, как пересекающиеся в бесконечно удаленной точке, будут параллельны некоторому направлению 5. Чтобы построить проекцию А' какой-либо точки А, проводят через точку А проецирующую прямую параллельно направлению проецирования 5, а затем находят точку А' пересечения этой прямой с плоскостью П (рис. 2).

Таков метод параллельного проецирования точек пространства на плоскость проекций.

Рассмотрим некоторые свойства параллельной проекции.

Проекцией точки является точка.

Это свойство следует из самого способа  построения проекции точки.

 

Проекцией прямой линии является прямая линия.

Все прямые, проецирующие точки А, В, С, ... данной прямой I (рис. 2), лежат в одной плоскости, проходящей через прямую I и параллельной направлению проецирования 5. Эта плоскость, называемая проецирующей плоскостью, пересекает плоскость проекций П' по прямой линии Г, которая, согласий определению проекции фигуры как совокупности проекций всех ее точек, и является проекцией данной прямой. Это свойство будем называть свойством прямолинейности.

Очевидно, что если прямая I будет  проецирующей прямой, то ее проекция выродится  в точку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проекцией точки, лежащей на некоторой прямой, является точка, лежащая на проекции данной прямой.

Это свойство, называемое свойством принадлежности, непосредственно следует из определения проекции фигуры, как совокупности проекций всех ее точек.

Рассмотренные три свойства имеют  место также и в случае центральной проекции.

Однако параллельная проекция обладает еще другими свойствами, которых не имеет центральная проекция.

Проекциями параллельных прямых являются параллельные прямые.

Действительно, если прямые I и т параллельны, то и проецирующие их плоскости будут параллельны как содержащие по паре пересекающихся соответственно параллельных прямых (I \\ т и А А' || ММ'). Отсюда следует, что Г || т' как прямые пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью. Это свойство называется свойством сохранения параллельности.

Очевидно, что если прямые I и т будут проецирующими прямыми, то указанное свойство теряет смысл, так как проекциями этих прямых будут две точки.

 

Отношение проекций отрезков, лежащих  на параллельных прямых или на одной  и той же прямой, равно отношению самих отрезков.

Пусть А В и МЫ — отрезки, лежащие на параллельных прямых I и т, а А'В' и М'Ы'— их проекции на плоскость 1Г (рис. 2). Проведем в проецирующих плоскостях отрезки А В* и МЫ*, соответственно параллельные отрезкам А'В' и М'Ы'. При этом АВ* = А'В' и МЫ* = М'Ы'. Очевидно, что треугольники АВВ* и МЫЫ* подобны, так как их соответственные стороны параллельны. Отсюда получаем: А'В': М'Ы' = АВ*: МЫ* = = АВ : МЫ. Если данные отрезки лежат на одной прямой, то теми же рассуждениями можно установить, что А'В': В С'— АВ : ВС.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проекция фигуры не меняется при  параллельном переносе плоскости проекций.

В качестве проецируемой фигуры возьмем  треугольник ABC и спроецируем его по направлению s на плоскости II' и II' параллельные между собой (рис. 3). Так как отрезки А'А', В'В', С'С' параллельны и равны между собой, то четырехугольники А'В'В'А', В'С'С'В' и С'А'А'С являются параллелограммами. Поэтому у треугольников А'В'С' и А'В'С' соответственные стороны равны и, следовательно, эти треугольники равны между собой. Очевидно, что эти же рассуждения применимы для проекции любой другой фигуры.

Рассматривая указанные выше свойства параллельной проекции, можно заметить, что ее три последние свойства обеспечивают более простое построение изображения, которое вместе с тем и меньше искажает форму и размеры оригинала по сравнению с центральной проекцией.

В самом деле, одно из свойств указывает  на сохранение параллельности прямых, поэтому параллельная проекция трапеции есть трапеция; параллельная проекция параллелограмма есть параллелограмм, в то время как в центральной проекции эти фигуры вообще проецируются в четырехугольники произвольного вида. По следующему свойству мы имеем для проекций двух параллельных отрезков соотношение

А'В': = АВ : МАГ,

откуда

А!В': АВ = М'Ы': ММ (рис. 2),

т. е. при параллельном проецировании  искажение для всех параллельных отрезков постоянно.

Отсюда, в частности, следует, что  середина отрезка проецируется в  середину проекции отрезка.

Последнее свойство позволяет  переносить плоскость проекций параллельно самой себе, т. е. отказаться от фиксации плоскости проекций. При этом говорят, что положение плоскости проекций определяется лишь с точностью до параллельности. Это обстоятельство весьма* удобно и поэтому широко применяется при построении технического чертежа.

3. Ортогональная проекция. Еще большее упрощение построения чертежа дает применение ортогонального проецирования, являющегося частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования 5 перпендикулярно плоскости проекций 1Г. В этом слу-

чае нетрудно установить соотношение  между длиной натурального отрезка  и длиной его проекции. Если отрезок А В образует с плоскостью проекций угол а, то, проведя АВ* Ц А 'В' (рис. 4), получим из прямоугольного треугольника

АВ*В : АВ* = АВ соs x или

А'В' = АВ cos x.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ортогональная проекция получила наибольшее распространение в технических чертежах, так как она позволяет наиболее легко судить о размерах изображаемых предметов.

 

 

Рассмотренные выше методы проецирования позволяют однозначно решать прямую задачу, т. е. по данному оригиналу строить его проекционный чертеж. Однако обратная задача — по данному проекционному чертежу воспроизвести (реконструировать) оригинал — не решается однозначно. Эта задача допускает бесчисленное множество решений, так как каждую точку А' плоскости проекций П' можно считать проекцией любой точки проецирующей прямой, проходящей через А' (рис. 1, 2 и 4).

Таким образом, рассмотренные нами проекционные чертежи не дают возможности определить оригинал или, как говорят, не обладают свойством обратимости. Для получения обратимых чертежей дополняют проекционный чертеж необходимыми данными. Существуют различные методы такого дополнения. В данном курсе будут применяться только два вида обратймых чертежей, а именно, комплексные чертежи в ортогональных проекциях и аксонометрические чертежи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

1.    А.Д. Посвянский / Краткий курс начертательной  геометрии- Изд.3-е. Учебник для  всех специальностей втузов, кроме строит, и архит. М., «Высш. школа», 1970

240 с. с илл

 

1  Введение бесконечно удаленных элементов (точек и прямых) позволяет избежать исключений в геометрических положениях, связанных с понятием параллельности. Так, каждые две прямые одной плоскости всегда пересекаются в одной точке (обыкновенной или бесконечно удаленной). Каждые две плоскости всегда пересекаются по прямой (обыкновенной или бесконечно удаленной).