ПРезентация "Решение систем линейных уравнений"

 
 
 
 

Решение  систем линейных  уравнений 

Работа  на конкурс «Портфолио  ученика» 

            Ученицы 10 класса

            МОУ  Рощинской СОШ 

            «Образовательный  центр»

            Курлат Галины

 
 
 
 

Содержание: 

• Основные понятия
• Метод подстановки
• Метод алгебраического сложения
• Графический метод
• Правило Крамера
• Метод Гаусса
• Габриэль Крамер
• Карл Гаусс
• Конец

 
 
 
 

Основные понятия 

         

       Решением линейного уравнения с двумя переменными называют всякую пару чисел (x; y), которая удовлетворяет уравнению, т.е. обращает равенство с переменными ax+by+c=0 в верное числовое равенство. На первом месте всегда пишут x, на втором y.

      Пример:

    1. (2;3) – решение уравнения 5x+3y-19=0. В самом деле, – верное числовое неравенство.

    2. (1;2) не является решением уравнения 2x-3y+1=0.

    В самом деле,                                         – неверное числовое равенство (получается что -3=0). 

      Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида ax+by+c=0, где a, b, c – некоторые числа, а x, y – неизвестные переменные.

 
 
 
 

Метод  подстановки 

Алгоритм  решения системы двух уравнений  с двумя переменными методом  подстановки

• Выразить у через х из первого уравнения системы.
• Подставить полученное на первом шаге выражение вместо у во второе уравнение системы.
• Решить полученное на втором шаге уравнение относительно х.
• Подставить найденное на третьем шаге значение х в выражение у через х, полученное на первом шаге.
• Записать ответ в виде пары значений (х;у), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шагах.

 
 
 
 

Пример  решения системы  уравнений методом  подстановки 

Из первого уравнения  системы получаем: у=3х-5.

Подставим найденное  выражение вместо у во второе  уравнение системы: 2х+(3х-5)-7=0

Решим полученное  уравнение: 2х+3х-5-7=0; 5х-12=0; 5х=12; х=      .

Подставим найденное  значение х в формулу у=3х-5:

У=3        - 5=      -5= 

Пара х=      , у=      - единственное  решение заданной системы. 

Ответ: (     ;      )

 
 
 
 

Метод  алгебраического  сложения 
 
 
 

     На предыдущем слайде мы рассмотрели решение системы методом подстановки. Но исключить у из рассмотрения можно было бы значительно проще – достаточно сложить оба уравнения системы (сложить уравнения – это значит по отдельности составить сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять).

 
 
 
 

Пример  решения систем  линейных уравнений  методом сложения 

Решить систему  уравнений: 
 

Вычтем второе уравнение  из первого: 
 

                                 2х+3у-5х-3у=-6;

                                 -3х=-6;

                                 х=2.

Подставим найденное  значение х=2в первое уравнение  данной системы, т.е. в уравнение 2х+3у=1:

2   2 + 3у  = 1;

3у=1-4;

3у=-3;

У=-1, пара х=2, у=-1 –  решение заданной системы.

Ответ: (2;-1)

 
 
 
 

Графический  способ(алгоритм) 

• Выразить у  через х в каждом уравнении.
• Построить в одной системе координат график каждого уравнения.
• Определить координаты точки пересечения.
• Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у).

 
 
 
 

Пример  решения системы  графическим способом  

1 

0 

1 

2 

10 

x 

4 

6 

10 

-2 

y 

у - х=3,

у+х=9; 

у=х+3,

у=9-х; 

Построим график

первого уравнения 

х 

у 

0 

3 

-3 

0 

у=х+3 

Построим график

второго уравнения 

у=9 - х 

х 

у 

0 

9 

9 

0 

У=9-х 

У=х+3 

Графики функций  пересекаются в точке с координатой (3;6)

Ответ: (3;6).

 
 
 
 

Метод  Крамера 

Системой однородных  линейных уравнений называется  система вида  
 
 
 

Ясно, что в этой  случае                       , т.к. все элементы одного из  столбцов в этих определителях  равны нулю.

Так как неизвестные  находятся по формулам                              , то в случае, когда Δ ≠ 0, система  имеет единственное нулевое решение  x = y = z = 0. Однако, во многих задачах интересен вопрос о том, имеет ли однородная система решения отличные от нулевого.

Теорема. Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.

Итак, если определитель  Δ ≠ 0, то система имеет единственное  решение. Если же Δ ≠ 0, то система  линейных однородных уравнений  имеет бесконечное множество  решений.

 
 
 
 

Примеры  решения методом  Крамера 

1. 
 
 
 
 
 
 
 

2. 

, а значит x=y=z=0.

 
 
 
 

Составим матрицу  из коэффициентов при неизвестных: 

Заменим столбец  коэффициента х на столбец  свободных  

Аналогично для  у: 

Ответ: 

Решить систему:

 
 
 
 

     Если определитель составленный из коэффициентов равен нулю, тогда система решений не имеет, или имеет бесконечное множество решений!  

Используя определитель  можно составлять уравнение и  находить его решение: 

Или преобразовывать  выражения:

 
 
 
 

Рассмотрим решение  системы с параметром: 

Решение: 

Система имеет единственное  решение, если             , т. е 

, 

,   

Если             ,                      -  система имеет бесконечное  множество решений. 

Если                 ,                  - система не имеет решений.

 
 
 
 

Габриель  Крамер (1704-1752) 

Габриель  Крамер родился 31 июля 1704 в семье 

франкоязычного  врача. С раннего  возраста 

показал  большие способности  в области математики.

Был  учеником и другом  Иоганна Бернулли. Издатель 

трудов  Иоганна и Якова  Бернулли, переписки 

Г. Лейбница с И. Бернулли. Учился и работал  в Женеве.

Основные  труды по высшей  алгебре и аналитической 

геометрии. Установил и опубликовал (1750г.) правила решения

  систем n линейных уравнений с n неизвестными с буквенными

  коэффициентами (правило Крамера), заложил основы теории

определителей, но при этом  еще не пользовался  удобным

  обозначением определителей. Показал, что результант двух

  многочленов образуется с помощью симметрических функций.

Во "Введении  в анализ алгебраических  кривых" (1750г.) существенно  развил   идеи

  современников по аналитической геометрии; исследовал особые точки, ветви, кривизну

алгебраических  кривых высших  порядков. В 1742г. Крамер  обобщил на случай  трех неподвижных

  точек поставленную еще Паппом задачу о вписании в круг треугольника, стороны которого проходят

  через три точки, лежащие на одной прямой. В геометрии известен парадокс Крамера.

Член  Лондонского королевского  общества (1749г.) 
 
 

 
 
 
 

Карл  Гаусс (1777-1855) 

Карл Гаусс родился 30 апреля 1777г.  Едва трех лет  от роду 

он уже умел считать  и выполнять элементарные вычисления.

Однажды, при расчетах  своего отца, который был водопроводным 

мастером, его трехлетний  сын заметил ошибку в вычислениях.

Расчет был проверен, и число, указанное мальчиком  было верно.

В 1784г. Карл пошел  в школу. В 1792г.-1795гг. Гаусс был  учеником 

новой гимназии- Коллегии  Карла. Это была школа избранных. Он 

был принят туда  благодаря своим успехам в  учебе. За время учебы

 Гаусс изучил работы Ньютона, "Алгебру" и "Анализ" Эйлера, работы

 Лагранжа. Первый эффектный успех пришел к Гауссу, когда ему

не было еще девятнадцати - доказательство того, что можно 

построить правильный 17 - угольник циркулем и линейкой. В 1795г.

 Гаусс поступил в Геттингенский университет, чтобы изучать

математику.

16 июня 1799г. Гаусс  получил степень доктора философии. 

Выдающийся немецкий  математик. Его труды глубоко

повлияли на развитие  математической мысли, которая была  неизменной многие столетия.

  Карл Гаусс работал в области высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной

 геометрии, а так же астрономии. Гаусс скончался 23 февраля 1855г.

 
 
 
 

Метод  Гаусса 

     Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений включает в себя две составляющие: прямой и обратный ходы .На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, и с помощью несложных математических преобразований она приводится к виду, когда диагональ, состоящая из единичек отсекает нули:  
 
 
 

    На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.  
Метод Гаусса идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений.

 
 
 
 

Спасибо  за просмотр!!! 

Буду  рада участвовать  в следующем фестивале!