16. как определяется магистраль, почему она так называется,каковы свойства развития экономики на магистрали;

     Модель  развития экономики: магистральная теория

     В качестве практического примера  применения достаточных условий  оптимальности рассмотрим однопродуктовую экономическую систему, характеризующуюся в каждый момент времени (время непрерывно) набором переменных

     

где - интенсивность выпуска валового продукта в рассматриваемый период;

       - интенсивность конечного продукта, идущего на непроизводственное  потребление;

       - величина непроизводственного  потребления;

       - капитал (объем основных  производственных фондов – ОПФ);

       - трудовые ресурсы (живая  сила);

       - инвестиции.

     В свою очередь, конечный продукт распределяется на валовые инвестиции и непроизвнодственное потребление:

     

     Валовые инвестиции расходуются на прирост капитала и восстановление ОПФ за счет амортизационных отчислений:

     

      где - коэффициент амортизации.

     Тогда

     

      или

                                                           

                                 (4.9)

      где  - доля непроизводственного потребления:

                                                                                                                     (4.10)

     Будем считать, что размеры валового продукта определяются заданной производственной функцией, характеризующей возможности  производства в зависимости от величины капитала , трудовых ресурсов и времени :

                                                      

                                     (4.11)

     Предполагается, что производственная функция  непрерывна и дважды дифференцируема.

     Решением  будем искать при условии

                                                              

                                            (4.12)

      где - заданный уровень ОПФ.

     Пусть заданы ОПФ в начальный и конечный моменты времени:

                                                    

                                 (4.13)

     Допустимое  множество  в рассматриваемой задаче описывается условиями (4.9)-(4.13). допустимый процесс представлен совокупностью функций

     

      удовлетворяющей этим условиям. Здесь  - состояние экономической системы, - управление. Очевидно, что такой процесс не единственный.

     Задача  управления данной системой состоит в том, чтобы найти такой процесс  который обеспечивал бы наибольшее среднедушевое потребление на исследуемом интервале времени с учетом дисконтирования (приведенного к начальному моменту) потребления:

                                      

                                         (4.14)

      где - коэффициент дисконтирования.

     Сделаем замену переменных, приведя их к  удельным показателям на душу населения. Это позволяет сопоставлять однородные показатели больших и малых экономических систем. Введем в дифференциальное уравнение (4.9) относительные переменные:

• - капиталовооруженность;
• - среднедушевое потребление;
• - производительность труда.

     Так как  , , то уравнение (4.9) примет вид

      

.

     Согласно  правилу дифференцирования произведения получим 

      

.

     Будем считать, что прирост трудовых ресурсов осуществляется с постоянным темпом (на не слишком продолжительном отрезке времени это реально):

      

.

     Тогда

      

.

     Окончательно  дифференциальное уравнение связи  в относительных переменных с  учетом формулы (4.9) примет вид

                         .                                 (4.15)

     Ограничение на управлении остается тем же (4.10):

      

,

      а ограничение на производительность труда  примет вид

                                                            

                                             (4.16)

           

     Ограничения на капитал (ОПФ) заменим ограничениями  на капиталовооруженность:

                                                              

                                             (4.17)

     Вытекающие  из краевых условий (4.13) начальное  и конечное значение капиталовооруженности  имеет вид:

                                                      

                                          (4.18)

     Преобразование  функционала (4.14) к относительным  переменным дает

                                                                                       (4.19)

     В задаче (4.10), (4.15) - (4.19) требуется определить процесс  обращающий в минимум функционал (4.19) на множестве (4.10), (4.15) – (4.18).

     Таким образом, в редуцированной задаче состоянием системы является капиталовооруженность (в уравнении процесса (4.15) входит под знаком производной и сама по себе), а управлением – доля потребления (в уравнение процесса (4.15) входит только сама по себе). Производительность труда определяется по формуле (4.16).

     Уравнение процесса (4.15) – дифференциальное уравнение  роста капиталовооруженности.

     Построенная задача – линейная по управлению с ограничением на управление (4.10). Поэтому после преобразований получаем функцию , не зависящую от :

      

     Введем  обозначение  . Тогда, учитывая, что , можно записать

     

          .

     Проанализируем  поведение функции  по . Эта функция является суммой двух слагаемых: производственной функции с точностью до постоянного положительного множителя и линейного выражения. График и его составляющие при фиксированном значении показаны на рис.4.2 
 
 
 

       
 
 
 
 
 
 
 

     Рисунок 4.2 Функция 

и ее составляющие.

     Функция строго вогнута по : при . График в окрестности нуля близок к , так как при , а на бесконечности близок к , так как при . Поэтому функция имеет единственный максимум по , который достигается в точке .

     Необходимым условием максимума по является . Учитывая, что , имеем

     

.

     Так как  и , то

                                          

.                                 (4.20)

     График  функции  представлен на рис.4.3. Назовем эту функцию магистралью данной динамической модели экономики. Ниже будет предложено образное пояснение этого названия. 
 
 

       
 
 
 
 
 
 

     Рисунок 4.3 Функция магистрали

     Управление, отвечающее магистрали, определяется подстановкой функции  в дифференциальное уравнение развития системы (4.15):

                               .                                            (4.21)

     Из  формулы (4.20) найдем

     

.

     Тогда

     

.

     Так как 

     

,

      то  получим оптимальное управление

      

      в предположении, что .

     Нетрудно  показать, что для специально подобранных  краевых условий, когда они лежат  на магистрали

                                                 и ,                                 (4.22)

      Последняя является оптимальным режимом развития экономики

                                                             .                                    (4.23)

• Действительно, пусть выполняется условие (4.23), тогда процесс оптимален.

     С другой стороны, процесс  является допустимым, поскольку выполняются следующие условия:

• найдено подстановкой в уравнение процесса;
• ;
• граничные условия подобраны специальным образом.

     Отметим, что условие реализуемости  в данной задаче выполняется. Это можно проверить. Для функции Кобба-Дугласа экономической магистралью является кривая постоянного роста капиталовооруженности, пропорционального темпу роста НТП , а оптимальное управление, реализующее эту магистраль, - постоянная величина. Итак, для специально подобранных краевых условий (4.22) магистраль представляет оптимальный режим развития экономики

                                         

.                                     (4.24)

     В других же случаях магистрали в структуре  решения отводится более существенная роль.

     В действительности очень редко краевые  условия принадлежат магистрали. Рассмотрим общий случай.

     Пусть вместо выражения (4.22) имеем

                                           и                                         (4.25)

     Для решения этой задачи применяется прием, отвечающий оптимизации процессов, линейных относительно управления, с ограничениями на управление. В результате найдем

                                               

                                      (4.26)

     В реальных экономических задачах минимальный уровень потребления строго положителен: . В соответствии с формулой (4.26) построим границы , допустимой области .  Функции являются решениями дифференциального уравнения процесса.

                                                                               (4.27)

      при соответствующих краевых условиях (если , то берется ; если , то используется ) и ограничениях на управление ( если , то берется нижний предел ; если , то ).

     Рассмотрим  пример, когда , то есть магистраль проходит так, как показано на рис.4.4. Тогда оптимальная траектория будет состоять из трех участков с моментами переключения и , где является точкой пересечения границы с магистралью , а - точкой пересечения магистрали с границей . 
 
 

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рисунок 4.4 Графическая интерпретация решения задачи магистрального типа. 

     Как видим, вначале временного интервала  почти все вкладывается в накопление (потребление в этот период на минимальном уровне ). Начиная с развитие идет по магистрали вплоть до момента , с которого опять почти все вкладывается в экономику (потребление вновь находится на нижнем уровне ). При решении дифференциального уравнения (4.27) следует учитывать наличие в его правой части нелинейности , где , поэтому уравнение (4.27) оказывается нелинейным. линеаризация проводится путем замены переменных , где . В результате указанной замены приходим к линейному относительно неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка. Проводим необходимые вычисления, и определяем произвольные постоянные интегрирования, отвечающие краевым условиям (4.25). В результате получаются аналитические выражения для магистрали, ограничивающих функцию , точек переключения и , то есть все необходимое для построения графика (см. рис.4.4). 

        Постановка задачи. Основные этапы

      решения задач методом  Лагранжа

      Рассмотрим  частный случай общей задачи нелинейного  программирования, предполагая, что система ограничений содержит только уравнения, отсутствуют условия неотрицательности переменных и и - функции, непрерывные вместе со своими частными производными

                                  

;                                           (5.1)

                                   

                                         (5.2)

      В курсе математического анализа  задачу (5.1) - (5.2) называют задачей на условный экстремум или классической задачей оптимизации.

      Чтобы найти решение этой задачи, вводят набор переменных называемых множителями Лагранжа, составляют функцию Лагранжа

                                                    (5.3)

      находят частные производные  и и рассматривают систему уравнений 

                                                            (5.4)

      с  неизвестными . Всякое решение системы уравнений (5.4) определяет точку , в которой может иметь место экстремум функции . Следовательно, решив систему уравнений (5.4), получают все точки, в которых функция (5.1) может иметь экстремальные значения. Дальнейшее исследование найденных точек проводят так же, как и в случае безусловного экстремума.

      Таким образом, определение экстремальных  точек задачи (5.1) -(5.2) методом множителей Лагранжа включает следующие этапы:

      1. Составляют функцию Лагранжа.

      2. Находят частные производные от функции Лагранжа по переменным и и приравнивают их нулю.

      3. Решая систему уравнений (5.4) находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум. 

      4. Среди точек, подозрительных на экстремум, находят такие, в которых достигается экстремум, и вычисляют значения функции (5.1) в этих точках.

17. как представляется качественное развитие экономики при переключении режимов с ограничения на магистраль и обратно;

18. в чем, по Вашему мнению, заключаются трудности использования на практике моделей магистрального типа;
19. условия применимости теоремы принципа максимума. роль основной и сопряженной системы в уравнениях принципа максимума

Принцип максимума Понтрягина

     Принцип максимума Понтрягина применяется к общей задаче управления, имеющей вид:

                                     

                                       (3.4)

     

     Таблица 3.1 Пояснения для формуля принципа максимума Понтрягина

     Функции f_i (у, и, t), F(y^T, T)- - непрерывны и дифференцируемы по каждому аргументу. Если определено уравнение u(t), то однозначно при заданном начальном условии определена траектория системы y(f). Траекторию системы, соответствующую оптимальному управлению u*(t), назовем оптимальной и обозначим y*(f).

     Как известно, задача нелинейного программирования сводится к поиску седловой точки функции Лагранжа. Роль переменных выполняют управляющие переменные и, ограничениями служат дифференциальные уравнения для фазовых переменных

                                                                                                                          (3.5)

      а роль функции цели выполняет функционал

                                                                                                (3.6)

     Построим  функцию Лагранжа для этой задачи:

                                     (3.7)

      где - вектор-строка множителей Лагранжа, которые в этой ситуации называются сопряженными переменными (по отношению к фазовым).

     Подынтегральная функция в последнем интеграле  выражения (3.7) - это матричная форма  записи скалярного произведения

     вектора-строки на вектор-столбец:

     

     Седловая  точка (точнее, траектория) u*(t), *(t) определяется как решение неравенства

                                                               (3.8)

     Если  u*(t),, *(t) - седловая точка,  то  u*(t)  —  оптимальное управление, т. е. решение задачи (3.4).

     В самом деле, правое неравенство (3.8)

                                                                                 (3.9)

      тем самым на оптимальной траектории выполнены уравнения системы

      

      (если  бы в некоторых точках уравнения  системы не выполнялись, то  подбором функций  (t) можно было бы сделать неравенство (3.9) строго большим нуля, т. е. придем к противоречию). Рассмотрим левое неравенство (3.8), из него следует:

     

      поэтому для всех управлений u(t), для которых выполняются уравнения системы (3.5),

      

      т. е. действительно u*(t) - оптимальное решение (управление) задачи (3.4). При этом максимальное значение критериального функционала задачи (3.4) равно значению функции Лагранжа в седловой точке.

      Необходимые условия оптимальности (принцип максимума)

     Итак, если u*(t), *(t) — седловая точка, то u*(t) — оптимальное решение задачи (3.4). Поэтому необходимые условия существования седловой точки являются одновременно и необходимыми условиями максимума задачи (3.4).

     Если  сопряженные переменные получили бесконечно малые приращения ∆ , то согласно выражению (3.7) функция Лагранжа получила бесконечно малое приращение:

     

     Поскольку u*(t), *(t) - седловая точка.В этой точке функционал L(u*, ) достигает минимума по , поэтому для любого бесконечно малого приращения ∆ в окрестности этой точки ∆L = 0, и тем самым

     

      т. е. для управления u*(t) и соответствующей ему фазовой траектории y*(t) выполняются уравнения системы.

     Остальные необходимые условия оптимальности  следуют из левого неравенства для седловой точки.

     Прежде  всего, путем интегрирования по частям функция Лагранжа преобразуется к виду

     

     Первые  два слагаемых под знаком интеграла  называются функцией Гамильтона:

                                     

                         (3.10)

      поэтому функция Лагранжа преобразуется  к виду

                

      (3.11)

     Если  управление u(t) получило приращение ∆u(t), то фазовая траектория изменилась с y(t) на y(t) + ∆y(t), а функция Лагранжа получила приращение:

                                   (3.12)                

      где:

      

,     .

     Поскольку для существования максимума  необходимо ∆L = 0 при любых ∆u, то, приравняв нулю (3.12), получаем необходимые условия максимума:

                                                                                            (3.13)

                                                                                     (3.14)

                                                                                                   (3.15)

     Условия (3.13) - это условия существования  локального максимума функции Гамильтона без учета ограничений на управляющие  параметры. Если такие ограничения есть, то условия (3.13) заменяются следующими:

                                        для                                (3.16)