Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Прогнозирование в регрессионных моделях

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТРАНСПОРТА»

Факультет безотрывного обучения

Кафедра «Экономика транспорта»

Реферат

по дисциплине «Эргонометрика»

На тему: Прогнозирование в регрессионных моделях

Проверил

к. экономических наук,

доцент

Липатова О.В.

Выполнил

магистрант ЗмГЭ-21

Крицкая А.М.

Гомель 2013

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время статистические методы прогнозирования заняли огромное место в экономической практике. Широкому внедрению методов анализа и прогнозирования данных способствовало появление персональных компьютеров. Распространение статистических программных пакетов позволило сделать доступными и наглядными многие методы обработки данных.

Все шире используются статистические методы прогнозирования в деятельности плановых, аналитических, маркетинговых отделов производственных предприятий и объединений, торговых, страховых компаний, банков, правительственных учреждений.

Теперь уже не требуется проводить вручную трудоемкие расчеты, строить таблицы и графики - всю эту черновую работу выполняет компьютер. Человеку же остается исследовательская, творческая работа: постановка задачи, выбор методов прогнозирования, оценка качества полученных моделей, интерпретация результатов. Для этого необходимо иметь определенную подготовку в области статистических методов обработки данных и прогнозирования.

В данном реферате в систематизированном виде изложены статистические методы анализа, классифицированные по учету прогнозного фона , а именно условные, безусловные прогнозы и прогнозирование при наличии авторегрессионных ошибок.

Для написания реферата были использованы работы таких авторов как Ю.Пугачев М.И., Ляпунцов Ю.П.,П.Лукашин Ю. П. ,.Айвазян С.А., Мхитарян B.C. ,Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. И др.

1.ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОГНОЗ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОГНОЗОВ

В современных условиях управляющие решения должны приниматься лишь на основе тщательного анализа имеющейся информации. Например, банк или совет директоров корпорации примет решение о вложении денег в какой-то проект лишь после тщательных расчетов, связанных с прогнозами состояния рынка, с определением рентабельности вложений и с оценками возможных рисков. В противном случае могут опередить конкуренты, умеющие лучше оценивать и прогнозировать перспективы развития.

Для решения подобных задач, связанных с анализом данных при наличии случайных воздействий, предназначен мощный аппарат прикладной статистики, составной частью которого являются статистические методы прогнозирования. Эти методы позволяют выявлять закономерности на фоне случайностей, делать обоснованные прогнозы и оценивать вероятность их выполнения.

Под прогнозом понимается научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем, а также альтернативных путей и сроков достижения этого состояния. Процесс разработки прогнозов называется прогнозированием (от греч. prognosis- предвидение, предсказание).

Прогнозирование соотносится с более широким понятием - предвидения.

Различают 3 формы предвидения: гипотезу, прогноз, план.
Гипотеза характеризует научное предвидение на уровне общей теории, т.е. исходную базу построения гипотезы составляют теория и открытые на ее основе закономерности и причинно-следственные связи функционирования и развития исследуемых объектов. На уровне гипотезы дается качественная характеристика объектов.

Прогноз имеет значительно большую определенность, т.к. основан не только на качественных, но и на количественных параметрах. Прогноз выражает предвидение на уровне конкретно-прикладной теории. Прогноз отличается от гипотезы меньшей степенью неопределенности и большей достоверностью. Прогноз носит вероятностный характер.

План представляет собой постановку точно определенной цели и предвидение конкретных событий исследуемого объекта. В нем фиксируются пути и средства развития в соответствии с поставленными задачами, обосновываются принятые управленческие решения. Отличительная черта плана – определенность. План основывается на результатах и достижениях конкретно прикладной теории.

В зависимости от объектов прогнозирования принято разделять прогнозы на научно-технические, экономические, социальные, военнополитические и т.д. Однако такая классификация носит условный характер, т.к. между этими прогнозами, как правило, существует множество прямых и обратных связей.

Классификация экономических прогнозов.

В зависимости от масштабности объекта прогнозирования экономические прогнозы могут охватывать все уровни: от микроуровня (рассматривающего прогнозы развития отдельных предприятий, производств и т.д.) до макроуровня (анализирующего экономическое развитие в масштабе страны) или - до глобального уровня (где существующие закономерности рассматриваются в мировом масштабе).

Важной характеристикой является время упреждения прогноза -отрезок времени от момента, для которого имеются последние статистические данные об изучаемом объекте, до момента, к которому относится прогноз.
По времени упреждения экономические прогнозы делятся на:
оперативные (с периодом упреждения до одного месяца),краткосрочные (период упреждения- от одного, нескольких месяцев до года),среднесрочные (период упреждения более 1 года, но не превышает 5 лет),долгосрочные (с периодом упреждения более 5 лет).(рисунок 1.1)

Рисунок 1.1-Классификация прогнозов

Оперативные прогнозы основаны на предположении о том, что в прогнозируемом периоде не произойдет существенных изменений в исследуемом объекте. В них преобладают детально количественные оценки ожидаемых событий.(3,с.64)

Краткосрочные прогнозы предполагают только количественные изменения. Среднесрочные и долгосрочные прогнозы исходят как из количественных, так из качественных изменений в объекте. В среднесрочных прогнозах оценка событий дается количественно-качественная, а в долгосрочных - качественно-количественная.Дальнесрочные прогнозы исходят только из качественных изменений. Форма оценки прогнозируемых событий - качественная.Деление прогноза в зависимости от характера исследуемых объектов связано с различными аспектами воспроизводственного процесса.

В практике социально-экономического прогнозирования существует множество подходов к классификации прогнозов. В зависимости от целей исследования объединение прогнозов в группы может производиться по одному из критериев.

Рассмотрим пример подготовки организацией решения о выпуске новой продукции. В первую очередь руководство организации будут интересовать ответы на такие вопросы: какими качественными характеристиками должен обладать наш товар, чтобы привлечь внимание покупателей; каким может быть наиболее вероятный спрос на наш товар при определенных качественных параметрах и цене? Ответить на эти вопросы — задача поискового прогнозирования. Определив наиболее вероятные альтернативные варианты качественных характеристик и спроса, руководство предприятия должно выяснить, каких затрат потребует реализация каждой альтернативы. Ответы на эти вопросы дает нормативный прогноз.

По учету прогнозного фона различают условные и безусловные прогнозы. В первые десятилетия специалисты в области экономического прогнозирования пытались давать точную, однозначную количественную характеристику объекта прогнозирования, например, объемы производства и продаж на определенную дату, точную величину цены на конкретный товар и т.п. Задача эта, сложно разрешимая в прош- 2* 19 лом, с повышением нестабильности, изменчивости экономической среды в настоящее время становится нереальной. Осознание этого обстоятельства привело к распространению условных прогнозов.

Безусловным называют прогноз, в котором будущее состояние объекта прогнозируют без учета возможных будущих состояний прогнозного фона. Полученный таким образом прогноз основан либо на сложившейся в прошлом динамике объекта, либо на выявленных в прошлом взаимосвязях. Чем выше степень неопределенности и изменчивости прогнозного фона, тем менее достоверным становится прогноз.

Прогнозный фон — совокупность внешних по отношению к объекту прогнозирования условий, существенно влияющих на развитие объекта. Описание прогнозного фона может включать наиболее значимые для развития объекта прогнозирования характеристики макро- и микросреды.

Условный прогноз учитывает возможные состояния прогнозного фона и поэтому разрабатывается в нескольких вариантах. Состояние объекта прогнозирования ставится в зависимость от состояния прогнозного фона. Логика разработки такого прогноза следующая. Если в прогнозном периоде состояние прогнозного фона будет характеризоваться параметрами А (ах, а2, а3,...), то развитие объекта прогнозирования, вероятно, будет характеризоваться параметрами хА (хь х2, ...), если состояние прогнозного фона будет характеризовать другие параметры, то они будут задавать другие условия развития объекта прогнозирования и состояние объекта прогнозирования будет описываться системой параметров у у-ь г/3, ...).

С понятием условных прогнозов тесно связана современная интерпретация принципа вариантности прогнозирования. Она понимается как разработка прогнозов, учитывающих возможность возникновения нескольких качественно различных ситуаций, соответственно нескольких альтернативных вариантов развития объекта прогнозирования. Наряду с позитивными вариантами следует разрабатывать предупредительные профилактические прогнозы, так называемые прогнозы катастроф. Их цель — предусмотреть, какие условия могут привести объект прогнозирования (предприятие, организацию, город, регион, страну) к катастрофе и какие меры позволят предупредить ее. К профилактическим прогнозам могут быть отнесены прогнозы банкротства предприятий, прогноз экологической катастрофы, прогноз полного исчерпания необходимых предприятию ресурсов и др.

По размерности характеристик объекта прогнозирования различают одномерные и многомерные прогнозы. Одномерные дают описание перспектив развития объекта одной характеристикой, например, прогноз курса акций или валют, цены товара или объема продаж кон- кретного товара; многомерные прогнозы описывают перспективы развития объекта прогнозирования несколькими характеристиками. К многомерным можно отнести прогнозы рынка труда, здоровья нации, конъюнктуры рынка, финансового состояния предприятия. Каждый из них может содержать несколько показателей. Выбор между многомерными и одномерными прогнозами осуществляется с учетом сложности объекта прогнозирования и его целей, так как они задают степень детализации прогнозных расчетов.

По точности прогнозных характеристик принято выделять точечные прогнозы и интервальные. В точечном прогнозе содержится одно количественное значение искомой характеристики. Следует иметь в виду, что этот прогноз практически никогда не совпадает с результатом. Относительно количественных точечных прогнозов должно быть задано вероятностное определение соответствия прогнозов действительным величинам. Например, можно принять требование, что вероятность превышения действительных данных равна вероятности их занижения по прогнозу. В этом случае у нас получится точечный прогноз типа медианы. Интервальные прогнозы выражают количественное значение искомого показателя в виде «вилки» возможных значений.

Следует отметить, что существует определенная взаимосвязь между различными классификационными группами. Так, существует определенная зависимость между глобальностью объекта прогнозирования и дальностью разрабатываемого прогноза. Чем крупнее объект, тем более инертен он в своем развитии, тем медленнее накапливаются и проявляются в нем изменения, но тем серьезнее они по возможным последствиям. Поэтому необходимо заблаговременно предвидеть вероятные тенденции его динамики. Управление локальными объектами часто сталкивается с проблемой оперативного получения информации о ближайших перспективах (изменение спроса и цен на фондовом, товарном и валютном рынках, перспективы достижения намеченных ориентиров в предпринимательской деятельности и т.п.). Подобная логика лежит в основе взаимозависимости между глобальностью объектов прогнозирования и точностью прогнозных характеристик, между точностью прогнозных характеристик и дальностью прогнозирования.

1.1 Проблемы прогнозирования. Моделирование

Анализ регрессионной модели в экономике происходит по двум основным направлениям.

Изучение экономических закономерностей с целью улучшить понимание того, как работает экономика. Здесь особое внимание уделяется оцениванию различных показателей и проверке гипотез с последующей содержательной их экономической интерпретацией.
Прогнозирование тенденций развития экономических процессов. В таких случаях регрессионная модель выступает лишь как средство достижения более практической цели – предвидеть, что может случиться.

Регрессионные модели являются наиболее употребительными на практике среди различных моделей прогнозирования. Они позволяют расширить термин “прогнозирование”. Дело в том, что ряды наблюдений не обязательно имеют временную структуру, а задача оценки значения исследуемого показателя для некоторого набора значений объясняющих переменных, которых нет в выборке, вполне может быть реальной. Именно в этом смысле и следует понимать прогнозирование в эконометрике.

Проблема прогнозирования имеет много различных аспектов. Экстраполяция выявленных тенденций (продление на прогнозируемый период) позволяет получить точечный прогноз. Однако вероятность точного попадания в эту точку практически равна нулю. Отсюда следует необходимость вычисления оценок в виде “вилки” через интервальный прогноз, в котором истинное значение переменной находится с заданным уровнем надежности (доверия). Различают также безусловное прогнозирование (его иногда называют предсказанием) и условное прогнозирование (или просто прогноз) в зависимости от того известны ли значения объясняющих переменных в прогнозируемый период точно или приближенно. Прогнозы менее точны, чем предсказания, поскольку они подвержены воздействию дополнительного источника ошибки – предсказания значений объясняющих переменных. Эту дополнительную ошибку необходимо минимизировать, моделируя поведение объясняющих переменных.

При эконометрическом прогнозировании на основании данных временных рядов следует учитывать особенности фактора времени, которые заключаются в следующем:

последовательные по времени уровни временных рядов, как правило, являются взаимозависимыми, что приводит к авто-корреляции, и тем самым не будет выполняться третье условие Гаусса-Маркова;
поскольку объясняющие переменные зависят от времени, то они будут коррелировать и между собой. Следовательно, в модели будет присутствовать мультиколлинеарность;
в зависимости от момента времени наблюдения обладают разной информативностью: по мере удаления от текущего момента времени информационная ценность наблюдений уменьшается. При прогнозировании возможно следует придать больший вес последним наблюдениям;
с увеличением длины временного ряда точность статистических характеристик не обязательно будет повышаться, а при появлении новых закономерностей развития она может даже снижаться;
текущее значение исследуемого показателя может зависеть не только от текущих значений объясняющих переменных, а и от предыдущих значений объясняющих и даже объясняемой переменных. Как следствие, при анализе временных рядов возникает необходимость в построении лаговых структур.

Таким образом, учет фактора времени в регрессионном анализе и прогнозировании по данным временных рядов является непременным условием, а его игнорирование может привести к неправильным оценкам и принятию ошибочных решений.(1,с.44)

2.БЕЗУСЛОВНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ И УСЛОВНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

Безусловным называют прогноз, в котором будущее состояние объекта прогнозируют без учета возможных будущих состояний прогнозного фона. Полученный таким образом прогноз основан либо на сложившейся в прошлом динамике объекта, либо на выявленных в прошлом взаимосвязях. Чем выше степень неопределенности и изменчивости прогнозного фона, тем менее достоверным становится прогноз.

Таким образом, термин безусловное прогнозирование означает, что вектор независимых переменных n+i известен точно.

Предположим, что мы знаем значения параметров /3 и сг2. Тогда естественно в качестве оценки yn = у величины уп+1 взять E(yn+i) = х'п+1(3) Среднеквадратичная ошибка такого прогноза есть E(yn+i — у)2 = Е(е2+1) = сг2. Если дополнительно предположить, что en+i имеет нормальное распределение.

Предположим теперь, что параметры /3 и сг2 неизвестны, что, как правило, и бывает на практике. Обозначим /3 и s2 их МНК- оценки на основании модели (1.1): /3 = (X'X)~lХ'у, s2 = е'е/{y-n} Возьмем в качестве оценки yn\ величину

Нетрудно проверить, что поскольку Е/3 = /3, то Еу = Ey„+i, т. е. оценка у является несмещенной. Оказывается, в классе линейных (по у) несмещенных оценок она обладает наименьшей среднеквадратичной ошибкой.

Теорема. Пусть у = dy — оценка величины yn+i где с = (сі,..., Сп)' — некоторый вектор, и пусть оценка у несмещенная,

Еу = Ey„+i = yn+i. (1.4)

Тогда,

E(y-y’i)2^E(y-yn+1)2. Доказательство. Так как в силу (1.4)

Еу = dXj3 = х'n+1(3 при любом f3), то

dX=x'n+1. (1.5)

Далее,

Е(у - yn+і)2 = Е(у - у + у – y’+i)2 = Е(у - у)2

+ Е(у - yn+1)2 + 2Е((у - у)(у – y’+i)). (1.6)

Покажем, что

Е((у — у)(у — Уn+і)) = 0- (7-7)

Имеем

Е((у - у)(У ' yn+i)) = E(dyx'n+l0) - E(x'n+l0x'n+lp)

— E(c'y(x'n+1/3 + en+i))

+ E (^n+l3(^n+l/^ + n+l ))

Первое слагаемое:

E(dyx'n+if3) = E{dyj3xn+1)

= E {dyy'X(X'X)-lxn+l) = dE(yy')X(X'X)~lxn+\ = d(o2I + X/30X')X{X'X)-lxn+1 = o2c'X{X'X)-'lxn+1+ dX/3/3'X'X(X'X)-1xn+1 (в силу (1.2)

o2x'n+ x(Х'Х)-1 »n+1 + x'n+l(3(3'xn+i)).

Второе слагаемое:

= х'n+1{а2(Х'Х)~1+/3/3')хn+, = а2х'n+1(Х'Х)~1хn+1 + х'n+6 хn

Третье слагаемое:

E{c'y(x'n+l/3+ еn+1)) = JE(y)0xn+i

= c'Xp(3'xn+i (в силу (1.5)) = х'п+1/3=n+1.

Четвертое слагаемое:

E(^n+l3(^n+l/3 + Єn+l)) = х'n+yn'хn+х. (Мы постоянно пользуемся тем, что для векторов хну одинаковой размерности х'у = у'х.)

Таким образом, выполнено (1.7), и теорема доказана.

Нетрудно проверить, что среднеквадратичная ошибка прогноза есть

Zу~ J/n+i)2 = *2(1 + x^^X'XJ-^n+x). (1.8) Заменим а2 на ее оценку s2 и обозначим

8 = y/s2(l + x'n+1(X'X)->xn+l).

Используя те же аргументы, что и в п. 1.5, получаем, что если ошибки (e,en+i) имеют совместное нормальное распределение, то случайная величина {y—yn+i)/$ имеет распределение Стьюдента с п—к степенями свободы. Поэтому доверительным интервалом для Уп+1 с уровнем доверия 1-а будет интервал (у — <5*а/2> У + ^а/2), где ta/2 есть 100(а/2) процентная точка распределения Стьюдента с n — к степенями свободы.

Можно показать, что в случае парной регрессии, т.е. когда система (1.1) имеет вид:

yt = P i+foxt + ?t, t=l,...,n,

формула (1.8) выглядит так:

где х = і Из (1.9) следует, что среднеквадратичная ошибка прогноза минимальна при xn+i =х, и чем дальше хn+і от х, тем шире соответствующий доверительный интервал.(3,с.95)

Условное прогнозирование учитывает возможные состояния прогнозного фона и поэтому разрабатывается в нескольких вариантах. Состояние объекта прогнозирования ставится в зависимость от состояния прогнозного фона. В предыдущих рассуждениях предполагалось, что независимая переменная xn+i известна точно. Однако на практике встречаются ситуации, когда в xn+i содержатся ошибки.

Так, при прогнозировании временных рядов часто приходится прогнозировать значения независимых переменных, что неизбежно приводит к отклонениям от истинных значений. Поэтому рассмотрим теперь заг дачу условного прогнозирования. Пусть выполнены соотношения (1.1) и (1.2), но вектор xn+i наблюдается с ошибкой

« = xn+i + и, (1.10)

где и — xn 1 случайный вектор, не зависящий от (е, en+i)» Eit = О, V(it) = о2 J. Прогноз (1.3) заменяется теперь на

y = z% (1.11)

Пусть е = у — уп+і — ошибка прогнозирования.

Тогда Ее = Е(z'3) - x'n+1/3 = E((xn+i + и)'Р) - х'п+ф = Е(х^+13) + Е(и% - х'п+10 = 0,

так как и и z’3 независимы и Би = 0. Иными словами, оценка (1.11) является несмещенной. Можно проверить (мы оставляем это читателю в виде упражнения), что

Ее2 = a2(l+x;+1(X,X)-1xn+1+tT2tr((X,X)-1))+a2/3,/3. (1.12)

Таким образом, при наличии ошибок в независимой переменной к ошибке прогнозирования (1.8) добавляются два новых положительных слагаемых, пропорциональных дисперсии а.(4,с.56)

В случае условного прогнозирования нельзя так же просто, как при безусловном прогнозировании, построить доверительный интервал для уп+ь Это связано с тем, что при нормально распределенных ошибках (e,en+i,tt) оценка у есть скалярное произведение двух независимых нормальных векторов. Поэтому доверительный интервал нельзя найти аналитически, однако существуют численные процедуры, позволяющие строить его приближенно.

3.ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ АВТОРЕГРЕССИИ ОШИБОК

Авторегрессия (аutoregression) – это статистический метод определения потенциальной потери капитала или его дохода. В данном способе для предположения последующих значений используются предыдущие значения временных рядов.

Прогнозы, сделанные по методам авторегрессии, считаются одними из наиболее точных статистических прогнозов, именно поэтому они нашли широкое распространение, включая рынок Форекс. Это объясняется тем, что моделями авторегрессии великолепно описывается большое количество самых разных экономических показателей. Прогнозирование с использованием модели авторегрессии опирается на предыдущие значения продаж. Слово авторегрессия означает зависимость последующего значения продажи от предыдущих продаж.

Метод авторегрессии работает четко, однако трейдер должен учитывать некоторые тонкости. Одна из них указывает на то, что любая модель прогнозирования обладает высокими шансами на точный прогноз лишь в случае совпадения распределения исходного ряда с распределением прогнозного ряда. На таком принципе строятся самые эффективные подходы к осуществлению идентификации модели. Однако на практике распределение исходного ряда значительно отличается от распределения ВР.(3,с.112)

По большому счету формулу автокорреляционной функции, которая применяется в авторегрессивных моделях, использовать нельзя – она применима исключительно к стационарным рядам (см. рис. 1). Кроме этого, ее крайне сложно получить, а математическое ожидание, которое используется при расчете АКФ найти попросту невозможно. Существует огромное количество различных хитростей и тонкостей, когда суперпозицию аналитических функций называют «моделью локального процесса» - на ее основании получают достаточно сомнительную оценку автокорреляционной функции.

(3.1)

где сигма - это случайная величина, Х - вектор имеющихся отсчётов первых разностей прогнозируемого ВР, а Y(i)- коэффициенты авторегрессии, на вид которых имеются ограничения. Для вычисления коэффициентов авторегрессии необходимо решить систему линейных удобрений энного порядка, состоящую из значений автокорреляционной функции для ряда первых разностей. После нахождения разности Х(i+1) не сложно составить прогноз для исходного ВР, а именно: Y(i+1)=Y(i)+X(i+1).

Прогнозирование процессов авторегрессии

Рассмотримпроцесс порядка (p,d,0)

Эвентуальная прогнозирующая функция в этом случае есть решение уравнения . Она применима ко всем упреждениям и проходит через последние известных значений ряда. Например, модель ряда цен акций IBM (ряда ) очень близка к

так что

Лучший прогноз на будущее оказывается очень близким к текущему значению цены. Весовая функция для сосредоточена в точке , и не происходит никакого осреднения по прошлому.

Стационарные модели авторегрессии. Процесс порядка , где — стационарный оператор и с , будет в общем случае иметь прогнозирующую функцию, являющуюся совокупностью экспонент и затухающих синусоид.

В частности, при = 1 модель порядка (1, 0, 0)

имеет прогнозирующую функцию, которая при любых является решением уравнения , Отсюда

Кроме того, , так что

Следовательно, прогноз с минимальной среднеквадратичной ошибкой предсказывает, что текущее отклонение от среднего должно экспоненциально спадать до нуля. На рис. 3.1, а показан временной ряд, генерируемый процессом , с его прогнозирующей функцией для момента . Поведение этой функции целиком определяется только отклонением . Аналогично минимальная среднеквадратичная ошибка прогноза для процесса авторегрессии второго порядка такова, что текущее отклонение от среднего убывает до нуля как затухающая

синусоида или сумма двух экспонент. На рис. 3.1 показан временной ряд, генерируемый процессом , и его прогноз для момента . Поведение прогнозирующей функции для момента целиком определяется последними двумя отклонениями и .

Рис. 3.1-. Прогнозирующие функции процессов авторегрессии первого и второго порядка:

а — выборка из процесса авторегрессии первого порядка и прогнозирующая функция для момента = 14. б — выборка из процесса авгорегрессии второго порядка и прогнозирующая функция на момент =14. 1 — ход прогноза, определяемый только по текущему отклонению, 2 — ход прогноза, определяемый по текущему и предпоследнему отклонениям.

Функция дисперсии для прогноза процесса (1,0,0). Чтобы полнее проиллюстрировать использование , выведем функцию дисперсии для процесса авторегрессии первого порядка. Так как модель в момент может быть представлена в виде

то из (5.4.15) следует, что

Отсюда

(5.4.16)

Мы видим, что для этого стационарного процесса при стремлении к бесконечности дисперсия растет до постоянного значения , равного среднеквадратичному отклонению процесса относительно окончательного прогноза . Это поведение существенно иное, чем у нестационарных моделей, у которых функция дисперсии прогноза при больших упреждениях неограниченно растет.(9, с.500)

Прогнозирование в регрессионных моделях 📙 Реферат → 🆔 223002