Процентные вычисления и расчёты

 

 

 

 

 

 « Процентные вычисления

и расчёты»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Выбранная мною тема очень  актуальна. Ведь почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерии, ни в финансовом деле, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть счёт в сбербанке, наши родители интересуются размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся  процентом инфляции. Именно в торговле понятие «процент» используется наиболее часто: мы очень часто можем слышать о скидках, наценках, уценках, прибыли, кредитах, и т.д. – всё это проценты. Умение выполнять процентные расчеты необходимо каждому человеку.

Цель данной работы: показать широту применения процентов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• проанализировать литературу по теме «Проценты»;
• повторить известный мне материал из школьного курса математики;
• узнать историю возникновения процентов;
• рассмотреть ключевые шаблонные вопросы, к которым сводятся все задачи на проценты.

 

Используемые  методы:

• научный (изучение литературы);
• исследовательский.

 

             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Немного истории

 

Проценты – это одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Часто можно прочитать или услышать,  например, что «в выборах приняли участие  75,8% избирателей», или «рейтинг победителя хит-парада равен 92%», или «промышленное производство сократилось на 9,3%», или «банк начисляет 3% годовых», или «молоко содержит 2,8% жира», или « эта ткань на 50% состоит из хлопка».

Ясно, что без умения понимать такого рода информацию в  современном обществе просто трудно было бы существовать.

Слово «процент» происходит от латинского procentum , что буквально означает «на сотню». Возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV веке. Однако уже в «Дигестах Юстиниана» (первая дошедшая до нас кодификация римского права), датируемых V веком, можно найти вполне современное употребление процентов. В Европе десятичные дроби появились на тысячу лет позже, их ввёл бельгийский учёный Симон Стевин. Он же в 1854 году впервые опубликовал таблицу процентов.

Символ  % появился не сразу. Сначала писали слово «сто» так:

               В 1685г. в Париже была напечатана  книга «Руководство по коммерческой  арифметике», где по ошибке  вместо      было набрано %. После этого знак % получил всеобщее признание и до сих пор мы пользуемся этим значком процента.

 

«Фиск (императорская  казна) не уплачивает проценты по заключённым  им договорам, но сам получает проценты: например, от съёмщиков публичных уборных, если эти съемщики слишком поздно вносят деньги; также при просрочке уплаты налогов. Когда же фиск является преемником частного лица, то обычно он уплачивает проценты.

Если должники, платившие  проценты в размере, меньшем чем 6% в год, стали должниками  фиска, то они обязаны уплачивать 6% годовых  с того времени, как требование против них перешло к фиску». По-видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством как предтеча десятичной системы счисления.

Употребление термина  «процент» в качестве нормы русского языка начинается, вероятно, с конца XVIII века. Об этом свидетельствует сравнительный анализ текстов двух фундаментальных учебников по математике Ефима Войтяховского (первое издание 1795 г.) и Т.Ф.Осиповского (первое издание 1802 г.). В обоих учебниках имеется по нескольку задач «на проценты по вкладу», но Е.Войтяховский оперирует исключительно сотыми долями, тогда как Т.Ф.Осиповский уже употребляет термин «процент».

Привычка к употреблению процентов в сфере денежных отношений благоприятствовала быстрому их внедрению в развивающиеся технологии XIX века. Так, в словаре Брокгауза и Ефрона читаем следующее: «По предварительным данным переписи 1897 г., население Петербурга оказалось возросшим за 6 лет на 178 тысяч, из которых 150 тыс. приходится на прилив извне; из всего прироста 85% падает на крестьян, составляющих теперь до 59% всего петербургского населения».

Как видно из этого  отрывка, уже на рубеже XIX и XX веков русскоязычное контекстное понимание процентов максимально лаконизируется. В одном предложении фигурируют две различные стопроцентные базы. В последующем это становится нормой деловой речи и литературы.

Со временем люди научились  извлекать из вещества его компоненты, составляющие тысячные доли от массы  самого вещества. Тогда  чтобы не вводить нули и запятую, ввели новую величину: «промилле» – тысячную часть () числа, которую обозначали значком, похожим на значок процентов – %₀, и вместо 0,6% стали писать 6%₀. Промилле можно часто встретить на страницах книг по медицине и фармакологии.

В операциях с ценными  металлами используется другое название кванта – проба. Так, золото750-й пробы –  это сплав с 75-процентным содержанием золота.

2. Для чего же нужны проценты?

 

Много ли соли в морской  воде? Этот вопрос можно понимать по-разному. Например, сколько весит вся соль, растворённая в морях и океанах? А можно и так: сколько соли содержится в ведре морской воды?

Ответить на первый вопрос очень просто. Достаточно знать ответ  на второй вопрос и ещё узнать, сколько  же вёдер воды содержится во всех морях  и океанах.

Жители приморских городов  и  посёлков могут попробовать  ответить на второй вопрос. Для этого достаточно набрать ведро морской воды, поставить его на огонь и греть, пока вся вода не выкипит, а затем взвесить оставшуюся на дне соль

Вот только можно ли утверждать, что у соседа получится столько же? Видимо нет. Его ведро может оказаться больше или меньше, или просто он поленился и налил не так полно, и в результате будет выпариваться другое количество воды, а поэтому получится другое количество соли.

Похоже, что наша мера солености морской воды оказалась неудачной. Возьмем другую меру – количество граммов соли на килограмм раствора.

Пусть масса раствора  составляет 8,4 кг, а масса соли после  выпаривания  оказалась равной 21 грамму. Тогда получается ответ:  грамма соли содержится в одном  килограмме раствора.

Если этот опыт повторить, то получится почти точно такая  же величина.

Но почему мы считаем  число граммов соли в килограмме раствора, а не число центнеров в тонне или не число английских фунтов в русском пуде? Давайте-ка будем считать число граммов в грамме! Тогда тот же ответ получится, если считать число тонн соли в тонне раствора или число пудов соли в пуде раствора.

Итак, поскольку в килограмме содержится 1000 граммов, то и ответ  получится в тысячу раз меньше: в одном грамме раствора содержится грамма соли.

Итак, подходящая мера получена. Но запись.… Попробуйте быстро сообразить, какое число больше: или ? Сразу и не скажешь, нужно считать.

Куда легче сравнить десятичные дроби! Например, дробь 0,01097 меньше, чем 0,01101, потому что число  единиц, десятых и сотых у них  одинаково, а число тысячных у  второй дроби больше. Удобно? Конечно.

Стойте, скажет нетерпеливый человек, зачем столько премудрости ради какой-то морской воды! Взять, да и попробовать на вкус – солёная она или не очень. Хорошо, ответим мы, а нужно ли точно знать содержание металла в руде, жира в молоке, химических веществ в лекарствах?… Вот то-то! А ведь задача та же самая.

С помощью карандаша и бумаги мы можем делить хоть до миллиардных  долей, но точны ли сами числа –  делимое и делитель?

Если весы в магазине показывают 520 граммов, то на самом деле предмет  может весить и 512 и 584 грамма. А двести-триста лет назад точность весов была еще меньше. Поэтому верным можно было считать лишь одну-две первые цифры, потому величину содержания одного вещества в другом имело смысл рассматривать с точностью до двух первых цифр: 0,27; 0,54; 0,37 и т.д.

 

 

3. Понятие  процента

 

Для того, чтобы уметь решать задачи на проценты необходимо, конечно, знать определение процента, но и некоторые действия с процентами, такие как: перевод % в дробь, и наоборот – дроби в %. Вот такие определения можно встретить в учебнике «Математика – 5» авторов Виленкина Н. Я., Жохова В. И., Чеснокова А. С., Шварцбурда С. И.

Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо её умножить на 100.

Например:       0,971 = 0, 971 × 100% = 97,1%

Для обратного перехода выполняется обратное действие. Таким  образом, чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

Например: 39% = 39 : 100 = 0,39.

Проценты употребляются  для сравнения однородных положительных количеств, и только для этого.

Один процент –  это, по определению, одна сотая: 1% = . Соответственно,                       р% =

Один процент от количества А –  это, по определению, одна сотая часть количества А: 1%   от А   равен ×А. Соответственно, р%  от А  равен × А, где р –  безразмерное число. Отметим, что предлог «от» часто опускается.

Вместо «В составляет р процентов от А» говорят еще: «Процент В от А есть р». То есть слово «процент» может означать любое количество процентов, но словосочетание «один процент» всегда означает именно одну сотую, так же как словосочетание «двадцать один процент» всегда означает именно двадцать одну сотую и т.д.

 

Три вида задач  на проценты:

 

• Нахождение процентов от данного числа.
• Нахождение числа по процентам.
• Нахождение процентного отношения двух чисел.

Это можно представить  в виде алгоритма решений основных типов задач на проценты:

1. Чтобы найти процентное отношение чисел а и b, надо отношение этих чисел умножить на 100%: .
2. Чтобы найти, а% от числа b, надо b умножить на 0,01а: х = b∙ 0,01а.
3. Если, а% число х равна b, то .

Основные задачи, которые  мы решаем на уроках математики, как  раз связаны с этими алгоритмами.                                                                                           

  4. Ключевые задачи на проценты

 

Понимание процентов  и умение проводить процентные расчеты  в настоящее время необходимо каждому человеку.

Само определение  процента позволяет легко решить  простейшую задачу на проценты: найти заданное число процентов от заданной величины.

От дохода в 350 тысяч рублей:

а) 1% составляет 350 000 : 100 = 3500 р.;

б) 12% составляют 3500∙12=42000р. 
Другими словами, для нахождения заданного числа р процентов от заданной величины S можно сделать два шага:

1. Найти сначала один процент — он равен .
2. Полученный результат умножить на р, получится .

                                

 

Проценты  при расчете зарплаты

1. Подоходный налог в городе N установлен в размере 13%. До вычета подоходного налога 1% от заработной платы отчисляется в пенсионный фонд. Работнику начислено 50 000 р. Сколько он получит после указанных вычетов?

Решение:

За 100% приняты 50 000 р., начисленные работнику.

1) 50000/100=500 (руб.) – составляет 1%, который отчисляется в пенсионный фонд

2) 50000-500=49500 (руб.) – после  отчисления в пенсионный фонд

3) За 100% - 49 500 руб.

49500/100=495 (руб.) – составляет 1%

4) 495*13=6435 (руб.) - подоходный  налог

5) 49500-6435=43065(руб.)- работник получит после указанных вычетов

Ответ: 43065 руб. работник получит после указанных вычетов

 

2. Какой будет заработная плата после повышением ее на 65%, если до повышения она составляла 10000 р.?

Решение:

1) 10000/100=100 (руб.) - составляет 1%

2) 100*65=6500- повышение в рублях

3) 10000+6500=16500-зарплата после  повышения

ОТВЕТ: 16500 рублей.

 

3. Человек обычно получает за работу «чистыми», т.е. после вычета налога в 13%, но ему интересно узнать, сколько же «по-настоящему» стоит сделанная им работа, если он получил 10877,3 р.

Решение:

1. 100-13=87 (%) – получает человек, после вычета налога
2. 10877,3/87≈125,026 (руб.) - составляет 1%
3. 125,02643*100≈12502,6 (руб.)

Ответ: 12502,6 руб. «по-настоящему» стоит сделанная работа

 

Проценты  и прибыль

4. Три   человека  организовали   собственное предприятие и договорились, что первый из них будет получать третью часть прибыли, двое других по 20%, а остальные деньги они будут вкладывать в развитие своего предприятия. Сколько процентов от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия?

Решение:

Вся прибыль  – 100%

1) 100/3=33,3% третья часть прибыли, получает первый предприниматель в процентах.

2) 20+20+33=73 (%) - от прибыли  получают все предприниматели

3) 100-73=27% - от прибыли  они будут вкладывать в развитие  предприятия 

Ответ: 27%  от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия

                                                 Проценты в магазине

5. В течение недели магазин получил 60 000 р. дохода. Из них 15 000 р. от продажи продовольственных товаров. Сколько процентов составил доход от продажи непродовольственных товаров?

Решение:

За 100% принят доход – 60 000 рублей.

1) 60000:100=600(руб.) – составляет 1%

2) 60000-15000=45000 (руб.)- доход  от непродовольственных товаров

В) 45000:600=75%

ОТВЕТ: 75% составил доход от продажи непродовольственных товаров?

 

 

Проценты  в окружающем нас мире:

 

   Распродажи

Задача  Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15% , а в декабре — еще на 10% . Какой стала стоимость зонта в декабре?

Решение. Стоимость  зонта  в ноябре  составляла 85% от 360 р., то есть 360 • 0,85 - 306 (р.). Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90% от 306 р., то есть 306-0,9 = 275,4 (р.).

Ответ: 275р. 40 к.

Решение. Найдем отношение последней цены к исходной и выразим его в процентах. Получим 76,5%. Значит, зонт подешевел на 23,5% .

 

Тарифы

Задача  В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит Зр. 15 к. вместо 2р. 75 к. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%>?

Решение. Разность тарифов составляет 0,4 р., а ее отношение к старому тарифу равно 0,14545. Выразив это отношение в процентах, получим примерно 14,5%.

Ответ: да, соответствует.

Дополнительный вопрос. Сколько будет стоить отправка заказного письма, если сейчас эта услуга оценивается в 5 р. 50 к.?

Ответ: 6 р. 30 к.

 Штрафы

Задача  Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в Сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15-го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

    Решение. Так как 4% от 250р. составляют Юр., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если родители просрочат оплату на один день, то им придется заплатить 250 + 10 = = 260 (р.), на неделю — 250 + 10 • 7 = 320 (р.).

Ответ: 320 р.

 

Банковские  операции

Задача.  За хранение денег Сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счет 5000 р. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год? через два года? через пять лет?

Решение. Способ I. Так как 8% от 5000 р. составляют 400р., то через один год на счете окажется 5000 + 400 = 5400 (р.). В конце второго года банк будет начислять проценты уже на новую сумму. Так как 8% от 5400 р. составляют 432 р., то через два года на счете окажется 5400 + 432 = 5832 (р.). Вычисляя последовательно, найдем, что через пять лет на счете вкладчика будет 7346 р. 64 к.

Способ II. Через год начальная сумма вклада увеличивается на 8%, значит, новая сумма составит от первоначальной 108%. Таким образом, через год

= 1,08    раза   и   составит 5000 • 1,08 (р.). Еще  через год образовавшаяся на  счете сумма снова увеличится в 1,08 раза. Таким образом, через два года на счете будет (5000 • 1,08) • 1,08 = 5000 -1,082 (р.).

Аналогично, через три  года 5000 • 1,083 (р.). и т.д. Теперь видно, что вклад растет в геометрической прогрессии, и через пять лет сумма на счете вкладчика составит 5000 • 1,085 (р.), то есть 7346,64 р.

 

Голосование

Задача. Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введении ученического совета участвовали 88% учащихся. На вопрос референдума 75% принявших участие в голосовании ответили «да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, кто ответил положительно?

Решение. Выразим проценты дробями и найдем число учащихся, утвердительно ответивших на вопрос референдума: 550 • 0,88 • 0,75 = 363 (чел.). Теперь найдем ответ на вопрос задачи: -     =0,66 — это 66% .

1.Простые проценты.

• Рассмотрим задачи, связанные с банковскими вкладами.                                      

Увеличение вклада S₀ по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада независимо от срока хранения и количества периодов начисления процентов. Пусть вкладчик открыл счет и положил на него S₀ рублей. Пусть банк обязуется выплачивать в конце каждого года р% от первоначальной суммы S_0. Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составит  руб., и величина вклада станет равной S₁=S₀ . Величину р % называют годовой процентной ставкой. Если оставить вклад еще на год, то начисление процентной ставки производится на первоначальный вклад S₀ и не производится на величину . То есть, через n лет сумма начисленных процентов составит                  П_n = руб., а величина вклада вместе с процентами составит S_n = S₀ .

Отношение   называют коэффициентом наращивания простых процентов.

Задача 1.Вкладчик    открыл  в  банке  счет  и положил на  него  S₀ = 150 000  рублей  сроком  на  4  года  под  простые  проценты  по  ставке  18%  в  год. Какой  будет  сумма  S₄, которую вкладчик  получит при закрытии  вклада? На  сколько рублей  вырастет  вклад  за  4  года? Чему  равен  коэффициент  наращивания?

Решение: В   нашем   случае   S₀  =  150 000,  p = 18,  n = 4.  По   формуле                  S_n = S₀ ^. ( 1 + n ^. p/ 1000)  рублей  имеем S₄ =150 000 ^. ( 1 + 18 ^. 4 / 100 ) =  = 258 000  рублей .      За  4  года  вклад  увеличился  на  108 000  рублей = 258 000  рублей  –  150 000   рублей.  Коэффициент   наращивания  по  формуле  S_n / S₀=1+n ^. p / 100  равен S₄/S₀= 1,72.  Он  показывает, что за  4  года  первоначальный  вклад S0  увеличился  в 1,72  раза.

  Задача 2. Какую  годовую  ставку  простых   процентов   выплачивает  банк,  если  вклад  12 000  рублей   через  3  года    достиг  величины  14 160  рублей? Определите  коэффициент  наращивания.

  Решение. По   условию,  S₀ = 12 000, S₃ = 14  160, n = 3. Из  соотношения S_n = S_o ^. ( 1 +n ^. p / 1 000 ) рублей  имеем p = (S₃ / S₀ – 1 ) ^. 1 000 /n.  Подставляем  в  полученное  выражение  заданные  значения, вычисляем  результат: p = 5,(9), т.е. p = 6% . Коэффициент  наращивания  равен  S₃ /S₀ = 1,18.

 

 

 

• Рассмотрим задачи, связанные с изменением цены.                               

 

Решение подавляющего большинства  задач этого вида опирается на применение следующих основных формул, в которых буквами S₀ и S обозначены первоначальная и новая (окончательная) цена некоторого товара соответственно.

Такой вид записи принято  называть стандартной формой. Она  имеет одно из преимуществ, что из неё сразу видно число процентов, на которое уменьшена или увеличена начальная сумма.

 

I. Если первоначальная  цена некоторого товара составляла S_о денежных единиц, то после ее повышения на  р%   она составит

                           S_о  + S_о ∙ р ∙ 0,01 = S_о (1 + р ∙ 0,01) (ден. ед.).

Аналогично, если первоначальная цена  S_о понизилась на р%, то она составит

S_о (1 - р ∙ 0,01) (ден. ед.).

Легко понять и запомнить эти формулы, если представить их в виде наглядных схем. Так, на рис. 1 повышение цены изображается стрелкой, идущей от S_о вверх, а понижение — стрелкой, направленной вниз от S_о .

 

          р%             S_о (1 + р ∙ 0,01)

 

S_о                    р%      S_о (1 - р∙ 0,01)

 

Рис.1

 

II. В результате повышения  первоначальной цены S_о на р% и последующего понижения на q% окончательная цена равна

                S_о (1 + p ∙ 0,01)(1 - q ∙0,01) (ден. ед.).

Аналогично, если первоначальная цена S_о сначала понизилась на p%, а потом повысилась на q%, то окончательная цена равна

                S_о (1 - p ∙ 0,01)(1 + q ∙ 0,01) (ден. ед.).

Изображают такую схему  в виде (рис. 2)

 

                S_о (1 + p ∙ 0,01)

      р%                                        q%                                         

                                                         S_о (1 + p ∙ 0,01)(1 - q ∙0,01)        

S_о                                                                                                        Рис.2

                                                         S_о (1 - p ∙ 0,01)(1 + q ∙0,01)

     р%                                           q%

               S_о (1 - p ∙ 0,01)

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3:  Цена на молоко сначала снизилась на 5%, а затем повысилась на 5%. Изменилась ли первоначальная цена, и если да, то на сколько процентов?

Решение: Пусть исходная цена S_о, а окончательную примем за S, причем сначала составим схему преобразований исходной цены S_о  (рис. 3) и, только потом перейдем к вычислениям.

S_о

                                                                S_о∙(1-5∙0,01) ∙(1+5∙0,01)

      5%

                                                       5%                                                   Рис.3

                       S_о∙(1-5∙0,01)

 

То есть: S= S_о∙(1-5∙0,01) ∙(1+5∙0,01) = S_о∙(1-25∙0,0001)= S_о∙(1-0,25∙0,01)

Полученная стандартная  форма записи показывает, что первоначальная цена понизилась на 0,25%.

Ответ: первоначальная цена понизилась на 0,25%.

 

Получив ответ на вопрос задачи, можно рассмотреть и такой вариант, изменится ли результат, если в задаче цена сначала повысится на 5%, а затем понизится на 5%. Вывод такой, что  результат изменения первоначальной цены не зависит от порядка произведенных преобразований и в этом случае первоначальная цена понизится на 0,25%.

 

 

Задача 4. (из данных сберегательного банка России) Вкладчик положил некоторую сумму на вклад «Молодежный» в сбербанк России. Через два года вклад достиг 2809 рублей. Каков был первоначальный вклад при 6% годовых?

Решение: Пусть х рублей первоначальный вклад.

 

                                                                S_о∙(1+6∙0,01) ∙(1+6∙0,01)

                                                6%                                                                    

 

                               S_о∙(1+6∙0,01)

             6%

 

S_о

х∙(1+0,06)²=2809

1,06²х=2809

1,1236х=2809

х=2500

Ответ: первоначальный вклад составлял 2500 рублей.

 

 

 

                                                                            

                                                                                                              

 

Задача 5. (из рекламы) Сотовый телефон в «Евросети» стоил 3150 руб. После двух последовательных снижений цены он стал стоить 1512руб. Сколько стоил сотовый телефон  после первого снижения, если второе снижение было на 20 процентных единиц больше, чем первое?

Решение: Пусть х процент первого снижения, тогда процент второго снижения - (х+20). Составим схему операций с первоначальной ценой товара.

 

 

 

 

 

По условию окончательная цена телефона составляет 1512 руб., что служит основанием для составления уравнения:

3150 · (1 -х · 0,01) · (1 - (х + 20) · 0,01) = 1512.

Разделив обе части  уравнения на  3150, получим (1 - 0,01х)(0,8 - 0,01х) = 0,48.

Вынесем из каждой скобки число  0,01:

0,01(100 - х) · 0,01(80 -х) = 0,48.

поделим обе части  уравнения на 0,0001:

(100 -х)(80 -х) = 4800.

Итак, пришли к квадратному  уравнению с целыми коэффициентами                                 х²-180x+3200 = 0, корни которого вычисляются

то есть .

Итак,  х₁, = 20,  х₂ = 160.

Второй корень не подходит по смыслу задачи (иначе продавец раздавал бы товар, приплачивая еще 60% его стоимости).

Найдем значение выражения 3150∙(1-20∙0,01)= 2520 (рублей).

Ответ: цена сотового телефона после первого снижения станет равной 2520рублей.

 

Задачи  для решения,  содержащие прагматическую ориентацию

 

Их формулировки имеют практическое применение, представляют конкретные интересы.

 

 

1. В классе присутствует 60% всех учащихся. Сколько процентов учащихся отсутствует?

 

2. Выразите в процентах 1/4 всех жителей города.

 

3. Найдите 16% от 20000 рублей.

 

4. Сколько будет, если 20000 руб. увеличить на 16%?

 

5. Сколько процентов составляют 400 руб. от 200 руб.?

 

6. 20% некоторой суммы составляют 100 рублей. Какая это сумма?

 

7. Квартирная плата повысилась на 20%. За прошлый месяц заплачено 120рублей. Сколько надо заплатить за текущий месяц?