Расчетно-графическое задание по курсу "Эконометрики"

Министерство образования  Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

Финансово экономический факультет

Кафедра финансы и кредит

 

 

 

 

Расчетно-графическое  задание

по курсу Эконометрики

 

 

 

ГОУ ОГУ 080105.65.7012.08 О

 

 

 

 

 

Руководитель   

_______________ Лебедева Т.В.

"___”_______________2012 г.

Исполнитель

студент  гр. 10ФК02  

____________ Елисеева Е.В.

         "___"_______________2012 г.

 

 

Оренбург 2012

Исходные данные (вариант 3):

Имеются данные о деятельности 25 компаний

№ п/п							Пол руководителя компании
1	45,9	34	68	12,5	43,3	2,3	муж
2	46,7	16,1	49,3	18,8	42,9	3,9	жен
3	45,7	7,2	66,6	7	41,3	1,7	муж
4	46,7	12,7	17,3	14,6	40,9	2,6	муж
5	47,6	22,7	78,5	30,7	39,7	3,1	муж
6	46,3	17,7	20,9	28	28,9	0,6	жен
7	49,1	139,8	356,4	100,6	39,4	5,1	муж
8	46,6	20,6	72,4	24,8	39,2	2,6	муж
9	51,9	168,1	218,2	216,1	38,7	4,5	муж
10	45,4	4,7	5	1,2	37,7	1,9	жен
11	46,3	9,5	28,8	7,8	37,7	3	жен
12	46,9	29,8	68	12,4	37,4	3,6	жен
13	46,9	16,1	47,5	17,9	28,6	3,7	муж
14	46,4	12,5	45,4	61,5	35,5	2,5	жен
15	45,4	22,2	43,9	30,5	35,1	3,1	жен
16	45,8	9,5	11,5	9,7	34,5	0,3	жен
17	46,8	29,7	46,8	41,2	32,9	2,2	муж
18	45,9	15,1	24,8	27,8	32,2	3,5	жен
19	46,1	20,4	54	40,6	27,8	4,1	жен
20	46,9	15,4	42,8	17,2	31,7	4,3	муж
21	44,1	24,1	5,8	38	31,6	2,9	муж
22	46,3	16,2	31	20,5	31,6	3,5	муж
23	47	16,1	41,4	19	31,5	4	муж
24	45,6	6,9	6,8	6,7	30,3	2,6	жен
25	45,7	18,2	20,9	23,4	29,6	4	жен

 

где  y – чистый доход, млрд. долл.

 x₁ – оборот капитала, млрд. долл.

 x₂ – использованный капитал, млрд. долл.

 x₃ – численность служащих, тыс. чел.

 x₄ – рыночная капитализация компаний, млрд. долл.

 x₅ – заработная плата служащих, тыс. долл.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание:

1. Расчет параметров линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов по данным о деятельности крупнейших компаний США в 2007 г.

2. Сравнительная оценка силы связи факторов с результатом с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.

3. Оценка с помощью F-критерия Фишера - Снедекора значимости уравнения линейной регрессии и показателя тесноты связи.

4. Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии с помощью t- критерия Стьюдента.

5. Оценка качества уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

6. Расчет матрицы парных коэффициентов корреляции и отбор информативных факторов в модели. Коллинеарные факторы.

7. Построение модели в естественной форме только с информативными факторами и оценка ее параметров.

8. Построение модели в стандартизованном масштабе и интерпретация ее параметров.

9. Расчет прогнозного значения результата, если прогнозное значение факторов составляют 80% от их максимальных значений.

10. Расчет ошибки и доверительного интервала прогноза для уровня значимости .

11.  Экономический вывод полученным результатам.

12. Оценка линейной регрессии при включении в модель фиктивной переменной:

13. Проверка данных на наличие структурного сдвига при помощи теста Чоу.

14. Проведение графического анализа остатков. Проверка остатков на гетероскедастичность с помощью: графического анализа, теста Голдфелда-Квандта, теста ранговой корреляции Спирмена и теста Уайта (White test).

15. При обнаружении гетероскедастичности остатков, применим для исходных данных ОМНК, предполагая, что .

16. Проверим остатки на наличие автокорреляции первого порядка, используя метод рядов, критерий Дарбина – Уотсона и Q- статистику Льюинга – Бокса. Если гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка не будет отвергнута, то применить ОМНК для оценивания параметров уравнения регрессии.

17. Проверка наличия нелинейной связи между результативным признаком и незначимыми факторами по данным полученным ранее, расчет параметров уравнений: степенной, показательной и гиперболической регрессий.

По уравнениям провести оценку: тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации; силы связи фактора с результатом с помощью среднего коэффициента эластичности; качества уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации и результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия статистической надежности.

18. По значениям рассчитанных характеристик выбрать лучшее уравнение регрессии.

 

 

Выполнение заданий:

 

1. Построим уравнение множественной линейной регрессии следующего вида:

.

Для этого проведем регрессионный  анализ данных факторов с помощью  табличного редактора МС Excel.

Для построения модели можно  воспользоваться инструментом анализа  данных Регрессия.

Результаты регрессионного анализа представлены на рисунке  1.

Рисунок 1 – Результат  применения инструмента Регрессия для факторов

Составим уравнение множественной  регрессии:

.

Коэффициенты регрессии  показывают среднее изменение результативного  признака с изменением на 1 единицу  своего измерения данного фактора  при условии постоянства всех остальных.

Таким образом, коэффициент  регрессии:

– при x₁ показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 млрд. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,0038 млрд. долл., при фиксированном значении остальных факторов;

– при x₂ показывает, что с увеличением используемого капитала на 1 млрд. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,0035 млрд. долл., при фиксированном значении остальных факторов;

– при x₃ показывает, что с увеличением численности служащих на 1 тыс.чел. чистый доход увеличится в среднем на 0,018 млрд. долл., при фиксированном значении остальных факторов;

– при x₄ показывает, что с увеличением рыночной капитализации компании на 1 млрд. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,038 млрд. долл., при фиксированном значении остальных факторов;

– при x₅ показывает, что с увеличением заработной платы служащих на 1 тыс. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,15 млрд. долл., при фиксированном значении остальных факторов.

Параметр  экономического смысла не имеет.

 

2. Средние коэффициенты  эластичности  показывают, на сколько процентов от значения своей средней изменяется результат при изменении фактора на 1 % от своей средней и при фиксированном воздействии на y всех прочих факторов, включенных в уравнение регрессии. Для линейной зависимости

,

где - коэффициент регрессии при в уравнении множественной регрессии.

Средние значения признаков  могут быть получены с помощью  инструмента анализа данных Описательная статистика.

Результаты вычисления соответствующих  показателей для каждого признака представлены на рисунке 2.

Рисунок 2 – Результат применения инструмента Описательная статистика

Здесь ,

,

,

,

.

По значениям средних  коэффициентов эластичности можно  сделать вывод о более сильном  влиянии на результат y признаков факторов и , чем признаков факторов , и .

Таким образом:

– средний коэффициент эластичности , показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,0023 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными;

– средний коэффициент эластичности , показывает, что с увеличением используемого капитала на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,0044 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными;

– средний коэффициент эластичности , показывает, что с увеличением численности служащих на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,0128 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными;

– средний коэффициент эластичности , показывает, что с увеличением рыночной капитализации компании на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,0287 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными;

– средний коэффициент эластичности , показывает, что с увеличением заработной платы служащих на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,0097 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными.

 

3. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает F-критерий Фишера:

.

Для проверки значимости уравнения  выдвигаем две гипотезы:

Н₀: уравнение регрессии статистически не значимо;

Н₁: уравнение регрессии статистически значимо.

По данным таблиц дисперсионного анализа, представленным на рисунке 1.1, =12,41. Вероятность случайно получить такое значение F-критерия составляет 0,0000, что не превышает допустимый уровень значимости 5 %; об этом свидетельствует величина P – значение из этой же таблицы. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

 

4. Выдвигаем две гипотезы:

Н₀: коэффициенты регрессии статистически не значим, т.е. равны 0;

Н₁: коэффициенты регрессии статистически значимы, т.е. отличны от нуля.

Значения случайных ошибок параметров с учетом округления равны (рисунок 1.1):

Они показывают, какое значение данной характеристики сформировались под влиянием случайных факторов. Эти значения используются для расчета t-критерия Стьюдента (рисунок 1.1):

.

Если бы значения t-критерия были бы больше 2,09, можно было бы сделать вывод о существенности параметра, который формируется под воздействием неслучайных причин. Здесь же все параметры являются статистически не значимыми.

На это же указывает  показатель вероятности случайных  значений параметров регрессии, делам вывод о неслучайной природе данного значения параметра, т.е. о том, что он статистически значим и надежен.

 

5. Рассчитаем среднюю  ошибку аппроксимации по формуле  средней арифметической простой:

Таблица 1 – Данные для  расчета средней ошибки аппроксимации

 

№ п/п
1	2	3	4
1	45,90	46,44	0,012
2	46,70	46,64	0,001
3	45,70	46,07	0,008
4	46,70	46,17	0,011
5	47,60	46,74	0,018
6	46,30	45,70	0,013
7	49,10	49,70	0,012
8	46,60	46,52	0,002
9	51,90	51,31	0,011
10	45,40	45,63	0,005
11	46,30	46,02	0,006
12	46,90	46,39	0,011
13	46,90	46,05	0,018
14	46,40	46,90	0,011
15	45,40	46,44	0,023
16	45,80	45,48	0,007
17	46,80	46,46	0,007
18	45,90	46,25	0,008
19	46,10	46,53	0,009
20	46,90	46,22	0,014
21	44,10	46,30	0,050
22	46,30	46,12	0,004
23	47,00	46,20	0,017
24	45,60	45,57	0,001
25	45,70	46,15	0,010
Итого:	1164,00	1164,00	0,290

Таким образом, фактические  значения результативного признака отличаются от теоретических значений на 1,16 %. Следовательно, построенная модель является удовлетворительной.

 

6. Значения линейных коэффициентов парной корреляции определяют тесноту попарно связанных переменных, использованных в данном уравнении множественной регрессии.

Парные коэффициенты корреляции рассчитываются по формулам:

;           .

Матрицу парных коэффициентов  корреляции переменных можно рассчитать, используя инструмент анализа данных Корреляция.

Результаты вычислений – матрица коэффициентов парной корреляции – представлены на рисунке 3.

 

Рисунок 3 – Матрица коэффициентов парной корреляции

Из матрицы можно заметить, что факторы  и , и мультиколлинеарны, т.к. коэффициенты корреляции превышают 0,75. Таким образом, можно сказать, что они дублируют друг друга.

При отборе факторов в модель предпочтение отдается фактору, который  при достаточно тесной связи с  результатом имеет наименьшую тесноту  связи с другими факторами. В  нашем примере получаем, информативными факторами являются: и . Построим новое уравнение множественной регрессии с информативными факторами.

 

7. Построим уравнение  множественной линейной регрессии  следующего вида:

.

Параметры вычисляем аналогично пункту 1 (рисунок 4).

 

Рисунок 4 – Результат применения инструмента Регрессия

Получаем уравнение следующего вида: .

Уравнение в целом, а также  его параметры являются статистически  значимыми.

 

8. Уравнение в стандартизованном  масштабе имеет вид:  .

Расчет β – коэффициентов  выполним по формулам

;             .

Парные коэффициенты корреляции берутся из матрицы (рисунок 1.6):

Получим уравнение  .

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько  сигм изменится в среднем результативный признак, если соответствующий фактор изменится на 1 сигму при неизменном среднем уровне других факторов.

В нашем случае:

– для  при увеличении использования капитала на 1 сигму чистый доход увеличится на 0,34 сигм, при условии, что численность служащих остаются на прежнем уровне;

– для при увеличении использования капитала на 1 сигму чистый доход увеличится на 0,59 сигм, при условии, что численность служащих остаются на прежнем уровне.

 

9. Рассчитаем ожидаемое  прогнозное значение чистого  дохода как точечный прогноз  путем подстановки в уравнение  регрессии прогнозные значения  факторов:

1. найдем максимальное значение для фактора (рисунок 1.2):
2. найдем максимальное значение для фактора (рисунок 1.2):
3. найдем прогнозные значения факторов:

для фактора  :

для фактора  :

4. подставим прогнозные значения факторов в уравнение

В результате получим:

Таким образом, при прогнозных значениях использованного капитала 285,12 млдр. долл. и численности служащих 172,88 тыс. чел. чистый доход крупнейших компаний США составит 50,72 млрд. долл.

 

10. Доверительный интервал  прогноза имеет следующий вид:

где - средняя ошибка прогнозируемого значения ;

- вектор-столбец прогнозных  значений факторов;

- стандартная ошибка  .

Рассчитаем доверительный  интервал прогноза по следующим этапам:

1. составим вектор-столбец
2. найдем транспонируемый вектор-столбец
3. из рисунка 1.2 ; из рисунка 1.4 R² =0,75
4. найдем стандартную ошибку
5. составим матрицу X - 25 наблюдаемых значений независимых переменных и , размер которой 25 3 (добавлен единичный столбец для определения a₀)

 

Матрица X
1	68	12,5
1	49,3	18,8
1	66,6	7
1	17,3	14,6
1	78,5	30,7
1	20,9	28
1	356,4	100,6
1	72,4	24,8
1	218,2	216,1
1	5	1,2
1	28,8	7,8
1	68	12,4
1	47,5	17,9
1	45,4	61,5
1	43,9	30,5
1	11,5	9,7
1	46,8	41,2
1	24,8	27,8
1	54	40,6
1	42,8	17,2
1	5,8	38
1	31	20,5
1	41,4	19
1	6,8	6,7
1	20,9	23,4

 

Транспонированная матрица XТ
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
68	49	67	17	79	21	356	72	218	5	29	68	48	45	44	12	47	25	54	43	5,8	31	41	6,8	21
13	19	7	15	31	28	101	25	216	1,2	7,8	12	18	62	31	9,7	41	28	41	17	38	21	19	6,7	23

 

6. найдем произведение

 

 

7. найдем 

 

 

8. найдем выражение 
9. вычислим среднюю ошибку прогнозируемого значения

10. по таблицам распределения Стьюдента находим табличное значение при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 22.

11. составляем доверительный интервал:

Значит, с вероятностью 95 % можно сказать, что чистый доход будет колебаться от 49,575 до 51,865 млрд. долл. при использованном капитале в 285,12 млрд. долл. и численности служащих 172,88 тыс. чел.

 

11. Анализ коэффициентов уравнения множественной регрессии:

позволяет сделать вывод о степени  влияния каждого из двух факторов на показатель чистого дохода. Так, параметр b₂=0,0067 свидетельствует  о том, что с увеличением используемого капитала на 1 млрд. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,0067 млрд. долл. (прямая связь). Увеличением численности служащих на 1 тыс. чел. чистый доход увеличится в среднем на 0,019 млрд. долл. Отсюда можно сделать соответствующие практические выводы и осуществить мероприятия, направленные на повышение чистого дохода.

Однако на основе коэффициентов  регрессии нельзя сказать, какой  из факторных признаков оказывает  наибольшее влияние на результативный признак, так как коэффициенты регрессии  между собой несопоставимы, поскольку  они измерены разными единицами. На их основе нельзя также установить, в развитии каких факторных признаков  заложены наиболее крупные резервы  изменения результативного показателя, потому что в коэффициентах регрессии  не учтена вариация факторных признаков.

Чтобы иметь возможность судить о сравнительной силе влияния  отдельных факторов и о тех  резервах, которые в них заложены, должны быть вычислены частные коэффициенты эластичности , а также бета-коэффициенты .  

Частный коэффициент эластичности  показывает,  на  сколько  процентов  в среднем изменяется признак-результат Y с изменением признака-фактора Х на один процент от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели. В случае линейной зависимости Э рассчитываются по формуле:

Средний коэффициент эластичности , показывает, что с увеличением используемого капитала на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,0085 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными. Аналогично, средний коэффициент эластичности , показывает, что с увеличением численности служащих на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,0135 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными.

Для определения факторов,  в развитии которых заложены наиболее крупные резервы улучшения изучаемого показателя, необходимо учесть различия в степени варьирования вошедших в уравнение факторов. Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - β-коэффициенты (b) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения изменится признак-результат Y с изменением соответствующего фактора  на величину своего среднего квадратического отклонения (sх) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение). Покажем это с помощью β-коэффициентов, которые мы получили в расчетах (берутся из матрицы рисунок 1.6):

Откуда видно, что для  при увеличении использования капитала на 1 сигму чистый доход увеличится на 0,34 сигм, при условии, что численность служащих остаются на прежнем уровне. Аналогично для при увеличении использования капитала на 1 сигму чистый доход увеличится на 0,59 сигм, при условии, что численность служащих остаются на прежнем уровне.

Следует иметь ввиду, что по коэффициентам эластичности и β-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.

Кроме того, коэффициент a может интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния фактора (Х) на результат (Y). Во множественной регрессии    фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели).

 

12. В исходные данные включим фиктивную переменную (таблица 2):

№ п/п							Пол руководителя компании	D
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	45,9	34	68	12,5	43,3	2,3	муж	1
2	46,7	16,1	49,3	18,8	42,9	3,9	жен	0
3	45,7	7,2	66,6	7	41,3	1,7	муж	1
4	46,7	12,7	17,3	14,6	40,9	2,6	муж	1
5	47,6	22,7	78,5	30,7	39,7	3,1	муж	1
6	46,3	17,7	20,9	28	28,9	0,6	жен	0
7	49,1	139,8	356,4	100,6	39,4	5,1	муж	1
8	46,6	20,6	72,4	24,8	39,2	2,6	муж	1
9	51,9	168,1	218,2	216,1	38,7	4,5	муж	1
10	45,4	4,7	5	1,2	37,7	1,9	жен	0
11	46,3	9,5	28,8	7,8	37,7	3	жен	0
12	46,9	29,8	68	12,4	37,4	3,6	жен	0
13	46,9	16,1	47,5	17,9	28,6	3,7	муж	1
14	46,4	12,5	45,4	61,5	35,5	2,5	жен	0
15	45,4	22,2	43,9	30,5	35,1	3,1	жен	0
16	45,8	9,5	11,5	9,7	34,5	0,3	жен	0
17	46,8	29,7	46,8	41,2	32,9	2,2	муж	1
18	45,9	15,1	24,8	27,8	32,2	3,5	жен	0
19	46,1	20,4	54	40,6	27,8	4,1	жен	0
20	46,9	15,4	42,8	17,2	31,7	4,3	муж	1
21	44,1	24,1	5,8	38	31,6	2,9	муж	1
22	46,3	16,2	31	20,5	31,6	3,5	муж	1
23	47	16,1	41,4	19	31,5	4	муж	1
24	45,6	6,9	6,8	6,7	30,3	2,6	жен	0
25	45,7	18,2	20,9	23,4	29,6	4	жен	0