Решение балансовых уравнений

Решение балансовых уравнений

БАЛАНСОВАЯ  МОДЕЛЬ

 

      Изучение балансовых  моделей, представляющих собой одно  из важнейших направлений и  экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения  отдельной дисциплины. Наша цель  – проиллюстрировать на примере  балансовых расчетов применение  основных понятий линейной алгебры.

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

 

      Пусть рассматривается  экономическая система, состоящая  из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично  идет на внешнее потребление  ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).

 

      Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).

 

      Таким образом, разность  xi - yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

 

      Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk.

 

                                                                                                                    Таблица 1

 

      №                                потребление                             итого на        конечный   валовый 

 

       отрас.                                                                           внутре            продукт      выпуск

 

                                                                                            производ.          (  уi )               (   хi  )

 

  №               1          2         …         k           …         n       потребление

 

  отрас.                                                                                    ( ∑ хik )

 

           

 

            1       х11      х12        …       х1k           …         х1n            ∑ х1k                   у1                 х1     

 

           

 

         2     х21       х22        …       х2k          …         х2n          ∑ х2k               у2                х2

 

          

 

            …    …        …        …        …          …         …              …                …                …

 

            

 

             i       хi1       xi2        …        xik         …          xin            ∑ xik               yi                xi

 

            …    …        …        …        …         …          …              …                …                …

 

             n      xn1       xn2       …        xnk        …          xnn           ∑ xnk              yn                xn

 

  итого

 

  произв.

 

  затраты   ∑ хi1      ∑ xi2     …      ∑ xik       …       ∑ xin

в  k-ю

 

  отрасль

 

                                                                                                                   

 

      Очевидно, величины, расположенные  в строках таблицы 1 связаны следующими  балансовыми равенствами :

 

       х1 - ( х11 + х12 + … + х1n ) = у1    

 

          х2 - ( х21 + х22 + … + х2n ) = у2                   ( 1 )

 

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

       xn - ( xn1 + xn2 + … + xnn ) = yn

 

      Одна из задач балансовых  исследований заключается в том, чтобы на базе данных об  исполнение баланса за предшествующий  период определить исходные данные  на планируемый период.

 

      Будем снабжать штрихом  ( х’ik , y’i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

 

      Будем называть совокупность  значений y1 , y2 , … , yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :

 

       _

 

       у = ( у1 , у2 , … , yn ) ,    ( 2 )

а совокупность значений x1 , x2 , … , xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом :

 

       _

 

       x = ( x1 , x2 , … , xn ).      ( 3 )

 

      Зависимость между  двумя этими векторами определяется  балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk.

 

      Поэтому преобразуем  эти равенства. Рассчитаем величины  aik из соотношений :

 

                xik

 

       aik = –––  ( i , k = 1 , 2 , … , n ).

 

                 xk

 

     

 

      Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

 

       x’ik        xik  

 

      –––  = ––– = aik = const     ( 4 )     

 

        x’k        xk

 

      Исходя из этого предложения имеем

 

       xik = aikxk ,         ( 5 )

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.

 

      Рассчитав коэффициенты  прямых затрат aik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу

 

                       a11 a12 … a1k … a1n

 

                       a21 a22 … a2k … a2n

 

             A=     ………………….

 

                       ai1 ai2 … aik … ain

 

                       an1 an2 … ank … ann

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

 

      Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

 

      Подставляя значения  xik = aik = xk во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель :

 

       x1 - ( a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1

 

       x2 - ( a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2                      ( 6 )

 

       ……………………………………

 

       xn - ( an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn   ,     

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1

 

      Система уравнений  ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

 

          _        _    _

 

       Е·х - А·х = У , или окончательно

 

                     _     _

 

       ( Е - А )·х = У ,            ( 6' )

где Е – единичная матрица n-го порядка и

 

                     1-a11   -a12 …  -a1n

 

      E - A=     -a21   1-a22 …  -a2n

 

                       …………………

 

                       -an1    -an2 … 1-ann

 

     

 

      Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( xi и  yi ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных.

 

      Будем исходить из  заданного ассортиментного вектора  У = ( y1 , y2 , … , yn ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1 , х2 , … хn ).

 

      Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

 

 

 

              

 

                            

 

                                                                                                                                        табл.2

 

         № отрас               Потребление              Итого           Конечный       Валовый    

№                                                                           затрат           продукт          выпуск

отрас                          1                         2

 

                                          

 

                                           0.2                      0.4  

 

                 1               100                    160                  260                  240                    500

 

                                           0.55                    0.1

 

                 2               275                     40                    315                  85                     400     

 

  Итого затрат                                                                575

 

  в k-ю                       375                     200       

 

  отрасль …                                                            575                            

 

      Пусть исполнение баланса  за предшествующий период характеризуется  данными, помещенными в табл.2

 

      Рассчитываем по данным  этой таблицы коэффициенты прямых  затрат:

 

                100                       160                       275                           40

 

       а11 = –––– = 0.2 ; а12 = –––– = 0.4 ; а21 = –––– = 0.55 ; а22 = –––– = 0.1

 

                 500                       400                      500                          400

 

      Эти коэффициенты записаны  в табл.2 в углах соответствующих  клеток.

 

      Теперь может быть  записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2

 

       х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1

 

       х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2

 

      Эта система двух  уравнений может быть использована  для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.

 

      Так, например, задавшись  у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д.

 

  РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ  УРАВНЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.

 

      Вернемся снова к  рассмотрению балансового уравнения  ( 6 ).

 

      Первый вопрос, который  возникает при его исследование, это вопрос о существование  при заданном векторе У>0 неотрицательного  решения х>0, т.е. о существовании  вектор-плана, обеспечивающего данный  ассортимент конечного продукта  У. Будем называть такое решение  уравнения ( 6' ) допустимым решением.

 

      Заметим, что при любой  неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.

 

      Так, например, если

 

        

 

        0.9  0.8                         0.1   -0.8    и уравнение ( 6' )

А=                 , то Е - А =

 

        0.6  0.9                        -0.6  0.1

запишется в виде    0.1   -0.8    х1     у1    или в развернутой форме

 

                                 -0.6    0.1    х2     у2

 

       0.1х1 - 0.8х2 = у1               ( α )

 

       -0.6х1 + 0.1х2 = у2

 

          

 

      Сложив эти два уравнения  почленно, получим уравнение

 

       -0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,

которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).

 

      Наконец уравнение  вообще может не иметь решений  ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).

 

      Следующая теорема, доказательство  которой мы опускаем, дает ответ  на поставленный вопрос.

 

      Теорема.  Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т.е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.

 

      При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной.

 

      Из способа образования  матрицы затрат следует, что для  предшествующего периода выполняется  равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-план  х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.

 

      Обозначив обратную  матрицу ( Е - А )-1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде

 

       _        _

 

       х = S·У          ( 7 )

 

      Если будет задан  вектор – конечный продукт  У и вычислена матрица S = ( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.

 

      Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:

 

       x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn

 

       x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn                         ( 8 )

 

       ………………………………

 

       xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn 

ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ

ЗАТРАТЫ.

 

      Выясним экономический  смысл элементов Sik матрицы S.

 

      Пусть производится  только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е.

 

                  1

 

       _         0

 

       У1 =    :

 

                  0

 

      Подставляя этот вектор  в равенство ( 7 ), получим

 

                    1             S11

 

       _           0             S21       _

 

       х = S    :     =        :      = S1                              

 

                    0             Sn1                                          0

 

                                                                    _          1

задавшись ассортиментным вектором   У2 =     0        , получим     

 

                                                                                :

 

                                                                                0

 

                   0             S12

 

       _          1             S22        _

 

       х = S   :     =       :        = S2

 

                   0             Sn2

 

      Аналогично, валовый выпуск  х, необходимый для производства  единицы конечного продукта k-й  отрасли, составит

 

          

 

                   0           S1k

 

       _          :            S2k       _

 

       х = S   1   =      :       = Sk   ,                  ( 9 )

 

                   :            Snk

 

                   0

т.е. k-й столбец матрицы S.

 

      Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:

Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2k и т.д., в i-й отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции.

 

      Так при этом виде  конечного продукта производства  только единица k-го продукта, то величины S1k, S2k, …, Sik, …, Snk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы    k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве aik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a1k ), 2-й отрасли (a2k ) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли ( ai1, ai2, … и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2

 

      Пусть  нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х2=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й отрасли a22=0.1.

 

      Таковы будут прямые  затраты. Пусть нужно изготовить  у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а11=0.2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0.240=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1'=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно   обратиться к   составленной   систем  уравнений,  положив  у1=0  и   у2=1   ( см п.2 ):

 

       0.8х1 - 0.4х2 = 0

 

       -0.55х1 + 0.9х2 = 1

 

      Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названы прямые затраты ), то S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые ( а12 ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12=0.8-0.4=0.4

 

      Если коэффициент прямых  затрат исчисляется на единицу  валового выпуска, например а12=0.4 при х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.

 

      Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые ( aik ), так и косвенные ( Sik - aik ) затраты.

 

      Очевидно, что всегда  Sik > aik.

 

      Если необходимо выпустить  уk единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ):

 

       x1 = S1k·yk, x2 = S2k·yk, …, xn = Snk·yk ,

что можно записать короче в виде:

 

       _    _

 

       x = Sk·yk            ( 10 )       

Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортимент-

 

                         _        у1

ным вектором У =    :      , то валовый  выпуск  k-й  отрасли  xk,  необходимый  для    его

 

                                   уn

обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное произведение столбца Sk на вектор У, т.е.

 

                                                             _  _

 

       xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk·y ,              ( 11 )

а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S на вектор У.

 

     Таким  образом,  подсчитав  матрицу  полных  затрат  S,  можно  по формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.

 

      Можно также определить, какое изменение в вектор-плане  Δх = ( Δх1, Δх2, …, Δхn ) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта ΔУ = ( Δу1, Δу2, …, Δуn ) по формуле:

 

         _          _

 

       Δх = S·ΔУ ,         ( 12 )

 

      Приведем пример расчета  коэффициентов полных затрат  для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:

    0.4

 

         А =  

 

                    0.55   0.1 

Следовательно,

 

                       1        -0.2      -0.4                0.8       -0.4  

 

      Е - А =                                         =

 

                     -0.55       1        -0.1               -0.55     0.9

Определитель этой матрицы

 

                                0.8     -0.4

 

       D [ E - A ] =                         = 0.5

 

                               -0.55    0.9

Построим присоединенную матрицу ( Е - А )*. Имеем:

 

                              0.9     0.4

 

       ( Е - А )* =                           ,

 

                              0.55   0.8

откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей:

 

                                   1        0.9      0.4              1.8    0.8       

 

       S = ( Е - А )-1 = –––                            =

 

                                  0.5      0.55    0.8              1.1    1.6

 

      Из этой матрицы  заключаем, что полные затраты  продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие  на производство единицы конечного  продукта 1-й отрасли, составляет S11=0.8 и S21=1.5. Сравнивая с прямыми затратами  а11=0.2 и а21=0.55, устанавливаем, косвенные  затраты в этом случае составят 1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55.

 

      Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство  единицы конечного продукта 2-й  отрасли равны S12=0.8 и S22=1.5, откуда  косвенные затраты составят       0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5.

 

      Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й  и 170 единиц 2-й отраслей.

Тогда необходимый валовый выпуск х =  х1 найдется из равенства ( 7 ):

 

                                                                       х2

 

       _        _          1.8     0.8         480            1000

 

       х = S·У =                         ·                =

     1.6         170             800     .

ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА                       КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д.

 

      Расширим табл.1, включив  в нее, кроме производительных  затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.

 

      Обозначим затраты  труда в k-ю отрасль через xn+1,k, и затраты капиталовложений –  через xn+2,k ( где k = 1, 2, …, n ). Подобно тому как вводились прямые затраты  aik,   

 

                                                                                                                    xn+1,k

введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1,k = –––––  , и

 

                                                                                                                       xk

 

                                               xn+2,k

капиталовложений  an+2,k = ––––– ,  представляющих    собой  расход  соответствующего 

 

                                                  xk  

ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т.е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

 

                          a11     a12     …     a1k     …     a1n

 

                          a21     a22     …     a2k     …     a2n             основная часть матрицы

 

                          …………………………………

 

          А' =         ai1      ai2     …     aik      …     ain

 

                          …………………………………

an1     an2     …     ank     …     ann

an+1,1 an+1,2  …    an+1,k   …   an+1,n          

 

                          an+2,1 an+2,2  …    an+2,k   …   an+2,n           дополнительные строки

 

      При решение балансовых  уравнений по-прежнему используется  лишь основная часть матрицы  ( структурная матрица А ). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.

 

      Так, пусть, например, производится  единица продукта 1-й отрасли, т.е.

 

       _       1

 

       У =   0

 

                 :

 

                0        .

 

      Для этого требуется  валовый выпуск продукции

 

                       S11

 

       _    _        S21

 

       x = S1 =     :

 

                       Sn1

 

      Подсчитаем необходимые  при этом затраты труда Sn+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11, во 2-ю – an+1,2S21 и т.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:

 

                                                                                _    _

 

       Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1  ,

т.е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А', которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S.

 

      Суммарные затраты  труда, необходимые для производства  конечного продукта k-й отрасли, составят:

 

                    _    _

 

       Sn+1,k = an+1Sk            ( 13 )

Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:

 

                    _    _

 

       Sn+2,k = an+2Sk            ( 14 )

 

      Теперь можно дополнить  матриц S строками, состоящими из  элементов Sn+1,k и  Sn+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:

 

                              S11     S12     …     S1k     …     S1n                 матрица коэффициентов

 

                              S21     S22     …     S2k     …     S2n                  полных внутрипроизводст.

 

                               …………………………………                  затрат 

 

              S' =          Si1      Si2     …     Sik      …    Sin

 

                               …………………………………                                                          ( 15 )

Sn1     Sn2     …     Snk     …    Snn

 

                               Sn+1,1 Sn+1,2  …   Sn+1,k   …   Sn+1,n               дополнительные строки

 

                               Sn+2,1 Sn+2,2  …   Sn+2,k   …   Sn+2,n   

 

      Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х ( для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.