Решение дифференциальных уравнений  с помощью степенных  рядов

Найти решение уравнения  c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

Решение уравнения будем искать в виде 

   

 Подставляем  полученные выражения в исходное  уравнение:

Отсюда получаем:   

 

………………

Получаем, подставив начальные условия  в выражения для искомой функции и ее первой производной:

Окончательно  получим:      

Итого:     

 Существует  и другой метод решения дифференциальных  уравнений с помощью рядов.  Он носит название метод последовательного дифференцирования.    

 Рассмотрим  тот же пример. Решение дифференциального  уравнения будем искать в виде  разложения неизвестной функции  в ряд Маклорена.

   

Если  заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0  подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что   

 Далее  запишем дифференциальное уравнение  в виде   и будем последовательно дифференцировать его по х.

   

После подстановки полученных значений получаем:   

Уравнения с правой частью специального вида  

      Решить  уравнение    

      Правую  часть дифференциального уравнения  представим в виде суммы двух функций f₁(x) + f₂(x) = x + (-sinx).

      Составим  и решим характеристическое уравнение:    

1.      Для функции f₁(x) решение ищем в виде  .

Получаем:   Т.е. 

  

Итого: 

2.      Для функции f₂(x) решение ищем в виде:  .

Анализируя  функцию f₂(x), получаем:   

 Таким  образом, 

  

  

  

Итого: 

   

 Т.е.  искомое частное решение имеет  вид: 

.

дифференциального уравнения с помощью  степенных рядов

Интегрирование  линейного дифференциального уравнения  с помощью степенных

рядов.

Для решения дифференциального  уравнения: 

                                                                       (I.1)

где функции аi(t) (i=0,1,2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точки

t0 с радиусами  сходимости ri : 

   i=0,1,2 

необходимо найти  два  линейно-независимых  решения  (1(t),  (2(t).  Такими

решениями будут, например, решения уравнения (I.1) с  начальными условиями: 

Решения (i будем  искать в виде степенного ряда: 

                                                                       (I.2) 
 

методом неопределенных коэффициентов.

     Для  решения воспользуемся теоремами. 

Теорема 1:   (об аналитическом решении) 

Если p0(x), p1(x), p2(x) являются аналитическими функциями x в окрестности

точки x=x0 и p0(x)?0, то решения уравнения p0(x)y’’ + p1(x)y’  + p2(x)y = 0

также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности  той же

точки и, значит, решения  уравнения можно искать в виде:  y=l0 + l1(x-x0) +

l2(x-x0)2 + … + ln(x-x0)n + … 

Теорема 2:   (о  разложимости решения в обобщенный степенной ряд) 

Если уравнение (I.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но x=x0

является нулем  конечного порядка S функции a0(x), нулем  порядка S-1 или

выше функции a1(x) (если S>1) и нулем порядка не ниже S-2 коэффициента

a2(x) (если S>2), то  существует, по крайней мере, одно  нетривиальное

решение уравнения (I.1) в виде суммы обобщенного степенного ряда:

      y= l0(x - x0)k + l1(x – x0)k+1 + … + ln(x-x0)k+n + …

где k- некоторое  действительное число, которое может  быть как целым, так и

дробным, как положительным, так и отрицательным. 

Рассмотрим уравнение:

       (I.3) 

a0(t) =  t + 2 ; a1(t) = -1; a2(t) = -4t3; a0(t) ? 0 t

по теореме 2 хотя бы одно нетривиальное решение уравнения (I.3) может быть

найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда (t) = cn(t-t0)n

возьмем t0 = 0, будем  искать решение в виде (t) =  cntn

(I.4)

Опираясь на теорему 1 и, дифференцируя ряд (I.4) почленно два раза, получим

       (t) = ncntn-1, (t) = n(n-1)cntn-2

   (2+t)( n(n-1)cntn-2) – (ncntn-1) – 4t3( cntn)=0

Вычислим коэффициенты при соответствующих степенях:

t0 :  4c2 – c1=0       4c2-c1-4c-3=0

t1 :       

    

рекуррентное соотношение  имеет вид

          n N, c-3=0, c-2=0, c-1=0             (I.5)

при  n=0,

         n=1,

         n=2,  c4=0

      n=3,

      n=m-2, 

 

Итак,

Найдем радиусы  сходимости R полученных решений, общим  методом не

представляется  возможным, поэтому на основании  теоремы о существовании и

единственности  решения. 
 
 

Которые имеют  область сходимости (по формуле Даламбера):

а)      

б)        

 Итак, область  сходимости  
 
 

I. Синтез управления  с не более, чем с одним переключением в управляемой

  системе второго  порядка. 

Необходимо рассмотреть  линейную управляемую систему: 
 
 

Требуется подобрать  управление и( ), переводящее фазовую точку (х1,х2)  из

заданного начального состояния в начало координат (0,0).

На выбор управления и( ) накладывается условие | и( )|=1 и  и(  )  имеет не

более одного переключения.

 положение равновесия

      Д=-7   фокус, т.к. <0, то  фазовая  кривая

закручивается. 
 
 

              III.  Малые возмущения системы  линейных уравнений 

В этой задаче рассматривается  система: 
 
 

с действительными  коэффициентами аij.

Необходимо исследовать  фазовые кривые этой системы: 
 
 

               (1) 
 
 

Сведем систему (1) к системе вида: 

    (2) 
 

с помощью замены 
 

       (3) 

Запишем систему (1) в виде

, где           (4)

Подставим   в систему (4), а   в систему (3), тогда получим: 
 
 

        (5)

Найдем собственные  значения матрицы А: 

, 

Систему (2) можно  записать в виде:

,  где         (6)

Из системы (5) и (6) следует, что    

Подберем матрицу С такую, что пусть   и AC = CB

= 
 

Решив эту систему, получим:  a=-2, b=-1, d=0,  т.е.      и

 

Поставим матрицу С в замену: 
 
 
 

Подставим полученные значения в систему (2): 

, где  

                                                

При   получаем систему      

Это уравнение  малых колебаний маятника. По теореме  о дифференцируемости по

параметру при  малых ( решение (на конечном интервале времени) отличается

поправкой порядка  ( от гармонических колебаний:          

Следовательно, при  достаточно малом ( = ((Т) фазовая точка остается вблизи

окружности радиуса А в течении интервала времени Т.

При  фазовая кривая не обязательно замкнутая: она может иметь вид

спирали, у которой  расстояние между соседними витками  очень мало (порядка

(). Чтобы узнать, приближается ли фазовая кривая  к началу координат или

уходит от него, рассмотрим приращение энергии  за один оборот вокруг

начала координат. Нас интересует знак этого приращения: на раскручивающейся

спирали приращение положительное, на сжимающейся – отрицательное, а на

цикле равно 0. Выведем  приближенную формулу:  

Подставляя значения  и , получим: 

Для вычисления энергии  за оборот следовало бы проинтегрировать эту функцию

вдоль витка фазовой  траектории, которая неизвестна. Но виток близок к

окружности. Поэтому  интеграл можно посчитать с точностью  до O() по

окружности радиуса  А.

Пусть , тогда 
 
 
 

 для  (при  малых положительных значениях ), поэтому фазовые

точки удаляются  от центра, т.е. фазовая кривая раскручивается.

Вектор скорости кривой направлен по часовой стрелке, так как точка с

координатами (1,0) переходит в точку (0,-1) 

Так как detC>0, то при замене  на   ориентация системы координат

не изменилась.

    3. Приближенное вычисление  определенных интегралов  при помощи степенных  рядов

    Пример 3.1. Вычислить интеграл 

      с точностью 0,01.

    Решение.  Пользуясь рядом Маклорена для  , заменяя в нем x на (-x²), имеем

    

    Почленное интегрирования этого ряда от 0 до 1 дает следующее представление

    

    

    Для нахождения данного интеграла с  требуемой точностью достаточно взять 4 первых члена ряда. Тогда  получим

      причем остаток модуля не превосходит  пятого члена ряда, то есть числа    

    4. Приближенное интегрирование  дифференциальных  уравнений при  помощи степенных  рядов

Если  интегрирование дифференциального  уравнения не сводится к квадратурам, то прибегают к приближенным методам интегрирования уравнения. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде ряда Тейлора; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равняться искомому частному решению.

Пусть, например, требуется найти решение  дифференциального уравнения второго  порядка: 

 (4.1)

удовлетворяющее начальным условиям 

 (4.2)

Допустим, что решение y=f(x) существует и представимо в виде ряда Тейлора: 

 (4.3)

    Необходимо  найти   то есть значения производных от частного решения при x=x₀ . Это возможно сделать при помощи уравнения и условий (4.2). Из условий (4.2) следует 

      

    из  уравнения (4.1) получаем 

    

    Дифференцируем  обе части уравнения (4.1) по x 

      (4.4) и в правую часть полученного  тождества подставляем x=x₀ 

    

    Дифференцируя соотношение (4.4) еще раз, найдем 

      и т.д.

    Найденные значения производных подставляем  в равенство (4.3). Для тех значений x, для которых этот ряд сходится, он представляет решение уравнения. 

Пример 4.3. Найти решение уравнения 

 (4.5)

при начальных условиях 

    Решение.  Будем искать решение этого уравнения в виде степенного ряда 

      (4.6)

    при начальных условиях a₀=1, a₁=0. Дифференцируя ряд (5.6) дважды, получаем 

      (4.7)

    а умножая ряд (4.6) на x, имеем 

      (4.8)

    Приравнивая коэффициенты членов рядов (4.7) и (4.8) с  одинаковыми степенями x, получаем, что в ряде (4.6)

      

    а остальные коэффициенты этого ряда обращаются в нуль. Таким образом, получаем ряд 

      (4.9)

    Этот  ряд сходится при любом значении х. В самом деле, применение признака сходимости Даламбера дает следующее равенство:

 и и с ростом n это отношение стремится к нулю при

любом х. Обозначим через S(x) сумму ряда (4.9). Нетрудно показать, что S(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.5). Кроме того, выполняются начальные условия S(0)=1,   Однако существует лишь одна функция, удовлетворяющая уравнению (4.5) и начальным условиям. Поэтому y=S(x).

Итак, 

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

В. В. СИЛЬВЕСТРОВ

Чувашский государственный  университет им. И.Н. Ульянова

Степенные ряды благодаря их простоте и замечательным  свойствам нашли применение практически  во всех разделах математики, физики и  других наук. Рассматриваемые как  предел многочленов при стремлении их степеней к бесконечности, они  обладают почти всеми свойствами многочленов с той разницей, что  для многих рядов эти свойства выполняются не для всех значений аргумента, а лишь для некоторого ограниченного множества значений.

В статье приводятся основные свойства степенных рядов  и на конкретных примерах раскрываются возможности и особенности использования  степенных рядов для решения  тех или иных задач.

СТЕПЕННОЙ РЯД  И ЕГО СВОЙСТВА

Степенным рядом  называется выражение вида

рассматриваемое как предел последовательности многочленов

где a0 , a1 , _ - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда. Числа a0 , a1 , _, x0 и переменная x могут  быть как действительными, так и  комплексными. Заменой x - x0 = y ряд (1) приводится к ряду чисто по степеням y, поэтому  без ограничения общности можно  считать x0 = 0, что и будем предполагать в дальнейшем. Кроме того, будем  рассматривать только действительные ряды, то есть когда коэффициенты и  переменная суть действительные числа, хотя все приводимые ниже свойства справедливы и для комплексных рядов.

Если для некоторого значения переменной x числовая последовательность Pn(x), n = 1, 2, _, имеет конечный предел, то значение этого предела называется суммой ряда (1), сам ряд называется сходящимся в точке x, а множество X = {x} всех таких x называется областью сходимости ряда. Пусть

Тогда пишут

Для каждого  степенного ряда (3) найдется такое число 0 # R # + ?, что в интервале (- R, R ) ряд сходится; на лучах (- ?, - R ), (R, + ?) ряд расходится (то есть последовательность (2) не имеет конечного предела); в точках x = R, x = - R ряд либо сходится, либо расходится, либо в одной точке сходится, а в другой расходится. При этом в случае R = 0 надо считать (-R, R ) = {0}, а в случае R = + ? считать (- ?, - R) = , (R, + ?) = . Таким образом, область сходимости ряда (3) есть интервал (- R, R ) с присоединенными концами или нет в зависимости от случая. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал (- R, R ) - интервалом сходимости. Имеются разные формулы, позволяющие находить R через коэффициенты ряда.

Степенные ряды складываются, вычитаются, умножаются, в том числе возводятся в квадрат, куб и другие степени так же, как многочлены, путем приведения подобных членов. При этом, как и  многочлены, два степенных ряда совпадают  тогда и только тогда, когда совпадают  их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Деление степенных рядов  друг на друга также можно выполнять  уголком, как деление многочленов. Однако удобнее найти частное

методом неопределенных коэффициентов: умножая ряд в  знаменателе на ряд в правой части  равенства и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x у полученного  ряда и ряда в числителе. В результате получится бесконечное множество  уравнений

b0c0 = a0 ,

b0c1 + b1c0 = a1 ,

........................................................

b0cn + b1cn - 1 + _ + bn - 1c1 + bnc0 = an ,

......................................................

откуда при b0 ? 0 неизвестные коэффициенты c0 , c1 , _ находятся последовательно друг за другом. Заметим, что частное двух многочленов является, вообще говоря, уже не многочленом, а рядом. Например,

При решении  некоторых задач в один степенной  ряд вместо переменной приходится ставить  другой степенной ряд. В результате после возведения внутренних рядов  в степени и объединения подобных членов получится новый степенной  ряд, коэффициенты которого выражаются через коэффициенты исходных рядов.

В области сходимости сумма S(x) степенного ряда (3) является непрерывной  функцией и, более того, имеет производные  всех порядков, которые можно найти  почленным дифференцированием, то есть

и т.д. Также интеграл от S(x) в области сходимости ряда можно найти почленным интегрированием:

Все описанные  выше операции над степенными рядами имеют место в некоторой окрестности  точки x = 0, размеры которой зависят  от коэффициентов исходных рядов. Например, равенство (4) имеет место при | x | < 2.

Рассмотрим комплексный  степенной ряд

(Ak = ak + ibk - комплексные числа) на окружности | z | = 1. Точки этой окружности имеют вид z = cos j + + i sin j, 0 # j # 2p. Тогда zk = cos kj + i sin kj, и ряд имеет вид

0 # j # 2p.

Следовательно, действительная и мнимая части комплексного степенного ряда на окружности представляют собой тригонометрические ряды Фурье, с которыми читатель уже познакомился по статье [1]. Данное свойство широко используется для решения с помощью степенных  рядов (комплексных) многих задач математической физики, например задач распространения  тепла в круге, обтекания кругового  цилиндра жидкостью, равновесия упругого кругового цилиндра, изгиба круглой  пластинки и др.

ВЫЧИСЛЕНИЯ С  ПОМОЩЬЮ

СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Применение степенных  рядов для решения различных  задач основано на возможности представления  многих функций, в частности всех элементарных функций, в виде сумм степенных  рядов, называемых рядами Тейлора. Простейшим примером ряда Тейлора служит разложение функции 1/(1 - x) при | x | < 1 в бесконечно убывающий геометрический ряд:

Ряд в правой части равенства (4) также представляет собой ряд Тейлора соответствующей  функции. Для многих функций их разложения в ряд Тейлора можно найти  в учебниках и справочниках по математике. С помощью этих разложений можно с любой точностью вычислить  значения различных функций, интегралов, чисел e, p и др., найти пределы и  т.д. Именно на них основаны все вычисления с элементарными и специальными функциями, производимые компьютерами.

В качестве примера, используя разложение

вычислим значение ex при x = 1, то есть число

Невыписанные члены ряда в сумме не превосходят суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и со знаменателем , то есть значения

Используя разложение

вычислим интегральный синус:

В частности, при x = p отсюда находим

Аналогично путем  разложения подынтегральной функции  в степенной ряд и его почленного интегрирования находятся и другие интегралы.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ  С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Многие уравнения  и системы уравнений с двумя  и более переменными, некоторые  из которых надо найти через остальные, можно решать с помощью степенных  рядов. Для этого заданные функции, через которые записано уравнение, надо разложить в степенные ряды и искать неизвестные в виде рядов. После этого для нахождения неизвестных  коэффициентов рядов будут получены новые уравнения, решения которых  во многих случаях находятся без  особых затруднений. Полученные таким  образом решения исходного уравнения  вполне пригодны как для вычислений, так и для других операций.

Продемонстрируем  описанный метод на примере уравнения  Кеплера

y = a + x sin y,

играющего важную роль в астрономии. Здесь y - эксцентрическая  аномалия планеты, a - ее средняя аномалия, x - эксцентриситет орбиты планеты. Считая y неизвестной функцией от x, будем  искать ее в виде

y = c0 + c1x + c2x2 + _

Разложив sin y по формуле (5) в ряд Тейлора по степеням y и подставив вместо y ряд (6), после возведения этого ряда в степени и приведения подобных членов получим

Из этого равенства, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, найдем последовательно неизвестные

и саму функцию

Доказано, что  это разложение верно при | x | < < 0,6627_

Если уравнение  Кеплера записать в виде y = x + + b sin y и снова считать y неизвестной функцией от x, то при b ?1, выполнив аналогичные действия, получим

Рекомендуем читателю проделать соответствующие действия.

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ  РЯДОВ

Особенно часто  и эффективно степенные ряды используются для точного и приближенного  решения дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными. Не вдаваясь в сложные теоретические  обоснования, рассмотрим дифференциальное уравнение Бесселя

x2y" + xy' + (x2 - n2)y = 0,

где n - постоянная (необязательно целая), x - независимая  переменная, а y = y(x) - искомая функция. Решения этого уравнения, называемые функциями Бесселя, нашли применение практически во всех областях современного естествознания.

Будем искать y в  виде обобщенного степенного ряда

где p, ak - неизвестные постоянные, причем a0 ? 0. Дифференцируя этот ряд дважды под знаком суммы, подставим выражения функции y и ее производных y', y" в уравнение (7). Затем сделаем приведение подобных членов, и коэффициенты полученного ряда приравняем нулю. После этого получим бесконечную систему уравнений