Решение биологических задач с помощью дифференциальных уравнений

Мелитопольський государственный педагогический университет

им. Богдана Хмельницкого

Кафедра информатики и  кибернетики 
 
 
 
 

Индивидуальное-научно исследовательское  задание

по  дифференциальным уравнениям на тему :

  «Решение биологических  задач с помощью  дифференциальных  уравнений»

  

                                     

                                                                            Выполнил: студент 230-и группы                                      

                                                                                                   Красуля Иван

                                                                           Проверила: Титаренко Н.Е. 
 
 
 
 

Мелітополь, 2011                                                

  Содержание

Введение………………………………………………………………………………..3

Раздел 1. Решение  задач по биологии………………………………………………...4

1. Задача 1………………………………………………………………………..5
2. Задача 2 ……………………………………………………………………….8
3. Задача 3……………………………………………………………………….12

Заключение …………………………………………………………………………....16

Список используемой литературы………………………………………………...…17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Введение.

   Многочисленные  задачи естествознания, техники и  механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний сводятся к  математическому моделированию  процессов в виде формулы, т.е. в  виде функциональной зависимости. Так, например, переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью  дифференциальных уравнений. Всё это и явилось главной причиной выбора темы работы.

   Материалом для данной работы  послужила теория дифференциальных уравнений и наиболее известные задачи естествознания, решаемые с помощью дифференциальных уравнений.

   Целью  настоящей   работы является рассмотрение возможности применения дифференциальных уравнений для решения задач  биологического цикла.

   Методы  исследования опираются на принципы функционального, сравнительного и сопоставительного изучения математических явлений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Раздел 1. Решение задач по биологии.

  Живой организм представляет собой слишком  сложную систему, чтобы его можно  было рассматривать сразу во всех подробностях; поэтому исследователь  всегда выбирает упрощённую точку зрения, подходящую для решения конкретно  поставленной задачи. Это сознательное упрощение реальных биосистем и  лежит в основе метода моделирования.

        Обычно, модели, используемые в биологии, делят на три категории:

1. Биологические предметные модели, на которых изучаются общие закономерности, патологические процессы, действие различных препаратов и т. д. К этому классу моделей относят, например, лабораторных животных, изолированные органы. Культуры клеток, суспензии органелл и пр.
2. Физические (аналоговые) модели, т. е. физические модели, обладающие аналогичным с моделируемым объектом поведением. Например, деформации, возникающие в кости при различных нагрузках, могут быть изучены на специально подготовленном макете кости. Движение крови по крупным сосудам моделируется цепочкой резисторов, конденсаторов и индуктивных катушек.
3. Математические модели представляют собой системы математических выражений - формул, функций, уравнений и т. д., описывающих те или иные свойства изучаемого объекта, явления, процесса. При создании математической модели используют физические закономерности, выявленные при экспериментальном изучении объекта моделирования. Так, например, математическая модель кровообращения основано на законах гидродинамики.

  Математическое  моделирование, как метод исследования обладает рядом несомненных достоинств.

        Во-первых, сам метод  изложения количественных закономерностей  математическим языком точен и экономичен. Во-вторых, проверка гипотез, сформулированных на основе опытных данных, может  быть осуществлена путём испытания  математической модели, созданной на основе этой гипотезы. Наконец, математическая модель позволяет судить о поведении  таких систем и в таких условиях, которые трудно создать в эксперименте или в клинике, изучать работу исследуемой системы целиком или работу её любой отдельной части.

Задача№1. Определить во сколько раз увеличится количество бактерий

за 9 часов, если в течение 3 часов их количество изменилось от 100 да 200.

  Решение. Опытным путём установлено, что  скорость размножения бактерий, если для них имеется достаточный  запас пищи и созданы другие необходимые  внешние условия (например, отсутствие подавления бактерий другими видами), пропорциональна их количеству.

   Пусть х - количество бактерий, имеющееся в данный момент, тогда скорость изменения их количества: 

       Так как скорость размножения бактерий пропорциональна  их количеству, то существует такая  k, что: 
 

 Разделяем в  дифференциальном уравнении переменные: 
 

       Интегрируя, получаем: 
 

что после  потенцирования даёт:

      

      Для нахождения С используем начальное условие: при t = 0 х = 100. Имеем: Се˚ = 100, С = 100, и, значит, х = 100 е^kt.

      Коэффициент е ^k находим из условия: при t = 3 х = 200. Имеем:

       Искомая функция: 

      При t = 9 х = 800.

      Ответ. Количество бактерий за 9 часов увеличится в 8 раз. 

  Заметим, что закон, при котором скорость увеличения вещества пропорциональна  наличному количеству вещества это, так называемый, закон "естественного роста".

  Эта математическая модель процесса изменения  количества микроорганизмов в колонии  в зависимости от времени получена при очень больших предположениях (при неограниченных ресурсах питания  и пространства для обитания и  отсутствии межвидовой борьбы). В природе  же, ни в одной из реально существующих колоний такой рост наблюдаться  не может.

  Ответ на вопрос, насколько закон "естественного  роста" отвечает реальному процессу, даёт опытная проверка. Очевидно, что  на каком-то подмножестве данные будут  хорошо согласованы с моделью, а  саму модель можно использовать для  прогноза.

  В 1845 году Ферхюлст - Перл получил уравнение, учитывающее внутривидовую борьбу микроорганизмов. В результате конкурентной борьбы внутри вида за пищу и место  распространения, а так же за счёт болезней скорость роста снижается. В общем виде уменьшение прироста является некоторой новой функцией от х и Δх, которую обозначим через b(х, Δх). Уменьшение количества особей в результате конкуренции тем больше, чем больше число встреч между особями, т. е. пропорционально произведению х·х т. е.  х². Таким образом,

      b(х, Δх) = δ х² Δt.

      Тогда

      Δх = ε х Δt - δ х²Δt.

       Здесь ε - специфическая (врождённая) скорость размножения популяции, δ - коэффициент внутривидовой конкуренции. Разделим обе части последнего уравнения на Δt и переходя к пределу, получим

        

      Это и есть уравнение Ферхюлста - Перла.  Решением этого уравнения после  математических преобразований и обозначения  ε / δ = h при t₀ = 0 и   х(0)=х₀.является:

      

Задача№2. Найти зависимость между площадью листа дерева, имеющего форму круга от времени, если в 6 часов утра эта площадь равнялась 1 600 см², а в 18 часов того же дня - 2 500 см².

      Решение. Площадь листа имеет форму  круга, т. е. пропорциональна длине  окружности листа. Скорость увеличения площади листа пропорциональна , к тому же, количеству солнечного света, падающего на него.

       Количество солнечного света, пропорционально, в свою очередь, площади листа  и косинусу угла между направлением лучей и вертикально к листу.

      Примем  угол между направлением луча Солнца

и вертикалью в 6 часов утра и в 18 часов равен  90°,

а в полдень - 0°. 

      Пусть t - время, отсчитываемое от полуночи. Если S - переменная площадь листа, то скорость роста листа:

где 2πr  - длина окружности листа, Q - количество солнечного света, k₁ - коэффициент пропорциональности.

      Площадь листа S = πr², откуда:

Тогда: 

       По условию 

      Q = k₂ S cos α,

где α - угол между направлением лучей и вертикалью, k₂  - коэффициент пропорциональности.

      Угол  α - линейно возрастающая функция аргумента t:

      α = k₃ t + b.

      Параметры k₃  и b находим из дополнительных условий:

при t = 6 α = -π/2,

при t = 12 α = 0,

при t = 18 α = π/2.

Из двух последних  условий имеем:

0 = 12k₃+ b,

π/2 =18k₃+ b.

Решая эту систему, получаем:

k₃= π/12, b= - π.

Следовательно, 

      Подставляя  значение α в (2), имеем:

                              Q = k₂ S cos [π (t - 12) /12].

      Из  уравнения (1) получаем:

      

      Обозначим k = k₁k₂. После разделения переменных, имеем:

      

       Интегрируя, получаем: 

Из начальных условий (при t = 6 S = 1600, при t = 18 S = 2500) имеем:

Решая эту систему, получим:

Подставляя эти  значения в (3), получаем:

откуда:

      Ответ. Зависимость между площадью листа дерева, имеющего форму круга от времени выражается формулой (4). 
 

Задача№3. Найти зависимость между высотой дерева и временем его роста.

      Решение. Известно, что даже в самых благоприятных  условиях все деревья независимо от породы растут сначала быстро, а  затем их рост замедляется, пока, наконец, совсем не прекращается.

      С ростом кроны, с одной стороны, увеличивается  приток энергии благодаря фотосинтезу, а с другой – увеличиваются  трудности, связанные, например, с транспортировкой питательных веществ, и, следовательно, увеличивается расход энергии на подобные нужды. В конце концов, притока  энергии уже не хватает для  покрытия расходов, и дерево перестаёт  расти.

      На  основе этих соображений можно сформулировать основные предположения, на основе которых  будет основано составление уравнения  энергетического баланса, т. е. построена  математическая модель.

1. Зрелое  растение в процессе роста сохраняет  геометрическое подобие, т. е. у зрелого  растения с ростом не меняются отношения  геометрических размеров, например, отношение  высоты к диаметру и т. п.

2. Свободную энергию (или активное вещество) дерево получает только путём фотосинтеза.
3. Свободная энергия расходуется на фотосинтез, на строительство живой ткани (рост) и на подъём раствора из почвы.
4. В среднем за большие отрезки времени растение получает постоянное количество света на единицу поверхности и может поглощать необходимые вещества из неограниченного запаса.

Составим  уравнение энергетического баланса.

  Обозначим за х – линейный размер растения., тогда высота растения – х, площадь поверхности листьев – х², объём растения будет выражаться величиной – х³, причём х изменяется со временем: х = х(t). При этом пусть х(t₀)=0. Попытаемся выразить все величины, входящие в уравнение энергетического баланса, через х.

  Найдём, сначала, выражение для поступающей  свободной энергии Е. Эта энергия образуется благодаря фотосинтезу в зелёной части растения, и её тем больше, чем больше поверхность зелёной части. Таким образом, можно считать, что Е пропорциональна х²:

      Е = α х²,

  где α – коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и формы листьев и от интенсивности фотосинтеза. Других источников энергии в силу наших предположений нет.

        Проследим, теперь, за расходом энергии. Прежде всего, энергия  тратится на нужды самого процесса фотосинтеза. Этот расход также пропорционален х², и мы можем записать его в виде β х², где β < α – некий коэффициент пропорциональности.

        Далее энергия расходуется  на транспортировку питательного раствора во все части растения. Ясно, что  этот расход будет тем больше, чем  больше путей транспортировки, т. е. чем больше объём растения. Кроме  того, этот расход связан с преодолением силы тяжести и, следовательно, будет  тем больше, чем на большую высоту приходится поднимать питательные  вещества. Таким образом, этот расход пропорционален и х³, и х т .е. равен γ х³ х.

        Наконец, энергия  расходуется на увеличение массы  растения. Этот расход пропорционален скорости роста, т. е. производной массы  m = ρх³ (ρ - средняя плотность растения, х³ - объём) по времени.

        Согласно закону сохранения энергии, расход энергии  должен быть равен её притоку:

или 

      Это и есть искомое балансное соотношение.

      Разделим  обе части уравнения на 3δρх²  и обозначим

        

       Получаем: 

       Перепишем дифференциальное уравнение  в виде 
 

       Тогда  
 

Заметим, что производная dx/dt > 0, так как рост дерева увеличивается.

      Значит, a - bx² > 0, и, следовательно, x²< a / b, т. е. можно воспользоваться методом непосредственного интегрирования (для│x│<│с│справедливо равенство:

        

       Тогда, имеем: 
 
 

      Учтём начальное условие х(t₀)=0, т. е. С = - t₀  и, значит:

        
 

      Разрешая  это уравнение относительно х, имеем окончательно:

        

Полученная  формула (5) даёт кривую роста дерева. Если известны a, b и t₀ (эти величины зависят от породы дерева), то можно подсчитать средний рост дерева данной породы в зависимости от возраста. 

      Ответ. Зависимость роста дерева от времени его роста выражается формулой (5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение.

  Изучение  большого круга задач естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний показывает, что решение многих из них сводится к математическому  моделированию процессов в виде формулы, т.е. в виде функциональной зависимости.

  Так, например, некоторые процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью  уравнений, в которых кроме независимых  переменных и неизвестных функций  этих переменных, содержатся производные  неизвестных функций (или их дифференциалы).

  Такие уравнения называются дифференциальными. Вот почему возможности применения дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно – научного цикла довольно широки. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы. 

1. Баврин  И. И. Высшая математика: Учебное пособие для студентов хим.-биол. фак. пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1980.

 

2. Виленкин  Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат. фак. - М.: Просвещение, 1984.

 

3. Владимиров  Ю. А. и др. Биофизика: Учебник. - М.: Медицина, 1983.

 

4. Зайцев  И. А. Высшая математика: учебник для неинж. спец. с.-х. вузов. - М.: высшая школа, 1991.

 

5. Маковецкий  П. В. Смотри в корень!: Сборник любопытных задач и вопросов. - М.: Наука, 1979.

 

6. Справочник  машиностроителя, том 1. - М.: МАШГИЗ, 1956.

 

7. Хомченко  Г. П. Химия для поступающих в вузы: Учебное пособие. - М.: Высшая школа, 1993.

 

8. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2001.