Министерство  общего и профессионального образования

Свердловской  области

Управление  образования Администрации города Нижний Тагил

Образовательное учреждение: МОУ СОШ № 55

Образовательная область: математика

Предмет: алгебра 

РЕФЕРАТ

на тему:

Решение задач с параметрами

Исполнитель:

Научный руководитель:

Рецензент областного тура: 
 
 
 
 
 
 
 

Нижний Тагил

2004

 

Оглавление

 

Введение

    Изучение  многих физических процессов и геометрических закономерностей  часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их  системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается  только на немногочисленных факультативных занятиях.

    Готовя  данную работу, я ставила цель более  глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.

    В первой части моего реферата я  ввожу некоторые обозначения, используемые впоследствии для более краткой записи решений; во второй части я рассматриваю наиболее стандартный аналитический способ решения задач, а в третьей – графический метод.

    Я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ.

     

 

1. Основные определения

      Задачи  с параметрами встречаются фактически с самого начала изучения математики, когда начинают оперировать с  буквами, как с числами. Они связаны с решением уравнений и неравенств или исследованием функций, в запись которых наряду с переменными входят буквы, называемые параметрами.

      Введём  следующие обозначения и термины:

      N={1, 2, …} – множество всех натуральных чисел;

      w={0, 1, 2, …} – множество всех натуральных чисел с нулём;

      Z={-N, 0, N} – множество всех целых чисел;

      Q={Z, , где pÎZ, qÎN} – множество всех рациональных чисел;

R={Q, иррациональные числа} – множество всех действительных чисел;

      Æ – пустое множество – множество, не имеющие ни одного элемента;

      Î – знак принадлежности;

      Þ – знак следствия;

      Û – знак равносилия;

      ОДЗ – область допустимых значений;

      D – дискриминант.

 

2. Аналитический способ  решения задач

2. 1. Линейные уравнения

      Пример 1. Решить относительно х:

      По  смыслу задачи (m-1)(x+3) ¹ 0, то есть m ¹ 1, x ¹ –3.

      Умножив обе части уравнения на (m-1)(x+3), получим уравнение

      

, получаем

      

.

      Отсюда  при m ¹ 2,25 .

      Теперь  необходимо проверить, нет ли таких  значений m, при которых найденное значение x равно –3.

      

,

решая это уравнение, получаем, что х равен –3 при т = –0,4.

      Ответ: при т ¹ 1, т ¹ 2,25, т ¹ –0,4 уравнение (1) имеет единственное решение ; при т = 2,25 и при т = –0,4 решений нет, при т = 1 уравнение (1) не имеет смысла.

      Пример 2. Решить относительно х:

      ОДЗ: х ³ –а, х ³ 0;

и левая  часть уравнения (2) неотрицательна, дополнительно к условиям ОДЗ налагаем условие а ³ 0;

Þ

при этих условиях

;

теперь  к условиям (3) добавляем ещё условие

при а = 0 х = 0 в силу условий (3), (4); при а > 0 х ; отсюда, добиваясь выполнения условия (4), получаем

      Ответ: при а = 0 х = 0; при а ³ 1 уравнение (1) имеет единственное решение х ; при а < 0, 0 < а < 1 уравнение (1) не имеет решений.

      Пример 3. Решить относительно х:

 

а). Х ³ 0,

;

по условию  х ³ 0, то есть параметр должен удовлетворять условию

б). Х < 0,

по условию  х < 0, то есть

< 0 < 1;

.

      Ответ: при уравнение (1) имеет два решения при > 1 уравнение (1) не имеет решений.

 

2. 2. Квадратные уравнения

      Пример 1. Решить относительно х:

      а). Пусть а = 0, тогда –2х+4 = 0 Û х = 2;

      б). Пусть а ¹ 0, тогда D = 1– 4а; при 1– 4а < 0 Þ а > х Î Æ;

при 1– 4а ³ 0 Þ а £   .

      Ответ: при а = 0 х = 2; при а ¹ 0 и а £ уравнение (1) имеет два решения  ; при а ¹ 0 и а > уравнение (1) не имеет решений.

      При исследование квадратичной функции  мы используем теоремы, которые также помогают при решение задач с параметрами.

      Т₁. Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня и b > 0,

c > 0, то оба корня этого уравнения отрицательные; b < 0, c > 0, то оба корня этого уравнения неотрицательны.

      Т₂. Необходимые и достаточные условия, чтобы корни квадратного уравнения были больше заданного числа d:

      

      Пример 2. При каких значениях параметра  а, корни уравнения неотрицательны:

      Разделим  уравнение (1) на а, но поставим условие а ¹ 0, тогда получим

По  Т₁:     ;

1). D = ; приводим к общему знаменателю а², получаем

;  .

2). > 0; корень уравнения : а = –2 и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 1).

Получаем  а < –2, а > 0

3). ; корень уравнения : а = –3

и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 2).

Получаем  –3 < а < 0.  

4). Объединим  полученные результаты:

Получаем   

      Ответ: при уравнение (1) имеет неотрицательные корни.  

      Пример 3. При каких значениях параметра  а, корни уравнения больше 1:

По  Т₂:     . 

1).

> 0, разделим получившееся неравенство на –8, получаем

 корни данного уравнения:  . Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 4).

Получаем  < а <  

 

2). , помножим обе части данного неравенства на 2а, при этом а ¹ 0;

2а  + 1 > 2а Þ 2а – 2а > –1 Þ 0 > –1 Þ а Î R.

3). Y(1) = 2а –2;

 корни уравнения 2а(а-1) > 0: а₁ = 0; а₂ = 1.

Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 5).

Получаем  а < 0, а > 1

4). Объединим  полученные результаты: 

 

Получаем 

      Ответ: при корни уравнения (1) больше 1.

      Пример 4. При каком наибольшем целом  а оба корня уравнения заключены строго между –2 и 4:

       ; тогда корни уравнения (1): . Они должны быть заключены строго между –2 и 4:

        
Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 7). 

Получаем   

Способ 2:

По Т₂:

1). D = 1> 0;

2). ;

3). Y(–2) = а²+4а+3

  а²+4а+3 > 0; корни уравнения а²+4а+3 = 0: а₁ = –3, а₂ = –1; нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 8).

Получаем  а < –3, а > –1.

Y(4) = а²–8а+15

а²–8а+15 > 0; корни уравнения а²–8а+15 = 0: а₁ = 3, а₂ = 5; нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 9).

Получаем  а < 3, а > 5.

4). Объединим  полученные результаты:

Получаем  –1 < а < 3. 

     Ответ: при а =2 оба корня уравнения (1) заключены строго между –2 и 4.

     Пример 5. Найти коэффициент а, если корни уравнения связаны соотношением 2х₁+х₂ = 3:

     

по теореме  Виета: ; составим и решим систему: получаем х₁ = 1, х₂ = 1, тогда а = 1.

      Ответ: а = 1.

 

2. 3. Системы уравнений

     Системы линейных уравнений типа:

1. имеют единственное решение, если
2. не имеют решений, если
3. имеют бесконечное множество решений, если

     Пример 1. Найти все значения а, при которых система имеет бесчисленное множество решений:

      

1. , ОДЗ: а ¹ 0, а ¹ –3;

2. , ОДЗ: а ¹ –3, а ¹ ;

, разделим обе части уравнения  на 4:

3. , ОДЗ: а ¹ 0, а ¹ ;

     Ответ: при а = 1 система (1) имеет бесчисленное множество решений.

     Пример 2. При каких m и n система а) имеет единственное решение; б) не имеет решений:

а). Система  (1) имеет единственное решение, когда

 

так как  5 ¹ 0 и 3 ¹ 0, то 5m ¹ 30, отсюда m ¹ 6.

б). Система  (1) не имеет решений, когда

 

1.  отсюда m = 6.
2. отсюда n ≠ 8.
3. отсюда n ≠ при m = 6 n ≠ 8, при n ≠ 8 m = 6.

    Ответ: а) при m ¹ 6 система (1) имеет единственное решение; б) при n ≠ 8 и m = 6 система (1) не имеет решений.

      Пример 3. Решить относительно х:

1. а < 0, тогда получаем систему

     Ответ: в системе (1) при а ≤ – 1 х Æ; при – а < х < при     а = 0 ; при х > – а; при а > 1 х >

 

3. Графический метод  решения задач

     Рассмотренный мною стандартный способ решения  задач с параметрами в отдельных  случаях приводят к сложным и утомительным преобразованиям. Процесс решения может быть иногда упрощен, если применять графический метод.

     Пример 1. При каких значениях параметра  а уравнение имеет единственное решение:

     Пусть Тогда, возведя обе части этого уравнения квадрат, получаем х = t² – а, тогда уравнение (1) эквивалентно системе

     

.

     График  функции  при условии пересекает семейство прямых y = a в одной точке при и при а > 1 (Рис. 11).

      Ответ: при ;  а > 1 уравнение (1) имеет

единственное  решение.  
 
 

 

     Пример 2. Найти все значения параметра  а, при котором уравнение имеет ровно три различных корня:

 

     Построим  график функции  для и отразим его зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси абсцисс y = a, пересекает график ровно в трех точках при а = 5 (Рис. 12). 

     Ответ: уравнение (1) имеет ровно три различных

корня при а = 5. 
 
 
 
 

 
 
 
 

 

4. Заключение

     Итак, я рассмотрела часто встречающиеся типы уравнений и способы их решений и сделала вывод, что наиболее эффективным является графический метод решения задач с параметрами.

     Работа  над данным рефератом помогла  мне в учебе не только в школе, но и в Городском Компьютерном Центре при УГТУ УПИ.

     Да, я могу сказать, что я научилась  решать уравнения с параметрами, но я не хочу останавливаться на достигнутом и поэтому в следующем году я собираюсь работать над рефератом на тему: «Решение неравенств с параметрами». Также в данной работе я не рассмотрела примеры тригонометрических, логарифмических, показательных уравнений, поэтому в моём реферате нельзя ставить точку.

 

Список литературы

1. Амелькин  В. В. и Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. – М.: Асар, 1996.
2. Важенин Ю. М. Самоучитель решения задач с параметрами. – Екатеринбург: УрГУ, 1996.
3. Окунев А. А. Графическое решение уравнений с параметрами. – М.: Школа – Пресс, 1986.
4. Райхмист Р. Б. Графики функций: задачи и упражнения. – М.: Школа-Пресс, 1997.
5. Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами. – М.: Просвещение, 1986.