Шпаргалка по "Прикладной математике"

1. Случайные события,  их классификация.  Понятие вероятности.

Случайное событие – событие, которое в условиях опыта оно может произойти, а может и не произойти. Причем заранее неизвестно, произойдет оно или нет.

Два события  несовместны, если появление одного из них исключает появление другого в том же опыте.

Теория  вероятностей изучает закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Основные понятия теории вероятностей были заложены в переписке Паскалем и Ферма. Эти понятия зародились в результате попыток математически описать азартные игры.

2. Алгебра случайных  событий, диаграммы  Вьенна-Эйлера.

Сумма событий А и  В называется такое событие, которое происходит, когда происходит либо А, либо В, либо оба события.

Произведением А и В называется событие, которое происходит, если в опыте происходят оба события.

Событием  Ā, противоположное  событию А называется событие, которое происходит всякий раз, когда не наступает событие А.

A\B (дополнение А до В) – происходит А, но не происходит В

3. Классическое определение  вероятности. Комбинаторика.

– классическое определение вероятности.

m – общее число исходов

n – число исходов, благоприятствующих наступлению события А..

Комбинаторика – раздел математики, изучающий расположение объектов в соответствии со специальными правилами и подсчитывает количество способов таких расположений. Комбинаторика возникла в 18 веке. Рассматривается как раздел теории множеств.

4. Аксиоматическое  построение теории  вероятностей.

Аксиома 1. «аксиома неотрицательности» P(A)≥0

Аксиома 2. «аксиома нормированности» P(Ω)=1

Аксиома 3. «аксиома аддитивности» Если события А и В несовместны (АВ=Ø), то P(A+B)=P(A)+P(B)

5. Теорема о вероятности суммы событий.

Для любых событий Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) (док-во в лекции)

6. Условная вероятность.  Зависимые и независимые  события. Теоремы  о вероятности  произведения событий.

Р(А|В) –  вероятность события А, если событие  В уже произошло – условная вероятность.

Событие А называют независимым, от события В, если вероятность события А не меняется в зависимости от того, происходит или нет событие В.

Теорема умножения вероятностей: Р(АВ) = Р(А|В)·Р(В) = Р(В|А)·Р(А)

Теорема умножения вероятностей независимых событий: Р(АВ) = Р(А)·Р(В)

По определению  условной вероятности,

7. Формула полной  вероятности.

Есть события Н₁, Н₂,….,Н_n попарно несовместные и образуют полную группу. Такие события называют гипотезами. Пусть есть некоторое событие А. А=АН₁+АН₂+…+АН_n (слагаемые этой суммы попарно несовместны).

8. Формула Байеса.

Н₁, Н₂,….,Н_n   A

9. Схема Бернулли. Формула  Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.

Пусть проводится конечное число n последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может либо наступить «успех», либо не наступить «неудача», причем эти испытания удовлетворяют следующим условиям:

• Каждое испытание случайно относительно события А .т.е. до проведения испытания нельзя сказать, появится А или нет;
• Испытания проводятся в одинаковых с вероятностной точки зрения условиях, т.е. вероятность успеха в каждом отдельно взятом испытании равна р и не меняется от испытания к испытанию;
• Испытания независимы, т.е. исход любого из них никак не влияет ни исходы других испытаний.

Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли или биноминальной  схемой, а сами испытания – испытаниями Бернулли.

Для расчета  вероятности Р_n(к) того, что в серии из n испытаний Бернулли окажется ровно k успешных, применяется формула Бернулли: (k = 0,1,2,…n).

10. Понятие случайной  величины. Дискретная  случайная величина, способы ее задания:  ряд распределения.

Случайной величиной называется величина, которая в каждом испытании (при каждом наблюдении) принимает одно из множества своих возможных значений, заранее не известно, какое.

Дискретная  с.в. – с.в., множество возможных значений которой конечно или счетно.

Ряд распределения с.в. (ряд распределения вероятности). График ряда распределения задается многоугольником распределения – ломанная, которая соединяет точки с координатами (x_i,p_i)

X	x1	x2	x3	…	xk	…
P	p1	p2	p3	…	pk	…

Закон распределения с.в.: p_k=P({X=x_k})

11. Функция распределения  дискретной случайной  величины и ее  свойства.

Функцией  распределения случайной  величины Х называется функция F_X(x) = P(X<x), .

Под (X<x) понимается событие, состоящее в том, что случайная величина Х примет значение, меньшее, чем число х. Если известно, о какой случайной величине идет речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: F_X(x) = F(x).

Свойства:

4. Если , то

12. Математическое ожидание  дискретной случайной  величины и ее  свойства.

Математическое  ожидание дискретной случайной величины Х называется взвешенная сумма всех ее значений:

Свойства:

1. М(С) = С, С =const
2. M(C+X)=M(X)=C
3. M(C·X)=C·M(X)
4. M(X+Y)=M(X)+M(Y)
5. Если X, Y – независимые, то M(X·Y)=M(X) ·M(Y)

13. Дисперсия дискретной  случайной величины  и ее свойства.

Дисперсия случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания D(X) = M[(X-m_X)²] или D(X) = M(X²) – (M(X))²;

Свойства:

1. D(C) = 0; C=const
2. D(X+C)=D(X)
3. D(C·X)=C²·D(X)
4. Если X, Y – независимые, то D(X+Y)=D(X) ·(D(Y)

Средним квадратичным отклонением Х называется неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

14. Биноминальный закон  распределения: ряд  распределения и  основные числовые  характеристики.

, где n – число испытаний в схеме Бернулли, р – вероятность появления события в каждом испытании. Х = {0,1,2,…,n}

M(X)=np; D(X)=np(1-p)

15. Геометрический закон  распределения.

, где р – вероятность появления  события в каждом испытании;  X = {1,2,3,…,k,…}

16. Пуассоновский закон  распределения: ряд  распределения и  основные числовые  характеристики.

Если  n→∞, а р→0, то , где X = {0,1,2,…,k,…}; λ>0; λ=np – среднее число появлений события в n испытаний.

M(X)=D(X)= λ

17. Непрерывная случайная величина. Функция распределения и функция плотности вероятности, их свойства.

Случайная величина Х называется непрерывной, если она примет более чем счетное число значений.

f_x(x) называется плотностью распределения случайной величины Х. График плотности распределении случайной величины Х называется кривой распределения случайной величины.

Свойства  плотности распределения:

• для всех : f(x)≥0;
• ∫f(z)dz = 1;
• для всех точек , в которых существует производная F`(x).

Вероятность того, что непрерывная случайная  величина Х примет конкретное число  значения, равна нулю для всех :  Р(Х=х₀) = 0.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в числовой промежуток можно рассчитать: для всех : таких, что с<d:

Р(с≤X≤d) = P(c≤X≤d) = P(c≤X≤d) = P(c<X<d) = F(d)-F(c) = ∫f(x)dx.

18. Математическое ожидание  и дисперсия непрерывной  случайной величины и их свойства (без доказательства).

Математическое  ожидание непрерывной  с.в. называется число

Свойства:

1. М(С) = С, С =const
2. М(С·Х) = С·М(Х), С = const
3. Если X,Y – дискретные с.в., то М(Х+Y) = М(Х) + М(Y)

Дисперсия случайной величины:

Свойства:

1. D(C) = 0
2. D(C·X) = C²·D(X)
3. Если X,Y – дискретные с.в., то D(X+Y) = D(X) + D(Y)

19. Начальные и центральные  моменты.

Начальным моментом порядка  k случайной величины Х называют математическое ожидание величины X^k:  v_k=[M(X)]^k.

Оценка  начального момента:

В частности, начальный момент первого порядка  равен математическому ожиданию: v₁ = M(x).

  Центральным моментом  порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины [Х-М(Х)]^k:  μ_k = М[Х-М(Х)]=0;

Оценка  центрального момента:

В частности, центральный момент первого порядка  равен 0: μ₁ = М(Х-М(Х))=0;

Центральный момент второго порядка равен  дисперсии: μ₂ = М(Х – М(Х))² = D(X).

20. Равномерный  закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.

Плотность распределения:

 

Плотность распределения:

Функция распределения:

21. Показательный закон  распределения: плотность  и функция распределения,  основные числовые  характеристики.

Функция распределения:

 

Плотность распределения:

22. Поток событий.  Простейший поток.  Распределение промежутка  времени между  последовательными событиями простейшего потока.

Поток событий – среднее число событий, происходящих в единицу времени.

Стационный  поток – его плотность: постоянная величина.

Поток без последействия – если вероятность попадания определенного числа событий на определенный промежуток времени не зависимо от того, когда и в какие моменты событие появлялось до этого.

Ординарный  поток – если вероятность попадания на элементарный промежуток времени двух или более событий пренебрежительно мала с вероятностью попадания на этот же промежуток одного события.

Все эти  потоки – простейшие.

23. Нормальный закон  распределения: функция  плотности и функция  распределения, основные  числовые характеристики. (Закон Гаусса).

X ~ N(m,σ)

M(X)=m; D(X)=σ²

24. Функция Лапласа  и ее свойства. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило «трех сигм».

Функция Лапласа:

Правило «трех сигм»

Для любой случайной  величины X ~ N(a; σ) вероятность

25. Неравенство Чебышева. Понятие о законе больших чисел. Теорема Чебышева (без док-ва). Теорема Бернулли (без док-ва).

Неравенство Чебышева: Если случайная величина Х имеет конечное математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) , то для любого ε>0 справедливо равенство

Под законом больших чисел понимается обобщенное название группы теорем, утверждающих, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

Теорема Чебышева: Если дисперсии независимых случайных величин Х₁,Х₂,…,Хn ограничены сверху числом В, то для произвольного, сколь угодно малого ε>0 справедливы неравенство

 и предельное равенство 

Теорема Бернулли: Если вероятность успеха в каждом n независимых испытаний постоянна и равна p, то для произвольного, сколь угодно малого ε>0 справедливо равенство

  , где m – число успехов в серии из n испытаний.

26. Центральная предельная теорема (без док-ва). Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Центральная предельная теорема: Если случайные величины Х₁,Х₂,…,Х_n одинаково распределены и имеют конечную дисперсию σ², то при n→∞

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р успеха в каждом испытании отлична от 0 и 1, а число испытаний n достаточно велико, то для расчета Р_n(k) можно пользоваться приближенной формулой

(k=0,1,2,...),

где

Интегральная  теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р успеха в каждом испытании отлична от 0 и 1, а число испытание n достаточно велико, то для расчета вероятности Р_n(k₁;k₂) того, что число успехов в серии из n испытаний будет заключено в промежутке [k₁;k₂), можно пользоваться приближенной формулой Р_n(k_1,k₂) = Ф₀(u₂) – Ф₀(u₁)  (k₁ = 0,1,2,..; k₂>k₁), где

27. Двумерные случайные  величины, формы задания  закона распределения.

Двумерной называют случайную величину (X,Y), возможные значения которой есть пары чисел (x,y).

Дискретной  называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения  вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Он может быть задан:

1. в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности;
2. аналитически, например, в виде функции распределения.

Функцией  распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию F(x,y), определяющую для каждой пары чисел (x,y) вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение меньшее y: F(x,y) = P(X<x, Y<y).

28. Характеристики двумерной  случайной величины: математическое ожидание  и дисперсия компонент.

Зная  плотность распределения составляющих X и Y непрерывной двумерной случайной величины (X,Y), можно найти их математическое ожидание и дисперсии:M(X) = ∫x·f₁(x)dx, M(Y) = ∫y·f₂(y)dy;

D(X) = ∫[x-M(X)]²·f₁(x)dx = ∫x²·f₁(x)dx – [M(X)]²;

D(Y) = ∫[y-M(Y)]²·f₂(y)dy = ∫y²·f₂(y)dy – [M(Y)]².

29. Зависимость случайных величин. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их свойства.

Степень зависимости случайных величин  измеряется с помощью ковариации случайных величин X и Y:    cov(X,Y) = M[(X-MX)(Y-MY)]=>cov(X,Y)=M(XY)-MX·MY

Ковариация  может принимать произвольные вещественные значения, поэтому не вполне пригодна к использованию в качестве меры связи случайных величин. В этом смысле удобнее использовать коэффициент корреляции случайных величин Х и Y:

Если  коэффициент корреляции ρ(Х,Y)=0, то это не обязательно означает независимость случайных величин Х и Y. В этом случае говорят, что данные случайные величины некоррелированны. Из независимости следует некоррелированность, но наоборот – не всегда!

Коррелированными  называют две случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля.

30. Предмет математической  статистики. Генеральная  совокупность, выборка,  ее свойства.

Математическая  статистика изучает методы сбора, классификации, обработки и анализа данных, полученных опытным путем. Основная задача математической статистики состоит в получении выводов о массовых явлениях и процессах по данным наблюдений над ними или экспериментов. Генеральной совокупностью называют совокупность результатов всех мысленно возможных наблюдений за какой-либо случайной величиной Х, проводимых в одинаковых условиях. Выборкой называют результаты ограниченного числа наблюдений за случайной величиной Х. Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по выборке как некоторой части генеральной совокупности делать выводы о генеральной совокупности в целом.

Выборку называют репрезентативной, если она адекватно отражает исследуемые свойства генеральной совокупности. Конкретной выборкой называется конкретный набор чисел х₁,х₂,…,х_n, полученный в результате наблюдений за случайной величиной Х, т.е. набор, состоящий из n реализаций случайной величины Х.

Выборочным  средним называется: – эта величина является выборочным аналогом математического ожидания M(X). Выборочным аналогом дисперсии является: – эта величина называется выборочной дисперсией.

31. Статистический и  интервальный ряды  распределения.

Расположив  элементы выборки в порядке не убывания, получим вариационный ряд х₁,х₂,…,х_n. Если в вариационном ряду есть повторяющиеся элементы, то выборку можно записать в виде статистического ряда распределения, т.е. в виде таблицы:

Х	Х’1	X’2	...	X’k
р			...

Для непрерывных  случайных величин при достаточно больших объемах выборки n вместо статистического ряда распределения используют интервальный вариационный ряд,

X	[a1;a2)	[a2;a3)	...	[av;av+1)
p			...

Ширина  интервала

(где x_(min) – минимальный элемент выборки, х_(max) – максимальный, расчет Δ производится с числом знаков после запятой, на один больше чем в исходных данных). Границы интервалов считаются так: левая граница (л.г.)=х_(min)-0,5Δ; правая граница (п.г.)=(л.г)+Δ

32. Выборочные аналоги  функции распределения  и функции плотности.  Полигон, гистограмма,  кумулята.

Выборочным  аналогом плотности распределения  f_x(x) случайной величины Х служит выборочная плотность распределения . Графиком этой функции является гистограмма – ломанная с вершинами в точках , где через обозначены середины интервалов – полигоном частот, а фигура, состоящая из прямоугольников, в основании которых лежат интервалы группирования (a_j,a_j+1), а высотами являются значения , называется гистограммой. По выборочной плотности распределения легко построить выборочную функцию распределения:

При этом ломанная с вершинами в точках называется кумулятой.

33. Свойства точечных  оценок числовых  характеристик и  параметров распределения.

Статистической  оценкой называется любая функция γ=γ(Х₁,Х₂...,Х_n) от элементов выборки Х₁,Х₂,…,Х_n .

Оценка  обладающая свойством называется состоятельной оценкой.

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки .

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру .

Оценка, обладающая свойством  называется эффективной оценкой параметра Θ.

Выборочное  среднее  является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой математического ожидания МХ.

34. Точечная оценка  математического  ожидания и ее  свойства.

Несмещенная оценка математического ожидания

 

35. Точечная оценка  дисперсии, несмещенная  оценка дисперсии.

Смещенной оценкой дисперсии служит выборочная дисперсия

;

Несмещенной оценкой генеральной  дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

36. Метод моментов.  Метод максимального  правдоподобия.

Момент – числовая характеристика с.в.

Метод моментов:

1. Определяется зависимость Θ=g(α₁,α₂, …, α_r) параметра Θ от начальных моментов  с первого по r-й.
2. Для вычисления оценки параметров Θ по данному методу в эту зависимость g вместо неизвестных теоретических моментов подставляют их выборочные аналоги

Метод наибольшего правдоподобия:

1. Составляется функция правдоподобия:
2. Находится такое значение Θ, при котором эта функция является максимальной, т.е. , и выбирается в качестве оценки.

37. Интервальные оценки  параметров распределения.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

38. Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения.