Системы линейных уравнений

 

Оглавление

Введение........................................................................................................................................2

Глава I. Историческая справка.....................................................................................................4

Глава II. Системы линейных уравнений.....................................................................................5

2.1Системы линейных уравнений с двумя неизвестными.............................................5

2.2Основные методы решения  систем линейных уравнений с 2-мя неизвестными..8

2.3Системы линейных уравнений с тремя неизвестными...........................................12

2.4Основные методы решения систем линейных уравнений с 3-мя неизвестными.14

Глава III. Определители 2-го, 3-го и n-го порядка...................................................................17

3.1 Понятие определителей 2-го порядка......................................................................17

3.2 Основные свойства определителей 2-го порядка...................................................19

3.3 Понятие определителей 3-го порядка......................................................................21

3.4 Основные свойства определителей 3-го порядка...................................................23

Глава IV. Решение систем с двумя, тремя неизвестными с помощью определителя...........25

4.1 Метод Крамера...........................................................................................................25

4.2 Метод Гаусса..............................................................................................................27

Глава V. Результаты проведенного исследования...................................................................30

Заключение..................................................................................................................................35

Список литературы.....................................................................................................................36

Приложение. Банк задач для  самостоятельного решения.......................................................37

 

 

 

Введение.

Как сказал советский государственный  деятель М.И. Калинин: «Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она  окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе».

Действительно, чем стремительнее  развивает свой шаг прогресс, тем  более зависимыми мы становится от точной науки. Математика повсюду. От кодирования  данных для телефонных карт памяти, до сложнейших расчетов при прогнозировании  погоды.  
 Среди работодателей, распахивающих двери дипломантам физматов, числятся крупные консалтинговые, страховые и финансовые компании. Ну и разумеется, компьютерные фирмы, публикующие львиную долю вакансий для математиков. 

Таким образом, переоценить  значение математики в нашей жизни  очень трудно.

Для наиболее полного овладения  этой наукой необходимо детально и  углубленно изучать каждую тему. Одной  из  важных   тем  курса математики VII-XI классов можно назвать тему:   «Системы уравнений», так как к решению систем уравнений сводятся как текстовые задачи, с которыми учащиеся встречаются в курсе математики, так и многие  физические задачи. Но в школьном курсе системы уравнений рассматриваются не достаточно глубоко. А на выпускных экзаменах в школе и вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются задачи, связанные с решением  систем уравнений, в том числе и задачи, содержащие параметры, решение которых известными  методами  довольно  громоздкое. И зачастую они вызывают затруднение у поступающих. Чтобы избежать этих затруднений следует лучше изучить тему: «Системы линейных  уравнений  и  методы  их  решения». 
 Цель исследования – сравнить  различные методы решения систем  линейных уравнений с несколькими переменными и выявить наиболее рациональные из них.

Гипотеза исследования - системы линейных уравнений с некратными или представляющими собой обыкновенные дроби коэффициентами, а также содержащие параметры, удобнее решать с помощью определителей.    
 Задачи: 
1) Изучить основные понятия по теме: «Системы линейных  уравнений и методы  их  решения».

2) Проанализировать и  отобрать задания по указанной  теме.

3) Рассмотреть способы  решения систем  линейных уравнений и выбрать наиболее рациональные.

4) Составить банк задач  для самостоятельной работы.

Проблема: Выявление  рациональных  методов  решения  систем  линейных  уравнений  с  несколькими  переменными (решение  систем  линейных  уравнений  с  несколькими  переменными  известными  методами  довольно  громоздкое, особенно для  систем  содержащих  параметр)

Объект исследования: Системы линейных  уравнений 

Предмет исследования: Методы решения  систем  линейных уравнений

Характеристика материала  исследования: Рассматривались  системы  линейных  уравнений  с  несколькими  переменными, предлагаемые  для  подготовки  к  единому  государственному  экзамену, а  также  задания,  предлагаемые  на  вступительных  экзаменах  в  ВУЗ.

Использованные методы: Анализ, сравнение, обобщение.

Новизна работы: Удалось  выявить   методы решения  систем  линейных  уравнений  с  несколькими  переменными, отличные  от  известных, которые оказались наиболее рациональными при решении.

Практическая значимость: Данную работу можно использовать в  качестве учебного пособия как для  самостоятельной подготовки учащихся к выпускному  и  вступительному  экзаменам по математике, так и  для решения задач на уроках и  факультативах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава I. Историческая справка.

В алгебре под определителем  понимается функция, зависящая от n-значения, которое обозначает скалярную величину и представляется в соотношении  с конкретным параметром (nxn) квадратной матрицы.

С точки зрения истории, феномен  определителя стал изучаться раньше чем сами матрицы. Первоначально, определитель был представлен как собственно система линейных уравнений. Определитель «определял» имеет система одно или несколько возможных решений (в случае, когда определитель являлся ненулевым).  
 Впервые определители начали использовать в китайских учебниках по математике. В Европе же, парные определители подверглись поверхностным исследованиям Кордано в конце 16в., и в большей степени со стороны Лейбница.  
 В Японии определители использовались с целью изучения исключения переменной в системах алгебраических уравнений более высокого порядка.

В Европе Крамер (1750г) добавил к уже проведенным исследованиям в этой области, так называемое положение о системах уравнений. И только лишь в 1771г Вандермонд впервые представил определители в виде независимых функций, а в 1772г Лаплас сделал популярным среди математиков общий метод разложения определителя на дополнительные миноры.  
 Лагранж — первый, кто начал изучение определителей в рамках теории исключения. Гаусс в 1801г начал использовать феномен определителя в теории чисел. Он ввел в обиход термин «детерминант» (Лаплас называл его «результантом»), хотя и не в том понимании, которое присуще современной математике, тем не менее, в качестве дополнения к такому понятию как дискриминант.

Еще одной важной фигурой  в проведении исследований математического  феномена детерминанта или определителя, стал прусский математик Якоби. В  своих работах исследователь  большое количество времени посвятил изучению функционального определителя, который впоследствии стали называть определителем Якоби.

В результате заинтересованности подобного феномена и исследования его свойств с давних времен, в  современной математике стали известны такие понятия как осесимметричный определитель, пер-симметрический определитель, отклонения в значениях определителей и др.

 

Глава II. Системы линейных уравнений.

2.1 Системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

1. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

 

где х, у – неизвестные, f₁, f₂, g₁, g₂ – действительные числа.

Если  левые и правые части уравнений  системы являются многочленами от х и у или их можно представить в виде отношения многочленов, то систему называют алгебраической.

Решением  системы называется пора чисел х₀, у₀, при подстановке которых соответственно вместо х и у каждое уравнение системы становится верным числовым равенством. Множество решений может быть, в частности, пустым. В этом случае говорят, что система не имеет решений (несовместна).

Решить  систему – значит найти все  ее решения или установить, что  система не имеет решений.

2. Процесс решения системы обычно состоит в последовательном переходе с помощью некоторых преобразований от данной системы к другим, более простым. При этом нужно внимательно следить за тем, чтобы не потерять решения. Что касается посторонних для данной системы решений, которые могут появиться при преобразовании системы, то их обычно отсеивают с помощью проверки.

      Если в результате  преобразования системы (1) получена  система

 

такая, что каждое решение системы (1) является решением системы (2), то система (2) называется следствием системы (1). Аналогично, уравнение

F(x, y) =G(x, y)

называют следствием системы (1), если равенство

F(x₀, y₀) =G(x₀, y₀)

верно для каждой пары чисел  x₀,y₀, образующих решение системы (1).

Если система (2) является следствием системы (1), а система (1) также является следствием системы (2), то эти системы  называются равносильными. Иначе говоря, системы называются равносильными, если множества их решений совпадают. В частности, две системы, не имеющие  решений, являются равносильными.

Используя определения равносильности и следствия, можно утверждать, что:

1. Если в системе уравнений заменить какое-либо уравнение равносильным ему, а остальные уравнения оставить без изменения, то полученная при этом система будет равносильна исходной;
2. Если к данной системе присоединить уравнение, являющееся следствием этой системы, то полученная система будет равносильна исходной;
3. Если какое-либо уравнение данной системы заменить его следствием, а остальные уравнения оставить без изменения, то полученная система будет следствием исходной.

3. При решении систем уравнений нередко приходится применять такие преобразования систем, как умножение обеих частей уравнения на одно и то же число (или одну и ту же функцию), почленное сложение, вычитание, умножение и деление уравнений системы, возведение обеих частей уравнения в n-ю степень.

Сформулируем утверждения, связанные  с этими преобразованиями, опустив  в записи системы неизвестные.

1. Система

 

полученная почленным сложением и вычитанием уравнений системы (1), равносильна системе (1).

2. Система

                                                                                                               

является следствием системы (1). Если же функции f₂  и g₂  принимают неотрицательные значения в области определения системы (1), т.е. на множестве, где определены функции f₂  и g₂ , то система (3) равносильна системе (1).

3. Система

 

4.  Если не существует таких пар чисел x и y, при которых обе функции f₂  и g₂ одновременно обращаются в нуль, то система

 

является следствием системы (1), а при дополнительном требовании, что одновременно не обращаются в нуль функции f₂  и g₂, система (5) равносильна системе (1).

Эти свойства преобразований систем, доказательство которых легко можно  получить самостоятельно, широко применяются при решении систем с двумя и тремя переменными.

4. Введем еще одно понятие, играющее важную роль при решении систем уравнений.

Пусть система уравнений имеет  вид

 

Будем говорить, что система (6) равносильна  совокупности систем

 

и

 

если каждое решение системы (6) является решением хотя бы одной из систем (7), (8) и всякое решение каждой из систем (7), (8) есть решение системы (6).

Это означает, что множество решений системы (6) совпадает с объединением множеств решений систем (7) и (8). Поэтому вместо слов «система (6) равносильна совокупности систем (7) и (8)» говорят, что «система (6) распадается на системы (7) и (8)».

Обычно это понятие применяется  в случае, когда левую часть  одного из уравнений системы (6) удается  разложить на множители. Пусть, например, f₁=fg, где f и g – многочлены (или функции, которые определены на одном и том же множестве). Тогда система

 

равносильна совокупности систем

 

2.2 Основные методы решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными.

1. Метод подстановки

При решении систем уравнений часто  применяется метод подстановки (метод исключения неизвестного), с помощью которого решение системы с двумя неизвестными сводится к решению уравнения с одним неизвестным. В основе этого метода лежит утверждение.

Система уравнений

 

равносильна системе

¹

Алгоритм:

1. В одном из уравнений системы (в любом) выразить одно неизвестное через другое, например x через y;
2. Полученное выражение подставить в другое уравнение системы, получится одно уравнение с одним неизвестным y;
3. Решить это уравнение и найти значение y;
4. Подставить найденное значение y в выражение для x, найти значение x.

Пример: «Решить систему уравнений»

 

Решение

 

 

                   

Ответ: х=1, у=-1                      ²

2. Метод замены переменной (Метод введения новых переменных )

Одним из эффективных методов  решения систем уравнений является метод замены переменной, который  состоит в следующем. Пусть левые  части уравнений системы

 

записываются в виде F₁(x,y)=f₁(u,v), F₂(x,y)=f₂(u,v), где u=f₁ (x,y), v=f₂ (x,y). Тогда система примет вид

      

Если (u_k; v_k) – все решения этой системы, k=1,2,…,n, то, решив n систем уравнений

     

и объединив эти решения, найдем все решения исходной системы.

Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:

1. Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;
2. Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Пример: «Решить систему уравнений»

 

Решение

Введем новые неизвестные  u=1/x, v=1/y. Тогда система примет вид

 

Эта система равносильна  системе

 

имеющей единственное решение u=1/2, v=-1. Следовательно, x=1/u=2, y=1/v=-1

Ответ: (2;-1)

3. Метод алгебраического сложения

Метод сложения основан на следующих теоремах:

1. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной;
2. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

Алгоритм:

1. Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных;
2. Складывая или вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное;
3. Подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

Пример: «Решить систему уравнений»

 

Решение

       

 

   ; 4*(2)-5y=-22, y=6

Ответ: х=2, у=6         ³

4. Метод сравнения

Чтобы решить систему

 

Методом сравнения, предполагают, что эта система имеет решения  и из каждого уравнения системы  находят y (или x):

,     ,    

Приравнивая полученные для  y выражения

 

получим уравнение относительно неизвестного x. Это уравнение называется выводным из системы уравнений (10.1)

 Решая выводное уравнение при найдем

 

Подставляя найденное  значение x в какое-либо выражение для y, например в первое, получим

=,

Таким образом, если система (10.1) имеет решения, то ее решением будет

, при  ⁴ 
2.3 Системы линейных уравнений с тремя неизвестными.

В общем виде система трех линейных уравнений с тремя переменными записывается так:

                                          (11)

где x, y, z – неизвестные, а a₁, b₁,c₁,d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃ – коэффициенты системы (d₁,d₂, d₃ - свободные члены).

Всякое общее решение трех уравнений, образующих систему, называется решением системы. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными может иметь единственное решение, бесконечное множество решений и не иметь ни одного решения.

Так, например, система имеет единственное решение: x=1, y=2 и z=-3. Действительно, из третьего уравнения следует, что переменная z может иметь единственное значение, а именно z=-3. Теперь получаем

 

Эта система имеет единственное решение: x=1, y=2. Следовательно, и данная система также имеет единственное решение.

Рассмотрим другой пример. Система 

 

имеет бесконечное множество решений, поскольку всякое решение первого  уравнения является решением системы.

Наконец, системане имеет решений. В самом деле, заменяя третье уравнение ему равносильным уравнением и сравнивая его с первым уравнением системы, видим, что эти два уравнения не имеют общего решения. Из этого следует, что данная система не имеет решения.⁵

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4 Основные методы решения систем линейных уравнений с тремя неизвестными.

1. Метод подстановки

Из первого  уравнения системы (11) найдем

 

и подставим это значение z во второе и третье уравнения системы:

 

После преобразований получаем систему двух линейных уравнений  с двумя неизвестными

 

из которой находим

 

Подставляя значения x и y в (13), находим

 

После преобразований решение  системы (11) получаем в виде

 

 

2. Метод алгебраического сложения

Если обе части первого  и второго уравнений умножить соответственно на с₂ и с_{1 ,} а первого и третьего уравнений на с₃ и с₁ (с₁¹0, с₂¹0, с₃¹0) и полученные результаты почленно сложить, то получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

 

Определив из этой системы  по формулам

 

  

x и y, подстановкой в одно из уравнений системы (11) найдем z. В результате получаются формулы (14).

 

3. Метод сравнения

 

Чтобы решить систему уравнений (11) способом сравнения, найдем z из каждого уравнения системы:

 

 

 

Приравнивая выражения, полученные для  z, приходим к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

 

 

из которой найдем x и y, а затем, подставив эти значения в одно из выражений для z, найдем z. Таким образом, для системы (11) решение получаем в виде формул (14) для определения x,y,z при условии

 

В каждом из приведенных способов решения системы (11) предполагается, что эта система имеет решения. Таким образом, значения неизвестных (14) будут решением системы (11), если она имеет решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава III. Определители 2-го, 3-го и n-го порядка

3.1Понятие определителей 2-го порядка.

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными

 

Исключим из этой системы переменную у. Для этого умножим на b₂ обе части первого уравнения и на – b₂ – обе части второго (считаем b₁¹0, b₂ ¹0). Полученная система

 

равносильна данной. Сложим оба уравнения  системы:

(a₁b₂-a₂b₁)x = c₁b₂-c₂b₁                                                                                                                    (15)

Аналогично имеем (считая a₁¹0, a₂ ¹0)

(a₁b₂-a₂b₁)y = a₁c₂-a₂c₁                                                                                                    (16)

Тогда из уравнений (11) и (12) получаем

,                                                                        (17)

Если выполняется условие a₁b₂-a₂b₁ ¹0, то система (14) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (16). В самом деле, если (x; y) – решение системы (14), то каждое из равенств (15), (16), (17) является верным, т.е. решение системы (14) определяется формулами (17). Легко проверить, что если выполняется условие a₁b₂-a₂b₁ ¹0, то пара чисел x,y, которые определяются формулами (17), удовлетворяют системе (14).

Установим правило, по которому образованы правые части равенств (17). Пусть

- общий знаменатель дробей (16), т.е.

 

Число назовем определителем системы (14) и обозначим его символом

,                                                                                                                          (18)

а числа а₁, b₁, a₂, b₂ назовем элементами этого определителя. В первом и втором столбцах определителя (16) расположены соответственно коэффициенты при неизвестном х и неизвестном у системы (12). Диагональ, на которой расположены элементы a₁ и b₂,называют главной, а диагональ, на которой расположены элементы a₁ и b₁ определителя (16), называют побочной.

Из равенства

                                                                                                 (19)

следует, что определитель равен разности произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагоналях.

Обозначим числители в формулах (17) через и . Тогда, пользуясь правилом (19), получаем

 

 

  Следовательно, равенства (15) можно записать так:

 

 

   

Заметим, что определители и можно получить из определителя заменой столбца из коэффициентов соответственно при x и y системы (14) столбцом свободных членов этой системы. Определителя имеющие две строки и два столбца, называют определителями второго порядка.

3.2Основные свойства определителей второго порядка.

1. Величина определителя не изменится, если его строки заменить столбцами, а столбцы – строками.

,

т.е. столбцы и строки в определителе второго порядка равноправны. Доказательство следует из определения.

  Из этого свойства следует,  что все свойства, верные для  строк, будут верными для столбцов.

2. При перестановке строк определитель меняет знак:

.

Доказательство.

 

3. Если все элементы одной из строк определителя умножить на некоторое число k, то весь определитель умножится на это число:

 

Доказательство.

 

4. Если элементы одной строки пропорциональны элементам другой, то определитель равен 0:

0

Доказательство.

 

Следствие. Если строки определителя одинаковы, то он равен 0:

 

5. Если к одной из строк определителя прибавить другую, умноженную на любое число, то величина определителя не изменится:

 

Доказательство.

+

6. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) можно представить как сумму двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей. У первого из слагаемых определителей элементами соответствующей строки (столбца) будет первое слагаемое, а у другого - второе. Остальные элементы этих определителей будут такие же, как у исходного.

Доказательство.

 

 

Сравнивая результат с  исходным определителем убеждаемся в справедливости шестого свойства.