Системы линейных неравенст
реферат
Курсовая работа: 32 с., 12 рис., 3 табл., 4 источника.
выпуклое множество, n - мерное пространство, нормальная система неравенств, однородная система неравенств, полупространства, фундаментальный набор решений
Объект исследования – системы линейных неравенств.
Предмет исследования – решения систем линейных неравенств и их применение в экономике.
Цель работы: изучить методы нахождения областей решений систем линейных неравенств, показать их значение в экономике.
Методы исследования: экономико-математические, описания и моделирования, классификации.
Исследования и разработки: изучены методы нахождения областей решений систем линейных неравенств, на примере экономической задачи показано их применение на практике.
Область возможного практического применения: все экономические задачи в которых возможно применение изученных методов.
Значимость: данные методы нахождения областей решений систем линейных неравенств могут применяться для решения различного рода экономических задач.
Автор работы подтверждает, что приведенный в ней расчётно-аналитический материал объективно отражает состояние исследуемого процесса, а все заимствованные из литературных и других источников теоретические, методологические и методические положения и концепции сопровождаются ссылками на их авторов.
содержание
введение…………………………………………………………
1. области решений систем линейных неравенств с различным количеством неизвестных
1.1 область решений системы неравенств с двумя неизвестными…………...4
1.2 область решений системы неравенств с тремя неизвестными…………..10
1.3 область решений системы неравенств с любым числом неизвестных…15
2. однородные и неоднородные системы линейных неравенств
2.1 однородная система линейных
неравенств. фундаментальный набор решений……………………………………………………………
2.2 неоднородная система линейных
неравенств. фундаментальный набор решений……………………………………………………………
3. применение линейных неравенств в экономике
заключение……………………………………………………
список использованных источников……………………………………….32
Отдельные свойства систем линейных неравенств рассматривались еще в первой половине 19 века в связи с некоторыми задачами аналитической механики. Систематическое же изучение систем линейных неравенств началось в самом конце 19 века, однако о теории линейных неравенств стало возможным говорить лишь в конце двадцатых годов 20 века, когда уже накопилось достаточное количество связанных с ними результатов.
Сейчас теория конечных систем линейных неравенств может рассматриваться как ветвь линейной алгебры, выросшая из неё при дополнительном требовании упорядоченности поля коэффициентов.
Линейные неравенства имеют особо важное значение для экономистов, т.к именно при помощи линейных неравенств можно смоделировать производственные процессы и найти наиболее выгодные планы производства, транспортировки, размещения ресурсов и т. д.
В данной работе изложены методы нахождения областей решений систем линейных неравенств, а также решения однородных и неоднородных систем линейных неравенств и их практическое применение на примере экономической задачи.
Основным материалом для курсовой работы послужили учебное пособие «Системы линейных неравенств» Солодовникова А. С., где подробно изложены все свойства систем линейных неравенств, а также методическое пособие «Экономические задачи, приводящиеся к системам линейных уравнений и неравенств» и «Сборник задач и упражнений по высшей математике» Кузнецова А. В., Кузнецовой Д. С., где в доступной форме приведены примеры решений экономических задач с помощью линейных неравенств.
1. области решений систем линейных неравенств с различным количеством неизвестных
1.1 область решений системы неравенств с двумя неизвестными
Решение любой системы линейных неравенств сводится к решению ряда систем линейных уравнений.
1. Необходимые леммы. Пусть дана система неравенств
Оказывается целесообразным наряду с ней рассмотреть соответствующую систему однородных неравенств
а также соответствующую систему однородных уравнений
Область решений системы (1) на координатной плоскости хОу обозначим через , системы (2) — через 0, системы (3) — через . Очевидно, 0
Лемма 1. Имеет место включение
т. е. сумма любого решения данной системы неравенств с любым решением соответствующей однородной системы неравенств является снова решением данной системы.
Доказательство. Пусть А — произвольная точка из , В — произвольная точка из 0. Тогда справедливы неравенства
a1xA + b1yA + c1 ≥ 0, a1xB + b1yB ≥ 0,
a2xA + b2yA + c2≥ 0, и a2xB + b2yB ≥ 0,
…………………… ………………..
amxA + bmyA + cm ≥ 0, amxB + bmyB ≥ 0.
Складывая каждое неравенство, написанное слева, с соответствующим неравенством, написанным справа, получим
a1(xA+xB)+b1(yA+yB)+c1≥0,
a2(xA+xB)+b2(yA+yB)+c2≥0,
………………………………
am(xA+xB)+bm(yA+yB)+cm≥0.
Эти неравенства означают, что пара чисел xA+ хB , yA + yB — координат точки А + В — является решением исходной системы (1), т. е. что A+В . Лемма доказана.
Лемма 2. 1) Если некоторый луч с началом в точке А целиком принадлежит множеству и Р — произвольная точка этого луча, то Р — А 0.
2) Если некоторая прямая целиком принадлежит множеству и А, Р — две произвольные точки этой прямой, то Р — А.
Доказательство 1). Обозначим точку Р — А через В. Рассматриваемый нами луч состоит из точек следующего вида:
где s — произвольное неотрицательное число (рис. 1). Любая из этих точек является по условию решением системы (1), т. е.
Рассмотрим, например, первое из этих неравенств. Оно может быть записано в виде
(а1хА + b1 yA+ c1) + s(а1хB + b1yB)≥ 0.
Поскольку это неравенство справедливо при любом s ≥ 0, то коэффициент при s, как нетрудно видеть, должен быть неотрицательным числом:
a1хB + b1уB ≥ 0.
Аналогично из рассмотрения остальных неравенств (5) можно получить
а2хB +y2уB ≥0,
………………
amхB +ymуB ≥0,
откуда видно, что точка В принадлежит множеству 0.
Доказательство 2) проводится аналогично. Рассматриваемая прямая состоит из точек вида (4), где s — произвольное число. Поэтому неравенства (5) справедливы при любом значении s. Отсюда вытекает, что в каждом из этих неравенств суммарный коэффициент при s должен равняться нулю, т. е.
a1хB +b1yB = 0,
a2хB +b2yB = 0,
………………
amхB +bmyB = 0.
Следовательно, В . Лемма доказана.
Леммы 1 и 2 справедливы для систем с любым числом неизвестных.
2. Случай, когда система неравенств (1) нормальная. Рассмотрим снова систему неравенств (1) и соответствующую ей систему однородных уравнений (3), Последняя имеет очевидное решение х = 0, у = 0. Это решение называется нулевым. Для исследования системы (1) оказывается важным знать, имеет ли система (3) также и ненулевые решения. В связи с этим введем такое
Определение. Система линейных неравенств называется нормальной, если соответствующая система линейных однородных уравнений имеет только нулевое решение.
Другими словами, система неравенств нормальна, если определенное выше множество — область решений соответствующей однородной системы уравнений — содержит только одну точку (начало координат).
Разумеется, понятие нормальной системы имеет смысл при любом числе неизвестных.
Нетрудно показать, что совместная система неравенств нормальна тогда и только тогда, когда область ее решений не содержит ни одной прямой.
Действительно, если система нормальна, т. е. множество содержит только начало координат, то область не содержит прямых — это сразу же следует из второго утверждения леммы 2. Если система не является нормальной, то множество содержит по крайней мере одну точку В, отличную от начала координат. Разумеется, все точки вида kB, где k — любое число, также принадлежат . Но в таком случае, какова бы ни была точка Р (а такая точка обязательно найдется, ибо система совместна и, следовательно, область не пуста), множество всех точек вида Р + kB (где k — любое число) по лемме 1 принадлежит . Указанное множество, как мы знаем, есть прямая линия. Значит, в случае, когда система не нормальна, область содержит прямую. Этим полностью доказано подчеркнутое выше предложение.
Изучим область решений системы (1), предполагая, что эта система совместна (область не пуста) и нормальна.
Прежде всего, из того факта, что область не содержит прямых, вытекает, что она обязательно имеет вершины. В понятие вершины мы вкладываем следующий смысл (близкий к интуитивному пониманию слова «вершина»).
Вершиной области называется такая точка области, которая не является внутренней точкой ни для одного отрезка, целиком лежащего в . Другими словами, вершина есть точка А , обладающая тем свойством, что любой отрезок, принадлежащий и проходящий через А, должен иметь в этой точке начало или конец (рис. 2, а и б, где точка А — одна из вершин; на рис. 2, б область есть отрезок).
Поясним подробнее, почему интересующее нас выпуклое множество имеет вершины. Если лежит на прямой, то это либо отдельная точка, либо отрезок, либо луч, и существование вершин очевидно. Если же не лежит на прямой, то рассмотрим границу этого множества. Она состоит из отрезков и лучей (полных прямых не содержит). Очевидно, конец любого из таких отрезков и начало любого из лучей будут вершинами .
Нахождение вершин области не представляет особого труда. Прежде всего заметим, что i-му неравенству системы (1) на координатной плоскости хОу отвечает полуплоскость, граничная прямая которой li определяется уравнением aix+bly+c1 = 0 (i=1, 2, … , m).
Очевидно, точка А из области в том и только в том случае является вершиной, когда она принадлежит двум различным граничным прямым.
Условимся называть правильной любую подсистему из двух уравнений системы
при условии, что эта подсистема имеет единственное решение (х,у).
Из данной выше характеристики вершины вытекает теперь следующий способ нахождения вершин области .
Чтобы найти все вершины, следует найти решения всех правильных подсистем системы (6) и отобрать из них те, которые удовлетворяют исходной системе (1).
Поскольку число правильных подсистем не превосходит — числа сочетаний из m по 2, — то и вершин области не может быть больше. Итак, число вершин конечно.
Замечание. Из сказанного выше вытекает, что если область решений нормальной системы не имеет ни одной вершины, то эта область пуста — система не имеет решений (несовместна).
Пример 1. Найти все вершины области , определяемой системой неравенств
Решая подсистемы
(все они оказываются правильными), находим три точки:
(0, -1), (1, -2), (2, 0),
из которых только вторая и третья удовлетворяют всем заданным неравенствам. Значит, вершинами области являются точки A1(1, -2) и A2 (2, 0).
Вернемся к системе (1). Пусть А1 , A2, ..., Ар — все вершины области . Множество <А1,А2, …Ар> — выпуклая оболочка системы точек А1,А2, …Ар —также принадлежит (т. к. — выпуклая область). Но тогда по лемме 1 и множество
<А1, А2, …, Ар>+
принадлежит . Покажем, что в действительности эта сумма совпадает с , т. е. что справедлива следующая
Теорема. Если система неравенств нормальна, то
= <А1, А2, …Ар>+ ,
где А1,А2, …Ар — все вершины области .
Доказательство. Пусть Р — произвольная точка области , отличная от вершин области. Прямая A1P пересекает выпуклую область либо по некоторому отрезку A1A (рис. 3), либо по лучу с началом в A1 (рис. 4). Во втором случае Р - A1 (лемма 2), следовательно, Р A1+. В первом же
случае рассуждаем так: если точка А лежит на ограниченном ребре AiAj области (как на рис. 34), то Р принадлежит выпуклой оболочке точек A1, Ai, Aj, если же точка А лежит на неограниченном ребре с началом в вершине Ai (рис. 5), то по лемме 1 имеем А, в силу чего Р <A1, Ai>+ . Таким образом, во всех случаях точка Р оказывается принадлежащей множеству <> + . Теорема доказана.
Для полного описания области не хватает только умения находить область Она представляет собой область решений однородной нормальной системы (2). К ее описанию мы и переходим.
3. Однородная нормальная система неравенств (2).
Каждое из неравенств (2) определяет полуплоскость, граничная прямая которой проходит через начало координат. Общая часть этих полуплоскостей и есть .
В данном случае среди граничных прямых имеются по крайней мере две различные (система (2) нормальна). Следовательно, либо совпадает с началом координат (х = 0, у = 0), либо есть луч с вершиной в начале координат, либо представляет собой некоторый угол, меньший 180°, с вершиной в начале координат. Если мы будем знать две точки В1 и В2,лежащие на разных сторонах этого угла (рис. 6), то все точки угла запишутся в виде
B = t1B1+t2В2,
где t1 и t2 — произвольные неотрицательные числа. Но отыскать точки В1 и В2 совсем нетрудно, если учесть, что каждая из них: а) принадлежит , т. е. удовлетворяет системе (2), и б) лежит на границе , т. е. удовлетворяет одному из уравнений (3). Если есть луч, то вместо (8) имеем
В = tВ1,
где B1 — любая точка этого луча (отличная от начала), a t — произвольное неотрицательное число.
Пример 2. Найти область решений системы
а также область решений системы примера 1.
Решение. Система (10) нормальна: единственное решение соответствующей однородной системы уравнений
есть (0, 0).
Выберем какую-либо точку, удовлетворяющую первому из уравнений (11) (но отличную от (0, 0)), например, точку С(—1, 1). Простой проверкой убеждаемся, что точка С удовлетворяет не всем неравенствам (10), следовательно, ни сама она, ни какая-либо точка луча ОС (отличная от начала О) не принадлежат . Рассмотрев точку — С (т.е. точку (1, —1)), находим, что она принадлежит Итак, В1 =(1, —1). Второму уравнению удовлетворяет точка (2, 1); она тоже является решением системы (10), так что В2 — (2, 1). Область состоит из точек (рис. 7)
t1B1+t2B2=t1(1, —1)+t2(2, 1)=t1+2t2, —t1+t2),
где t1 и t2 — произвольные неотрицательные числа.
Обращаясь к системе неравенств примера 1, мы замечаем, что соответствующая ей однородная система неравенств есть как раз (10). По доказанной выше теореме имеем
= <А1, А2>+ ,
где A1(1, —2) и А2(2, 0) — вершины области . Итак, состоит из точек (рис. 8)
s(1, - 2)+(1- s)(2, 0)+(t1+2t2, -t1+t2)=(2-s+t1+2t2, -2s –t1+t2),
где s — любое число из промежутка [0, 1], а t1, t2 — любые неотрицательные числа.
4. Случай, когда система неравенств (1) не является нормальной. Это означает, что область решений однородной системы уравнений (3) содержит не только начало координат. Следовательно, все уравнения (3) определяют на плоскости одну и ту же прямую, и эта прямая есть .
Согласно лемме 1 область вместе с каждой своей точкой Р содержит прямую Р + (прямую, проходящую через Р параллельно ). Рассмотрим какую-нибудь прямую, не параллельную . Если мы будем знать, какие точки прямой принадлежат области , — множество этих точек обозначим , — то сможем найти и саму область , ибо тогда = + (рис. 9).
Уравнение прямой есть а1x+b1у = 0. В этом уравнении один из коэффициентов а1 или b1 отличен от нуля; пусть, например, b1 ≠ 0. Тогда в качестве прямой , не параллельной , можно взять ось у (ее уравнение есть x = 0). В этом случае множество — будем теперь обозначать его — есть часть оси у, попавшая в . Чтобы найти это множество, следует положить в системе (1) х=0. Тогда получим систему неравенств
с одним неизвестным у. Заметим, что множество может быть или пустым множеством (тогда и пустое), или точкой, отрезком, лучом (но не всей осью у, ибо в противном случае есть вся плоскость, что невозможно). Найдя это множество, мы будем знать и область , ибо
=+
(если не параллельна оси у).
1.2 область решений системы неравенств с тремя неизвестными
Наряду с системой
рассмотрим ещё 2 системы:
Область решений системы (1) обозначаем через , системы (2) – через , системы (3) – через . Можно сказать, что есть некоторая выпуклая многогранная область в пространстве, а – выпуклый многогранный конус.
1. Случай, когда система неравенств (1) нормальна. Тогда область не содержит прямых и, следовательно, имеет хотя бы одну вершину. В самом деле, если лежит в плоскости, то — выпуклая многоугольная область на плоскости, не содержащая прямых, и поэтому обязана иметь вершины. Если же область не лежит в плоскости, то рассмотрим ее границу. Она состоит из плоских граней, каждая из которых — как выпуклая многоугольная область, не содержащая прямых, — должна иметь вершины. Но легко видеть, что вершина любой грани является одновременно и вершиной области .
В каждой вершине А области сходятся по крайней мере три граничные плоскости, для которых точка А является единственной общей точкой. В самом деле, если бы это было не так, то все граничные плоскости, проходящие через А, или совпали бы, или имели бы общую прямую. Но тогда достаточно малый отрезок, проходящий через А и лежащий в общей граничной плоскости или на общей граничной прямой, принадлежал бы , что противоречит определению вершины.
Следуя сказанному выше внесём изменения в способ отыскания вершин. А именно, правильной подсистемой теперь следует называть подсистему не из двух, а из трех уравнений системы
при условии, что решение (х, у, z) этой подсистемы единственно. При таком понимании правильной подсистемы способ отыскания вершин остается в точности тем же, что и раньше, а именно:
Чтобы найти все вершины области , следует найти решения всех правильных подсистем системы (4) и отобрать среди них те, которые удовлетворяют исходной системе (1).
Пример 1. Найти вершины области , определенной с помощью системы неравенств
В данном случае соответствующая однородная система уравнений имеет вид
Решая ее, убеждаемся, что единственное решение есть (0, 0, 0) — система (5) нормальна.
Для нахождения вершин нам придется рассмотреть всевозможные подсистемы из трех уравнений системы (4):
Проделав необходимые вычисления, найдем, что все подсистемы правильны, и их решениями являются точки
(), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0),
из которых первая не удовлетворяет системе (5), а остальные три удовлетворяют. Следовательно, вершины области :
A1(1,0,0), A2 (0, 1,0), A3 (0,0, 1).
2. Нормальная
однородная система неравенств
В данном случае пересечением граничных плоскостей является единственная точка — начало координат. Другими словами, множество — область решений системы (2) — есть выпуклый многогранный конус с единственной вершиной. В нашем случае есть либо бесконечная выпуклая пирамида, либо плоский угол, либо луч, либо, наконец, одна точка (начало координат). Последний случай оставим пока в стороне. Во всех остальных случаях имеем
= (В1, В2, …, Bq),
где В1 В2, ..., Bq — какие-либо точки, выбранные по одной на каждом ребре конуса . Найти такие точки можно, исходя из следующего соображения. Каждая из них: а) принадлежит , т. е. удовлетворяет системе (2), и б) принадлежит линии пересечения двух различных граней, т. е. удовлетворяет двум непропорциональным уравнениям из системы (3).
Если окажется, что единственная точка, удовлетворяющая условиям а) и б), есть (0, 0, 0), то область совпадает с началом координат.
Пример 2. Найти область решений системы
и далее область решений системы из примера 1.
Прежде всего заметим, что система (6) связана с системой неравенств (5) из примера 1; именно, (6) есть однородная система, отвечающая (5). Следовательно, система (6) нормальна.
В данном случае систему из двух непропорциональных уравнений можно составить шестью различными способами:
Для каждой из этих шести систем выбираем два ненулевых решения: (х, у, z) и (-х, -у, -z). Например, для первой системы можно взять (3, —1, —1) и _(—3, 1, 1); неравенствам (6) удовлетворяет только первое из этих решений. Отсюда получаем точку B1 = (3, —1, —1). Поступая аналогично с остальными пятью системами, находим точки В2 = (—1, 3, —1) и В3 = (—1, —1, 3). Итак, область состоит из точек вида
t1B1+t2B2+t3B3=(3t1—t2—t3, —t1+3t2—t3, —t1—t2+3t3),
где t1, t2, t3 — произвольные неотрицательные числа. Обратимся теперь к системе неравенств (5) из примера 1. Соответствующая ей однородная система, как уже отмечалось, есть как раз (6). Следовательно, область имеет вид
<A1, A2, A3>+
и состоит из точек
s1A1+s2A2+s3A3+t1B1+t2B2+t3B3= s1(1, 0, 0)+s2(0, 1, 0)+s3(0, 0, 1)+ t1(3, —1, —1)+t2(—1, 3, —1)+t3(—1, —1, 3)=(s1+3t1—t2—t3, s2—t1+3t2—t3, s3—t1—t2+3t3),
где числа t1, t2, t3 произвольные неотрицательные, a s1, s2, s3 неотрицательны и в сумме дают 1.
3°. Случай, когда система неравенств (1) не является нормальной. Это означает, что область решений однородной системы уравнений (3) содержит точки, отличные от начала координат. Так как представляет собой пересечение плоскостей, то возможны два случая:
1. есть прямая. Согласно лемме 1 область вместе с каждой своей точкой Р содержит прямую Р + . Рассмотрим какую-нибудь плоскость , непараллельную . Если мы будем знать, какие точки плоскости принадлежат области — множество этих точек обозначим , — то сможем найти и саму область , ибо тогда = +
Но, какова бы ни была прямая, в качестве непараллельной ей плоскости всегда можно выбрать одну из координатных плоскостей хОу, хОz или уОz. Допустим, например, что не параллельна плоскости yOz. Примем эту плоскость за . В этом случае множество — будем обозначать его теперь — есть часть плоскости yOz, попавшая в Ж (рис. 10).
Чтобы найти это множество, следует положить в системе (1) x = 0. Тогда получим систему неравенств
Найдя множество , сможем записать
(если прямая не параллельна плоскости yOz), что и дает полное описание области .
Замечание. Если окажется, что множество пустое, то и пустое. Это означает, что система (1) несовместна.
Пример 3. Найти область решений системы
Рассмотрим соответствующую однородную систему уравнений
Решая ее, обнаруживаем, что третье уравнение есть следствие первых двух, так что система сводится к первым двум уравнениям. Множество ее решений есть прямая, по которой пересекаются плоскости
и
Выберем какую-нибудь точку В на прямой , отличную от начала координат. Для этого достаточно найти какие-нибудь три числа х, у, z (не равные од новременно нулю), удовлетворяющие первым двум уравнениям системы (10). Возьмем, например, 1, 1, 1. Итак, есть прямая ОВ, где В = (1, 1, 1).
Легко видеть, что прямая не параллельна, например, координатной плоскости yOz. Полагая в системе (9) х = 0, получим систему
с двумя неизвестными у и z, которая нормальна. Проделав необходимые вычисления, найдем, что есть множество, состоящее из одной точки А() (в плоскости yOz). Следовательно, искомая область состоит из всех точек вида
A+tB=(0, )+t1(1, 1, 1)=(t, , ),
где t — любое неотрицательное число (область есть прямая, параллельная ).
2. есть плоскость. Тогда в качестве секущего множества берем какую-нибудь прямую, не параллельную этой плоскости; в частности, можно взять одну из координатных осей. Допустим, например, что ось z не параллельна ; примем ее за . Чтобы найти множество — часть оси z, попавшую в — следует положить в системе (1) х = 0, у = 0. Тогда получим систему неравенств:
Найдя множество сможем записать (рис. 11).
=+
(если плоскость не параллельна оси z), что и дает полное описание .
Замечание. Если множество окажется пустым, то и пустое. В этом случае система (1) несовместна.
Пример 4. Найти область решений системы
В данном случае соответствующая однородная система уравнений имеет вид
Здесь второе уравнение есть следствие первого, поэтому область решений системы (14) есть плоскость , определяемая уравнением
Легко видеть, что эта плоскость пересекает ось z в единственной точке и, следовательно, не параллельна оси z. Найдем множество .
Полагая в системе (13) x=0, y=0, получим систему
из которой следует, что
Итак, есть множество + , состоящее из точек вида (0, 0, z) + (х, у, —x + y) = (x,y,z — x + y), где х и у произвольны, a z удовлетворяет неравенствам (15).
1.3 область решений системы неравенств с любым числом неизвестных
В приложениях линейной алгебры чаще всего практический смысл имеют системы неравенств с числом неизвестных n > 3.
Для геометрического истолкования системы линейных неравенств с n неизвестными нам необходимо обратиться к так называемому n -мерному пространству.
Точка n-мерного пространства по определению задается упорядоченным набором из n чисел x1, x2, …, xn, называемых координатами точки. Мотивом к подобному определению является тот основной для аналитической геометрии факт, что точка на плоскости характеризуется парой чисел, а в пространстве — тройкой чисел. В дальнейшем вместо того, чтобы говорить «точка М имеет координаты x1, x2, …, xn», мы будем писать М = (x1, x2, …, xn) или просто М(x1, x2, …, xn). Точка (0, 0, ..., 0) называется началом координат или просто началом.
- Системы линейных уравнений
- Системы линейных уравнений и матрицы. Матричный способ решения систем
- Системы линейных уравнений. Основные методы решения
- Системы массового обслуживания
- Системы массового обслуживания при наличии входного и выходного потоков
- Системы массового обслуживания(СМО). Характеристики СМО
- Системы массового обслуживания с отказами в хозяйственной деятельности
- Системы контроля и доступа в помещения гостиниц: электронные замки и смарт-карты
- Системы контроля и доступа в помещения гостиниц: электронные замки, смарт-карты
- Системы контроля и управления доступом
- Системы контроля требований безопасности и экологичности
- Системы координат, применяемые в топографии
- Системы координат, применяемые в топографии и геодезии
- Системы корпоративных порталов
