Специальная теория относительности Эйнштейна. 2

Федеральное агентство по образованию

Государственного образовательного учреждения

Высшего профессионального образования

«УрФУ(ф) имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

 

 

 

 

 

Тема: «Специальная теория относительности Эйнштейна»

 

 

 

 

 

Студента группы МТ-120801-КУ                                                        Липин Д. А.

Преподаватель:                                                                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г. Каменск-Уральский

2013г

Содержание

 

Введение

1. Механический принцип относительности преобразования Галилея

 

2. Постулаты современной теории относительности

 

3. Преобразования Лоренца

 

4. Следствия из преобразований Лоренца

 

 

 Одновременность событий в разных системах отсчета.

 

2. Длительность событий в разных системах отсчета.

 

3. Длина тел в разных системах отсчета.

 

4. Преобразование и сложение скоростей.

 

5. Интервал между событиями

 

5. Основной закон релятивистской динамики материальной точки

 

6. релятивистский импульс материальной точки.

 

7. Взаимосвязь массы и энергии

 

8. Границы применимости специальной теории относительности

 

Заключение

 

Список использованной литературы

 

Введение

 

Еще в конце XIX века большинство  ученых склонялось к точке зрения, что физическая картина мира в  основном построена и останется  в дальнейшем незыблемой - предстоит  уточнять лишь детали. Но в первые десятилетия ХХ века физические воззрения изменились коренным образом. Это было следствием «каскада» научных открытий, сделанных в течение чрезвычайно короткого исторического периода, охватывающего последние годы ХIХ столетия и первые десятилетия ХХ, многие из которых совершенно не укладывались в представление обыденного человеческого опыта. Ярким примером может служить теория относительности, созданная Альбертом Эйнштейном (1879-1955).

Описывая ход своих рассуждений, Альберт Эйнштейн указывает на два аргумента, которые свидетельствовали в пользу всеобщности принципа относительности:

• этот принцип с большой точностью выполняется в механике, и поэтому можно надеяться, что он окажется правильным и в электродинамике.
• если инерциальные системы неравноценны для описания явлений природы, то разумно предположить, что законы природы проще всего описываются, лишь в одной инерциальной системе.

 

Цель данной работы всестороннее изучение и анализ создания специальной теории относительности Альбертом Эйнштейном.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Механический принцип относительности преобразования Галилея

 

Если системы отсчета движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно и в одной из них справедливы законы динамики Ньютона, то эти системы являются инерциальными. Установлено также, что во всех инерциальных системах отсчета законы классической динамики имеют одинаковую форму; в этом суть механического принципа относительности (принципа относительности Галилея).

Для его доказательства рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему К (с координатами х, у, z), которую условно будем считать неподвижной, и систему (с координатами х', у', z'), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью ( = const). Отсчет времени начнем с момента, когда начала координат обеих систем совпадают. Пусть в произвольный момент времени t расположение этих систем относительно друг друга имеет вид, изображенный на рис. 9.1. Скорость направлена вдоль ОО', радиус-вектор, проведенный из О в О', .

Рис. 9.1.

 

Найдем связь между координатами произвольной точки А в обеих системах. Из рис. 9.1 видно, что

     (9.1)

 

Уравнение (9.1) можно записать в проекциях на оси координат:

 

      (9.2)

 

Уравнения (9.1) и (9.2) носят название преобразований координат Галилея.

В частном случае, когда  система К' движется со скоростью вдоль положительного направления оси х системы К (в начальный момент времени оси координат совпадают), преобразования координат Галилея имеют вид

 

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета, т.е. к преобразованиям (9.2) можно добавить еще одно уравнение:

       (9.3)

 

Записанные соотношения  справедливы лишь в случае классической механики ( ), а при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более общими преобразованиями Лоренца (X. Лоренц (1853–1928) – нидерландский физик-теоретик).

Продифференцировав выражение (9.1) по времени (с учетом (9.3)), получим уравнение

_,      (9.4)

которое представляет собой правило сложения скоростей в классической механике.

 

Ускорение в системе отсчета К          

Таким образом, ускорение точки А в системах отсчета K и К', движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, одинаково:

.     (9.5)

 

Следовательно, если на точку А другие тела не действуют ( ), то согласно (9.5) и _, система К' является инерциальной (точка движется относительно нее равномерно и прямолинейно или покоится).

Таким образом, из соотношения (9.5) вытекает доказательство механического принципа относительности: уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяются, т.е. являются инвариантными по отношению к преобразованиям координат. Галилей обратил внимание, что никакими механическими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится ли она или движется равномерно и прямолинейно. Например, сидя в каюте корабля, движущегося равномерно и прямолинейно, мы не можем определить, покоится корабль или движется, не выглянув в окно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Постулаты современной теории относительности

 

В 1905 году Альберт Эйнштейн, исходя из невозможности обнаружить абсолютное движение, сделал вывод о равноправии всех инерциальных систем отсчета. Он сформулировал два важнейших постулата, которые составили основу новой теории пространства и времени, получившей название Специальной Теории Относительности (СТО):

1. Принцип относительности Эйнштейна - этот принцип явился обобщением принципа относительности Галилея на любые физические явления. Он гласит: все физические процессы при одних и тех же условиях в инерциальных систем отсчета (ИСО) протекают одинаково. Это означает, что никакими физическими опытами, проведенными внутри замкнутой ИСО, нельзя установить, покоится ли она или движется равномерно и прямолинейно. Таким образом, все ИСО совершенно равноправны, а физические законы инвариантны по отношению к выбору ИСО (т.е. уравнения, выражающие эти законы, имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета).

2. Принцип постоянства скорости  света - скорость света в вакууме постоянна и не зависит от движения источника и приемника света. Она одинакова во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в вакууме - предельная скорость в природе - это одна из важнейших физических постоянных, так называемых мировых констант.

Глубокий анализ этих постулатов показывает, что они противоречат представлениям о пространстве и времени, принятым в механике Ньютона и отраженным в преобразованиях Галилея. Действительно, согласно принципу 1 все законы природы, в том числе законы механики и электродинамики, должны быть инвариантны по отношению к одним и тем же преобразованиям координат и времени, осуществляемым при переходе от одной системы отсчета к другой. Уравнения Ньютона этому требованию удовлетворяют, а вот уравнения электродинамики Максвелла – нет, т.е. оказываются не инвариантными. Это обстоятельство привело Эйнштейна к выводу о том, что уравнения Ньютона нуждаются в уточнении, в результате которого как уравнения механики, так и уравнения электродинамики оказались бы инвариантными по отношению к одним и тем же преобразованиям. Необходимое видоизменение законов механики и было осуществлено Эйнштейном. В результате возникла механика, согласующаяся с принципом относительности Эйнштейна – релятивистская механика.

Создатель теории относительности  сформулировал обобщенный принцип  относительности, который теперь распространяется и на электромагнитные явления, в  том числе и на движение света. Этот принцип гласит, что никакими физическими опытами (механическими, электромагнитными и др.), производимыми внутри данной системы отсчета, нельзя установить различие между состояниями покоя и равномерного прямолинейного движения. Классическое сложение скоростей неприменимо для распространения электромагнитных волн, света. Для всех физических процессов скорость света обладает свойством бесконечной скорости. Для того чтобы сообщить телу скорость, равную скорости света, требуется бесконечное количество энергии, и именно поэтому физически невозможно, чтобы какое-нибудь тело достигло этой скорости. Этот результат был подтвержден измерениями, которые проводились над электронами. Кинетическая энергия точечной массы растет быстрее, нежели квадрат ее скорости, и становится бесконечной для скорости, равной скорости света.

Скорость света является предельной скоростью распространения материальных воздействий. Она не может складываться ни с какой скоростью и для  всех инерциальных систем оказывается  постоянной. Все движущиеся тела на Земле по отношению к скорости света имеют скорость, равную нулю. И в самом деле, скорость звука всего лишь 340 м/с. Это неподвижность по сравнению со скоростью света.

Из этих двух принципов — постоянства  скорости света и расширенного принципа относительности Галилея — математически следуют все положения специальной теории относительности. Если скорость света постоянна для всех инерциальных систем, а они все равноправны, то физические величины длины тела, промежутка времени, массы для разных систем отсчета будут различными. Так, длина тела в движущейся системе будет наименьшей по отношению к покоящейся. По формуле:

 

 

где /' — длина тела в движущейся системе со скоростью V по отношению к неподвижной системе; / — длина тела в покоящейся системе.

Для промежутка же времени, длительности какого-либо процесса — наоборот. Время  будет как бы растягиваться, течь медленнее в движущейся системе  по отношению к неподвижной, в  которой этот процесс будет более  быстрым. По формуле:

 

 

 

 

 

3. Преобразования Лоренца

 

Анализ явлений в инерциальных системах отсчета, проведенный А. Эйнштейном на основе сформулированных им постулатов, показал, что классические преобразования Галилея несовместимы с ними и, следовательно, должны быть заменены преобразованиями, удовлетворяющими постулатам теории относительности.

Для иллюстрации этого вывода рассмотрим две инерциальные системы отсчета: К (с координатами х, у, z) и К' (с координатами х', у', z'), движущуюся относительно К (вдоль оси х) со скоростью v = const (рис.9.2). Пусть в начальный момент времени t = t' = 0, когда начала координат О и О' совпадают, излучается световой импульс. Согласно второму постулату Эйнштейна, скорость света в обеих системах одна и та же и равна с. Поэтому если за время t в системе К' сигнал дойдет до некоторой точки А (рис. 9.2), пройдя расстояние

_,      (9.6)

то в системе К' координата светового импульса в момент достижения точки А

      (9.7)

где – время прохождения светового импульса от начала координат до точки А в системе К'. Вычитая (9.6) из (9.7), получим .

 

Рис.9.2.

 

Так как  (система К' перемещается по отношению к системе К), то т.е. отсчет времени в системах K и К' различен – отсчет времени имеет относительный характер (в классической физике считается, что время во всех инерциальных системах отсчета течет одинаково, т.е. ).

Эйнштейн показал, что в теории относительности классические преобразования Галилея, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчета к другой, заменяются преобразованиями Лоренца, удовлетворяющими постулатам Эйнштейна (формулы представлены для случая, когда К' движется относительно К со скоростью v вдоль оси x).

 

 

Эти преобразования предложены Лоренцом в 1904 г. еще до появления теории относительности как преобразования, относительно которых уравнения Максвелла инвариантны.

 

Преобразования Лоренца имеют вид

 

	(9.8)

 

Из сравнения приведенных уравнений  вытекает, что они симметричны  и отличаются лишь знаком при v. Это очевидно, так как если скорость движения системы относительно системы K равна v, то скорость движения К относительно К' равна v.

Из преобразований Лоренца вытекает также, что при малых скоростях (по сравнению со скоростью света), т.е. когда , они переходят в классические преобразования Галилея (в этом заключается суть принципа соответствия), которые являются, следовательно, предельным случаем преобразований Лоренца. При v>c выражения (9.8) для х, t, x', t' теряют физический смысл (становятся мнимыми). Это находится, в свою очередь, в соответствии с тем, что движение со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно.

Из преобразований Лоренца следует  очень важный вывод о том, что  как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, в то время как в рамках преобразований Галилея эти величины считались абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе. Кроме того, как пространственные, так и временные преобразования (см. (9.8)) не являются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени – пространственные координаты, т.е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким образом, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство – время.

4. Следствия из преобразований Лоренца

 

4. 1. Одновременность событий в разных системах отсчета.

Пусть в системе К в точках с координатами и d моменты времени и происходят два события.

В системе  им соответствуют координаты и и моменты времени и . Если события в системе К происходят в одной точке ( ) и являются одновременными( ), то, согласно преобразованиям Лоренца (9.8), и _, т.е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.

Если события в системе К пространственно разобщены , но одновременны ( ), то в системе К', согласно преобразованиям Лоренца (9.8), , _.

 

 

Таким образом, в системе К' эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными. Знак разности определяется знаком выражения , поэтому в различных точках системы отсчета К' (при разных v) разность будет различной по величине и может отличаться по знаку. Следовательно, в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета наоборот второе событие предшествует первому. Сказанное, однако, не относится к причинно-следственным событиям, так как можно показать, что порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

4. 2. Длительность событий в разных системах отсчета.

 Пусть в некоторой точке (с координатой), покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показаний часов в конце и начале события) , где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе

_,      (9.9)

причем началу и концу события согласно (9.8) соответствуют

      (9.10)

Подставляя (9.10) в (9.9), получим

или              (9.11)

 

Из соотношения (9.11) вытекает, что т.е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Этот результат может быть еще истолкован следующим образом: интервал времени отсчитанный по часам в системе К', с точки зрения наблюдателя в системе К продолжительнее интервала , отсчитанного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т.е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся. На основании относительности понятий «неподвижная» и «движущаяся» системы соотношения для и ' обратимы. Из (9.11) следует, что замедление хода часов становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости света в вакууме.

В связи с обнаружением релятивистского  эффекта замедления хода часов в свое время возникла проблема «парадокса часов» (иногда рассматривается как «парадокс близнецов»), вызвавшая многочисленные дискуссии. Представим себе, что осуществляется фантастический космический полет к звезде, находящейся на расстоянии 500 световых лет (расстояние, на которое свет от звезды до Земли доходит за 500 лет), со скоростью, близкой к скорости света ( = 0,001). По земным часам полет до звезды и обратно продлится 1000 лет, в то время как для системы корабля и космонавта в нем такое же путешествие займет всего 1 год. Таким образом, космонавт возвратится на Землю в 1/ раз более молодым, чем его брат-близнец, оставшийся на Земле. Это явление, получившее название парадокса близнецов, в действительности парадокса не содержит. Дело в том, что принцип относительности утверждает равноправность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправильность рассуждения состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами,– не эквивалентны: земная система инерциальна, а корабельная – неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.

Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реальным и получил экспериментальное подтверждение при изучении нестабильных, самопроизвольно распадающихся элементарных частиц в опытах с -мезонами. Среднее время жизни покоящихся -мезонов (по часам, движущимся вместе с ними) Следовательно, -мезоны, образующиеся в верхних слоях атмосферы (на высоте «30 км) и движущиеся со скоростью, близкой к скорости света, должны были бы проходить расстояния , т.е. не могли бы достигать земной поверхности, что противоречит действительности. Объясняется это релятивистским эффектом замедления хода времени: для земного наблюдателя срок жизни -мезона , а путь этих частиц в атмосфере . Так как , то .

5. 3. Длина тел в разных системах отсчета.

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х' и покоящийся относительно системы К'. Длина стержня в системе К' будет , где – не изменяющиеся со временем координаты конца и начала стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К' стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v. Для этого необходимо измерить координаты его концов в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность и даст длину стержня в системе К. Используя преобразования Лоренца (9.8), получим

,

т.е.            (9.12)

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Если стержень покоится в системе К, то, определяя его длину в системе К', опять-таки придем к выражению (9.12).

Из выражения (9.12) следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения раз, т.е. так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Лоренца (9.8) следует, что , _, т.е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.

4. 4. Преобразование и сложение скоростей.

 Рассмотрим движение материальной точки в системе К', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью v. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами х, у, z, а в системе К' в момент времени – координатами х', у', z', то  и   представляют собой соответственно проекции на оси х, у, z и х', у', z' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К и

Согласно преобразованиям Лоренца (9.8),

.

Произведя соответствующие преобразования, получаем релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности:

 

, ,	, , (9.13) .

 

Если материальная точка движется параллельно оси х, то скорость и относительно системы К совпадает с и_х, а скорость и' относительно К' – с и'_х. Тогда закон сложения скоростей примет вид

,     (9.14)

Легко убедиться в том, что если скорости v, и' и и малы по сравнению со скоростью света с, то формулы (9.14) и (9.13) переходят в закон сложения скоростей в классической механике. Таким образом, законы релятивистской механики в предельном случае для малых скоростей (по сравнению со скоростью света) переходят в законы классической физики, которая, следовательно, является частным случаем механики Эйнштейна для малых скоростей.

Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму  постулату Эйнштейна. Действительно, если , то формула (9.14)) примет вид (аналогично можно показать, что при скорость и' также равна с). Этот результат свидетельствует о том, что релятивистский закон сложения скоростей находится в согласии с постулатами Эйнштейна.

Докажем также, что если складываемые скорости сколь угодно близки к скорости света с, то их результирующая скорость будет всегда меньше или равна с. В качестве примера рассмотрим предельный случай u' = v = c. После подстановки в формулу (9.14) получим и = с. Таким образом, при сложении любых скоростей результат не может превысить скорости света с в вакууме. Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить.

4. 5.Интервал между событиями

Преобразования Лоренца и следствия  из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времени, значение которых в различных системах отсчета разное. В то же время относительный характер длин и промежутков времени в теории Эйнштейна означает относительность отдельных компонентов какой-то реальной физической величины, не зависящей от системы отсчета, т.е. являющейся инвариантной по отношению к преобразованиям координат. В четырехмерном пространстве Эйнштейна, в котором каждое событие характеризуется четырьмя координатами , такой физической величиной является интервал между двумя событиями:

_,       (9.15)

где – расстояние между точками обычного трехмерного пространства, в которых эти события произошли. Введя обозначение , _, покажем, что интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Обозначив , , , , выражение (9.15) можно записать в виде .

Интервал между теми же событиями  в системе К' равен

   (9.16)

Согласно преобразованиям Лоренца (9.8),

.

Подставив эти значения в (9.16), после элементарных преобразований получим, что _, т.е. .

Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что интервал, определяя пространственно-временные соотношения между событиями, является инвариантом при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Теория относительности, таким  образом, сформулировала новое представление о пространстве и времени, обобщенное далее в диалектическом материализме. Пространственно-временные отношения являются не абсолютными величинами, как утверждала механика Галилея-Ньютона, а относительными. Следовательно, представления об абсолютном пространстве и времени являются несостоятельными. Кроме того, инвариантность интервала между двумя событиями свидетельствует о том, что пространство и время органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи – пространство-время. Пространство и время не существуют вне материи и независимо от нее.

Дальнейшее развитие теории относительности (общая теория относительности, или теория тяготения) показало, что свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. При переходе к космическим масштабам геометрия пространства-времени не является евклидовой (т.е. не зависящей от размеров области пространства-времени), а изменяется от одной области к другой в зависимости от концентрации масс в этих областях и их движения.

 

 

5. Основной закон релятивистской динамики материальной точки

Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX столетия на опытах с быстро движущимися электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением скорости по закону

,     (9.17)

где – масса покоя материальной точки, т.е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой материальная точка находится в покое; с – скорость света в вакууме; т – масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью и. Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса.