Глава 1. Сущность и значение средней величины.

   Большое распространение в статистике коммерческой деятельности имеют средние величины. В средних величинах отображаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов, цен. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

    Средняя — это один из распространенных приемов обобщений. Важность средних величин для статистической практике и науки отмечалось в работах многих ученых. Так, английский экономист В. Петти (1623-1677) при рассмотрении экономический проблем широко использовал средние величины. В частности, он предлагал использовать в качестве меры стоимости затраты на среднее дневное пропитания одного взрослого работника. Его не смущала абстрактность средней, то, что данные, относящиеся к конкретным людям, могут не совпадать со средней величиной. Он считал устойчивость средней величины как отражение закономерности изучаемых явлений и полагал, что можно реконструировать информацию при отсутствии достаточного объема исходных данных (метод косвенных расчетов).

    Весьма широко применял средние и относительные величины английский ученый Г. Кинг (1648 - 1712) при анализе данных населении Англии (средний доход на одну семью, средний душевой доход и т.д.).

   Теоретические разработки бельгийского статистика А. Кетле (1796-1874), внесшего значительный вклад в разработки теории устойчивости статистических показателей, основаны на противоречивости природы социальных явлений — высоко устойчивых в массе, вместе с тем сугубо индивидуальных.

   Согласно Кетле, постоянные причины действуют одинаково (постоянно) на каждое изучаемое явления. Именно они делают эти явления похожими друг на друга, создают общее для всех их закономерности.

     Следствием учения А. Кетле об общих и индивидуальных причинах явилось выделения средних величин в качестве основного приема статистического анализа. Он подчеркивал, что статистические средние представляют собой не просто меру математического измерения, а категорию объективной действительности. Типическую, реально существующую среднюю он отождествлял с истинной величиной, отклонения от которой могут быть только случайными.

   Ярким выражением изложенного взгляда на среднюю является его теория “ среднего человека “. Средний человек — это человек, наделенный всеми качествами в среднем размере. Этот человек будет иметь средний рост и вес, среднюю быстроту бега, среднюю смертность и рождаемость, среднюю наклонность к браку и самоубийству, преступлениям, к добрым делам и т.д. Для Кетле “ средний человек “ не простая абстракция. Это идеал человека. Не состоятельность антинаучной теории “ среднего человека “ Кетле была доказана в русской статистической литературе еще в конце прошлого столетия. Известный русский статистик Ю. Э. Янсон (1835-1893 г.г.) писал, что Кетле предполагает существования в природе типа среднего человека как чего-то данного, от которого жизнь отклонила “средних человеков“ данного общества и данного времени, а это, естественного приводит его к совершенно механическому взгляду и на законы движения социальной жизни: движение - это не есть развитие, а есть постепенное возрастания средних свойств человека постепенное восстановление типа; следовательно, такое нивелирование всех проявлений жизни социального тела, за которым всякое поступательное движение прекращается.

     Однако сущность этой теории нашла отражение в работах ряда теоретиков статистики как теория “ истинных величин “. У Кетле были последователи — немецкий статистик и экономист Лексис (1837-19014), перенесший теорию “ истинных величин “ на экономическими явления общественной жизни. Его теория известна под названием “ теория устойчивости “. Другая разновидность идеалистической теории средних основана на философии махизма. Ее основатель английский статистик А. Боули (1869-1957); является одним из самых видных теоретиков новейшего времени в области теории средних величин. Его концепция средних величин изложена в книге “ Элементы статистики “. А. Боули рассматривает средние величины лишь с количественной стороны, там самым отрывает количество от качества. Определяя значение средних или, как он выражается, “ их функцию “, Боули на первый план выдвигает махистский принцип мышлений. Так, он писал, что функция средних ясна: она заключается в том, чтобы выражать сложную группу при помощи немногих простых чисел. Ум не в состоянии сразу охватить величины миллионов статистических данных, они должны быть сгруппированы, упрощены, приведены к средним. Взгляд на метод средних как на технический прием упрощений цифровых материалов разделяли Р. Фишер (1890-1968), Дж. Юл (1871 - 1951), Фредерик С. Миллс (родился 1892) и др.

      В 30-е и последующие годы средняя величина все чаще стала рассматриваться как социально значимая характеристика, информативность которой зависит от однородности данных. Однако зарубежная статистика не ставит вопрос о связи между средними величинами по разным признакам, не рассматривает системы средних.

     Виднейшие представители итальянской школы Бенини (1862-1956) и Коррадо Джини (1884-1965), считая статистику отраслью логики, расширили область применения статистической индукции. Причем познавательные принципы логики и статистики они связывали с природой изучаемых явлений, следуя традициям социологической трактовки статистики.

    Правильное понимания сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития.

     Средние величины — это обобщающие показатели, в которых находят выражения действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

    Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Пример не типичной средней хорошо показан в рассказе Глеба Успенского “ Живые цифры “. Там средний доход определялся сложением 1 млн. миллионера Колотушкина и 1 гроша просвирни Кукушкиной, и получалось, что он составил 0,5 млн. руб.. Например, если рассчитывать среднюю заработную плату в кооперативах и на госпредприятиях, а результат распространить на всю совокупность, то средняя фиктивна, т.к. рассчитана по неоднородной совокупности, и такая средняя теряет всякий смысл.

     При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения.

     Например, средняя выработка продавца зависит от многих причин: квалификации, стажа, возраста, формы обслуживания, здоровье и т.д. Средняя выработка отражает общее свойства всей совокупности.

    Средняя величина - величина абстрактная, потому что характеризует значение абстрактной единицы, а значит, отвлекается от структуры совокупности.

     Средняя абстрагируется от разнообразия признака у отдельных объектов. Но то, что средняя является абстракцией, не лишает ее научного исследования. Абстракция есть необходимая ступень всякого научного исследования. В средней величине, как и во всякой абстракции, осуществляется диалектическое единство оттененного и общего.

Применение  средних должно исходить из диалектического  понимания категорий общего и  индивидуального, массового и единичного.

     Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей присущих массовым общественным явлениям и незаметных в единичных явлениях.

     Отклонение индивидуального от общего — проявление процесса развития. В отдельных единичных случаях могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именно конкретных фактор, взятые на фоне средних величин, характеризует процесс развития. Поэтому в средней и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Характеристики этих уровней и их изменений во времени и в пространстве являются одной из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, свойственная предприятиям на определенном этапе экономического развития; изменение благосостояния населения находит свое отражение в средних показателях заработной платы, доходов семьи в целом и по отдельным социальным группам, уровня потребления продуктов, товаров и услуг.

    Однако в маркетинговой деятельности нельзя ограничиваться лишь средними цифрами, т.к. за общими благоприятными средними могут скрываться крупные серьезные недостатки в деятельности отдельных подразделений предприятия, акционерного общества.

    Средний показатель — это значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом), но таковым оно является по тому, что формируется в нормальных, естественных условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом. Средняя отображает объективное свойство явления. В действительности часто существует только отклоняющиеся явления, и средняя как явления может и не существовать, хотя понятие типичности явления и заимствуется из действительности. Такое понимание типичности пришло из геометрии — круг как вписанный или описанный многоугольник с бесконечным увеличивающимся числом сторон (в действительности не возможно бесконечное увеличение числа сторон). Бесконечная — математическое понятие, а не существующая величина и исключает возможность всякого увеличения Ґ + 1 = Ґ . Другой пример, качание маятника тяготеют к своей оси, но не совпадают с ней.

    Индивидуальные значения изучаемого признака у отдельных единиц совокупности могут быть теми или иными (например, цены у отдельных продавцов). Эти значения не возможно объяснить, не прослеживая причинно- следственные связи. Поэтому средняя величина индивидуальных значений одного и того же вида есть продукт необходимости. Он является результатом совокупного действия всех единой совокупности, который проявляется в массе повторяющихся случайностей, опосредуемых общими условиями процесса.

    Распределение индивидуального значения изучаемого признака порождает случайность его отклонения от средних, но не случайно среднее отклонение, которое равно нулю.

     Образцом научной значимости диалектики случайного и необходимого в области общественных явлений служат учению К. Маркса. В “ Капитале “ на примере перехода от одной формы стоимости товара к другой он показывает основное содержания трансформации случайного в необходимое. При случайной форме стоимости случайным выглядит и то количественное соотношение, в котором обмениваются два продукта при случайной встрече их владельца, когда отношения владельцев продуктов единичны. Естественный переход случайной формы стоимости в более полную (развернутую) происходит, когда отдельный товар вступает в отношения не с одним товаром другого вида, а “ совсем товарным миром “. В этом случае меновые отношения регулируются величиной стоимости и отношение двух индивидуальных товаровладельцев не случайны. При всеобщей форме стоимости все множество товаров находится в общественном отношении с одним и тем же товаром, и отношения товаровладельцев становится всеобщим. Обмен повторяется постоянно, а стоимость выражает то общее, что имеется у данного товара со всеми остальными товарами. Индивидуальное время, затрачиваемое на изготовления товаров, имеет значение для их владельцев лишь постольку, поскольку оно соответствующим образом может быть сведено к общественно необходимому времени, которое утверждается с абсолютной необходимостью, а по природе своей является средним.

     Приведенный пример, а также многие другие примеры трансформации случайности в необходимость позволяют сделать вывод о том, что средние значения определенных признаков в массовых явлениях продукт необходимости.

      Каждое наблюдаемое индивидуальное явление обладает признаками двоякого рода — одни имеются во всех явлениях, только в различных количествах (рост, возраст человека), др. признаки, качественно различные в отдельных явлениях, имеются в одних, но не встречаются в других (мужчина не может быть женщиной). Средняя величина вычисляется для признаков, присущих всем явлениям в данной совокупности, для признаков качественно однородных и различных только количественно (средний рост, средняя зарплата).

     Средняя величина является отражения значения изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способы приближенного определения уровня распределения численности для сравнения сводных признаков, непосредственно не сравнимых между собой, например средняя численность населения по отношению к территории (средняя плотность населения). В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будет находиться и содержание средней.

    Сочетание общих средних с групповыми средними дает возможность ограничить качественно однородные совокупности. Расчленяя массу объектов, составляющих то или иное сложное явления, на внутренне однородные, но качественно различные группы, характеризуя каждую из групп своей средней, можно вскрыть резервы процесс нарождающегося нового качества. Например, распределения населения по доходу позволяет выявить формирование новых социальных групп.

    Теория диалектического материализма учит, что не одно явления не останется неизменным, что все в мире меняется, развивается. Меняются и те признаки, которые характеризуются средними, а, следовательно, и сами средние.

    В общественной жизни происходит не прерывный процесс нарождения нового. Носителем нового качества сначала являются единичные объекты, а затем количество этих объектов увеличивается, и новое становится массовым, типичным.

     Отклонения от средней и противоположные стороны являются результатом борьбы противоположностей, одна из которых должна поддерживаться, другая, наоборот, преодолеваться.

     Каждая средняя величина характеризует изучаемою совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков, в целом необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон так, изменения доходов торговых предприятий характеризуют показатели среднего оборота на одно предприятия, среднего размера дохода на одно предприятия, среднего уровня доходности и др.

     Тогда общая тенденция видна более отчетливо, т.е. здесь нет уже действия тех разнообразных условий, которые определяли размер дохода каждого предприятия.  
 
 
 
 

Глава 2. Среднее арифметическое - показатель центральной  тенденции.

     В результате исследований, связанных с массовыми явлениями, получают много числовых данных. Возникает проблема - найти такие характеристики, которые довольно полно характеризовали бы полученный числовой материал. Характеристики, которые базируются на данных массовых наблюдений, называют обобщающими показателями. Эти показатели характеризуют значения признака, его вариацию. Их вычисляют с помощью вариант и соответствующих частот (относительных частот). Важнейшие среди обобщающих показателей - средние величины, т. е. такие значения признака, вокруг которых группируются отдельные наблюдаемые значения элементов. Отсюда и название - меры центральной тенденции.     

В зависимости  от характера задачи пользуются тем  или иным видом средней величины. К ним принадлежат среднее арифметическое, мода, медиана, степенные средние (среднее гармоническое, среднее геометрическое и т. п.).     

Изучая  и используя обобщающие показатели, следует иметь в виду, что они  только тогда объективно будут соответствовать  своему назначению, если применяются к однородным совокупностям. В противном случае можно получить неправильные выводы. Например, едва ли правильно характеризовать средние учебные достижения учащихся одного региона, вычисленные по данным совокупности, к которой относятся наряду с учащимися элитных учебных заведений (лицеев, гимназий и т. п.) ученики общеобразовательных школ, специализированных школ для умственно отсталых детей и др.     

Неправильное  использование средних показателей  приводит к тому, что в ряде случаев  за "благополучным" показателем успешности скрываются проблемы, связанные с обучением отдельных категорий учащихся.     

В настоящем  параграфе будет рассмотрено  среднее арифметическое и его  свойства.     

Понятие среднего арифметического     

Пусть имеется n объектов, для которых измерена некоторая характеристика, и получены значения x₁, x₂, ..., x_n. Среднее арифметическое этих n значений обозначают через и определяют как , или .     

Символом  с переменным индексом i обозначают следующую сумму: . 

Заметим, что выражение  означает то же самое, что и , т. е. переменный индекс можно обозначать любой буквой.     

Это сокращенное  обозначение суммы обладает следующими простыми свойствами, вытекающими из известных свойств сложения:     

1. .     

2. , так как общий множитель можно выносить за знак суммы.     

3. , так как для сложения справедливо сочетательное свойство.     

4. на основе одновременного применения сочетательного и переместительного свойств сложения.     

Сущность  среднего арифметического состоит  в следующем. Если каждое наблюдение заменить средним, то общая сумма  не изменится. Это среднее можно  интерпретировать еще и так: если все наблюдения будут равны между собой, а сумма наблюдений останется неизменной, то каждое наблюдение будет равно среднему. Поскольку среднее сохраняет неизменной сумму при равномерном распределении значений, то оно наиболее полезно в качестве обобщающего показателя при отсутствии резко выделяющихся наблюдений, или как их называют, выбросов, т. е. когда набор данных представляет собой более менее однородную группу.     

Пример. Рассмотрим среднюю месячную зарплату работников некоторого предприятия. Пусть, например, в фирме работает 20 человек, зарплата 19 из них составляет 10 000 рублей, а зарплата 10-го, руководителя, - 1 000 000 рублей. Тогда средняя зарплата одного работника на этой фирме будет равна . Хотя среднее и сохранило общую сумму заработной платы, но оно является в данном случае плохим обобщающим показателем: оно плохо характеризует зарплату одного работника на этой фирме. Причина этого кроется в том, что набор данных содержит выброс - 1 000 000 рублей. Среднее оказалось слишком большим для большинства работников и слишком малым для высокооплачиваемого руководителя. 

Среднее арифметическое, как указывалось  выше, является обобщающим показателем, сохраняющим общую сумму при  замене на него каждого значения. Это  свойство особенно полезно в тех  ситуациях, когда необходимо планировать  общую сумму для большой группы. Сначала вычисляют среднее арифметическое для меньшей выборки данных, хорошо представляющей большую группу. Затем полученное значение умножают на количество элементов в большой группе. В результате получают приближенное значение суммы для всей группы. С помощью среднего арифметического решается одна из задач статистики - оценка неизвестного параметра совокупности.     

Пусть дан дискретный вариационный ряд:

     Тогда среднее  арифметическое вычисляют с учетом частот следующим образом:

, или  , или .     

Здесь m - количество различных значений, которые принимает признак. Такую форму среднего арифметического иногда называют средним взвешенным.     

Среднее взвешенное можно интерпретировать как среднюю величину для значений x₁, x₂, ..., x_m, используемую в ситуациях, когда одни значения более важны по сравнению с другими. Более важные значения вносят больший вклад в значение среднего взвешенного. Роль весов играют отношения : чем больше частота элемента, тем больший вклад вносит этот элемент в значение среднего взвешенного. Сумма всех весов равна 1.  

Рассмотрим  некоторые свойства среднего арифметического, которые позволяют упростить  его вычисление и которые понадобятся при дальнейшем изучении математической статистики.     

Свойство 1. Среднее арифметическое постоянной величины равно этой постоянной.     

Пусть при исследовании признака x он n раз принимал одно и то же значение c. Тогда

Свойство 2. Если каждое значение признака Z равно сумме (разности) значений признаков X и Y, то среднее арифметическое признака Z равно сумме (разности) средних арифметических признаков X и Y.     

Обозначим i-е варианты признаков X, Y, Z через x_i, y_i, z_i. По условию x_i + y_i = z_i. Тогда

Аналогично  доказывается свойство и в случае разности.     

Например, из этого свойства вытекает, что  если контрольная работа по геометрии  состоит из двух сюжетных задач, то среднее время, которое идет на выполнение контрольной работы, равно сумме средних времен, которые расходуются на выполнение первой и второй задач.

Свойство 3. Если ко всем вариантам прибавить одно и то же число, то и к среднему арифметическому будет прибавлено то же число.     

Пусть - новые варианты, полученные после прибавления к каждой первоначальной варианте x_i одного и того же числа c. Тогда

Рассмотренное свойство позволяет значительно  упростить вычисление среднего арифметического  без использования вычислительных средств, особенно тогда, когда варианты принимают большие значения.     

Это свойство обосновывает произвольный выбор начала отсчета.     

Свойство 4. Если все варианты умножить (разделить) на одно и то же число, то среднее арифметическое умножится (разделится) на то же число.      

Пусть - новые варианты, полученные после умножения каждой первоначальной варианты x_i на одно и то же число c. Тогда

На основании  этого свойства можно изменять единицы, в которых выражаются данные.     

Свойство 5. Если все частоты умножить (разделить) на одно и то же число, то среднее арифметическое не изменится.     

Пусть - новые частоты, полученные после умножения каждой первоначальной частоты n_i на одно и то же число c. Тогда

На основании  этого свойства при вычислении среднего частоты можно заменять, например, относительными частотами.

Свойство 6. Сумма отклонений вариант от их среднего арифметического равна нулю.     

Отклонение  варианты x_i от среднего арифметического равно разности . Тогда

Свойство 7. Сумма квадратов отклонений вариант от их среднего арифметического меньше суммы квадратов отклонений вариант от произвольного числа c на величину .     

В самом  деле,

Разность  оказалась положительной (при  ), поэтому сумма больше суммы .     

Свойство 8. Среднее арифметическое, вычисленное по данным всех элементов совокупности, равно взвешенному среднему для так называемых частичных средних, т. е. средних, найденных для отдельных частей совокупности, причем частота для каждого частичного среднего равна количеству элементов в соответствующей части совокупности.     

Пусть совокупность состоит из таких элементов:

x₁, x₂, ..., x_k, y₁, y₂, ..., y_l, z₁, z₂, ..., z_m,

причем  k + l +m = n. 

Поскольку частичные средние соответственно равны

то общее  среднее равно

Например, это свойство дает возможность упростить  вычисление среднего арифметического  результатов тестирования учащихся классов одной параллели нескольких школ. Для этого достаточно вычислить среднее арифметическое для каждого класса, а затем вычислить среднее этих частичных средних, приняв в качестве их частот количество учащихся в соответствующих классах.     

Среднее арифметическое позволяет решать задачи, связанные с проверкой гипотез.