Стабилизация перевернутого маятника

АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДА НИЖНЕГО НОВГОРОДА

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ

И СОЦИАЛЬНО-ПРАВОВОЙ ЗАЩИТЫ ДЕТСТВА 

Муниципальное образовательное  учреждение

средняя общеобразовательная  школа № 187

с углубленным изучением  отдельных предметов 
 
 

Техника – колесница прогресса

(изобретательство, конструкторская деятельность) 

Исследовательская работа 
 
 
 

Стабилизация  перевернутого маятника 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил:

Санников  Станислав Александрович,

Ученик  11А класса, 17 лет

Руководитель:

Учитель высшей категории

Пархоменко  Т. Л. 
 
 
 
 
 

г. Нижний Новгород

2007 г. 
 

Оглавление 

  1. Введение                                                                                                    3
  2. Виды равновесия и его условия                                                           4            
  3. Фазовый портрет осциллятора                                                            4
  4. Однозвенный перевернутый маятник                                               6                
  5. Понятие управления объектом                                                            9
  6. Моделирование управления объектом с применением программы МАТLАB                                                                                                 
  7. Список используемой литературы                                                     13
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

     Колебательные процессы играют  исключительно важную роль во  всех областях науки и в  нашей повседневной жизни. Раскачивается подвешенный на нити груз маятника, колебания поршня в цилиндре двигателя приводят в движение автомобиль, части нашего тела совершают колебательное движение при ходьбе. Периодически повторяются многие процессы во Вселенной. Установление любого процесса тоже происходит колебательным образом.

     Все эти явления и многие  другие очень похожи на простое колебательное движение маятника, описываются аналогичными уравнениями, к ним можно применить однотипную методику расчетов.

     Однако мир колебаний очень  широк. Идеальный математический  маятник является лишь абстракцией, моделью, отдельные элементы которой имеют место в окружающей жизни. В реальности же мы чаще встречаемся с физическими маятниками, с системами, совершающими колебательное движение, а также с телами, находящимися в состоянии неустойчивого равновесия.

      Свою работу я решил посвятить маятнику, находящемуся в состоянии неустойчивого равновесия – вертикально поставленную палочку, имеющую центр тяжести выше точки опоры. Управление перемещением точки опоры позволяет превратить неустойчивую, всегда падающую, вертикально стоящую, палочку в устойчивую.

     Едва заметным перемещением точки  опоры пользуются не только  жонглеры в цирке, главное –  этот метод можно эффективно  использовать в военной области  для стабилизации положения ракетных  установок, других военных и  гражданских объектов.

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Виды  равновесия и его  условия 

     Равновесием называется состояние,  при котором, несмотря на приложенные  силы, тело находится в состоянии  покоя.

     Для равновесия необходимо, чтобы  сумма внешних сил, приложенных  к телу, была равна нулю, и чтобы сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телу относительно любой оси, была равна нулю. Центр масс такого тела должен оставаться в покое.

Равновесие  бывает трех типов: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Когда равновесие нарушается под воздействием небольших внешних воздействий, оно называется неустойчивым. Если при отклонении от положения равновесия возникает возвращающая сила, направленная к положению равновесия, это устойчивое положение равновесия.

     Удобнее всего описывать положение равновесия с помощью понятия энергии. В устойчивом положении равновесия центр тяжести тела занимает положение с наименьшим запасом потенциальной энергии. Форма потенциальной ямы определяет отклонения от положения равновесия. Тело многократно проходит положение равновесия, пока действие диссипативных сил не приведет к тому, что колебания прекратятся. Такое тело называется осциллятором. 

Фазовый портрет осциллятора

     Уравнение движения линейного  осциллятора, описывающее его  свободные колебания, имеет вид:

                                              

Здесь х – смещение от положения равновесия для механических систем (например, отклонение математического маятника), δ – параметр, характеризующий потери (трение), ω0 – собственная частота осциллятора, и - соответствующие производные по времени. Линейный осциллятор – частный, но очень важный пример линейных динамических систем. Если ввести новую переменную , уравнение перепишется в виде системы двух уравнений: , . Плоскость переменных называется фазовой плоскостью уравнения. Каждой точке фазовой плоскости соответствует определенное состояние системы. Уравнение интегральных кривых на фазовой плоскости имеет вид: . Решения уравнения у = у(х,С) образуют семейство интегральных кривых. Интегральные кривые, на которых определено направление движения, называются фазовыми траекториями. Через каждую точку фазовой плоскости проходит одна и только одна траектория.

     Интегральные кривые на плоскости  переменных  представляют собой эллипсы, оси которых совпадают с координатными осями, большие полуоси которых определяются параметром С.

     Фазовый портрет перевернутого маятника показан ниже. Тип равновесия представляет собой седло, асимптоты, проходящие через начало координат, называются сепаратрисами.

     Фазовый портрет линейного осциллятора с малым затуханием – скручивающаяся спираль, состояние равновесия – устойчивый фокус. 

     В случае осциллятора, совершающего  затухающие апериодические колебания,  состояние равновесия – устойчивый  узел.

     Введение в систему отрицательного трения, сопротивления приводит к тому, что состояния равновесия становятся неустойчивыми. 

      
 
 
 
 
 

Перевернутый маятник 

Перед нами плоский маятник с перемещаемой точкой опоры (рис.1).

 

                                

                                     

               
 
 
 

                                          

                                                   

                                                            
 
 
 

                                                                                                            Рис. 1.

                                                                                    

- угол отклонения маятника  от вертикали;

- горизонтальное смещение точки  опоры в плоскости  качания  маятника;

- длина маятника;

- масса 

     Найдем  функцию Лагранжа и составим с  ее помощью уравнения движения. Непосредственно  находим координаты , массы маятника

;  ; 

Далее находим кинетическую и потенциальную энергию. 

Кинетическая  энергия – это энергия механической системы, зависящая от скоростей  движения составляющих ее частей. В  классической механике кинетическая энергия материальной точки массы , движущаяся со скоростью , равна:

;

;  ;   ; 

; 

;   ; 

Следовательно:

; 

Потенциальная энергия – часть общей механической энергии системы зависящая от взаимного расположения ее частиц и  от их положения во внешнем силовом  поле.

; 

; 

; 

Функция Лагранжа:

; 

;

или

; 

Составляем  уравнение Лагранжа:

;

В рассматриваемом случае

; 

; 

; 

И поэтому  уравнение Лагранжа принимает вид 

; 

; 

; 

; 

; 

 

Ограничимся малыми углами и упростим это уравнение, записав его в виде 

;         (3) 

При ,  т.е. при неподвижной точке опоры маятника, уравнение (3) переходит в хорошо нам известное уравнение маятника, линеаризованное вблизи верхнего неустойчивого положения равновесия. Это неустойчивое равновесие типа седла. А мы хотим, чтобы оно сало устойчивым равновесием типа узла или фокуса.

Воспользуемся возможностью выбора смещения точки опоры, возможностью управлять ее положением.

       (4) 

Уравнение превратилось в уравнение осциллятора с устойчивым положением равновесия , т.е чтобы маятник, стоя к верху , вел себя также, как если бы он висел в низ и колебания его затухали ( ).

Сравнивая два уравнения(3) и (4), находим, что для этого нужно, чтобы  

           (5)

Реализовать такое  можно, наблюдая за маятником и измеряя его отклонение и скорость отклонения и сообщая точке опоры ускорение согласно формуле (5). 
 
 
 

    Понятие управления объектом 

     Способ управления, задаваемый формулой (5), называют стратегией управления. Как уже говорилось, для её реализации нужно измерять и , и, естественно, прикладывать к точке опоры силу, которая бы сообщала точке опоры требуемое ускорение . Таким образом, для реализации управления нужна измерительная и исполнительная системы. В цирке обе эти функции с успехом выполняет жонглёр.

    

     Итак,  алгоритм решения задачи  стабилизации перевернутого маятника будет следующим: 

1) Записываем  координаты маятника в движущейся  системе отсчёта;

2) Переходим  в инерциальную систему отсчёта;

3) Дифференцируем  координаты по времени, чтобы  найти  ;

4) Находим  ;

5) Находим  кинетическую и потенциальную  энергию;

6) Пишем  функцию Лагранжа  ;

7)  Записываем  уравнение Лагранжа (уравнение колебаний)  ;

8) Находим  ;

9) Результат  дифференцируем по времени;

10) Ищем  производную  ;

11) Подставляем  всё в уравнение Лагранжа;

12) Вводим  ограничение малых углов, получаем  дифференциальное уравнение второго  порядка;

13) Выбираем  стратегию управления в виде , где , а ;

14) Составляем  определитель по системе уравнения  колебаний и стратегии управления. Раскрывая определитель, анализируем  полученное выражение относительно  его коэффициентов, определяем  при каких значениях коэффициентов равновесие будет типа фокус или узел.   

Описанный процесс управления можно изобразить схемой, показанной на рис. 2. Схема включает объект управления – перевёрнутый маятник, на который можно воздействовать, перемещая его опору; систему измерения угла и угловой скорости ; систему управления, реализующую стратегию управления и силовое воздействие, передвигающее опору перевёрнутого маятника и сообщающее ей требуемое стратегией управления ускорение. 
 
 
 
 

Принципиальная

схема    стабилизации стоящего вертикально  вверх маятника, отображающая основной принцип  управления – обратную связь.

                          

Рис. 2.

     Стратегия управления (5) линейна по и , так что , причём, для устойчивости требуется, чтобы , а . При перевёрнутый маятник также устойчив, но его колебания возле равновесия не затухают, так как они описываются осциллятором (4) с

Первый  член стратегии управления - это управление по отклонению маятника . Согласно этому члену, основание маятника нужно перемещать ускоренно в ту же сторону, что и наклон маятника, т.е. при ,а при .

     Следующий член корректирует величину ускорения , учитывая угловую скорость вращения маятника. Если маятник движется в ту же сторону, что и его отклонение, то это приводит к увеличению необходимого ускорения по сравнению с членом , напротив, если он движется в сторону, обратную по отношению к отклонению, то это ускорение уменьшается по величине, становясь меньше .

  ;

Преобразуем, это уравнение так, чтобы его  можно было смоделировать в MATLAB.

Делаем  замену:

;

 

Стратегия управления:

;

 

-состояние системы;                         

-новая математическая модель перевернутого маятника 

                                      

В результате моделирования мы можем исследовать  стабильность системы в зависимости от её параметров. Мы примем параметры системы , начальное отклонение 45 градусов, масса не существенна. И будем менять параметры управления, получая различные характерные варианты поведения нашей системы.

Если  мы возьмём  параметры  (т.е. , и ) то глядя на графики построенные программой (см. Приложение), мы видим, что система устойчива и  состояние равновесия типа фокус. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение 

График  угла отклонения маятника.

 
 
 
 

График  угловой скорости маятника.

 
 

График  управления.

 

Фазовый портрет.

 

Если  мы сменим параметр управления, то фокус станет неустойчивым. 
 

График  угла отклонения маятника.

 
 
 
 

График  угловой скорости маятника.

 

График  управления.

 
 
 
 
 

Фазовый портрет.

 

     При получим бесконечные незатухающие колебания, тип равновесия – центр, что соответствует теории. 
 

График  угла отклонения маятника.

 
 
 
 
 

График  угловой скорости маятника.

 
 
 

График  управления.

 

Фазовый портрет.

 

Это соответствует  тем результатам, которые получены теоретически. Т.е. если , то система устойчива, если , то происходит бесконечные незатухающие колебания, а иначе система становится неустойчивой.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  используемой литературы 
 

  1. Иродов  И. Е., Волновые процессы., М., БИНОМ, 2005
  2. Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. М., Физматлит, 1995.
  3. Мэрион Дж. Б., Физика и физический мир., Мир, Москва, 1975.
  4. Мякишев Г. Я., Физика. Колебания и волны. М., Дрофа, 2004
  5. Мякишев Г. Я., Физика. Механика. М., Дрофа, 2004
  6. Неймарк Ю. И., Коган Н. Я., Савельев В. П. Динамические модели теории управления. М., Наука, 1985.
  7. Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., Наука, 1984.

Стабилизация перевернутого маятника 📙 Реферат → 🆔 263408

Стабилизация перевернутого маятника 📙 Реферат → 🆔 263408