Статистические методы выборочного контроля и управляемости

Введение

 

Выборочный метод широко используется в статистической практике для получения экономической  информации.

Большую актуальность приобретает  выборочный метод в современных  условиях перехода к рыночной экономике. Изменение в характере экономических  отношений, аренда, собственность отдельных коллективов и лиц обусловливают  изменения функций учета и статистики, сокращение и упрощение отчетности. Вместе с тем возрастающие требования к менеджменту и усиливают потребность в обеспечении надежной информации, дальнейшего повышения и ее оперативности. Все это обусловливает более широкое применение выборочного метода в экономике.

В отечественной статистике уже  накоплен определенный опыт выборочных обследований. В последние годы все  большее применение  в социальной статистике находят специальные выборочные наблюдения. Так, важнейшим источником информации об уровни жизни народа являются данные регулярно проводимых выборочных обследований бюджетов семей. Широко применяется выборочный метол при переписи населения, изучении общественного мнения, контрольных обходах и проверках после проведения сплошных обследований.

Потребность в использовании выборочного  метода, выработке вероятностных  суждений в современной отечественной  статистике непрерывно расширяется.   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Понятие о выборочном наблюдении.

Выборочное наблюдение – это такой вид несплошного наблюдения, при котором отбор подлежащих обследованию единиц осуществляется в случайном порядке, отобранная часть изучается, а результаты распространяются на всю исходную совокупность. Наблюдение организуется таким образом, что эта часть отобранных единиц в уменьшенном масштабе репрезентирует (представляет) всю совокупность.

Совокупность, из которой  производится отбор, называют генеральной, а все обобщающие показатели – генеральными.

Совокупность отобранных единиц именуют выборочной совокупностью (выборкой), а все ее обобщающие показатели – выборочными.

 

1. Значение и преимущества выборочного наблюдения.

Выборочное наблюдение является самым распространенным в  статистической практике. Повышенное внимание к выборочному наблюдению в настоящее время связано с необходимостью более оперативного реагирования на происходящие изменения, принятия своевременных решений, что особенно важно в условиях рынка.

Имеется ряд причин, в  силу которых во многих случаях выборочному наблюдению отдается предпочтение перед сплошным.

Выборочный метод обладает следующими достоинствами:

•  относительно небольшие (по сравнению со сплошным наблюдением) материальные, трудовые и стоимостные  затраты на сбор данных (включая затраты на планирование и формирование выборки);

•  оперативность получения  результатов;

•  широкая область  применения;

•  высокая достоверность  результатов.

 

Все эти достоинства  проявляются лишь при условии  правильного решения проблем выборочного обследования. К ним относятся:

1) определение границ  генеральной совокупности;

2)  разработка программы  наблюдения и инструкций;

3) определение основы  для проведения выборки — списка  единиц генеральной совокупности, сведений об их размещении и т.д.;

4) установление допустимого  размера погрешности и определение  объема выборки; 

5)  определение вида  выборочного наблюдения;

6) установление сроков  проведения наблюдения;

7) определение потребности  в кадрах для проведения выборочного  наблюдения, их подготовка;

8) оценка точности  и достоверности данных выборки,  определение порядка их распространения  на генеральную совокупность.

 

К важнейшим видам  выборочных работ относят:

• демографические обследования;
• социологические обследование, опросы;
• проверка качества готовой продукции, особенно при разрушительных методов контроля;
• определение потерь рабочего времени путем проведения моментных наблюдений или фотографии рабочего дня.

 

                                  1.2   Этапы выборочного наблюдения.

1. Определение необходимого объема выборки и способа отбора.
2. Проведение отбора.
3. Обобщение данных наблюдения  и расчет выборочных характеристик.
4. Расчет ошибок выборки.
5. Распространение выборочных характеристик на генеральную совокупность.

 

2. Виды, методы и способы отбора, обеспечивающие репрезентативность выборки.

Чтобы выборка полно  и адекватно представляла свойства генеральной совокупности, она должна быть представительной, или репрезентативной. Выборочное наблюдение должно быть организовано и проведено в строгом соответствии с научными принципами теории выборочного метода. Такими принципами являются:

- каждая единица генеральной  совокупности должна иметь равную  возможность попадания в выборку. (Принцип случайного непредвзятого  отбора);

- в выборочную совокупность должны попасть представители всех групп, имеющихся в генеральной совокупности;

- выборочная совокупность должна в основном полно и адекватно воспроизводить закономерности, присущие всей генеральной совокупности (принцип репрезентативности(представительности)).

Соблюдение этих принципов  позволяет получить объективную  гарантию репрезентативности полученной выборочной совокупности.

Понятие репрезентативности не следует понимать как ее представительство  по все признакам изучаемой совокупности, а только в отношении тех признаков, которые изучаются или оказывают существенное влияние на формирование сводных обобщающих характеристик.

 

2.1 Виды отбора.

По виду различают: индивидуальный, групповой и комбинированный отбор.

При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности. При групповом отборе – качественно однородные группы или серии изучаемых единиц. Комбинированный отбор предполагает сочетание первого и второго способа.

 

2. Методы отбора.

Метод отбора может быть бесповторный и повторный.

При повторном отборе общая численность  единиц генеральной совокупности в  процессе выборки остается неизменным. Ту или иную единицу, попавшую в выборку, после регистрации снова возвращают в генеральную совокупность, и  она сохраняет равную возможность со всеми прочими единицами при повторном отборе единиц вновь попасть в выборку («отбор по схеме возвращенного шара»). Повторная выборка в социально-экономической жизни встречается редко. Обычно выборку организуют по схеме бесповторной выборки.

При бесповторном отборе единица совокупности, попавшая в выборку, в генеральную совокупность не возвращается и в дальнейшем в выборке не участвует, то есть последующую выборку делают из генеральной совокупности уже без отобранных ранее единиц («отбор по схеме невозвращенного шара»). Таким образом, при бесповторной выборке численность единиц генеральной совокупности сокращается в процессе исследования.

3. Способ отбора.

Способ отбора определяет конкретный механизм выборки единиц из генеральной совокупности и подразделяется на: случайный, механический, типический, серийный и комбинированный.

Случайный (непреднамеренный) отбор – выборочная совокупность образуется  с помощью жеребьевки или таблицы случайных чисел. Условием репрезентативности  случайной выборки является равная возможность попадания в выборку для каждой единицы.

Механический отбор  – выборочная совокупность определяется  из генеральной совокупности, разбитой на равные интервалы (группы). Размер интервала  равен обратной величине доли выборки: например, при 5% выборке отбирается каждая 20-я единица (1/0, 0,5). Для обеспечения репрезентативности все единицы генеральной совокупности должны располагаться в определенном порядке. При этом отбор начинается не с первой единицы совокупности, а с середины первого интервала.

Типический (расслоенный, стратифицированный) – предварительное  расчленение генеральной совокупности на качественно однородные типические группы (не обязательно равные). Отбор  в выборочную совокупность из генеральной  производится из типических групп при помощи случайного или механического метода. Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей. Она дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора.

Серийная (гнездовая) выборка – из генеральной совокупности отбираются не отдельные единицы, а серии. Внутри каждой из попавшей в выборку серии обследуются все без исключения единицы.

Комбинированный – метод, сочетающих в себе несколько предыдущих.

 

3. Ошибки выборки.

Основная задача выборочного наблюдения в экономике состоит в том, чтобы на основе характеристик выборочной совокупности (средней и доли) получить достоверные суждения о показателях средней и доли в генеральной совокупности. При этом следует иметь в виду, что при любых статистических исследованиях (сплошных и выборочных) возникают ошибки двух видов: ошибки регистрации и ошибки репрезентативности.

Ошибки регистрации могут иметь случайный характер (непреднамеренный) и систематический (тенденциозный) характер.

Случайные ошибки обычно уравновешивают друг друга, поскольку не имеют преимущественного направления в сторону преувеличения или преуменьшения значения изучаемого показателя.

Систематические ошибки направлены в одну сторону вследствие преднамеренного нарушения правил отбора (предвзятые цели). Их можно избежать при правильной организации и проведении наблюдения.

Ошибки репрезентативности присущи только выборочному наблюдению и возникают в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Они представляют собой расхождения между значениями показателей, полученных по выборке, и значениями показателей этих же величин, которые были бы получены  при проведенном с одинаковой степенью точности сплошном наблюдении, то есть между величинами выборных и соответствующих генеральных показателей.

Можно построить ряд  распределения выборок по величине ошибки репрезентативности для разных показателей. При бесконечно большом  числе выборок получится кривая частот, называемая кривой выборочного  распределения. Частота здесь – число выборок с той или иной ошибкой репрезентативности.

Выборочное распределение  средней величины будет приближаться к нормальному  по мере увеличения объема выборки, независимо от распределения генеральной совокупности. С увеличение численности выборки  величина выборочной средней приближается к генеральной средней.

Рассчитывают два вида ошибок:  среднюю (µ) и предельную  (Δ).

Ошибки бывают: для средней количественного признака  и для доли (альтернативного признака).

 В статистике приняты следующие условные обозначения:

N - объем генеральной  совокупности; n - объем выборочной совокупности;

- средняя в генеральной совокупности; - средняя в выборочной совокупности; р - доля единиц в генеральной совокупности; w - доля единиц в выборочной совокупности; - генеральная дисперсия; S² - выборочная дисперсия; - среднее квадратическое отклонение признака в генеральной совокупности; S - среднее квадратическое отклонение

При выборочном наблюдении должна быть обеспечена случайность отбора единиц. Каждая единица должна иметь равную с другими возможность быть отобранной. Именно на этом основывается собственно-случайная выборка.

К собственно случайной выборке  относится отбор единиц из всей генеральной  совокупности (без предварительного расчленения ее на какие-либо группы) посредством жеребьевки (преимущественно) или какого-либо иного способа, например с помощью таблицы случайных чисел. Случайный отбор – это отбор не беспорядочный. Принцип случайности предполагает, что на включение или исключение объекта из выборки не может повлиять какой-либо фактор, кроме случая. Примером собственно –случайного отбора могут служить тиражи выигрышей: из общего количества выпущенных билетов наугад отбирается определенная часть номеров, на которые приходятся выигрыши. Причем всем номерам обеспечивается равная возможность попадания в выборку. При этом количество отобранных в выборочную совокупность единиц обычно определяется исходя из принятой доли выборки.

Доля выборки есть отношение числа единиц выборочной совокупности к числу единиц генеральной  совокупности:

Так, при 5%-ной выборке  из партии деталей в 1000 единиц объем выборки n составляет 50 единиц, а при 10%-но1 выборке – 100 единиц и так далее.

При правильной научной организации  выборки ошибки репрезентативности можно свести к минимальным значениям, в результате – выборочное наблюдение становится достаточно точным.

Собственно-случайный отбор в «чистом виде» применяется в практике выборочного наблюдения редко, но он является исходным среди всех других видов отбора, в нем заключаются и реализуются основные принципы выборочного наблюдения.

Применяя  выборочный метод в  статистике, обычно используют два основных вида обобщающих показателей: среднюю величину количественного признака и относительную величину альтернативного признака (долю или удельный вес единиц в статистической совокупности, которые отличаются от всех других единиц этой совокупности только наличием изучаемого признака).

Выборочная доля w , или частость, определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общему числу единиц выборочной совокупности n:       w=                                               

Например, если их 100 деталей  выборки (n=100) 95 деталей оказались стандартными (m=95), то выборочная доля  

Для характеристики надежности выборочных показателей  различают  среднюю и предельную ошибки выборки.

Ошибка выборки ε  или, иначе говоря, ошибка репрезентативности, представляет собой разность соответствующих выборочных и генеральных характеристик:

Для средней количественного  признака ε ;  (3.1)                        

Для доли (альтернативного  признака)  ε   (3.2)                                    

Ошибка выборки свойственна только выборочному наблюдению. Чем больше значение этой ошибки, те в большей степени выборочные показатели отличаются от соответствующих генеральных показателей.

 

1. Средняя ошибка выборки.

 

Выборочная средняя  и выборочная доля по своей сути являются случайными величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие единицы совокупности попали в выборку. Следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами и могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок – среднюю ошибку выборки.

При соблюдении принципа случайного отбора средняя ошибка выборки определяется, прежде всего, объемом выборки: чем больше численность при прочих равных условиях, тем меньше величина средней ошибки выборки. Охватывая выборочным обследованием все большее количество единиц генеральной совокупности, все более точно характеризуем все генеральную совокупность.

Средняя ошибка выборки также зависит  от степени варьирования изучаемого признака. Степень варьирования характеризуется дисперсией δ или w(1-w) – для альтернативного признака. Чем меньше вариация признака, тем меньше средняя ошибка выборки, и наоборот. При нулевой дисперсии (признак не варьирует) средняя ошибка выборки равна нулю, так как любая единица генеральной совокупности будет совершенно точно характеризовать всю совокупность по этому признаку.

Зависимость средней ошибки выборки  от ее объема и степени варьирования признаки отражена в формулах, с  помощью которых можно рассчитать среднюю ошибку выборки в условиях выборочного наблюдения, когда генеральные характеристики ( ) неизвестны, и следовательно, не представляется возможным нахождения реальной ошибки выборки непосредственно по формулам (3.1) и (3.2).

При случайном повторном отборе средние ошибки теоретически рассчитывают по следующим формулам

Для средней количественного  признака μ                                        (3.3)

Для доли (альтернативного  признака)                                            (3.4)

Поскольку практически дисперсия признака в генеральной совокупности точно неизвестна, на  практике  пользуются значением дисперсии S , рассчитанным для выборочной совокупности на основании закона больших чисел, согласно которому выборочная совокупность при достаточно большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

Таким образом, расчетные формулы средней ошибки выборки при случайном повторном отборе будут следующие:

Для средней количественного признака:                                     (3.5)

Для доли:                                                                            (3.6)                                                                            

Однако дисперсия выборочной совокупности не равна дисперсии  генеральной совокупности, и, следовательно, средние ошибки выборки , рассчитанные по формулам (3.5) и (3.6), будут приближенными. Но в теории вероятностей доказано, что генеральная дисперсия выражается через выборную следующим соотношением:                                              (3.7)

Так как n/(n-1) при достаточно больших n  - величина, близкая к единице, то можно принять, что , а, следовательно, в практических расчетах средних ошибок выборки можно использовать формулы (3.5) и (3.6). И только в случаях малой выборки (когда объем выборки не превышает 30) необходимо учитывать коэффициент n/(n-1) и исчислять среднюю ошибку малой выборки по формуле:                                                 (3.8)

При случайном бесповторном отборе  в приведенные выше формулы  расчета  средних ошибок выборки  необходимо  подкоренное выражение  умножить на , поскольку в процессе бесповторной выборки сокращается численность единиц генеральной совокупности. Следовательно, для бесповторной выборки расчетные формулы средней ошибки выборки примут следующий вид:

Для средней количественного признака:                                    (3.9)

 

Для доли (альтернативного  признака):                            (3.10)

 

Так как n всегда меньше N, то дополнительный множитель всегда будет меньше единицы.  Отсюда следует, что средняя ошибка при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном. В то же время при сравнительно небольшом проценте выборки этот множитель близок к единице (например, при 5%-ной выборке он равен 0,95; при 2%-ной – 0,98 и так далее). Поэтому иногда в практике пользуются для определения средней ошибки выборки формулами (3.5) и (3.6) без указанного множителя, хотя выборку и организуют как бесповторную. Это имеет место в тех случаях, когда число единиц генеральной совокупности N неизвестно или безгранично или когда n очень мало по сравнению с N и, по существу, введение дополнительно множителя, близкого по значению к единицы, практически не повлияет  на значение средней ошибки выборки.

Механическая выборка состоит в том, что отбор единиц в выборочную совокупность из генеральной, разбитой по нейтральному признаку на равные интервалы (группы), производится таким образом, что из каждой такой группы в выборку отбирается лишь одна единица. Что бы избежать систематической ошибки, отбираться должна единица, которая находится в середине каждой группы.

При организации механического  отбора единицы совокупности предварительно располагают (обычно в списке) в определенном порядке (например, по алфавиту, местоположению, в порядке возрастания или убывания какого-либо показателя, не связанного с изучаемым свойством и так далее), после чего отбирают заданное число единиц  механически, через определенный интервал. При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратному значению доли выборки. Так при 2%-ной выборке отбирается и проверяется каждая 50-я единица (1:0,02), при 5%-ной выборке – каждая 20-я единица (1:0,05), например, сходящая со станка деталь.

При достаточно большой совокупности механический отбор по точности результата близок к собственно-случайному. Поэтому для определения средней ошибки механической выборки используют формулы собственно-случайной бесповторной выборки (3.9), (3.10).

Для отбора из неоднородной совокупности применяется  типическая выборка, которая используется в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько однородных, однотипных групп по признакам, влияющим на изучаемые показатели.

При обследовании предприятий такими группами могут быть, например, отрасль и подотрасль, формы собственности. Затем из каждой типической группы собственно-случайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.

Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей (например, при выборочном обследовании семейных бюджетов рабочих и служащих в отдельных отраслях экономики, производительности труда рабочих предприятия, представленных отдельными группами по квалификации).

Типическая выборка  дает более точные результаты по сравнению  с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность. Типизация генеральной совокупности обеспечивает репрезентативность такой выборки, представительство в ней каждой типологической группы, что позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки.

При определении средней  ошибки типической выборки в качестве показателя вариации выступает средняя  из внутригрупповых дисперсий.

Среднюю ошибку выборки находят по формулам:

Для средней количественного  признака

   (повторный отбор)         

                                               (3.11)

             (бесповторный отбор)                                        (3.12)

Для  доли (альтернативного  признака):

 

(повторный отбор)     

                                             (3.13)

  (бесповторный отбор)   

                               (3.14)

где - средняя из внутригрупповых дисперсий по выборочной совокупности; - средняя из внутригрупповых дисперсий доли (альтернативного признака) по выборочной совокупности.

 

Серийная выборка предполагает случайный отбор из генеральной  совокупности не отдельных единиц, а их равновеликих групп (гнезд, серий) с тем, чтобы в таких группах подвергать наблюдению все без исключения единицы.

Применение серийной выборки обусловлено тем, что  многие товары для их транспортировки, хранения  и продажи упаковываются в пачки, ящики и тому подобное. Поэтому при контроле качества упакованного товара рациональнее проверить несколько упаковок (серий), чем из всех упаковок отбирать необходимое количество товара.

Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключения единицы, средняя ошибка выборки (при отборе равновеликих серий) зависит только от межгрупповой (межсерийной дисперсии).

Среднюю ошибку выборки  для средней количественного  признака при серийном отборе находят по формулам:

  (повторный отбор)             

                                             (3.15)

 

   (бесповторный  отбор)     

,                                    (3.16)

где r – число отобранных серий, R – общее число серий.

 

Межгрупповую дисперсию  серийной выборки вычисляют следующим  образом:        (3.16а)                                                                                              

где - средняя i-й серии; - общая средняя по все выборочной совокупности.

 

Средняя ошибка выборки  для доли (альтернативного признака) при серийном отборе:

   (повторный отбор)    

                                              (3.17)

  (бесповторный отбор)    

                               (3.18)

 

Межгрупповую (межсерийную) дисперсию доли серийной выборки определяют по формуле:                                                       (3.19)

где - доля признака в i-й серии; - общая доля признака во всей выборочной совокупности.

Все вышеприведенные  формулы применимы для большой выборки. Кроме большой выборки используются так называемые малые выборки (где n < 30), которые могут иметь место в случаях нецелесообразности использования больших выборок.

При расчете ошибок малой  выборки используют формулу средней  ошибки:

При определении доверительных интервалов исследуемого показателя в генеральной совокупности или при нахождении вероятности допуска той или иной ошибки необходимо использовать таблицы вероятности Стьюдента, где Р = S (t, n), при этом Р определяется в зависимости от объема выборки и t.

 

3.2  Предельная ошибка

 

Выборочные средние  и относительные величины распространяют на генеральную совокупность с учетом предела их возможной ошибки.

В каждой конкретной выборке  расхождение между выборочной средней  и генеральной, то есть может быть меньше средней ошибки выборки μ, равно ей или больше ее.

Причем каждое из этих расхождений имеет различную  вероятность (объективную возможность  появления события). Поэтому фактические  расхождения между выборочной средней  и генеральной  можно рассматривать как некую предельную ошибку, связанную со средней ошибкой и гарантируемую с определенной вероятностью P.

 

Собственно-случайный  отбор.

Предельную ошибку выборки  для средней ( ) при повторном отборе можно рассчитать по формуле:                                              (3.20)

где t – нормированное отклонение – «коэффициент доверия», зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки; - средняя ошибка выборки.