Історія розвитку алгебри і математичної логіки

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ  НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

“УЖГОРОДСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ”

МАТЕМАТИЧНИЙ  ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ТА МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

Реферат на тему:

Історія розвитку алгебри і математичної логіки

Студента 5-го курсу 

Спец. «прикладна математика»

Гайду Сергія

Ужгород 2013

Зміст

Вступ

1. Історія алгебри.
1. Стародавній світ
2. Розвиток символіки
3. Подальші успіхи щодо традиційних задач алгебри
4. Розширення області досліджень алгебри
5. Суть алгебри
6. Розподіл алгебри
7. Найдавніші твори з алгебри
8. Предмет вивчення
9. Властивості логічних операцій
2. Історія математичної логіки
1. Застосування

Вступ

Математична логіка займає одне з найважливіших місць у  сучасній математичній науці. Вона знайшла  широке застосування в найрізноманітніших галузях наукових досліджень. Математична  логіка з великим успіхом використовується в теорії релейно-контактних схем і  в теорії автоматів, тобто в кібернетиці, в лінгвістиці, в економічних  дослідженнях, у фізіології мозку  і психології тощо.

Математична логіка дуже важлива  для вчителів математики. Вона дає  можливість краще зрозуміти структурно-логічну  схему шкільного курсу математики, глибше вникнути в суть поняття доведення, з'ясувати зміст поняття логічного  слідування, встановити зв'язки між  різного роду теоремами тощо. З  цих причин Я й обрав дану тему для написання курсової роботи. На мою думку ця тема є важливою в  математиці. Тому що розвиток математичної логіки як науки дав значний вплив  у розвитку математичної науки. Значну внесок у розвиток математичної логіки зробили такі вчені як: Платон, Аристотель, Лейбніц, Буль, Гільберт.

Об'єктом дослідження  є основні поняття математичної логіки. Історично математична логіка будувалась як алгебраїчна теорія, у якій зв'язки між різними поняттями логіки виражалися за допомогою операцій. Така побудова математичної логіки згодом дістала назву алгебри висловлень і алгебри предикатів, причому алгебра висловлень уходить як частина в алгебру предикатів. Вона називається також змістовною побудовою математичної логіки і нею часто вичерпується виклад математичної логіки, причому апарату логіки предикатів достатньо, щоб ставити і розв'язувати досить важливі й складні задачі. Поряд з потребою змістовної побудови математичної логіки виникла потреба будувати математичну логіку як формально-аксіоматичну теорію, для якої алгебра предикатів є однією з можливих інтерпретацій.

1. Історія алгебри.

Алгебра (від араб. الجبر аль-джебр — відновлення) — розділ математики, що вивчає математичні операції і відношеня, та утворення, що базуються на них: многочлени, алгебраїчні рівняння, алгебраїчні структури. Вивчення властивостей композицій різного виду в 19 столітті призвело до думки, що основне завдання алгебри — вивчення властивостей операцій незалежно від об'єктів, до яких вони застосовуються. З того часу алгебра стала розглядатися як загальна наука про властивості та закони композиції операцій. В наші дні алгебра — одна з найважливіших частин математики, що знаходить застосування як у суто теоретичних, так і в практичних галузях науки.

1. Стародавній світ

Розв'яжемо задачу:"Вік трьох братів 30, 20 і 6 років. Через скільки років вік старшого дорівнюватиме сумі віку обох молодших братів?" Позначивши шукану величину як х, складеморівняння: 30 + х = (20 + х) + (6 + х), звідки х = 4. Близький до описаного метод розв'язання був відомий ще у II тисячолітті до н. е. переписувачам стародавнього Єгипту (проте вони не застосовували буквеної символіки). У збережених до наших днів математичних папірусах є не тільки задачі, що призводять до лінійних рівнянь з одним невідомим, як у задачі про вік братів, а й задачі, що призводять до квадратних рівнянь виду ax² = b.

Ще складніші задачі вміли  розв'язувати на початку II тисячоліття до н. е. у древньому Вавилоні: в математичних текстах, виконаних клинописом на глиняних табличках, є квадратні йбіквадратні рівняння, системи рівнянь з двома невідомими і найпростіші кубічні рівняння. При цьому вавілоняни також не використовували буквених позначень, а наводили розв'язки типових задач, зводячи розв'язок аналогічних задач до заміни числових значень. В числовій формі наводились також і деякі правила тотожних перетворень. Якщо при розв'язанні рівняння треба було знайти квадратний корінь числа а, яке не є точним квадратом, наближене значення кореня х знаходили як середнє арифметичне чисел х і а/х.

Перші загальні твердження про тотожні перетворення зустрічаються  у давньогрецьких математиків, починаючи  з VI ст. до н. е. Серед математиків давньої Греції було прийнято висловлювати всі алгебраїчні твердження в геометричній формі. Замість додавання чисел говорили про додавання відрізків, добуток двох чисел тлумачили як площу прямокутника, а добуток трьох чисел як об'єм прямокутного паралелепіпеда. Алгебраїчні формули приймали вигляд співвідношень між площами і об'ємами. Наприклад, говорили, що площа квадрата, побудованого на сумі двох відрізків, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на цих відрізках, збільшеною на подвоєну площу прямокутника, побудованого на цих відтинках. Таким чином з'явилися терміни «квадрат числа» (тобто добуток величини на себе), «куб числа», «середнє геометричне». Геометричну форму у греків набув і розв'язок квадратного рівняння — вони шукали сторони прямокутника по заданим периметру та площі.

Більшість задач в Греції розв'язувалося шляхом побудов циркулем і лінійкою. Але не всі задачі могли бути розв'язані такими методами. Прикладами таких задач є подвоєння куба,трисекція кута, завдання побудови правильного семикутника (див. Класичні задачі давнини). Всі вони зводились до кубічних рівнянь виду х³ = 2, 4х³ — Зх = а і х³+ х² — 2х — 1 = 0 відповідно. Для розв'язку цих задач було розроблено новий метод, — відшукання точок перетину конічних перетинів (еліпса, параболи і гіперболи).

Геометричний підхід до алгебраїчних проблем обмежував подальший  розвиток науки. Наприклад, не можна  було додавати величини різних розмірностей (довжини, площі, об'єму), не можна було говорити про добуток більш ніж трьох множників тощо. Ідея відмови від геометричного трактування з'явилася у Діофанта Александрійського, який жив у III ст. У його книзі «Арифметика» з'являється буквена символіка і спеціальні позначення для степенів аж до 6-ї. Були у нього і позначення для від'ємних степенів, від'ємних чисел, а також знак рівності(особливого знаку для додавання ще не було), стислий запис правил множення додатніх і від'ємних чисел. На подальший розвиток алгебри сильний вплив мали досліджені Діофантом задачі, що приводять до складних систем алгебраїчних рівнянь, у тому числі до систем, де кількість рівнянь була меншою кількості невідомих. Для таких рівнянь Діофант шукав лише додатні раціональні розв'язки (див. Діофантові рівняння).

З VI ст. центр математичних досліджень переміщається в Індію, Китай, країни Близького Сходу та Середньої Азії. Китайські вчені розробили метод послідовного виключення невідомихдля розв'язання систем лінійних рівнянь, дали нові методи наближеного розв'язку рівнянь вищих степенів. Індійські математики (Аріабхата I, Брамагупта) використовували від'ємні числа, вдосконалили буквену символіку. Однак лише в працях вчених Близького Сходу та Середньої Азії алгебра оформилася у самостійну галузь математики, що займається розв'язком рівнянь. У IX ст. узбецький математик і астроном Мухаммед аль-Хорезмі написав трактат «Кітаб аль-джебр ва-ль-мукабала», де дав загальні правила для розв'язання рівнянь першого степеня. Слово «аль-джебр» (відновлення), від якого нова наука отримала свою назву, означало перенесення від'ємних членів рівняння з однієї частини в іншу з зміною знака. Вчені Сходу вивчали розв'язок кубічних рівнянь, хоча не зуміли отримати загальної формули для їх коренів.

У Європі вивчення алгебри почалося в XIII ст. Одним з великих математиків цього часу був італієць Леонардо Пізанський (Фібоначчі) (близько. 1170 — після 1228). Його «Книга абака»(1202) — трактат, який містив відомості про арифметику і алгебру до квадратних рівнянь включно (див. Числа Фібоначчі). Першим великим самостійним досягненням західноєвропейських вчених було відкриття формули для розв'язання кубічного рівняння, опублікованої в 1545 . Це було заслугою італійських алгебраїстів Сципіон дель Ферро, Нікколо Тарталья і Джироламо Кардано. Учень Кардано Лодовіко Феррарі розв'язав і рівняння 4-го степеня. Вивчення деяких питань, пов'язаних з коренями кубічних рівнянь, привело італійського алгебраїста Р. Бомбеллі до відкриття комплексних чисел.

2. Розвиток символіки

Відсутність зручної і  розвиненої символіки стримувало подальший  розвиток алгебри: найскладніші формули  доводилося викладати у словесній  формі. Наприкінці XV ст. Лука Пачолізробив спробу ввести алгебраїчну символіку, хоча більшого успіху досяг наприкінці XVI ст. французький математик Франсуа Вієт, запровадивши літерні позначення не лише для невідомих, а й для довільних постійних величин. Символіку Вієта було вдосконалено його послідовниками. Остаточного вигляду їй надав у XVII ст. французький філософ і математикРене Декарт, який запровадив (вживані досі) позначення для показників степенів.

Поступово розширювався запас  чисел, з якими можна було виконувати дії. Завоювали права громадянства від'ємні числа, потім — комплексні, вчені стали вільно застосовуватиірраціональні числа. Виявилося, що, попри таке розширення запасу чисел, раніше встановлені правила алгебраїчних перетворень зберігають свою силу. Нарешті, Декарту вдалося звільнити алгебру від невластивої їй геометричної форми. Все це дозволило розглядати питання розв'язку рівнянь у найзагальнішому вигляді, застосовувати рівняння до розв'язання геометричних задач. Наприклад, задача про знаходження точки перетину двох прямих звелася до розв'язку системи рівнянь, яким задовольняли точки цих прямих. Такий метод розв'язку геометричних задач отримав назву аналітичної геометрії.

Розвиток літерної символіки  дозволив встановити загальні твердження щодо алгебраїчних рівнянь: теорема Безу про подільності багаточлена P(х) на двочлен (х — а), де a — корінь цього багаточлена; формула Вієта для співвідношення між коренями квадратного рівняння і його коефіцієнтами; правила, які дозволяють оцінювати кількість дійсних коренів рівняння; загальні методи виключення невідомих з систем рівнянь тощо.

3. Подальші успіхи щодо традиційних задач алгебри

Особливо далеко в сфері  розв'язку систем лінійних рівнянь вдалось просунутись в XVIII ст. — для них були отримано формули, які дозволяють виразити розв'язок через коефіцієнти і вільні члени. Подальше вивчення таких систем рівнянь привело до теорії матриць і визначників. Наприкінці XVIII ст. було доведено, що будь-яке алгебраїчне рівняння з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь. Це твердження називається основною теореми алгебри. Протягом двох з половиною століть увагу алгебраїстів була прикута до задачі про виведення формули для розв'язку загального рівняння 5-ї степені. Треба було виразити розв'язок цього рівняння через його коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій і коренів (розв'язати рівняння в радикалах). Лише в XIX ст. італієць Паоло Руффіні і норвежець Нільс Абель незалежно один від одного довели, що такої формули не існує (див. Теорема Абеля—Руффіні). Ці дослідження були завершено французьким математиком Е. Галуа, методи якого дозволили для такого рівняння визначити, розв'язується воно в радикалах чи ні. Один з найвизначніших математиків — К. Гаус з'ясував, коли можна побудувати циркулем і лінійкою правильний n-кутник: дана задача була напряму пов'язана з вивченням коренів рівняння xn = 1. З'ясувалося, що вона розв'язна лише тоді, коли число n є простим числом Ферма чи добутком кількох різних простих чисел Ферма. Тим самим молодий студент (Гаусу було тоді лише 19 років) розв'язав задачу, якою безуспішно займалися вчені понад два тисячоліття.

4. Розширення області досліджень алгебри

На початку XIX ст., було розв'язано основні задачі, що стояли перед алгеброю в першому тисячолітті її розвитку. Алгебра отримала самостійне обґрунтування, що не спирається на геометричні поняття, а алгебраїчні методи стали застосовуватися для розв'язку геометричних задач. Були розроблені правила буквеного числення для раціональних і ірраціональних виразів, з'ясоване питання про можливість розв'язання рівнянь в радикалах і побудована строга теорія комплексних чисел. Сторонньому спостерігачеві могло здатися, що тепер математики вирішуватимуть нові класи алгебраїчних рівнянь, доводити нові алгебраїчні тотожності і тощо. Проте розвиток алгебри стала розвиватися іншим шляхом: з науки про буквені обчислення і рівняння вона перетворилася в загальну науку про операції та їх властивості.

Після створення теорії комплексних  чисел постало питання про  існування гіперкомплексних чисел — чисел з кількома уявними одиницями. Таку систему чисел, які мали вигляд a + bi + cj + dk, де i2 = j2 = k2 = −1, побудував в 1843 р. ірландський математик Вільям Гамільтон, назвавши їх кватерніонами. Правила дій над кватерніонами нагадують правила звичайної алгебри, проте операція множення не є комутативною: наприклад, ij = k, а ji = — k.

З операціями, властивості  яких лише частково нагадують властивості  арифметичних операцій, математики XIX ст. зіштовхнулися і в інших питаннях. У 1858 р. англійський математикАртур Келі ввів загальну операцію множення матриць і вивчив її властивості. Виявилося, що до множення матриць зводиться багато вивчених раніше операції. Англійський логікДжордж Буль в середині XIX ст. почав вивчати операції над висловлюваннями, які дозволяли з двох даних висловлювань побудувати третє, а наприкінці XIX ст. німецький математикГеорг Кантор ввів операції над множинами: об'єднання, перетин тощо. Виявилося, що і як в випадку операцій над висловлюваннями, так операції володіють властивостями комутативності, асоціативністю і дистрибутивності, але деякі їх властивості не схожі на властивості операцій над числами.

Таким чином протягом XIX ст. виникли різні види алгебр: звичайних чисел, комплексних чисел, кватерніонов, матриць, висловлювань, множин. Кожна з них мала свої правила, свої тотожності, свої методи розв'язку рівнянь. При цьому для деяких видів алгебр правила були дуже схожими. Наприклад, правила алгебри раціональних чисел не відрізняються від правил алгебри дійсних чисел. Саме тому формули для раціональних чисел, виявляються вірними і для будь-яких дійсних (і навіть будь-яких комплексних) чисел. Однаковими виявилися правила в алгебрі висловлювань і в алгебрі множин. Все це привело до абстрактного поняття композиції, тобто операції, яка кожній парі (a, b) елементів певної множини ставить в відповідність третій елемент цієї ж множини. Композиціями є додавання і множення натуральних, цілих, раціональних, дійсних та комплексних чисел, множення матриць, перетин і об'єднання підмножин певної множини тощо. А віднімання і ділення в полі натуральних чисел не є композиціями, бо різниця і частка можуть не бути натуральними числами.

Вивчення властивостей композицій різного виду призвело до думки, що основне завдання алгебри — вивчення властивостей операцій незалежно від об'єктів, до яких вони застосовуються. Інакше кажучи, — алгебра стала розглядатися як загальна наука про властивості та закони композиції операцій. При цьому дві множини, в кожній з яких визначені композиції, стали вважати тотожними з погляду алгебри (ізоморфними), якщо між цими множинами можна встановити взаємно-однозначну відповідність, що переводить один закон композиції в інший. Якщо дві множини з композиціями ізоморфні, то, вивчаючи одну з них, дізнаємося алгебраїчні властивості іншої.

Оскільки сукупність різних множин з заданими в них законами композиції необмежена, було виділено типи таких множин, які хоча й  не ізоморфні, проте мають спільні  властивості композиції. Наприклад, вивчивши властивості операцій додавання  і множення над множинами раціональних, дійсних і комплексних чисел, математики створили загальне поняттяполя — множини, де визначено ці дві операції, причому виконуються їх звичайні властивості. Дослідження операції множення матриць призвело до виділення поняття групи, яке є нині одним з найважливіших не тільки в алгебрі, й в усій математиці.

5. Суть алгебри

Алгебра, разом з арифметикою, є наука про числа і за посередництвом чисел – про величини взагалі. Не займаючись вивченням властивостей якихось певних, конкретних величин, обидві ці науки досліджують властивості  абстрактних величин, як таких, незалежно  від того, до яких конкретних програм  вони здатні. Різниця між математикою  та алгеброю полягає в тому, що перша  наука досліджує властивості  даних, визначених величин, тим часом  як алгебра займається вивченням загальних величин, значення яких може бути довільне, а, отже, алгебра вивчає тільки ті властивості величин, які спільні всім величинам, незалежно від їх значень. Таким чином, алгебра є узагальнена арифметика. Це дало привід Ньютону назвати свій трактат про алгебри "Загальна арифметика". Гамільтон, вважаючи, що подібно тому, як геометрія вивчає властивості простору, алгебра вивчає властивості часу, назвав алгебру "Наукою чистого часу" – назва, яку Морган пропонував змінити на "Обчислення послідовності". Однак такі визначення не висловлюють ні істотних властивостей алгебри, ні історичного її розвитку. Алгебру можна визначити як "науку про кількісні співвідношеннях".

6. Розподіл алгебри

В даний час, почасти з  педагогічних міркувань, частково внаслідок  історичного розвитку цієї науки, алгебру  ділять на нижчу і вищу. До нижчої алгебрі відносять теорію найпростіших арифметичних операцій над алгебраїчними  виразами, рішення рівнянь першого  та другого ступеня, теорію ступенів і коренів, теорію логарифмів і комбінаторику. До вищої алгебри відносять теорію рівнянь довільних ступенів, теорію винятків, теорію симетричних функцій, теорію підстановки, і, нарешті, виклад різних приватних способів відділення коренів рівнянь, визначення числа  речових або уявних коренів даного рівняння з чисельними коефіцієнтами, і наближене або аналітичне (коли це можливо) рівнянь довільних ступенів.

7. Найдавніші твори з алгебри

Перше що дійшло до нас твір, що містить дослідження алгебраїчних питань, є трактат Діофанта, який жив у середині IV століття. У цьому трактаті ми зустрічаємо, наприклад, правило знаків (мінус на мінус дає плюс), дослідження ступенів чисел, і рішення безлічі невизначених питань, які в даний час відносяться до теорії чисел. З 13 книг, що складали повне твір Діофанта, до нас дійшло тільки 6, в яких вирішуються вже досить важкі алгебраїчні завдання. Нам невідомо про які б то не було інших творах про алгебри в давнину, крім загубленого твору знаменитої дочки Теона, Гіпатії.

Алгебра арабів

У Європі алгебра знову  з’являється тільки в епоху Відродження, і саме від арабів. Яким чином  араби дійшли до тих істин, які ми знаходимо в їх творах, які дійшли до нас у великій кількості, – невідомо. Вони могли бути знайомі з трактатами греків, або, як думають деякі, отримати свої знання з Індії. Самі араби приписували винахід алгебри. Магоммеду-бен-Муза, що жив близько середини ІХ-го століття в царювали халіфа Аль-Мамуна. У всякому разі, грецькі автори були відомі арабам, які збирали давні твори з усіх галузей наук. Магоммед-Абульвефа переклав і коментував твори Діофанта та інших попередніх йому математиків (в Х столітті). Але ні він, ні інші арабські математики не внесли багато нового, свого на алгебру. Вони вивчали її, але не вдосконалювали.

Відродження алгебри  в Європі

Першим твором, що з’явився в Європі після тривалого пропусків  з часів Діофанта, вважається трактат італійського купця Леонардо, який, подорожуючи по своїм комерційним справах на Сході, ознайомився там з індійськими (нині званими арабськими) цифрами, і з арифметикою і алгеброю арабів. Після повернення в Італію, він написав твір, що охоплює одночасно арифметику і алгебру і частково геометрію. Однак твір це не мало великого значення в історії науки, бо залишилося мало відомим і було відкрито знову тільки в середині 18 – го століття в одній Флорентійської бібліотеці. Між тим твори арабів стали проникати в Європу і переводитися на європейські мови. Відомо, наприклад, що найстаріше арабське твір про алгебри Магоммеда-бен-Музи було переведено на італійську мову, але переклад цей не зберігся до нашого часу. Першим відомим друкарським трактатом про алгебри є "Сума де Арифметика, Геометрії, Proportioni та ін Proportionalita", написане італійцем Лукасом де Бург. Перше видання його вийшло в 1494 р. і друге в 1523 р. Воно вказує нам, в якому стані перебувала алгебра на початку XVI століття в Європі. Тут не можна бачити великих успіхів у порівнянні з тим, що вже було відомо арабам або Діофанта. Окрім вирішення окремих приватних питань вищої арифметики, тільки рівняння першою до другого ступеня вирішуються автором, і притому внаслідок відсутності символічного позначення, всі завдання і способи їх вирішення доводиться викладати словами, надзвичайно докладно. Нарешті немає спільних рішень навіть квадратного рівняння, а окремі випадки розглядаються окремо, і для кожного випадку виводиться особливий метод рішення, так що найсуттєвіша риса сучасної А. – Спільність даються нею рішень – ще зовсім відсутня на початку XVI століття.

Рішення рівнянь 3-ї та 4-го ступеня

У 1505 році Сціпіон Феррео вперше вирішив один окремий випадок кубічного рівняння. Це рішення однак не було їм опубліковано, але було повідомлено одному учневі – Флориді. Останній, перебуваючи в 1535 році у Венеції, викликав на змагання вже відомого на той час математика Тарталью з Брешії і запропонував йому кілька питань, для вирішення яких потрібно було вміти розв’язувати рівняння третього ступеня. Але Тарталья вже знайшов раніше сам рішення таких рівнянь і, мало того, не тільки одного того окремого випадку, який було вирішено Феррео, але і двох інших приватних випадків. Тарталья прийняв виклик і сам запропонував Флориді також свої завдання. Результатом змагання було повної поразки Флориді. Тарталья вирішив запропоновані йому завдання протягом двох годин, між тим як Флориді не міг вирішити жодного завдання, запропонованої йому його противником (число запропонованих з обох сторін завдань було 30). Тарталья продовжував, подібно Феррео, приховувати своє відкри ття, яке дуже цікавило Кардано, професора математики і фізики в Мілані. Останній готував до друку велике твір про арифметику, алгебри і геометрії, в якому він хотів дати також рішення рівнянь 3-го ступеня. Але Тарталья відмовлявся повідомити йому про свій спосіб. Тільки коли Кардано поклявся над Євангелієм і дав чесне слово дворянина, що він не відкриє способу Тартальї для вирішення рівнянь і запише його у вигляді незрозумілої анаграми, Тарталья погодився, після довгих коливань, розкрити свою таємницю цікавому математику і показав йому правила рішень кубічних рівнянь, зазначені у віршах, досить туманно. Дотепний Кардано не тільки зрозумів ці правила в туманному викладі Тартальї, а й знайшов докази для них. Не зважаючи, однак, на дану ним обіцянку, він опублікував спосіб Тартальї, і спосіб цей відомий до сих пір під ім’ям "формули Кардано».

Незабаром було відкрито і  рішення рівнянь четвертого ступеня. Один італійський математик запропонував завдання, для вирішення якої відомі до того часу правила були недостатні, а потрібне вміння вирішувати біквадратние рівняння. Більшість математиків вважало цю задачу нерозв’язною. Але Кардано запропонував її своєму учневі Луїджі Феррарі, який не тільки вирішив задачу, але і знайшов спосіб розв’язувати рівняння четвертого ступеня взагалі, зводячи їх до рівнянь третього ступеня. У творі Тартальї, надрукованому в 1546 році, ми також знаходимо виклад способу вирішувати не тільки рівняння першого та другого ступеня, а й кубічні рівняння, причому розповідається інцидент між автором і Кардано, описаний вище. Твір Бомбеллі, що вийшло в 1572 р., Цікаво в тому відношенні, що розглядає так званий непріводімий випадок кубічного рівняння, який приводив в збентеження Кардано, який не зумів вирішити його за допомогою свого правила, а також вказує на зв’язок цього випадку з класичної задачі про трисекции кута .

Розвиток алгебри  в країнах Європи

У Німеччині перший твір про алгебри належить Християнові  Рудольфу з Іayepa, і з’явилося вперше в 1524 р. а потім знову видано Стіфел в 1571 р. Сам Стіфел і Шейбль, незалежно від італійських математиків, розробили деякі алгебраїчні питання.

В Англії перший трактат  про алгебри належить Роберту  Рекорд, викладачеві математики та медицини в Кембріджі. Його твір про алгебри називається "Whetstone з розуму". Тут вперше вводиться знак рівності (=). У Франції в 1558 році з’явилося перше твір про алгебри, що належить Пелетаріусу; в Голландії Стевін в 1585 р. не тільки виклав дослідження, відомі вже до нього, але і ввів деякі удосконалення в алгебру. Наприклад, він вже позначав невідомі. Правда, для позначення невідомих він використовував всього лише числа, обведені в кружечок. Так перша невідома (тепер зазвичай позначається х) у нього позначалася обведеної в кружечок одиницею, друга – обведеної двійкою, і так далі. Величезні успіхи зробила алгебра після творів Вієта, який перший розглянув загальні властивості для рівнянь довільних ступенів і показав способи для приблизного знаходження коренів яких би то не було алгебраїчних рівнянь. Він же перший позначив величини, що входять в рівняння літерами, і тим надав алгебрі ту спільність, яка становить характеристичну особливість алгебраїчних досліджень нового часу. Він же підійшов дуже близько до відкриття формули бінома, знайденої згодом Ньютоном, і, нарешті, в його творах можна навіть зустріти розкладання відносини сторони квадрата вписаного в коло до дуги кола, виражене у вигляді нескінченного твори. Фламандець Албері Жирар або Жерар, трактат якого про алгебри з’явився в 1629 р. перший ввів поняття уявних величин в науку. Аглічанін Гарріот показав, що всяке рівняння може розглядатися, як добуток певної кількості множників першого порядку, і ввів у вживання знаки> та <. Його праці були опубліковані в 1631 р. Варнер.

Придбання алгеброю закінченого вигляду

Після цих порівняно незначних  успіхів алгебра раптом рухається  швидкими кроками вперед, завдяки  роботам Декарта, фермата, Валліса і особливо Ньютона, не кажучи вже про безліч математиків менш знаменитих, але все ж посунувши сукупними зусиллями алгебру протягом порівняно короткого часу на значний ступінь вище їх попередників і надали їй ту форму, яку вона зберегла до нашого часу. Немає можливості в цьому короткому нарисі оглянути успіхи, яким алгебра зобов’язана названим математикам. Ми коротко тільки згадаємо про головні пункти подальшого швидкого вдосконалення алгебри, що йшов крок за кроком за вдосконаленням інших галузей математики взагалі. З цього часу також алгебра входить у більш тісний зв’язок з геометрією, після розробки Декартом аналітичної геометрії, а також з аналізом нескінченно малих, винайденим Ньютоном і Лейбніцем. У XVIII столітті класичні праці Ейлера і Лагранжа, викладені в "Нови Commentarii" першого і в "Трактаті-де-ла-де-дозвіл рівнянь" другого, довели алгебру до високого ступеня досконалості. Пізніше роботи Гаусса, Абеля, Фур’є, Галуа, Коші, а потім Кейлі, Сильвестера, Кронекера, Ерміта та ін створили нові точки зору на найважливіші алгебраїчні питання і надали алгебрі високу ступінь витонченості і простоти.

Алгебра логіки (Булева логіка, двійкова логіка, двійкова алгебра) — розділ математичної логіки, що вивчає систему логічних операцій над висловлюваннями. Тобто, представлення логіки у вигляді алгебраїчної структури.

Визначення

Базовими елементами, якими  оперує алгебра логіки, є висловлювання. Висловлювання будуються над множиною {B,  ,  ,  , 0, 1}, де B - непорожня множина, над елементами якої визначені три операції:

 заперечення (унарна операція)

 кон'юнкція (бінарна)

 диз'юнкція (бінарна)

а також константи - логічний нуль 0 і логічна одиниця 1.

Аксіоми

Походження

Засади алгебри логіки були сформульовані британцем Джорджем Булем в 1847 році. Пізніше її розвивали Чарлз Пірс, Генрі Шеффер, П. С. Порецький, Бертран Рассел, Давид Гільбертта ін.

Відтоді ця система застосовується для вирішення широкого спектру  проблем математичної логіки та теорії множин, та особливо конструювання цифрової електроніки (початок використання алгебри логіки для синтезу перемикальних (релейних) схем був покладений в 1938 році роботами відомого американського вченого Клода Шеннона).

8. Предмет вивчення

Спочатку проблематика алгебри  логіки перетиналась з проблематикою алгебри множин (теоретико-множинні операції).

Проте з закінченням формування теорії множин (70-і роки 19 ст.), яка включила в себе алгебру множин, і подальшим розвитком математичної логіки, предмет алгебри логіки значно змінився.

Сучасна алгебра логіки розглядає  операції над висловлюваннями (див. Числення висловлень), як булеву функцію і вивчає відносно них такі питання, як:

таблиці істинності;

функціональна повнота;

замкнені  класи;

представлення у вигляді: ДНФ, КНФ, полінома Жегалкіна.

Логічні операції

Простим і найширше вживаним прикладом такої алгебраїчної системи  є множина B, що складається всього з двох елементів :

B = { Хибність(0), Істина(1) }

Як правило, в математичних виразах Хибність ототожнюється з логічним нулем, а Істина - з логічною одиницею, а операції заперечення(НІ), кон'юнкції(ТА) і диз'юнкції(АБО) визначаються в звичному нам розумінні. Легко показати, що на цій множині B можна задати чотири унарні і шістнадцять бінарних відношень і усі вони можуть бути отримані через суперпозицію трьох обраних операцій.