Структурные средние величины

Содержание 

Введение

1. Сущность  средних величин, общие принципы  применения

2. Структурные средние величины

2.1. Медиана

2.2. Мода

Заключение

Список  использованной литературы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Введение 

     История практического применения средних  насчитывает десятки столетий. Основная цель расчета средней состояла в изучении пропорций между величинами. Значимость расчетов средних величин возросла в связи с развитием теории вероятностей и математической статистики. Решение многих теоретических и практических задач было бы невозможно без расчетов средней и оценки колеблемости индивидуальных значений признака.

     Ученые  разных направлений стремились дать определение средней. Например, выдающийся французский математик О.Л.Коши (1789 - 1857) считал, что средней нескольких величин является новая величина, заключающаяся между наименьшей и наибольшей из рассматриваемых величин.

     Однако  создателем теории средних следует  считать бельгийского статистика А. Кетле (1796 - 1874). Им предпринята попытка  определить природу средних величин и закономерностей, в них проявляющихся. Согласно Кетле, постоянные причины действуют одинаково (постоянно) на каждое изучаемое явление. Именно они делают эти явления похожими друг на друга, создают общее для всех их закономерности.

     Следствием  учения А. Кетле об общих и индивидуальных причинах явилось выделения средних величин в качестве основного приема статистического анализа. Он подчеркивал, что статистические средние представляют собой не просто меру математического измерения, а категорию объективной действительности. Типическую, реально существующую среднюю он отождествлял с истинной величиной, отклонения от которой могут быть только случайными.

     Ярким выражением изложенного взгляда  на среднюю является его теория «среднего  человека», т.е. человека среднего роста, веса, силы, среднего объема грудной клетки, емкости легких, средней остроты зрения и обычным цветом лица. Средние характеризуют «истинный» тип человека, все отклонения от этого типа указывают на уродливость или болезнь.

     Взгляды А.Кетле получили дальнейшее развитие в работах немецкого статистика В.Лексиса (1837 - 1914).

     Другая  разновидность идеалистической  теории средних основана на философии  махизма. Ее основатель английский статистик  А. Боули (1869 - 1957). В средних он видел  способ наиболее простого описания количественных характеристик явления. Определяя значение средних или, как он выражается, «их функцию», Боули на первый план выдвигает махистский принцип мышлений. Так, он писал, что функция средних ясна: она заключается в том, чтобы выражать сложную группу при помощи немногих простых чисел. Ум не в состоянии сразу охватить величины миллионов статистических данных, они должны быть сгруппированы, упрощены, приведены к средним.

     Последователем  А.Кетле был и итальянский статистик  К.Джини (1884-1965), автор крупной монографии «Средние величины».  К.Джини подверг критике определение средней, данное советским статистиком А.Я.Боярским, и сформулировал свое: «Средняя нескольких величин является результатом действий, выполняемых по определенному правилу над данными величинами, и представляет собой либо одну из данных величин, которая не больше и не меньше всех остальных (средняя действительная или эффективная), либо какую-либо новую величину, промежуточную между наименьшей и наибольшей из данных величин (счетная средняя)».

     В данной курсовой работе мы подробно рассмотрим основные проблемы теории средних величин. В первой главе выявим сущность средних  величин и общие принципы применения. Во второй главе рассмотрим виды средних  величин и сферу их применения на конкретных примерах. В третьей главе будут рассмотрены основные методологические требования расчета средних величин. 

      1. Сущность средних  величин, общие  принципы применения 

     Средние величины являются одними из наиболее распространенных обобщающих статистических показателей. Они имеют своей целью одним числом охарактеризовать статистическую совокупность состоящую из меньшинства единиц. Средние величины тесно связаны с законом больших чисел. Сущность этой зависимости заключается в том, что при большом числе наблюдений случайные отклонения от общей статистики взаимопогашаются и в среднем более отчетливо проявляется статистическая закономерность.

     Средняя величина — это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень  явления в конкретных условиях места и времени. Он выражает уровень признака, типический для каждой единицы совокупности.

     Средняя является объективной характеристикой  только для однородных явлений. Средние  для неоднородных совокупностей  называются огульными и могут  применяться только в сочетании с частными средними однородных совокупностей.

     Средняя применяется в статистических исследованиях  для оценки сложившегося  уровня явления, для сравнения между  собой нескольких совокупностей  по одному и  тому же признаку, для  исследования динамики развития изучаемого явления во времени, для изучения взаимосвязей явлений.

     Средние широко применяются в различных  плановых, прогнозных, финансовых расчетах.

     Главное значение средних величин состоит  в их обобщающей функции, т.е. замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Всем известны особенности развития современных людей, проявляющиеся в том числе и в более высоком росте сыновей по сравнению с отцами, дочерей в сравнении с матерями в том же возрасте. Но как измерить это явление?

     В разных семьях наблюдаются самые  различные соотношения роста  старшего и младшего поколения. Далеко не всякий сын выше отца и не каждая дочь выше матери. Но если измерить средний  рост многих тысяч лиц, то по среднему росту сыновей и отцов, дочерей и матерей можно точно установить и сам факт акселерации, и типичную среднюю величину увеличения роста за одно поколение.

     На  производство одного и того же количества товара определенного вида и качества разные производители (заводы, фирмы) затрачивают неодинаковое количество труда и материальных ресурсов. Но рынок осредняет эти затраты, и стоимость товара определяется средним расходом ресурсов на производство.

     Погода  в определенном пункте земного шара в один и тот же день в разные годы может быть очень различной. Например, в Санкт-Петербурге 31 марта температура воздуха за сто с лишним лет наблюдений колебалась от -20,1° в 1883 г. до +12,24° в 1920 г. Примерно такие же колебания и в другие дни года. По таким индивидуальным данным о погоде в какой-то произвольно взятый год нельзя составить представление о климате Санкт-Петербурга. Характеристики климата - это средние за длительный период характеристики погоды - температуры воздуха, его влажность, скорость ветра, сумма осадков, число часов солнечного сияния за неделю, месяц и весь год и т.д.

     Если  средняя величина обобщает качественно  однородные значения признака, то она  является типической характеристикой  признака в данной совокупности. Так, можно говорить об измерении типичного роста русских девушек рождения 1973 г. по достижении ими 20-летнего возраста. Типичной характеристикой будет средняя величина надоя молока от коров черно-пестрой породы на первом году лактации при норме кормления 12,5 кормовой единицы в сутки.

     Однако  неправильно сводить роль средних  величин только характеристике типичных значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике значительно чаще современная  статистика использует средние величины, обобщающие явно неоднородные явления, как, например, урожайность всех зерновых культур по территории всей России. Или рассмотрим такую среднюю, как среднее потребление мяса на душу населения: ведь среди этого населения и дети до одного года, вовсе не потребляющие мяса, и вегетарианцы, и северяне, и южане, шахтеры, спортсмены и пенсионеры. Еще более ясна нетипичность такого среднего показателя, как произведенный национальный доход в среднем на душу населения.

     Средняя величина национального дохода на душу, средняя урожайность зерновых по всей стране, среднее потребление разных продуктов питания — это характеристики государства, как единой народнохозяйственной системы, это так называемые системные средние.

     Системные средние могут характеризовать  как пространственные или объектные  системы, существующие одномоментно (государство, отрасль, регион, планета Земля и т.п.), так и динамические системы, протяженные во времени (год, десятилетие, сезон и т.п.).

       Примером системной средней, характеризующей  период времени, может служить  средняя температура воздуха в Санкт-Петербурге за 1992 г., равная +6,3°. Эта средняя обобщает крайне разнородные температуры зимних морозных дней и ночей, летних жарких дней, весны и осени. 1992 г. был теплым годом, его средняя температура не является типичной для Санкт-Петербурга. В качестве типической среднегодовой температуры воздуха в городе следует использовать многолетнюю среднюю, скажем, за 30 лет с 1963 по 1992 г., которая равна +5,05°. Эта средняя является типической средней, так как обобщает однородные величины; средние годовые температуры одного и того же географического пункта, варьирующие за 30 лет от +2,90° в 1976 г. до +7,44° в 1989 г.

     Итак, типическая средняя может обобщать системные средние для однородной совокупности, или системная средняя  может обобщать типические средние для единой, хотя и неоднородной системы.

     Так, многолетняя средняя температура  в Санкт-Петербурге в первые десятилетия  и столетие существования города была значительно ниже; она возрастает медленно, но с ускорением за последнее  столетие вследствие как роста самого города и энергопотребления в нем, что повышает температуру воздуха, так и начавшегося и ускоряющегося общего потепления на Земле. Поэтому "типичность" любой средней величины - понятие относительное, ограниченное как в пространстве, так и во времени.

     Общие принципы применения средних величин:

1. необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается среднее значение;
2. при расчете средней величины в каждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков, а также имеющиеся для расчета данные;
3. средние величины должны рассчитываться, прежде всего, по однородным совокупностям. Качественно однородные совокупности позволяют получить метод группировок, который предполагает расчет не только среднего значения, но и системы обобщающих показателей;
4. общие средние (средние для всей совокупности) должны подкрепляться групповыми средними. Например, анализ динамики урожайности отдельной сельскохозяйственной культуры показывает общее по республике снижение урожайности. Однако известно, что урожайность этой культуры зависит от почвенных, климатических, территориальных, экономических и других условий конкретного сельскохозяйственного года и различна в отдельных регионах. Сгруппировав регионы по уровню урожайности каждого года и проанализировав динамику групповых средних, можно обнаружить, что в отдельных группах регионов средняя урожайность либо не изменилась, либо даже возросла, но одновременно возросли удельный вес или число районов с более низкой урожайностью этой сельскохозяйственной культуры. Очевидно, что анализ факторов динамики средних групповых позволяет более полно отразить закономерности изменения урожайности по сравнению с динамикой общего среднего результата.

     2. Структурные средние величины 

     Особый  вид средних величин – структурные  средние – применяется для  изучения внутреннего строения рядов  распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).

     В качестве структурных средних применяют  показатели моды и медианы.

     Мода  и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют  структурными позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в  тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен. 

2.1 Медиана 

     Медиана (Ме) — величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

     В ранжированном вариационном ряду с  нечетным числом единиц совокупности медианой является значение признака у средней в ряду единицы. Медиана  не зависит от значений признака, стоящих  на краях вариационного ряда.

     В интервальном вариационном ряду для  нахождения медианы применяется формула: 

      , 

     где X_Me - нижняя граница интервала, в котором находится медиана;

     f´_Me - число наблюдений (или объем взвешивающего признака), накопленное до начала медианного интервала;

     f_Me - число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (в абсолютном или относительном выражении);

     i - величина медианного интервала;

      - половина от общего числа  наблюдений или половина объема  того показателя, который используется  в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении).

     Примером  такого ряда может служить месячная заработная плата рабочих цеха. 

     Таблица 2.2.1

     В этом ряду среднее место по размеру  заработной платы занимает рабочий  с номером 4, получивший 160 руб. Эта величина и есть медиана. Меньше и больше медианы одинаковое число вариантов. При нечетном числе вариантов (п) порядковый номер, которому соответствует медиана, определяется по формуле  

      . 

     Когда количество вариантов в ряду четное число, медианой считают один из тех  вариантов, который по своей величине мог бы находиться посередине между вариантами с номером и . Так, если бы в цехе был еще и восьмой рабочий с заработной платой в 276 руб., то медиана находилась бы посередине между четвертым и пятым порядковыми номерами. В таких случаях принято считать, что в промежутке между номерами и идет равномерное нарастание или убывание вариантов. Поэтому за медиану принимают среднюю арифметическую из вариантов с номерами и . В данном примере  

     Смысл полученного результата такой: одна половина рабочих получила за месяц  меньше, а другая — больше 167,5 руб.

     Следовательно, медиана — обобщающий показатель распределения совокупности, уровень  признака, который делит совокупность на две равные части, и представляет обычно интерес в анализе, как это видно из приведенного примера.

     Медиана, в отличие от средней, не является абстрактной величиной. Она находится  точно в середине ряда, представляет собой реальное значение признака, соответствует определенному варианту и при этом наиболее точна в случае нечетного числа членов совокупности. Медиана как обобщающая характеристика совокупности не может, однако, заменить среднюю. Медиана — это центр распределения численности единиц совокупности, а средняя — центр распределения отклонений значений признака от равнодействующей. Величина медианы определяется лишь одним или двумя серединными значениями признака. Изменения всех остальных величин, если они не меняют последовательности членов в центре ряда, не находят отражения в медиане. Так, если месячную заработную плату наименее оплачиваемых двух рабочих поднять на 40 руб., это не скажется на медиане, несмотря на то, что тем самым значительно повышаются доходы двух рабочих цеха и существенно выравнивается заработная плата членов коллектива. Поэтому медиана, представляющая определенный интерес в анализе, не может заменить среднюю, которая при замене реального коллектива абстрактным коллективом с уравненными значениями признака оставляет неизменным определяющий показатель совокупности.

     Медианой  целесообразно пользоваться, когда  не известны границы открытых крайних  интервалов вариационного ряда, на которые приходится значительная часть  единиц всей совокупности, так как  средняя в этих случаях страдает значительной неточностью. При исчислении же медианы отсутствие сведений об этих границах не влияет на точность расчета. 

     2.2 Мода

     Мода (Мо) - это вариант признака, который при данном сочетании причин разного порядка чаще всего встречается в вариационном ряду. Например, цена, по которой чаще всего реализуется данный товар на рынке, является модой или модальной ценой. Месячная заработная плата, которая чаще всего встречается в данном коллективе, является для него модальной заработной платой.

     Мода - типичная величина, в том смысле, что она встречается в совокупности или объективно может встретиться чаще других. Она имеет важное значение для решения некоторых задач, например какой высоты должны быть предназначенные для массового потребления станки, столы и т. п., какое количество детей чаще всего встречается в семье, какое время дня является «пиковым» для работы предприятий общественного питания, электростанций, городского транспорта  и др., какой уровень выполнения плана наиболее часто встречается в том или ином коллективе рабочих или   предприятий и т. п.

     Мода  соответствует определенному значению признака. На практике моду находят, как  правило, по сгруппированным данным.

     В дискретном ряду мода определяется без  вычисления как значение признака с  наибольшей частотой.

     В интервальном вариационном ряду, тем  более при непрерывной вариации признака, строго говоря, каждое значение признака встречается только один раз. Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой. Внутри этого  интервала находят условное значение признака, вблизи которого плотность распределения, то есть число единиц совокупности, приходящееся на единицу измерения варьирующего признака, достигает максимума. Это условное значение и считается точечной модой. Логично предположить, что такая точечная мода располагается ближе к той из границ интервала, за которой частота в соседнем интервале больше частоты в интервале за другой границей модального интервала. Отсюда имеем обычно применяемую формулу:\ 

      , 

     X_Mo - нижнее значение признака X в модальном интервале;

     i - величина интервала;

     f_Mo - частота (частость) повторения признака X в модальном интервале;

     f_Mo-1 ,f_Mo+1 - соответственно частоты (частости) признака для интервала, предшествующего модальному и следующего за ним. 

      Пример: Таблица 2.2.2

     По  табл.2.2.2. модальный интервал составляет 2000 - 2499шт, так как ему соответствует наибольшая частота 37,5%, нижняя его граница х_о = 2000, а величина интервала h = 500. Следовательно,  

     Это значит, что чаще всего встречаются  хозяйства, у которых надой в  среднем от одной коровы составляет 2280 кг.

     Для решения практических задач наибольший интерес представляет обычно мода, выраженная в виде интервала, а не дискретным числом. Объясняется это  назначением моды, которая должна выявить наиболее распространенные размеры явления. Выраженная в виде дискретного числа мода часто не отвечает этому требованию. Так, в нашем примере процент хозяйств, у которых годовой надой в среднем на одну корову составляет 2280 кг, хотя и больше, чем хозяйств с любым другим уровнем надоя, но сам по себе он может быть небольшим. Хозяйств же с удойностью в пределах интервала 2000 - 2499 кг - 37,5%, а 2000 - 3000 кг - 58,1, - т. е. весьма значительный процент. 
 
 

     Заключение 

     Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень  явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

     Средние величины делятся на два больших  класса: степенные средние, структурные  средние.

     В качестве структурных средних рассматриваются  мода и медиана.

     Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. 

      Использованная литература 

1. Теория  статистики: Учебно – методический комплекс / Под ред. В.В. Глинского, В.Г. Ионина, Л.И. Яковенко. – Новосибирск: НГУЭУ, 2007. – 108 с.
2. Общая теория статистики: Учебник / А.Я. Боярский, Л.Л. Викторова, А.М. Гольдберг и др.; Под ред. А.М. Гольдберга, В.С. Козлова. – М.: Финансы и статистика,1985. – 367 с.
3. Громыко Л.Г.Общая теория статистики: Практикум. – М.: ИНФРА – М,1999. – 139 с.
4. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И.И.Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 1996. – 368 с.: ил.
5. Пасхавер И.С. Средние величины в статистике. – М.: Статистика, 1979. – 279 с., ил.
6. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. Р.А. Шмойловой. – М.; Финансы и статистика, 2001. – 416 с.: ил.
7. Статистика: учебник / Л.П. Харченко, В.Г. Ионин, В.В. Глинский и др.; под ред. канд. экон. наук, проф. В.Г. Ионина. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 445 с. – (Высшее образование).
8. Харченко Л.П. История статистики. Развитие методологии статистической науки: Учебное пособие. – НГУЭУ, 2005. – 144 с.